函数的图象
各种函数图象
各种函数图象底数与指数函数图像:(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2) 对数函数的值域为全部实数集合。
(3) 函数图像总是通过(1，0)点。
(4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。
(5) 显然对数函数无界。
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,，?)。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
有些函数图像可能关于原点对称，这种对称性称为奇函数的特性。
函数图像的顶点坐标
极值点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为负时，该点为函数的极小值点，极小 值点坐标为（x，f（x））。
拐点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为正时，该点为函数的拐点，拐点的坐 标为（x，（f（x）））。
04
记作y=f(x)，其中f是函数的符号，x是自变量，y是因变量。
函数的表示方法
解析法
用数学形式（解析式）表示函数关系的方法 。
图象法
用图象表示函数关系的方法。
表格法
用表格表示函数关系的方法。
函数的分类
常量函数
因变量的值只与自变量的值无关的函数。
线性函数
因变量的值与自变量的值成正比或反比的函数。
幂函数
因变量的值是自变量的幂的函数。
指数函数
因变量的值是自变量的指数的函数。
对数函数
因变量的值是自变量的对数的函数。
三角函数
因变量的值是自变量正弦、余弦、正切等三角函数的函 数。
02
平面直角坐标系
坐标系的建立
通过定义原点和正方向，以及单位长度，在平面上建立坐标系。 固定x轴和y轴的方向，确定横轴和纵轴的长度单位。
常见函数的图像
正比例函数
总结词：直线
详细描述：正比例函数图像为一条直线，其解析式为$y=kx$，其中$k$为常数。 当$k>0$时，直线经过一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，直线 经过二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数
总结词：双曲线
详细描述：反比例函数图像为双曲线，其解析式为$y= \frac{k}{x}$，其中$k$为常数。双曲线与坐标轴不相交 ，且分布在第一、第三象限。当$k>0$时，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，$y$随$x$的增大而减小 ；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限 ，$y$随$x$的增大而增大。
函数及其图象PPT课件
s
s
s
s
t
t
O
O
A
B
O
t
C
t
O D
3、（09湖州市）如图，一只蚂蚁从 O 点出发，沿着扇形 OAB 的边缘匀速
爬行一周，设蚂蚁的运动时间为 t ，蚂蚁到 O 点的距离为 S ，则 S 关于 t 的函数图象大致为（ C ）
A
S
S
S
S
O
O
tO
tO
tO
t
第（3）题
B
A.
B.
C.
D.
4、(09内江市)打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗
（2）（09大连）函数y x 2 中，自变量x的取值范围是 ( D )
A．x < 2 B．x ≤2 C．x > 2 D．x≥2
x x 2
（3）（09哈尔滨）函数y＝
的自变量 的取值范围是_____________．
x2
x （4）（09齐齐哈尔）函数 y x 的自变量 的取值范围是_x_≥_0_且__x_≠1 ___． x 1
5000
4000 3000 2000
乙
甲
A
1000
O
5
10 15
20 x(分)
(3)解: x 15 时，甲的路程是: 25015 5000 1250 米，
乙的路程是2000米， 两人相距：2000 — 1250 = 750米
在15＜x＜20的时段内， 乙速：2000÷（20 — 15）= 400 米/分 两人速度之差： 400 — 250 = 150米/分
热身练习：
《函数的图象》课件优秀(完整版)6
(1)7,12
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间 试想，如果乌龟没有追求胜利的信念，没有渴望成功的意志，他是绝对不会有战胜兔子、战胜自我的那一刻的。
设点R运动的路程为x，∆MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（ ）
比北京气温低？ (4)如果长期观察这样的气温图象，我们能总结出气温的变化规律吗？
检测提升
4、小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离 家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟 返回到家．则下列图象能表示小明离家距离与时间关 系的是（ ）
检测提升
5、下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况：
速度/（千米/时） 90 60 30
0 4 8 12 16 20 24 时间/分
展示反馈
下图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象. (4)如果长期观察这样的气温图象，我们能总结出气温的变化规律吗？
图(2)反映了这个过程中，小明离他家的距离 y与时间 x之间的对应关系.
2、柿子熟了，从树上落下来.
如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点沿A→B→C→D→A运动一周,则P的纵坐标Y与点P走过的路程S之
通过图象，我们可以数形结合地研究函数.
展示反馈
1、下列四个图象中，不表示某一函数图 设点R运动的路程为x，∆MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（ ）
5、下图表示一辆汽车的速度随时间变化的情况： (2)高：0～7，12～24
象的是（ ） (2)小明吃早餐用了多少时间？
检测提升
1、周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，
能反应其高度与时间关系图象大致是（
各种函数图象
各种函数图象底数与指数函数图像:(1)由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点(1，a)可知:在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
(2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1，1/a)可知:在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
(3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。
(如右图)》。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形: 可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2) 对数函数的值域为全部实数集合。
(3) 函数图像总是通过(1，0)点。
(4) a大于1时，为单调增函数，并且上凸;a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。
(5) 显然对数函数无界。
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数(即p、q互质)，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号下(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,，?)。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x?0，函数的定义域是(,?，0)?(0,，?)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数; 排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
函数的图像和性质
用到数形结合、函数与方程、转化与 化归等数学思想，用好这些思想方法 解题就会事半功倍。
函数的图象和性质专题复习
课堂练习
1. 设函数 f ( x) ln(1 x) ln(1 x) ，则 f ( x) 是 （ A.奇函数，且在 (0,1) 上是增函数 C.偶函数，且在 (0,1) 上是增函数
函数的图象和性质
专题复习
董波
重庆市江津第八中学校
函数的图象和性质专题复习
学过的初等函数
一次函数 二次函数 指数函数 对数函数
反比例函数
三角函数
幂函数
……….
函数的图象和性质专题复习
函数的主要性质
定义域 值 域 奇偶性 周期性
最 值
单调性
对称性
………
函数的图象和性质专题复习
考向分析
函 数 的 图 象 和 性 质
y 的取值范围是 x 1
3 0， 4
作图分析
函数的图象和性质专题复习
考点突破
y
-1
3 k= 4
.
o
1 2
k=0
x
函数的图象和性质专题复习
考点二：函数的性质
考点突破
2
例 2.已知函数 f ( x) x sin x( x R) ，且 f ( x 3x) f ( x 8) 0 ，
有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围为
1 由方程t bt 1 0得b t ， t 典型错误！！！ 且t 0,4 ，则b 2, .
2
函数的图象和性质专题复习
考点突破
分析： 方程t bt 1 0有两不同根t 、t , 1, 且t t b,t t 1, 对于b t 1 中的 t 和 t t 就应视为t ,t ,
函数的图象(精品课件)
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12
第7节 函数的图象
象在 x 轴下方的部分翻折上来，即得到 f(x)＝|lg(2－x)|的图象．由图象知，在 选项中的区间上 f(x)是增函数的显然只有 D. 答案： D
返回
数形结 合 的数
2．已知函数 f(x)＝log12x，x>0，
若关于 x 的方程 f(x)＝k
学方法
2x，x≤0，
有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是________．
返回
2．会用两种数学思想 (1)数形结合思想 借助函数图象， 可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶 性、对称性等性质；利用函数的图象，还可以判断方程f(x)＝g(x) 的解的个数、求不等式的解集等． (2)分类讨论思想 画函数图象时，如果解析式中含参数， 还要对参数进行讨论， 分别画出其图象．
解析： 作出函数 y＝f(x)与 y＝k 的图象，如图所示：
由图可知，若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不相等的
实数根，则 k∈(0,1]．答案： (0,1]
返回
[变式练] 根据已知条件可画出大致图像，再求解
3．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且 f(1)＝0，则不等式fx－xf－x
易知此时两函数图象在 x∈[0,1]上有且只有一个交点；
②当 m>1 时，在同一平面直角坐标系中作出函数 y＝(mx－1)2 与 y＝ x＋m 的图象，如图．要满足题意，则(m－1)2≥1＋m，解得 m≥3 或 m≤0(舍去)，∴m≥3. 综上，正实数 m 的取值范围为(0,1]∪[3，＋∞)．答案： (1)C (2)B
[拓展练]
5．若关于 x 的不等式 4ax－1<3x－4(a>0，且 a≠1)对于任意的 x>2 恒
成立，则 a 的取值范围为( )
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华师大版八年级下册§17.22《函数的图象》评测练习 授课者：侨声中学 肖保雷 指导老师：侨声中学 张永忠
一、选择题：
1.下列各点，在函数y=2x-7的图象上的是（ ）
A.（2，3）
B.（3，1）
C.（0，-7）
D.（-1，9）.
2.下列各点中，在反比例函数x
y 10-=图象上的点是（ ） A.（1，10） B.（－1，－10） C.（2，5） D.（－2，5）
3.若点A （2，4）在函数y=kx-2的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A.（0，2）
B.（23，0）
C.（8，20）
D.（12，12
） 4.龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
5.小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y （米）与时间x （分钟）之间的关系的大致图象是（ ）
．
A. B. C. D.
6.甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S （米）与时间t （分钟）之间的函数关系
如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A ．甲、乙两人进行1000米赛跑
B ．甲先慢后快，乙先快后慢
C ．比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
D ．甲先到达终点
7.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线），这个容器的形状是下图中的（）
A．B．C．D．
8.如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、
DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面
积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的
面积是（）
A．10 B．16 C．18 D．20
9.小李以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜
到市场去销售，在销售了部分西瓜之后，余下的每千克降价
0.4元，全部售完．销售金额与卖瓜的千克数之间的关系如图
所示，那么小李赚了（）
A．32元B．36元C．38元D．44元
10.小亮家与姥姥家相距24km，小亮8：00从家出发，骑自行
车去姥姥家．妈妈8：30从家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程S（km）与北京时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是（）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．妈妈比小亮提前0.5小时到达姥姥家
C．妈妈在距家12km处追上小亮
D．9：30妈妈追上小亮
二、填空题：
11.已知某一函数的全部图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）确定自变量x的取值范围，；
（2）当x=﹣4时，y的值是；
（3）当y=0时，x的值是；
（4）当x= 时，y的值最大，当x= 时，
y的值最小；
（5）当x的值在什么范围内时y随x的增大而增大？
答：；
（6）当x的值在什么范围内时，y＜0，
答．
12.如图①，底面积为30cm 2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h （cm ）与注水时间t （s ）之间的关系如图②所示．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆柱形容器的高为 cm ，匀速注水的水流
速度为 cm 3/s ；
（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm 2，
则“几何体”上方圆柱的高为 和底面积
为 ．
三、解答题：
13.画出下列函数的图象，并判断大括号内各点是否在该函数的图象上： (){}13,(0, 1),(2, 7),(1, 2),(2.5, 6.5);1y x =-----
()222,(0, 2),(2, ),(3,(0) 1)13x x y ⎧⎫=
⎨+⎩≥⎬⎭
14.已知点（1，1）在函数()221y k x =-的图象上，求k 的值及这个函数的关系 式，并画出这个函数的图象.
15.一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出
发，匀速相向而行，两车在途中相遇后都停留一段时间，然后分别按原速一同驶往甲地后停车．设慢
车行驶的时间为x 小时，两车之间的距离为y 千米，
图中折线表示y 与x 之间的函数图象，请根据图象
解决下列问题：
（1）甲乙两地之间的距离为______千米；
（2）求快车和慢车的速度．
16.某运输公司规定每名旅客行李托运费与所托运行李质量之间的关系式如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）由图象可知，行李质量只要不超过______kg，就可
以免费携带．如果超过了规定的质量，则每超过10kg，
要付费______元；
（2）某人的行李质量为40千克，那么他需交多少托运
费？
（3）某人交了90元的托运费，那么他的行李质量是多少千克？
17.一位农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他将土豆按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆的质量x（千克）与他手中持有的钱数y（元）（含备用零钱）的函数关系如图所示．结合图象回答下列问题：
(1)农民自带的零钱是多少元？
(2)求出降价前每千克的土豆价格是多少元？
(3)降价后他按每千克1.6元将剩余土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是89元，问他一共带了多少千克土豆？(即求图中x的值)。