刍议反例在数学中的应用

刍议反例在数学中的应用摘要:本文笔者结合工作经验和一些实例讨论了反例在中学数学教学中的作用，并提出了在使用和构造反倒时应注意的问题。

仅供参考。

关键词:实例；数学教学；问题一、引言一个正确的命题自然伴随着正确的证明，起之有因，论之有据。

然而，一个错误的命题之所以为错误，最好的说明方式就是只须指出其在符合题设的某个特殊情形下，用一个大家都能认可的例子来说明该结论不成立．就足以说明问题了，这就是反例。

在数学的发展历史中，反例和证明同样重要：一个数学真命题往往需要严密的证明．而假命题则靠反例加以鉴别。

数学家盖尔鲍姆和奥姆斯特德曾指出“数学有两大类～证明和反例组成，而数学发现也是朝着两个主要的目标～提出证明和构造反例”。

同样，反例对巩同和加深对概念与定理的理解，以及对掌握相关概念的差异和层次方面有着正面说明或证明所无法取代的作用。

在中学数学教学中，反例的试举已成为提高教学质量的重要的一环。

另一方面，“反例教学”对培养学生的数学思维能力方面的作用也是显著的，它不仅有助于对学生纵向思维能力的培养，对其横向思维能力的培养和发展尤其具有不可缺少的作用。

--一个数学问题，用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好的戏剧，所以，在中学数学教学中可以有意识地构造反例来解决实际问题，让学生从中领会神奇功效，从而使他们切实有效地掌握数学知识，提高数学能力。

二、反例在中学数学教学中的地位《数学新课程标准》基本理念的核心内容有这样一条：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。

内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程” 。

此理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。

数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。

那么，教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，就应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，从而实现合作探究，自主构建。

数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法。

数学家B·R·盖尔鲍姆说过，“一个数学问题如果用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧，使人得到享受和兴奋，为数学做出许多最优雅的和艺术性很强的贡献，属于这个流派。

” 在中学阶段的数学教学中，数学反例的应用是一种必然的教学手段，适当地应用反例加强对学生构造反例能力的培养，将直接有效地推动教学质量的提高，使新课程标准下的教学理念真正得以体现，实现“教”与“学”的完美结合。

三、反例在中学数学教学中的作用1．反例是加深对抽象概念和定理理解的重要手段。

在中学数学教学巾，我们不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点，而且还要运用恰当的反例从另外一个侧面抓住概念和定理的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对知识的理解。

在概念教学中，对某些重要的概念，有时只从正面给出定义并举例说明还不够，为了加深对这一概念所具有的本质属性的理解，有时还要举出不符合定义的反例。

例如，在函数概念的教学中，对函数这个定义，除了举出是函数的例子外，如再举出不是函数的例子即反例，就能够加深学生对这一概念的理解。

如设A是非负实数集，B是实数集，若规定f是把每个x∈A送到它的平方根，问f是否是定义在A上的函数?诸如此类，可以让学生自己举出许多是或不是函数的例子，如果是函数，则需要按定义验证对于定义域A中每一点都有值域B 中唯一一点与之对应；若不是函数，则只须举出一个反例，即找出A中一点，它在B中没有对应的点，或多于一个对应点。

这样通过正反两方面的例子对比，加深了学生对这一概念的理解和掌握。

在定理的教学中，教给学生正确地使用定理很重要，而初学者往往不注意分析定理的条件和适用范围，只记结论，生搬硬套，造成错误。

例如，在平面几何中，两条直线垂直是相交的特殊情形，但在立体几何中，垂直和相交是没有直接关系的。

在教授立体几何点、线、面各元素间的位置关系时，教师可以适时引进以下反例：两条互相垂直的异面直线不相交。

显然，立体几何的线线、线面、面面关系中，除了线线垂直不一定相交、相交不一定垂直外(因为线线之间存在异面关系)，其他情况下垂直是相交的特殊情形，对于许多同学来说，对这些关系的理解并不深刻，但若配合上述反例效果就不大一样，它可让学生澄清是非，对所学知识有更深刻的理解和认识。

2．反例不但是纠正错误的常用方法，而且是发现问题的重要途径。

要使一个数学命题成立，就必须进行分析和严格的证明，而要推翻一个命题，只需找出这个命题在特殊情况下不成立的实例即可，因此，否定一个命题的最佳途径就是构造出一个反例。

在中学概率的学习中，大多数学生认为试验次数很多，概率一定大。

可通过下面反例予以说明，例如，在概率论的萌芽时期，有一个著名的德·梅尔问题：一颗骰子掷4次至少出现一次6点是有利的，而两颗骰子掷24次至少现一次双6点是不利的。

德·梅尔找不到解释的原因，这使他感到很苦恼，当时这一问题曾引起诸如帕斯卡、费马等数学家的注意。

现在看来，利用独立试验概型容易求出它们的概率。

设在n次独立重复试验中，事件“出现6(或双6)点” 的概率为P，现考虑欲使1-(1-p)n≥0.5，则n≥-lg2／lg(1一p)，此式给出了n的下界，使问题得以解决。

以掷一颗骰子作试验，要连续掷n次使6点至少出现一次的概率大于等于0.5，则n≥3.8，以掷两颗骰子作试验，要连续掷n次，使双6点至少出现一次的概率大于等于0.5，则n≥24.6。

由此得出，一颗骰子掷4次至少有一个6点的概率大干等于0．5，而两颗骰子掷24次至少有一次得双6点的概率小于0.5。

本例说明试验次数多，概率却不一定大。

3．适时用反例去思考、解决问题是学生掌握所学知识的关键。

学习过程是一个知识积累的过程，同时也是不断发现和纠正错误的过程。

由于反例在辨析错误中具有直观、明显、说服力强等特点，所以举反例在揭露错误时有特殊的威力，通过反例教学，不但可以发现学习中的错误和漏洞，而且可以从反例中修补有关知识，从而获得正确的结论或解答。

例如，运用正数的平均值定理的时候，忽视等号成立的条件是许多学生的误区，教学时可举以下反例：Y=sin2 x+(4/sin2x) ≥4是正确的，但该函数的最小值是5，而不是4。

设t=sin2x，则t∈(0，1]，且y=t+(4/t)≥4，当且仅当t=2 上式取等号，但t不可能等于2，因此4不是该函数的最小值，那么，怎样寻求它的最小值呢?正确的解法是：Y=sin2 x+（4/sin2x）=[(2/sin x)-sin x)2 +4，设t=sinx．由于函数为(关于t的)偶函数，且当t∈(0，l]时，函数Y=(2/t)-t，单调递减且函数值大于0，由此原函数当t∈(0，l]时，单调递减，因此，当t=l时，该函数取得最小值5。

4．反例能培养学生良好的发散性思维和创造性思维。

在中学数学教学过程中，教师往往过于偏重演释论证的训练，注意培养学生的逻辑思维能力上。

要知道解决问题固然重要，但没有发现问题何来的解决问题?为了克服教师的这一习惯教法，在教学中要鼓励学生敢于提出问题，不要对学生的问题或猜想给予讽刺和挖苦，甚至是打击，要引导学生在某些定理的条件、结论、某些定义的适用范同等要敢于猜想，对不是现成的定理要着眼于发现和创新，自己提出问题，猜想结果，使反例这一工具得以充分应用，这不仅可以使学生的创新能力得以提高，同时更有利于学生开展研究性学习，从而有效地提高教学质量。

5．反例能优化解题过程。

解题是一种数学能力，获得问题的解答是智力活动与非智力活动协调统一的结果。

对于中学生来说，解题是他们必须掌握的数学能力。

通过解题，可以考察他们对知识的掌握情况。

某段时问学生解题能力的变化，不仅代表着学生学习能力增强或降低，也暗示着学生在这段时间的心理特征。

因此，教师在教学过程中更要注重学生解题能力的培养，时刻关注学生学习和心理的变化。

学生在做数学题时遇到难以解决的问题是正常的现象，但是大多数学生总是下方百计地从正面寻找解题的路，即使在他们一次次失败之后仍然想不到，是否可以举出一个反例来否定命题。

对于一个命题来说，只要举出一个反例就可以否定一个命题的正确性，因此，引导学生从逆向思维的角度去解决问题不失为一个好办法。

例如,“原函数f(x)与其反函数f-1 (x)，若它的图像有交点，则交点必在直线Y=x上。

”这个命题很容易给学生造成一种错觉认为是正确的，这时适当地提示学生，鼓励他们试着寻找一个反例来辨别真假，如果能找到一个反例就能说明这个命题是假的，否则为真。

在这道题中，不难找出反例，如“函数Y=-x和它反函数图像的交点恰好不在直线Y=x上”。

数学解题是一种技巧，这种技巧在应试的选择题上体现得更为强烈。

培养学生通过举反例来完成选择题，既可以提高学生的解题速度，也可以增强其思维的灵活性。

四、在中学数学教学中使用及构造反例应注意的问题在教学中重视和恰当地运用反例，不仅可以调动学生学习的积极性，养成重视条件、严密推理的习惯，还可提高学生的数学能力和学习能力，但必须注意：第一，要在学生对所学知识有了一定的认识和理解的基础上，才能讲授。

教师可根据学生知识的掌握情况和接受原则，在习题课或复习课上提出反例。

第二，教学中主要讲授概念、定理和方法，对基本命题和结论应予以严格的证明和推导，举反例重在说明结论，学生对反例的掌握要求不能太高．反例应是围绕主要内容的有效辅助手段。

在数学推理中，构造反例与提出证明一样，是一项积极的创造性思维活动，二者具有同等重要的作用。

在巾学数学教学中。

让学生掌握严密的推理逻辑与各种思维方法的同时，学会举反例亦十分重要。

在概念与定理的教学中，构造巧妙的反例，能使概念与定理变得简捷明快，容易掌握；在习题训练的基本教学中，举反例是反驳与纠正错误的有效方法，是学生创建学习的有力武器。

学会构造反例是数学爱好者必须掌握的技能，也是培养能力的重要手段，那么，它也应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。

在构造反例的过程中，一般应注意如下原则：1．简洁性原则：即所举反例越简单越好，只要能说明问题即可。

2．直观性原则：即所举反例能尽量反映在图形上，使学生容易掌握。