2020高考数学专题复习大题规范练二文83

大题规范练(二)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本题满分12分)设公差不为零的等差数列{a n }的前5项和为55，且a 2，a 6＋a 7，a 4－9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1（a n －6）（a n －4），数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜12
. 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝55，（a 1＋5d ＋a 1＋6d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋3d －9）
⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝0(舍去)． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝7＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋5.
(2)证明：由a n ＝2n ＋5，得
b n ＝1（a n －6）（a n －4）＝1（2n －1）（2n ＋1）
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1. 所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋ ⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＜12
. 2．(本题满分12分)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x (单位：盒，100≤x ≤200)表示这个开学季内的市场需求量，y (单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润．
(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数；
(2)将y 表示为x 的函数；
(3)根据直方图估计利润y 不少于4 000元的概率．
解：(1)由频率分布直方图得，这个开学季内市场需求量x 的众数是150盒， 需求量在[100，120)内的频率为0.005 0×20＝0.1，
需求量在[120，140)内的频率为0.010 0×20＝0.2，
需求量在[140，160)内的频率为0.015 0×20＝0.3，
需求量在[160，180)内的频率为0.012 5×20＝0.25，
需求量在[180，200]内的频率为0.007 5×20＝0.15.
则平均数x ＝110×0.1＋130×0.2＋150×0.3＋170×0.25＋190×0.15＝153(盒)．
(2)因为每售出1盒该产品获得利润30元，未售出的产品，每盒亏损10元， 所以当100≤x ＜160时，y ＝30x －10×(160－x )＝40x －1 600，
当160≤x ≤200时，y ＝160×30＝4 800，
所以y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧40x －1 600，100≤x ＜160，4 800，160≤x ≤200. (3)因为利润y 不少于4 000元，所以当100≤x ＜160时，由40x －1 600≥4 000，解得160＞x ≥140.
当160≤x ≤200时，y ＝4 800＞4 000恒成立，所以200≥x ≥140时，利润y 不少于4 000元．
所以由(1)知利润y 不少于4 000元的概率P ＝1－0.1－0.2＝0.7.
3．(本题满分12分)如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，E 为AC 与BD 的交点，PA ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点，N 为BC 中点，连接MN .
(1)证明：直线MN ∥平面PCD ；
(2)若点Q 为PC 中点，∠BAD ＝120°，PA ＝3，AB ＝1，求三棱锥A ­QCD 的体积．
解：(1)取PD 中点R ，连接MR ，RC (图略)，∵MR ∥AD ，NC ∥AD ，MR ＝12AD ，NC ＝12
AD ，∴MR ∥NC ，MR ＝NC ，
∴四边形MNCR 为平行四边形，
∴MN ∥RC ，又RC ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，
∴直线MN ∥平面PCD .。