高中数学2-1、2-3映 射课件北师大版必修

3．一一映射 如果映射 f：A→B 满足：A 中每一个元素在 B 中都有 ________与之对应，A 中的________的像也不同，B 中的每一 个元素都有________．我们把这种映射叫一一映射，也叫一 一对应． 4．映射与函数 设 A，B 是两个________，f 是 A 到 B 的一个映射，那么 映射 f： A→B 就叫作 A 到 B 的________． 在函数中， ________ 的集合称为定义域，________的集合称为值域．
即 A 中每一个元素在 B 中都有唯一元素与之对应； (2)不是 A 到 B 的映射， 因为 A 中的元素 4 在 B 中没有元 素与之对应； (4)不是 A 到 B 的映射， 因为 A 中的元素 3 在 B 中有两个 元素与之对应．
[方法总结]
判定一个对应是否为映射，由定义这种对应
关系应是①多对一或一对一；②A 中元素都有像，B 中元素可 以无原像．
1．映射的概念 两个________集合 A 与 B 之间存在着对应关系 f， 而且对 于 A 中的________元素 x，B 中总有________的一个元素 y 与 它对应， 就称这种对应为从 A 到 B 的________， 记作________． 2．像与原像 给定一个从集合 A 到集合 B 的映射 f： A→B，A 中的元素 ________称为原像， B 中的________称为 x 的像， 记作 f： x→y.
f(a)＝0，f(b)＝1，f(c)＝1； f(a)＝－1，f(b)＝0，f(c)＝－1； f(a)＝0，f(b)＝－1，f(c)＝－1. ③当 A 中的三个元素对应 B 中三个元素时，有两个映射 f(a)＝－1，f(b)＝1，f(c)＝0； f(a)＝1，f(b)＝－1，f(c)＝0. 综上，满足条件的映射有 7 个．
判断下列对应是否是 A 到 B 的函数： 1 (1)A＝R，B＝R，f：x→y＝ ，x∈A，y∈B； x (2)A＝{x|x∈R}，B＝{y|y≥0，y∈R}， f：x→y＝x2，x∈A，y∈B； (3)A＝N，B＝N＋，f：x→y＝|x－5|，x∈A，y∈B.
[解析]
1 (1)当 x＝0 时，y＝ 不存在，所以 A 中元素 0 在 x
[方法总结] 对于这类根据函数概念、 映射概念判断是否 是函数、 是否是映射的题目， 我们要把握好定义中的“任何” 与“唯一”这两个因素，在不同的对应法则下，注意观察各 自的特点， 比如(2)中的 x＝0 在集合 B 中没有像， (3)中的集合 1 A 的元素 x＝0 和 x＝2，都对应于集合 B 中的同一个元素 . 4
映射特征的应用
[例 2] 已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列 A 到
B 的四个对应关系中，能否构成 A 到 B 的映射？说明理由．
[分析]
所谓映射，是指多对一、一对一的对应，且 A 中
元素无剩余，以此来判断既准确又迅速．
[解析] (1)、(3)是 A 到 B 的映射，都符合映射的定义，
[答案] A
[ 方法总结]
判断一个对应是否是映射要抓住定义中的
关键词语：“任何”“都有”“唯一”．在两个集合间能否 建立一个映射，集合中元素的个数并不重要．对于选项 A， 这里 M 中各个元素的像的集合是 P 的子集，即不要求 P 中每 个元素都有原像．
判断下列对应是否是从 A 到 B 的映射和一一映射？ (1)A＝R，B＝{x|x>0}，x∈A，f：x→|x|； (2)A＝N，B＝N＋，x∈A，f：x→|x－1|； (3)A＝{x|x≥2，x∈Z}，B＝{y|y≥0，y∈N}， f：x→y＝x2－2x＋2.
已知映射 f：A→B 中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，映 射 f：(x，y)→(3x－2y＋1,4x＋3y－1)． (1)求 A 中元素(－1,2)的像； (2)求 B 中元素(－1,2)的原像．
[解析]
(1)∵x＝－1，y＝2，
∴3x－2y＋1＝－6,4x＋3y－1＝1， ∴A 中元素(－1,2)的像为(－6,1)．
(1)求从 A 到 B 的映射的个数； (2)若从 A 到 B 的映射 f 满足 f(a)＋f(b)－f(c)＝0，则这样 的映射有多少个？ [分析] (1)由于 a，b，c 对应的像都是－1,0,1，无论哪个
元素都满足题意，所以 a，b，c 都有三种可能的对应． (2)首先要理解 f(a)，f(b)，f(c)的含义，它们是指 a，b，c 在集合 B 中的象，可先由条件 f(a)＋f(b)＝f(c)的分析入手，分 情况找出满足条件的映射．
映射 f：A→B
函数 y＝f(x)，x∈A，y∈B
集合 A， B 可为任何集合，函数的定义域和值域均为 如物、人、数等 非空的数集
对集合 A 中任一元素 a， 对函数的定义域中每一个 在集合 B 中都有唯一确 x，值域中都有唯一确定的 定的元素和它对应 值与之对应
对集合 B 中任一元素 b， 对值域中每一个函数值， 在 在集合 A 中不一定有元 定义域中都有确定的自变 素和 b 对应 量的值与之对应
3x－2y＋1＝－1 (2)由题意，得 4x＋3y－1＝2 x＝0 ，解得 y＝1
.
∴B 中元素(－1,2)的原像为(0,1).
映射与函数
[例 4]
已知集合 A＝{x|0≤x≤3}，B＝{y|0≤y≤1}．判
断下列对应是否是集合 A 到集合 B 的映射？是否是一一映 射？是否是函数？并说明理由． 1 (1)f：x→y＝3x； (2)f：x→y＝(x－2)2；
B 中无像，不能构成 A 到 B 的映射，从而也不能构成函数． (2)对 A 中的任何一个元素在 B 中均有元素与其对应，因 此能构成 A 到 B 的映射，又 A、B 都是数集，因而也能构成 A 到 B 的函数． (3)当 x＝5 时，0∉B，不能构成映射，也不能构成函数．
映射个数问题
[例 5] 已知集合 A＝{a，b，c}，B＝{－1,0,1}．
[解析]
(1)∵0∈A，在 f 作用下，0→|0|∉B，
∴不是映射． (2)∵1∈A，在 f 作用下，1→|1－1|＝0∉B， ∴不是映射． (3)对任意的 x∈A，依法则 f 有：x→y＝x2－2x＋2＝(x－ 1)2＋1. ∵x≥2，x∈Z，∴y≥2，y∈Z，即 y∈B，∴是映射． 而 0∈B，但在 A 中无原像(令(x－1)2＋1＝0 无整数解， ∴无原像)，∴不是一一映射.
[解析] 数为 27.
(1)因为 3×3×3＝27， 所以从 A 到 B 的映射的个
(2)①当 A 中三个元素都对应 0 时， f(a)＋f(b)＝0＋0＝0＝ f(c)，有一个映射． ②当 A 中三个元素对应 B 中两个元素时满足 f(a)＋f(b)＝ f(c)的映射有 4 个，它们分别是 f(a)＝1，f(b)＝0，f(c)＝1；
§1 §2
生活中的变量关系 对函数的进一步认识
学习方法指导
知能自主梳理 方法警示探究
思路方法技巧
探索延拓创新
课堂巩固训练
课后强化作业
知能目标解读
1．了解映射的概念，会判断一个对应是否为映射． 2．理解映射与函数的区别与联系．
重点难点点拨
重点：映射的概念与判定． 难点：映射与函数关系的理解．
Hale Waihona Puke 一、正确理解映射这个概念，应注意以下几点 (1)有两个集合 A，B，它们可以是数集，也可以是点集或 其它集合．这两个集合有先后次序，A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的． (2)集合 A，B 及对应关系 f 是确定的，是一个系统； (3)对应关系有“方向性”．即强调从集合 A 到集合 B 的 对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；
[答案]
1.非空 每一个
唯一的
映射
f：A→B
2．x 对应元素 y 3．唯一的像 4．非空数集 不同元素 原像 函数 原像 像
映射的判定
[例 1] 下列集合 M 到 P 的对应 f 是映射的是( )
A．M＝{－2,0,2}，P＝{－4,0,4}，f：M 中数的平方 B．M＝{0,1}，P＝{－1,0,1}，f：M 中数的平方根 C．M＝Z，P＝Q，f：M 中数的倒数 D．M＝R，P＝{x|x>0}，f：M 中数的平方 [分析] 判定一个对应 A→B 是否是映射，关键是看是否
1 (3)f：x→y＝4(x－1)2. [分析] 根据映射、一一映射、函数的定义依次判定．
[解析]
1 (1)因为 0≤x≤3，所以 0≤ x≤1，所以对集合 A 3
中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的像，所以对应 f： A→B 是集合 A 到集合 B 的映射． 由于集合 A 与集合 B 都为数集，所以是函数． 对于集合 B 中的每一个元素 y，由 x＝3y 及 0≤y≤1，有 0≤3y≤3,0≤x≤3.即集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有 原像，且这样的原像只有一个，所以对应 f：A→B 是一一映 射．
符合映射的定义，即集合 A 中的每一个元素在 B 中是否有像 且唯一，若不是映射只举一反例即可．
[解析]
选项 A， M 中每个元素的平方均在 P 中有像； 选
项 B，M 中 1 的平方根是± 1，即 1 有两个像，不符合映射定 义；选项 C，M 中 0 没有像，不符合映射定义；选项 D，M 中 0 的平方是 0，但 0∉P.选 A.
[方法总结]
对于两个集合间映射个数的问题， 常见的题
目有两类，一类是给定两个集合 A，B，问由 A→B 可建立的 映射的个数． 这类问题与 A， B 中元素的个数有关系． 一般地， 若 A 中有 m 个元素，B 中有 n 个元素，则从 A→B 共有 nm 个 不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定．解决这类 问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的 思想方法来解决．