2019年高二下学期期末测试 数学(文数)卷(含答案)

． 3（ - 2）3 ⎨ 高二年级期末测试数学（文科）一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 1．设全集U = {1,2,3},集合 A = {1,3},则 U A = ▲ ． 2．已知i 是虚数单位，则复数 2 + i 的实部为 ▲ ．i3．命题“ ∀x ∈ R , x 2 +1 > x ”的否定为 ▲ ．4. 已知幂函数 f (x ) 的图象过点(3,3 3)，则满足方程 f (x ) = 8 的 x 的值为 ▲．5. 函数 f (x ) = ln( 2 - x 2 ) 的定义域为 ▲ ．6. 若 x ∈ R ,则“ x > 3 ”是“ x 2 > 9 ”的 ▲ 条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填）7. 已知函数 f (x ) = ln x + x - 6 的零点 x 0 ∈(k , k +1)，则整数k 的值为 ▲ ．8．计算⎛ 8 ⎫- 23 + log+的结果为 ▲ ． 27 ⎪ 9⎝ ⎭⎧ 1 x 9．设函数 f (x ) = ⎪( 2)- 3,x ≤ 0，若f (m ) > f (-2) ，则实数m 的取值范围是 ▲ ．⎪⎩x 2 - 2,x > 0，10．定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (x + 3) = - f (x ) ，且 f (-1)=2019，则 f (2020) = ▲ ．1.函数 f (x ) 为 R 上的奇函数，若对任意的 x 1, x 2∈(0,+∞) 且x 1 ≠ x 2 ，都有 f (x 1 ) - f (x 2 ) > 0x 1 - x 2已知 f (2) = 0 ,则不等式 xf (x - 2) < 0 的解集为 ▲12. 如图，把数列{n }中的所有项按照从小到大，从左到右的顺序写成如图所示的数表，且第k 行有2k -1个数．若第 k 行从左边起的第 s 个数记为(k , s ) ，则 2019 这个数可记为 ▲ ． 3 16 17 18 …… 31 （第 12 题）1 2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 1513.已知点 A 在函数 y = 3x 的图象上，点 B ,C 在函数 y = 9 ⨯ 3x 的图象上，若∆ABC 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，且点 A ,C 的纵坐标相同，则点 B 的横坐标的值为 ▲ ．14.已知函数 f (x ) = ⎧⎪ x + 2 - 2，x ≤ -1，若函数 y = f (x ) - a + 1恰有 2 个零点，则实数a 的⎨⎪⎩x 3 - ax 2 + a , x > -1取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共 6 小题，第 15-17 题每小题 14 分，第 18-20 题每小题 16 分，共计90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分 14 分） 已知复数 z 1 = (m +1) + 2m i ,z 2 = 1+ i ，其中m ∈ R ,i 为虚数单位．（1） 若复数 z 1z 2 为纯虚数，求实数m 的值；（2） 在复平面内，若复数 z = z 1 + 2 z 2 对应的点在第四象限，求实数 m 的取值范围．16．（本题满分 14 分）已知 m ∈ R ， p ：1 < 2m < 8 ； q ：不等式 x 2 - mx + 4 ≥0 对任意实数 x 恒成立．（1） 若 q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2） 如果“ p ∨ q ”为真命题，且“ p ∧ q ”为假命题，求实数m 的取值范围．BDCA（第 17 题）17．（本题满分 14 分）如图，已知海岛 A 与海岸公路 BC 的距离 AB 为50 km ， B ,C 间的距离为 50km ，从 A 到C ，需先乘船至海岸公路 BC 上的登陆点 D ，船速为25 km/h ，再乘汽车至C ， 车速为50 km/h ,设∠BAD = θ .（1） 用θ 从海岛 A 到C 所用的时间 f (θ ) ，并指明θ 的取值范围； （2） 登陆点 D 应选在何处，能使从 A 到C 所用的时间最少？18．（本题满分 16 分）已知函数 f (x ) = 1 x 3 - x 2 + 3x - 1．3 3 （1）计算 f (0) + f (2) 、 f (-1) + f (3) 、 f ( 1 ) + f ⎛ 3 ⎫的值；⎪ 2 ⎝ 2 ⎭（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数 f (x ) 的一般结论，并证明这个结论；（3）若实数 x 0 满足 f ( f (x 0 )) = x 0 ，求证： f (x 0 ) = x 0 ．319．（本题满分16 分）1 -a ⋅ 2x2已知函数f (x) =1 +2x是R 上的奇函数（a为常数），g(x) =x - 2x +m ，m ∈R ．（1）求实数a 的值；（2）若对任意x1∈[-1,2]，总存在x2 ∈[0,3]，使得f (x1 ) =g(x2 ) 成立，求实数m 的取值范围；（3）若不等式 f ( ln t) +f ( ln t - 2) > 2 ln t - 2 成立，求正实数t 的取值范围．20．（本题满分16 分）已知函数 f (x) =a ln x（a ∈R）, g(x) =1x2- 4x ．2（1）若函数f (x) 的图象与直线y = 2x 相切，求实数a 的值；（2）设函数h(x) =f (x) +g(x) 在区间（1,3）内有两个极值点x1, x2 (x1 <x2 ).①求实数a 的取值范围；②若h(x1) -h(x2 ) ≤ m x1x2 恒成立，求实数m 的取值范围.数学（文科）答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{}2 2．1 3．x x R x ≤+∈∃1,2 4．2 5．)2,2(- 6．充分不必要 7．4 8．21 9． ),3()2,(+∞--∞Y 10．2019- 11．)4,2( 12． )996,11( 13．41log 314．,)223,1(3-． 二、解答题：本大题共14小题，每小题5分，共计90分．15．解：由i 1i 2)1(21+=++=z m m z ,得(1)21z z = (- m +1)+(3m +1)i …………………………3分 又21z z 为纯虚数，所以- m +1=0，且3m +1≠0所以m=1 …………………………7分（2）212z z z +==(m +3)+2m i ， …………………………10分又复数212z z z +=对应的点在第四象限所以m +3>0，且2m<0所以m 的取值范围是()0,3- …………………………14分16．解：(1) 由“不等式42+-mx x ≥0对任意实数x 恒成立” 为真 得0162≤-=∆m ，解得 – 4≤m ≤4故实数m 的取值范围为[]4,4- …………………4分 (2) 由“821<<m ”为真得m 的取值范围为0<m<3 …………………6分 由“q p ∨”为真，且“q p ∧”为假知q p ,一真一假 …………………8分 当p 真q 假时，有⎩⎨⎧>-<<<4430m m m 或，此时m 无解； …………………10分当p 假q 真时，有⎩⎨⎧≤≤-≥≤4430m m m 或，解得4304≤≤≤≤-m m 或； …………………12分综上所述，m 的取值范围为[][]4,30,4Y - …………………14分17.解：（1）在ABD Rt ∆中，,,50θ=∠=BAD AB Θ,tan 50,cos 50θθ==∴BD ADθtan 50350-=∴CD …………………………………2分()，θθθtan 3cos 25025-+=+=∴CD AD f即 ()θθθtan 3cos 2-+=f…………………………………4分 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈∴=∠∴=∠3,0,33tan πθπBAC BAC ，Θ （若写成开区间不扣分） ………………6分(2)()，3cos sin 2tan 3cos 2+-=-+=θθθθθf()()θθθθθθθ222cos 1sin 2cos sin sin 2cos )(-=----='f ……………………………8分 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈60πθ，时，()0<'θf ，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈36ππθ，时，()0>'θf ……………………10分 所以6πθ=时，)(θf 取最小值，即从海岛A 到C 的时间最少此时33506tan ==πAB BD …………………………12分答：（1）()，θθθtan 3cos 2-+=f ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,0πθ（2）登陆点D 与B 的距离为3350km 时，从海岛A 到C 的时间最少 …………14分18．（1）431643831)2()0(=-+-+-=+f f 431294989312341241)23()21(431999313131)3()1(=-+-+-+--=+=-+-+----=+-f f f f ． ………………………3分 （2）对任意实数x 都有4)2()(=-+x f x f ． ………………………5分证明：31)2(3)2()2(3131331)2()(2323--+---+-+-=-+x x x x x x x f x f326442)]2()2()[2(31222-+-+----+-+=x x x x x x x x32242)463(3222-++-+-=x x x x4=． ………………9分（3）由02)1(32)(22>+-=+-='x x x x f 知，)(x f 为R 上的单调增函数． ………………11分假设00)(x x f ≠，则00)(x x f >或00)(x x f <若00)(x x f >，由)(x f 为R 上的单调增函数知，000)())((x x f x f f >>； ………………13分若00)(x x f <，由)(x f 为R 上的单调增函数知，000)())((x x f x f f <<， ………………15分则00))((x x f f ≠，与条件00))((x x f f =矛盾，故假设不成立．原命题00)(x x f =成立． ………………16分 19.解：(1)因为)(x f 为R 上的奇函数所以0)0(=f ，即031=-a ，解得得1=a ………………………………2分当1=a 时，由)(12122121)(x f x f x x xx -=+-=+-=---得)(x f 为奇函数 所以1=a ………………………4分(2) 因为]3,0[2∈x ，且)(x g 在]1,0[上是减函数，在]3,1[上为增函数 所以)(x g 在[0，3]上的取值集合为]3,1[+-m m ………………………………6分由0)21(2ln 2)21(2ln 2)21()21(2ln 2)(212<+-=+⋅--+-='+x x x x x x x x f得f (x )是减函数，所以f (x )在[ - 1，2]上是减函数，所以f (x )在[ - 1，2]上的取值集合为[ - 35，13]. ………………………………8分 由“对任意[]2,11-∈x ，总存在[]3,02∈x ，使得)()(21x g x f =成立”得 f (x )在[ - 1，2]上的取值集合是g (x )在[0，3]上的取值集合的子集即[ - 35，13]]3,1[+-⊆m m则有m – 1≤- 35，且m+3≥13，解得：- 83≤m ≤25即实数m 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-52,38 …………………………10分 (3)记h (x )=f (x ) – x ，则h ′(x )=f ′(x ) –1<0所以h (x )是减函数 …………………………………12分 不等式2ln 2)2(ln )(ln ->-+t t f t f 等价于f (ln t ) – ln t> f (2 – ln t ) –(2 –ln t )即)ln 2()(ln t h t h -> ……………………………14分 因为h (x )是减函数 所以ln t<2 –ln t 解得0<t<e所以实数t 的取值范围是()e ，0． …………………………………16分20.解：(1)由2)(=='x a x f 得2ax = …………………………………2分所以切点为),2(a a，代入x a x f ln )(=即a aa =2ln，得e a 2= …………………………………4分 （2）x x x a x g x f x h 421ln )()()(2-+=+=xax x x x a x h +-=-+='44)(2 …………………………………6分①由题意知方程042=+-a x x 在）（3,1内有两个不等实根， 可得⎪⎩⎪⎨⎧>+->+->-=∆0123041041622a a a ，解得43<<a故实数a 的取值范围为()4,3 …………………………………8分②因为)()(21x h x h -≤21x x m 恒成立 所以2121)()(x x x h x h m -≥恒成立由 ①知a x x x x ==+2121,4 (43,21<<<a x x )当()()0,04,,221<'<+-∈x h a x x x x x 所以，则)(x h 在区间[]21,x x 上为单调减函数， 故)()(21x h x h > …………………………………10分21212221212121)(4)(21)ln (ln )()(x x x x x x x x a x x x h x h ---+-=- =212121222121))(()(21ln x x x x x x x x x x+---+=12212122ln x xx x x x +- …………………………………12分令t x x =21，由32121<<<<x x 得13121<<x x记)131(212ln )(<<+-=t t t t t g …………………………………14分因为02)1(21211)(222<--=--='t t t t t g 所以)(t g 在)1,31(上为减函数，所以)(t g 在)1,31(上的取值集合为)3ln 34,0(-因为2121)()(x x x h x h m -≥恒成立所以3ln 34-≥m故实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,3ln 34 …………………………………16分。