无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例
无穷极数中的几个典型反例一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例（1） 比值差别法：例1：1(1)3nn ∞=+-∑级数1(1)3nn ∞=+-∑发散，但极限1limn n nu u +→∞并不存在因为级数13n ∞=∑发散而级数1(1)3nn ∞=-∑收敛。
所以级数1(1)3nn ∞=+-∑发散。
而11(1)n n nu u +++-=11(1)limlimn n n n nu u ++→∞→∞+-=并不存在。
当然，p-级数∑∞=11n np也是一个典型的反例, 1limn n nu u +→∞=1,但当p>1时收敛;1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：例2：1(1)3nnn ∞=⎤-⎥⎣⎦∑级数13nn ∞=⎣⎦∑收敛，但lim lim3n n →∞→∞=并不存在。
(1)21033nnn⎡⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭而113nn ∞=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1(1)3nnn ∞=⎤+-⎥⎣⎦∑(1)3n-=是摆动数列。
故(1)limlim3nn n →∞→∞-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：2(1)nn ∞=-∑1n u =显而易见满足lim 0n n u →∞=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数(1)(1)1(1)111n nnn n u n n n ⎤---⎣⎦===-----由级数21n n ∞=-∑收敛，而级数211n n ∞=-∑发散知，级数2nn ∞=∑发散。
例4： nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=nn nn )1(1)1(2-+-∑∞==111)1(1))1(()1(222----=----n n n n n nnn，根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑∞=--221)1(n nn n 收敛，而∑∞=-2211n n 收敛，所以原级数nn nn )1(1)1(2-+-∑∞=是收敛的。
高等数学反例集
g(x) = x −[x] + cos x 却不是周期函数。
3. 有界函数与无界函数之积未必无界。
例 1：f (x) = 0, g(x) = x ，在区间 (−∞, +∞) 内 f (x) 有界，g(x) 无界，而 f (x)g(x) = 0 却在区间 (−∞, +∞) 内有界。 例 2： f (x) = e−x , g(x) = x ，在区间 (0, +∞) 内 f (x) < 1, 而 g(x) 是无界的， f (x)g(x) = xe−x ，因为 lim xe−x = 0 ，从而易见 f (x)g(x) 在区间 (0, +∞) 内是有界的。
⎤ ⎥ ⎦
，使得
f
(xn )
=
a
{ } 显然，对于数列
xn
有
lim
n→∞
xn
=
0, 且 lim n→∞
f
(xn )
=
a,
1)
满足
lim
n→∞
xn
≠ ∞ 的无界数列。
例： xn = [1 + (−1)n ]n 。
对任意正数 M，只要取 N= log 2 M ，当 n = 2k > N 时，就有
xn = [1 + (−1)2k ]2k = 22k > 2log2 M = M ，所以数列 xn 无界。但对 n=2k+1,k=1,2,……
但是 lim f (x) = sin 0 = 0 ≠ 1。 x → x0
上面说明极限的定义是很严谨的，要想掌握好极限概念，有对其定义逐字推敲的必要。
无穷级数的比较判别法的反例
无穷级数的比较判别法的反例无穷级数是数学中一个重要的概念，它包含了无限多个数相加或相乘的结果。
在研究无穷级数时，比较判别法是一种常用的判别方法，用于确定级数的敛散性。
然而，有时候比较判别法并不能给出准确的结论，存在一些反例。
在介绍比较判别法的反例之前，让我们先回顾一下比较判别法的基本原理。
比较判别法是通过将要研究的级数与已知敛散的级数进行比较，从而判断其敛散性。
如果待研究的级数绝对值的部分可以被一个已知敛散级数的绝对值部分控制住，那么待研究的级数就具有相同的敛散性。
然而，对于某些特殊的级数，比较判别法并不能给出正确的结论。
下面，我们将通过一个具体的反例来说明这一点。
考虑级数 S = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...这个级数是一个调和级数，调和级数是指级数的每一项都是调和数列的一项。
调和数列是指数值为倒数的数列，即第 n 项为 1/n。
调和级数在研究无穷级数时经常出现。
为了比较判别级数 S 的敛散性，我们可以考虑与另一个级数 T 进行比较。
取级数 T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 它是一个几何级数，每一项是1/2 的幂。
几何级数在数学中有着广泛的应用。
比较级数 S 和 T 的敛散性时，我们可以发现 T 的每一项都大于 S 的对应项，因为对于任意正整数 n，1/n > 1/(2^n)。
根据比较判别法，我们可以得出结论，如果 T 收敛，那么 S 也应该收敛。
然而，事实却是相反的。
我们知道，几何级数 T 的和为 2，即 T = 2。
而调和级数 S 是一个发散的级数，它的和无穷大。
这与比较判别法的结论相矛盾。
这个反例表明，比较判别法并不是万能的，它并不能适用于所有情况。
对于特殊的级数，比较判别法的结论可能是错误的。
因此，在研究无穷级数时，我们需要综合运用不同的判别法，结合特定的级数性质进行分析。
在实际应用中，我们需要根据具体问题来选择适用的方法和工具，不能仅仅依赖于单一的判别法。
高等数学中的一些反例
高等数学中的一些反例1 高等数学中的反例在高等数学中，反例就是指一些能够证明一个命题不成立的具体实例。
因此，反例在数学领域中具有重要的作用。
在这篇文章中，我们将会探讨一些高等数学中的反例。
2 无理数的乘积是有理数首先，我们考虑一个看似显然的命题，即两个无理数的乘积一定是一个有理数。
这个命题的错误之处在于，我们无法保证这两个无理数是代数无关的。
下面给出一个反例：假设x = √2，y = 1 / √2，那么显然 x、y 都是无理数。
但是它们的乘积为：xy = (√2) (1 / √2) = 1因此，这个反例表明了两个无理数的乘积并不一定是一个有理数。
3 常数项级数收敛的级数和绝对收敛接下来，我们来思考一下另一个命题：如果一个常数项级数收敛，那么它的级数和一定是有限的。
而这个命题也是错误的。
我们可以通过下面这个反例来证明：考虑级数：1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...显然，这个序列的部分和为：S_n ={ 1 (n 为奇数 ){ 0 (n 为偶数 )因此，该序列的极限不存在。
但是，如果我们对该序列取绝对值，那么它会变成一个常项级数，即：1 + 1 + 1 + 1 + ...该级数显然是发散的。
因此，这个反例说明了一个常数项级数收敛不一定意味着它的级数和是有限的，也不意味着它的级数和绝对收敛。
4 现代几何的反例在现代几何中，我们经常会面临一些看似正确的命题，但是它们在特殊情况下并不成立。
例如，如果一个三角形的两条边长一样，那么这个三角形一定是等腰三角形。
这个命题在大多数情况下是正确的，但存在以下反例：考虑一个由两个直角三角形组成的三角形。
其中直角边分别为2和1，斜边长度为√5，这个三角形显然不是等腰三角形。
这个例子说明了即使在看似简单的几何命题中，也可能存在反例。
5 常微分方程的反例最后，我们来看一个常微分方程的例子，来说明反例在应用数学中的重要性。
考虑一个简单的一阶常微分方程：y' = y^2 - 1这个方程可以通过分离变量得到解：2arctanh(y) = x + C其中，arctanh(y) 表示双曲正切的反函数。
数学分析课程中的几个反例-FudanUniversity
数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。
也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。
虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。
但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。
Weierstrass 是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：(0()sin n n n )f x a b ∞==∑x ，b a <<<10， 。
1>ab 下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家Van Der Waerden 于1930年给出的。
设(x )表示x 与最邻近的整数之间的距离，例如当x = 1.26，则(x ) = 0.26；当x = 3.67，则ϕϕϕ(x ) = 0.33。
显然ϕ(x )是周期为1的连续函数，且。
2/1)(≤ϕx 注意 当y x ,21,[+∈k k 或]1,21[++k k 时，成立|||)()(|y x y x −=−ϕϕ。
Van Der Waerden 给出的例子是：)(x f = ∑∞=ϕ010)10(n nn x 。
由n n x 10)10(ϕ≤n1021⋅，及∑∞=⋅01021n n 的收敛性，根据Weierstrass 判别法，上述函数项级数关于),(+∞−∞∈x 一致收敛。
所以在连续。
)(x f ),(+∞−∞现考虑在任意一点x 的可导性。
由于的周期性，不妨设，并将x 表示成无限小数)(x f )(x f 10<≤x x = 0.a 1a 2…a n …。
若x 是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。
无穷级数-任意项级数审敛法
n =1
∑ v n 发散
∞
2 条件收敛性 n 递减、趋于零 分析 需判定 un = n + 10
n 令 x un = ( x > 0) = f (n), f ( x ) = n + 10 x + 10
1 Q f ′( x ) = 2 x ( x + 10 ) ( x + 10 )2 x
o
10 x = 2 x ( x + 10)2
2 关系
n =1
∑ un 发散 ∑ un 发散 （一般地）
n =1
n =1 ∞
∑ un 收敛 ∑ un收敛 √
n =1 ∞理 设任意项级数 ∑ un满足
n =1
∞
un + 1 lim = ρ>1 n → ∞ un
∞ ∞ n =1 n =1
(或 lim
n
n→ ∞
un = ρ > 1)
2 + (1)n 反例：对于 ∑ (1)n1 ， n 2 n =1
2 + (1)n un = >0 n 2
虽然 {un }不单调， 事实上，
3 2 u2k1 = 2k1 = < u2k = 2k , 2k 2 2 2 3 1 u2k = 2k > u2k+1 = 2k+1 2 2
∞
1
2 + (1)n un = 2n
n1 ∞
2. 证明 ∑
∞
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 . 绝对收敛 .
n→ ∞
3. 证明 ∑ (1)
n=1
n2 n e
n
4. 设un ≠ 0 (n = 1, 2, 3,L), 且 lim n = 1,
既收敛又发散的无穷级数笑话
有一天，一位数学老师正在给同学们讲解无穷级数的问题。
他说：“如果一个无穷级数既收敛又发散，那就像是一道笑话一样。
”
这时，一个调皮的同学举手问道：“老师，那为什么它像笑话呢？”
老师笑了笑，说：“因为它既符合数学规律，又违反了数学逻辑。
”
于是，老师开始解释收敛和发散的概念。
他说：“收敛意味着级数中的每一项都在逐渐减小，最终会变成一个有限的数值。
而发散则意味着级数中的每一项都在不断地增大，永远无法收敛到任何确定的数值。
”
当老师讲完之后，那个调皮的同学又问道：“那么，如果一个无穷级数既收敛又发散，那它岂不是既符合数学规律又违反了数学逻辑吗？”
老师点了点头，说：“对，你说的很对。
这个无穷级数就像是一道既美味又难以消化的美食一样，吃进去可以享受它的美味，但是消化起来却非常困难。
”
于是，同学们都笑了，觉得这个比喻很有趣。
接着，老师又告诉同学们一个例子，他说：“其实，收敛和发散的问题就像是我们生活中遇到的许多矛盾一样。
比如，有些人的性格很开朗，很容易交到朋友；而有些人则比较内向，很难融入新的圈子。
这两种性格看似矛盾，但其实都是人的不同表现形式。
”
这时，另一个同学问道：“老师，那我们遇到既收敛又发散的无穷级数时该怎么办呢？”
老师笑了笑，说：“遇到这种情况时，最重要的是要认真思考和总结。
这个无穷级数之所以既收敛又发散，是因为它背后可能蕴含着更深层次的意义。
所以，我们要尽可能地去挖掘它的本质。
”
听完老师的讲解，同学们都受益匪浅。
这个无穷级数的笑话也成了他们在数学课堂上经常讨论的话题，大家都不约而同地笑了起来。
无穷级数及其收敛性
无穷级数及其收敛性无穷级数是数学中一个非常基础的概念，它在各种分析领域和应用中都有着重要的地位。
在这篇文章中，我们将探讨无穷级数的概念、性质和收敛性，希望读者通过本文的介绍，能够更加深入地理解这一重要的数学概念。
一、无穷级数的概念无穷级数是由无数个数相加而成的一种数列。
它的表示形式为$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$其中，$a_n$表示第$n$个数，而$\sum$则表示将每一个$a_n$相加得到的总和。
例如，下面这个无穷级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = 1 + \frac{1}{4} +\frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots$$就是由所有$\dfrac{1}{n^2}$相加而成的一种数列。
无穷级数的和可能是一个有限的数或者无限大。
当无穷级数的和为有限数时，我们称其为收敛，反之则称其为发散。
二、无穷级数的性质无穷级数有很多有趣的性质，下面我们将就一些常见的性质进行简单介绍。
1. 级数的项数可以改变，但不会改变级数的收敛性。
例如，下面这个无穷级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$$虽然由无限个有理数相加而成，但对其进行有限次部分求和得到的都是有理数，因此它是收敛的。
2. 级数可以重新排列，但不会改变级数的收敛性。
这个性质看似简单，但并非总是成立。
事实上，当级数的各项并非绝对收敛时，该性质不成立。
一个常见的反例就是下面这个级数：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} = 1 - \frac{1}{2} +\frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$$这个级数是发散的，但如果将其项随意交换，则可以得到另一个级数$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = -1 + \frac{1}{2} -\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \cdots$$这个级数却是收敛的。
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无穷极数中的几个典型反例
一、正项级数中比值判别法和根值判别法的反例
（1） 比值差别法：
例1：
1
(1)
3
n
n ∞
=+-∑
级数1
(1)
3
n
n ∞
=+-∑
发散，但极限1lim
n n n
u u +→∞
并不存在
因为级数1
3
n ∞
=∑
发散而级数1
(1)3
n
n ∞
=-∑
收敛。
所以级数1
(1)
3
n
n ∞
=+-∑
发散。
而
11(1)
n n n
u u +++-=
11(1)
lim
lim
n n n n n
u u ++→∞
→∞
+-=并不存在。
当然，p-级数
∑
∞
=1
1n n
p
也是一个典型的反例, 1lim
n n n
u u +→∞
=1,但当p>1时收敛;
1≤p 时,发散。
（2） 根值判别法：
例2：
1
(1)3n
n
n ∞
=⎤
-⎥⎣⎦
∑
级数1
3n
n ∞
=⎣⎦
∑
收敛，但lim lim
3
n n →∞→∞
=并不存在。
(1)21
033n
n
n
⎡
⎤⎛⎫+-≤≤ ⎪⎢
⎥ ⎪⎣⎦⎝
⎭
而113n
n ∞
=⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
∑收敛（公比小于1的等比级数）。
由比较判别法，1
(1)3n
n
n ∞
=⎤+-⎥⎣⎦
∑
(1)3
n
-=
是摆动数列。
故(1)lim
lim
3
n
n n →∞
→∞
-=不存在。
注：在正项级数的敛散性判别中,比值判别法和根值判别法使用起来非常方便,但是它成立的条件是充分而非必要的。
二、 交错级数中使用莱布尼兹差别法的反例
在交错级数的敛散性判别中,莱布尼兹判别法使用起来非常方便,但是有些情况下的交错级数不满足条件。
例3：
2
(1)
n
n ∞
=-∑
1n u =
显而易见满足lim 0n n u →∞
=，而不满足。
1(1,2,)n n u u n +≥= ， 但作为任意项级数
(1)(1)1(1)111n n
n
n n u n n n ⎤---⎣⎦=
==-----
由级数2
1
n n ∞
=-∑
收敛，而级数2
11
n n ∞
=-∑
发散知，级数2
n
n ∞
=∑
发散。
例4： n
n n
n )
1(1)
1(2
-+-∑∞
=
n
n n
n )
1(1)
1(2
-+-∑∞
==
1
11
)1(1
)
)1(()1(2
2
2
--
--=
----n n n n n n
n
n
，
根据莱布尼兹判别法易知交错级数∑
∞
=--2
2
1
)1(n n
n n 收敛，而∑
∞
=-2
2
1
1n n 收敛，所以原级数
n
n n
n )
1(1)
1(2
-+-∑
∞
=是收敛的。
注：例3与例4都是不满足n n u u <+1的情况，不能使用莱布尼兹判别法直接判定。
三、 幂级数中的反例
有些同学认为，如果幂级数∑∞
=0
n n n x a 的收敛半径R ≠0，那么一定有
n
n n a a 1lim
+∞
→=L=1/R ，这是不对的，因为有可能n
n n a a 1lim
+∞
→不存在。
例5： 求幂级数∑
∞
=-+1
2
)
1(2n n
n
n
x 的收敛半径
同例1，可知n
n n a a 1lim
+∞
→不存在，而∑
∞
=-+1
2
)
1(2n n
n
n
x =∑∞=-⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+112)1(21n n n
n
n n x x ，显然∑
∑
∞
=∞
=--1
1
1
2
)1(2
1n n
n
n
n n
n x x 与的收敛半径均为2，
所以，幂级数∑∞
=-+1
2
)
1(2n n
n
n
x 的收敛半径R=2。
四、 泰勒级数中的反例
只要一个函数在某点处存在任意阶导数,在此点处的泰勒级数一定存在,但泰勒级数作为幂级数,它在收敛域内是否收敛于函数本身？
例6： 讨论f (x) =⎪⎩⎪
⎨⎧=≠0
,00,1
2x x e n 在点x = 0处的泰勒级数是否在收敛域内收敛于函数f (x)
本身。
可以证明f (x) 在x = 0点任意阶可导,且=)0()
(n f
= 0 ( n = 0, 1, 2, …)
∴f (x) 在点x = 0处的泰勒级数为∑∞
=⨯0
0n n x ，
该级数在( - ∞, + ∞) 内的和函数s (x) = 0.
可见,除x = 0外, f (x) 在点x = 0处的泰勒级数处处不收敛于f (x) .
另外一个例子是高数课本中的例子
例7：幂级数11
(1)
n n x
n n +∞
=+∑
,1
n
n x
n
∞
=∑
，0
n n x ∞
=∑它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域分
别是[ - 1, 1 ], [ - 1, 1) , ( - 1, 1) .
五、任意项级数中的反例
例8：（2000年考研题）设级数1
n n u ∞
=∑是收敛,则必收敛的级数为( )
(A) 1
(1)
n
n n u n
∞
=-∑ (B) 21
n
n u ∞
=∑ (C) 2121
()n n n u u ∞-=-∑ (D) 11
()n n n u u ∞
+=-∑
解 应用级数的性质,收敛级数1
n n u ∞
=∑与11
n n u ∞
+=∑逐项相加后的级数仍收敛,故(D) 成立. 其
它3种情况不成立列举反例如下:
(A) 1(1)
ln n
n u n
=-，则11(1)
ln n
n n ∞
=-∑是收敛的,而1(1)
n
n n u n ∞
=-∑=1
1ln n n n
∞
=∑
是发散的;
(B) (1)
n
n u =-
则1
(1)
n
n ∞
=-∑是收敛的,而21
n
n u ∞
=∑=1
1n n
∞
=∑
是发散的;
(C) 1
1(1)n n u n
-=--,则1
1(1)
n
n n
∞
=--∑是收敛的,而2121
()n n n u u ∞
-=-∑=1
412(21)
n n n n ∞
=--∑
是
发散的.
参考文献
[ 1 ] 刘红卫,于力. 关于无穷多个无穷小的乘积的注记[ J ]1高等数学研究, 2002, 5 (3). 27.
[ 2 ]B. R. 盖尔鲍姆J. M. H. 奥姆斯特德. 分析中的反例[M ]. 上海:上海科学技术出版社, 1980. 72.
[ 3 ] 同济大学数学教研室. 高等数学[M ]. 北京:高等教育出版社, 2002. 09.
PS ：补充完毕。