EMup5第1章5

E内 r 2 0
S2

q内
0

π r l
2
0
O
R
r
[例] 巧克力碎屑的秘密 I 爆炸条件：电场的大小 3.0106 N/C。管道半 径为 R = 5.0 cm；体电荷密度 = -1.110-3 C/m3。 (1) 求管道中的电场大小；(2) 火花会出现吗？如果 会，在哪里？ 解： (1) Eint
q
l
O
q l 1 - 2 2 2 0 l R
解： Φ S圆 E dS S圆 E cosdS

R 0 R 0
q l 2πrdr 2 2 2 2 12 4π 0( r l ) (r l ) ql 2 d r 2 2 32 4 0( r l )
r 2 0
(2) Eint max
R = 3.1106 N/C 2 0
3.0106 N/C
·
F e S E d S 上 底 E d S 下 底 E d S 侧 面 E d S
高斯面上、下底面上各点场强与 底面平行，故上、下底无电通量 F e 侧 面 E d S 侧 面 E d S
0 E q e ˆ 2 r 4 π 0 r
(r R )
(r R)
r
对于 q < 0 的情况，场强的大小与 q > 0 的情况 一样，但球外场强的方向指向带电球面。
如何理解面内场强为 0 ? 过 P 点作圆锥 则在球面上截出两电荷元
dq1
P
dq2
dq1 dS1
dq2 dS2
E
q
0
2
0
与整个球面的电量都集中在球心时的场强相同
4 π 0 r
(r R)
方向沿径矢向外
当 r < R 时，高斯面为 S，应用高斯定理:
1 q内 S E dS
0
R S' E
S r
E 4 πr 0
2
P
E0
(r R )
所以均匀带电球面场强分布：
O
r2 O a
P
矢量求解的方法。
[例] 无限长的均匀带电直线，线密度 l，求场强。 解： 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量
r
E dS E dS E dS E 2πrl
S
侧面 两底面
P dE
利用高斯定理解出 E
[例] 求均匀带电球体的电场分布。设球体半径为R，球 体上所带总电量为 Q (Q > 0)。 解： 本例的电荷分布也具有球对称性，高斯面的选取与电 通量的计算均与上例相同，因此球外场强大小也为:
Q E 2 4 π 0 r
(r R)
方向沿径矢向外
与整个球体的电量都集中在球心时的场强相同。 当 r < R 时，高斯面为 S，应用高斯定理： S 1 1 2 R r q内 S E dS q内 E 4 πr
[例] 均匀带电大球 (+) 中挖一空腔，求空腔中的场强。
解：大球 + 场强 E1 r1 3 0 小球 - 场强 E2 r2 3 0 E E1 E2 r1 - r2 3 0 E a 3 0
注意
r1
E 2 π rh' 0
E0
(r R )
[例] 巧克力碎屑的秘密 I (The chocolate crumb mystery) 在有巧克力粉末流的聚氯乙烯管道的某 处，爆炸应满足条件：电场的大小变为 3.0 106 N/C 或更大，以至它能发生电击穿因 而打火花。假设带负电的巧克力碎屑粉末流 被吹过半径 R = 5.0 cm 的聚氯乙烯管道，粉 末及其电荷被均匀地以 = -1.110-3 C/m3 散布在管道中。(1)求管道中的电场大小； (2) 打火花会出现吗？如果会，在哪里？
dE dS
q
l r O
另解：以 q 为圆心，半径为 r
R2 l 2 作球面，则
q l
Φ圆 Φ冠 S冠 E dS E S冠 dS
r
R
q l 2πr( r - l ) 1 - 2 2 0 r 4π 0 r q
§1.3. 5 高斯定理应用举例 高斯定律的成立条件是普遍的，但为 1 q内 了用高斯定理求场强，问题本身必须 S E dS 具有良好的对称性，以便将高斯定理 0 中面积分下的 E 提到积分号外。 常见的电量分布的对称性： 均 匀 带 电 的 球对称 点电荷 球面 柱对称 直线 柱面 柱体 无 限 长 面对称 平面 平板 无 限 大
R DS
+q
-q
S1
S2
S3
3. 一点电荷 q 位于一半径为 R 的球心，则通过此
球八分之一球面的电通量是
。
课前思考——电通量
4. 有两个点电荷电量都是 +q，相距为 2a。今以左边的点电荷所在 处为球心，以 a 为半径作一球形高斯面，通过整个球面的电场强 度通量 Fs ＝ 。若在球面上取 S S1 q q 两块相等的小面积 S1 和 S2，其位置如 2 图所示，则通过 S1 和 S2 的电场强度通 a 2a X 量 F1 和 F2 的大小关系为 F1 F 2。
ll E 2πrl 0 0
q内
dS
l
l E 2 π 0 r
r
dS E
[例] 求无限长均匀带电圆柱面的电场分布。已知圆柱面 半径为 R，单位长度带电量为 l (l > 0)。 解： 由于电荷分布具有轴对称性， l R 可以确定电场分布也具有轴对 称性，即与圆柱面轴线等距离 S P E r 的各点的场强大小相等，方向 h 都垂直于圆柱面向外。设 P 是 空间任意一点，与圆柱面轴线 的距离为 r。通过 P 点以圆柱 面轴线为轴作柱面，高度为 h，再加上上下 底面形成闭合面作为高斯面。 当 r > R 时，高斯面为 S，应用高斯定理： F e S E d S 上 底 E d S 下 底 E d S 侧 面 E d S
0
Q 4 3 Qr 4 3 πr 3 q内 πr 4 3 3 3 R πR 3 Qr E ( r R ) 方向沿径矢向外 3 4 π R
3
0

S E
.P
r
[例] 均匀带电球体 [R，q()] 的场强。 解： 1. 球外场点，r R
q 2 E dS E 4πr
dq1 在 P 点场强
dS1 方向 dE1 d 如图 4π 0 r12 4π 0
dS2 方向 dq2 在 P 点场强 dE2 d 2 如图 4π 0 r2 4π 0
dE1 -dE2
高斯定理 (A) 适用于任何静电场。 (B) 只适用于真空中的静电场。 (C) 只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称
l
R
S h r
r P E
h l h 而 q内 l h ，所以 2 πrhE S 0 l E (r R) 方向垂直于圆柱面向外 2 π 0 r
E 侧 面 d S 2 π rhE
·
与整个圆柱面的电量都集中在轴线上的场强相同。 当 r < R 时，高斯面为 S，应用高斯定理：
[例] 求无限长均匀带电圆柱体 (R，) 的场强。 解： 1. r R，取高斯面 S1
E d S E d S E d S E d S S 侧 上底 下底 dS 1 0 E dS EdS E 2πrl 侧 P 2 r l q S2 l π R l 0 E 内 0 dS 2 R S E 1 外 dS 2 0 r E 2. r R，取高斯面 S2 E dS E 2πrl
性的静电场。
(D) 只适用于虽然不具有 (C) 中所述的对称性、但 可以找到合适的高斯面的静电场。
A
1 用高斯定理求场强的一般步骤： q内 S E dS
0
1. 根据电荷分布的对称性分析电场分布的对称性； 2. 选择适当的闭合积分曲面作为高斯面； 3. 分析高斯面的各部分上 E 的大小和方向以及 cos 的具体情况，将 S E d S 积出来； 4. 利用高斯定理，建立 E 和生场电荷的联系，并说 明 E 的方向； 5. 在有些问题中，闭合面内的净电荷也要用积分计 算。
S
0
q
2
E外
2. 球内场点， r R
4 π 0 r
e ˆr
E
r P S
14 3 2 q内 πr E dS E 4πr 0 0 3 S E内 r E内 r O 3 0 3 0
R
r
一个均匀带电球体，半径为 R ，设球体内 (r < R)的电场强度为 Ei，球体外(r > R)的 电场强度为 Ee，则有 (A) Ei、Ee 均与 r 成正比。 (B) Ei、Ee 均与 r2 成正比。 (C) Ei 与 r 成反比，Ee 与 r2 成正比。 (D) Ei 与 r 成正比，Ee 与 r2 成反比。 D
5. 一电场强度为 E 的均匀电场， E 的方
向与 X 轴正向平行，如图所示。则通 过图中一半径为 R 的半球面的电场强 度通量为 。
O
6. 若匀强电场的场强为E，其方向平行于
半径为 R 半球面的轴，如图所示。则 通过此半球面的电通量 Fe 为 。
O
E
X
R O
E
1. 静电场力 点电荷： (a) 库仑定律；(b) F q E 任意带电体：由点电荷受的电力 + 电力叠加原理 1 q0 q i (a) F Fi ； ˆ e r 0 i 2 i i 4 π 0 r 0i (b) F Q d F Q E d q 2. 电通量 (b) 高斯定理(闭合面) S E dS i qi内 0