最新时间序列 第三章 ARMA模型的特性
第三章 ARMA模型的特性
λ1 〈1，λ2 〈1
（2）用自回归系数表示： ）用自回归系数表示：
ϕ 2 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
3.ARMA(2,m)的平稳性 的平稳性
ϕ 2 〈1 〈1 ϕ 2 ± ϕ 1 〈1
4.ARMA(p,q)的平稳性 的平稳性 P阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 阶自回归系数多项式的根都在单位圆外 平稳性完全由其自回归部分决定
1.MA(1)
θ1 < 1
2.MA(q)模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是： 模型的可逆条件是
MA(q)模型的特征根都在单位圆内 模型的特征根都在单位圆内
λi < 1
必要条件： 必要条件：
θ1 + θ 2 + L + θ q < 1
考察如下MA模型的可逆性 例3.6续:考察如下 续 考察如下 模型的可逆性 (1) xt = ε t − 2ε t −1 (2) xt = ε t − 0.5ε t −1 4 16 (3) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 5 25 5 25 (4) xt = ε t − ε t −1 + ε t − 2 4 16
∑ϕ
j=0
∞
j 1
at− j =
∑G
j=0
∞
j
at− j
3.AR(1)的滞后算子表达式 的滞后算子表达式源自at Xt = 1 − ϕ1B
4.AR(p)的Green函数递推公式 的 函数递推公式
原理 方法
Φ ( B ) xt = at ⇒ Φ ( B )G ( B )at = at xt = G ( B )at
ARMA模型解析
k H 1 : 存在某个 ，使 kk 0 ，且 pkMp pM
统计量 2 N
2
2
kk M
M kp1
2 M
(
)
表示自由度为
的 2 分布 的上侧 分位数点
对于给定的显著性水平 0 ，若 2 M 2 ()，则认为
样本不是来自AR（ p ）模型 ； 2 M 2 ()，可认为 样本来自AR（ p ）模型 。
三、模型的识别与建立
在需要对一个时间序列运用B-J方法建模时，应运用序列的 自相关与偏自相关对序列适合的模型类型进行识别，确定适
宜的阶数 d,D, p,q 以及 P , Q （消除季节趋势性后的平稳序列）
1、自相关函数与偏自相关函数
（1）MA（ q ）的自相关与偏自相关函数
自协方差函数
k k1112k1qq2kq2,2,
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X
：
t
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性
函数，即可表示为 X t 1 X t 1 2 X t 2 p X t p u t【1】
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2, ,p称为自回归系数，是待估参数. 随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
只能借助于统计手段进行检验和判定。
2021/10/10
16
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
（1） k 的截尾性判断
对于每一个 q ，计算 q1, ,qM （
左右），考察其中满足
M 一般取 N
|k |
1 N
q
02 2 l2
时间序列中的ARMA模型
c u=
1 (1 2 ... p)
旳无条
7
ARIMA模型旳概念
Yt-u=1(Yt-1-u)+ 2(Yt-2-u)+...+p(Yt-p-u)+vt
0=1 1+ 2 2+...+p p+ 2 1=1 0+ 2 1+...+ p p-1
……
p=1 p-1+ 2 p-2+...+ p 0
(1
2
1
1≤j≤22q ... q2 )
0 j>q
j>q时，ACF(j)=0，此现象为截尾，是MA(q)过程旳一种特征
如下图：
18
ARMA模型旳辨认
MA（2）过程
yt =0.5ut-1 0.3ut2 ut
19
ARMA模型旳辨认
⑵ AR(p)过程旳偏自有关函数
j p 时，偏自有关函数旳取值不为0 j>q 时，偏自有关函数旳取值为0 AR(p)过程旳偏自有关函数p阶截尾 如下图：
32
ARMA模型旳预测
二. 基于MA过程旳预测
过程 结论：
MA (2) 过程仅有2期旳记忆力
33
ARMA模型旳预测
三. 基于ARMA过程旳预测
结合对AR过程和MA过程进行预测 ARMA模型一般用于短期预测
34
五、实例：ARMA模型在金融数 据中旳应用
数据： 1991年1月到2023年1月旳我国货币供
3
ARIMA模型旳概念
2.MA（q）过程旳特征
1. E(Yt)=u
2.
var(Yt)
(1
2
第3-2章_平稳时间序列分析-ARMA模型
所以，平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为
1 2 2 0 (1 )(1 )(1 ) 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 k 1 k 1 2 k 2，k 2
例3.1:考察如下四个模型的平稳性
(1) xt 0.8xt 1 t
(2) xt 1.1xt 1 t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
例3.1平稳序列时序图
(1) xt 0.8xt 1 t
1 2 p 1
(2)由于
i (i 1,, p) 可正可负，AR(p)模型
1 2 p 1
稳定的充分条件是：
例3.1平稳性判别 模 型
(1)
(2) (3) (4)
1
特征根判别
1 0.8
1 1.1
1 i 2
平稳域判别
结 论
（一）AR模型定义
具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模型，简 记为 AR( p)
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t p 0 2 E ( t ) 0，Var( t ) , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t
(3) xt xt 1 0.5xt 2 t
例3.1非平稳序列时序图
(2) xt 1.1xt 1 t
(4) xt xt 1 0.5xt 1 t
从时序图上可以看出，（1）（3）模型平稳， （2）（4）模型非平稳。
（三）AR模型平稳性常用判别方法 特征根判别 AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根 都在单位圆内。
时间序列分析和ARMA模型建模研究
时间序列分析和ARMA模型建模研究一、引言时间序列是一种基本的统计数据类型，它记录了随时间变化的某个现象的数值，如股票价格、气温、销售额等等。
时间序列分析是一种用来探测和预测时间序列中趋势、季节性和周期性等特征的统计方法。
ARMA模型是时间序列分析中最常用的模型之一，它将时间序列视为由自相关（AR）和移动平均（MA）两个过程混合而成的结果，可以对其进行预测和建模分析。
本文旨在介绍时间序列分析和ARMA模型建模的基本理论，包括数据分析方法、模型拟合和预测等相关内容。
二、时间序列分析1、基本概念时间序列指在时间轴上每个时刻所对应的变量值的序列，它是由许多个观察值构成的。
一个时间序列通常可以用以下公式来表示：Yt = f (t, εt)其中，Yt表示时间t时刻的变量值，f表示一个关于t和随机误差项εt的函数。
时间序列可以分为平稳和非平稳两类。
2、样本自相关函数与偏自相关函数在时间序列分析中，自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）都是非常重要的概念，它们用于刻画序列内部的相关性。
ACF是一个时间序列与其滞后版本之间的相关性度量，而PACF则是在除去其它所有的滞后版本影响下，一个时间序列与其滞后版本之间关系的度量。
3、时间序列模式的识别对于时间序列分析来说，关键任务之一就是识别出序列的模式。
模式可以分为三种：趋势、季节性和周期性。
趋势模式是指序列中长期变化的基本趋势，被认为是序列的“平滑”或“漂移”的程度。
季节性模式是指序列随时间变化的基本周期规律。
周期性模式是连续时间周期性变化的随机性模式。
三、ARMA模型建模1、ARMA模型的概念ARMA模型是时间序列中最常用的模型之一，它表示为自回归（AR）和移动平均（MA）过程的线性组合。
ARMA模型的一般表达式为：Yt = μ + εt + ΣφiYt-i + Σθjεt-j其中，μ是常数项，εt是序列的随机误差项，φi和θj是AR和MA的参数。
2、模型拟合方法在建立ARMA模型时，目标是最小化模型拟合误差。
ARMA模型介绍
➢ 如果Yt一 个Yt时1 间序1Y列t1有 .一.. 个 p单1位Yt根 p，1 那ut 么在回归模
型中可以仅包括Y。
共同学习，重在交流
➢ 一般形式的MA(q)M模型A可(q以)表模示型为
➢ 上述模Y型t 为uqt 阶移1u动t1平均2模ut型2 qutq
➢ MA(q)模型也不存在非平稳问题。
➢ 调整可决系数、AIC和SC准则都是模型选 择的重要标准。
共同学习，重在交流
➢ 赤池信息准A则IC：准AIC则=-和2L/Sn+C2k准/n，则其中L是
对数似然值，n是观测值数目，k是被估计 的参数个数。AIC准则要求其取值越小越好。 ➢ 施瓦茨准则：SC=-2L/n-klnn/n，使用时也 要求SC值越小越好。
共同学习，重在交流
➢ 如果自时间回序归列Y移t是它动的平当期均和模前期型的(随A机R误M差A项) 以及前期值的线性函数，即可表示为：
➢ Y则t 称该1Yt序1 列为2Yt（2 p,.q..） 阶pY自t 回p 归ut移动1u平t1均模型。qu记tq
为ARMA（p,q）
共同学习，重在交流
随机时间序列分析模型的识别
共同学习，重在交流
模型的识别
➢ AR（p）模型的识别。若序列的偏自相关函数在p以 后截尾，而且自相关系数是拖尾的，则此序列是自回 归AR（p）序列。
➢ MA（q）模型的识别。若序列的自相关函数在q以后 截尾，而且偏自相关系数是拖尾的，则此序列是移动 平均MA（q）序列。
➢ ARMA（p,q）模型的识别。若序列的自相关函数和 偏自相关系数都是拖尾的，则此序列是自回归移动平 均ARMA（p,q）序列。至于模型中p和q的识别，则 要从低阶开始逐步试探，直到定出合适的模型为止。
《应用时间序列分析》课程教学大纲
《应用时间序列分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：应用时间序列分析英文名称：Applied Time Series Analysis课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象: 统计学、应用统计学、数据科学与大数据技术专业本科生考核方式：考试先修课程：数学分析、高等代数、概率论、数理统计二、课程简介时间序列分析是统计学科的一个重要分支，它主要研究随着时间的变化，事物发生、发展的过程，寻找事物发展变化的规律，并预测未来的走势。
在日常生产生活中，时间序列比比皆是，目前时间序列分析方法广泛地应用于经济、金融、天文、气象、海洋、物理、化学、医学、质量控制等诸多领域，成为众多行业经常使用的统计方法。
作为数理统计学的一个分支，时间序列分析遵循数理统计学的基本原理，但由于时间的不可重复性，使得我们在任意一个时刻只能获得唯一的序列观察值，这种特殊性的数据结构导致时间序列分析又存在其非常特殊，自成的一套分析方法。
应用时间序列分析根据时序分析方法对各种社会、金融等现象进行认识分析，并使用时间序列分析的相关软件，具有较强的应用性和可操作性。
本课程主要介绍时间序列分析的基本理论和方法，包括AR 模型，MA 模型，ARMA 模型，单位根检验法，平稳序列的模型识别方法、模型检验、优化、预测，非平稳时序模型，无季节效应的非平稳序列分析，有季节效应的非平稳序列分析，包括因素分解理论、指数平滑预测模型等时间序列分析理论和方法。
其次，R语言不仅是一款统计软件，还是一个可以进行交互式数据分析和探索的强大平台，金融、经济、医疗、数据挖掘等诸多领域都基于R研发它们的分析方法。
在这个平台上，时间序列分析方法可以非常便捷地嵌入其他领域的研究中，成为各行业实务分析的基础方法。
最重要的一点是，由于R语言的开放性和资源共享性，它可以汇集全球R用户的智慧和创造力，以惊人的速度发展。
在R平台上，新方法的更新速度是以周为单位计算的，这是传统统计软件所无法比拟的。
ARMA模型
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
1、自回归【 AR 】模型
自回归序列 X t：
如果时间序列 X t 是它的前期值和随机项的线性 函数，即可表示为
X t 1 X t1 2 X t2 p X t p ut 【1】
记 Bk 为 k 步滞后算子，即 Bk X t X tk ，则
模型【1】可表示为
Xt 1BXt 2B2 Xt pBp Xt ut
令 (B) 11B 2B2 pBp，模型可简写为
(B) X t ut
【2】
AR（ p ）过程平稳的条件是滞后多项式 (B)
的根均在单位圆外，即 (B) 0 的根大于1
【1】式称为 p 阶自回归模型，记为AR（ p ）
注1：实参数 1,2 , , p 称为自回归系数，是待估参数.
随机项 ut 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为0、
方差为 2 的正态分布.随机项与滞后变量不相关。
注2：一般假定 X t
均值为0，否则令
X
t
Xt
1 时间序列分析模型【ARMA模型 】简介
在实际中，常见的时间序列多具有某种趋势，但很多序 列通过差分可以平稳
判断时间序列的趋势是否消除，只需考察经过差分后序 列的自相关系数
（3）季节性 时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，序列
重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空调销售额 等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个月；
2 q
2,
qkq 2 ,
0,
Dut 2 是白噪声序列的方差
k 0 1 k q
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三、格林函数与AR（n）系统的平稳性
平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱， 直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林 函数的表示形式，
X t G jat j j0
如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权
数 Gj 0
•对于AR(1)系统G j
0
即
j 1
0
这要求
1
1
上述条件等价于AR(1)系统的特征方程 1 0 的根在单位圆内(或方程(B) 0 的根在单位圆外).
AR(1)的结论可以推广到AR(n)
•AR（n）系统的平稳性条件：
AR（n）模型，即 (B)Xt at
其中：
( B ) 1 1 B 2 B 2 n B n
的平稳性条件为： (B) 0 的根在单位圆外
（或 () n 1 n 1 2 n 2 n 0
的根在单位圆内）。
......
t
1 a
t
1
2 1
a
t
...
即：
X t 1j at j
j0
则AR(1)模型的格林函数
G
j
j 1
例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对
a t 扰动的记忆情况 。（演示试验）
比较前后三个不同参数的图，可以看出： • 取正值时，响应波动较平坦。 • 取负值时，响应波动较大。 • 越大，系统响应回到均衡位置的速度越慢，时 间越长。
满足 V k 1
• ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系
在格林函数的表达式中，用 I j 代替 G j ， 代替 ，
代替 ，即可得到相对应的逆函数。
第四节 自相关函数与偏自相关函数
一、自相关函数
• 理论自协方差函数和自相关函数 对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数
由于1,2 是实数， 1, 2 必同为实数或共轭复数，由于 i 1(i 1, 2) ，因此
2 1 11 11 2 1
故 AR（2）模型的平稳域为
2 1 2 1 1 2 1 1
图示如右图 几个例题
•ARMA模型格林函数的通用解法
ARMA(n,m)模型(B)Xt (B)at
且
Xt G(B)at
则 (B)G(B)(B)
（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）
例：求 AR（2）模型的平稳域
解：特征方程 () 2 1 2 0 的根
1 1
12
2
42
， 2
1
12 42
2
12 2 ， 1 2 1
根据 AR 模型的平稳性的条件 i 1(i 1, 2)
2 12 1
1 2 1 2 12 1 1 1 1 2 2 1 12 (1 2) 11 1 1 2
第三节 逆函数和可逆性（Invertibility）
一、逆函数的定义
设 X t 是零均值平稳序列，如果白噪声序列 a t
能够表示为 at Xt Ij Xtj j1
则称上式为平稳序列 X t 可逆。
式中的加权系数 Ij j1,2,...称为逆函数。
二、ARMA模型的逆函数
• ARMA（n,m）模型逆函数通用解法 对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数
l0
k0
比较上式两边B的同次幂的系数，得到
j
*j
I* k lk
k 0
j
即 Ij *j k*Ijk,j1,2,...
k1
由此 I j 可从 j 1 开始推算出。
对于MA（m）模型的可逆性讨论与AR（n）模型平稳 性的讨论是类似的，即：
MA（m）模型的可逆性条件为其特征方程
V m 1 V m 1 2 V m 2 ...m 0 的特征根V k
k EXtXtk
• 样本自自相相关关函函数数的k 计 算 k0
在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限 样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自 协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：
ˆk*N 1 kt N k 1X tX tk,k0,1 ,2,...,N1
ˆk N 1tN k1XtXtk,k0,1,2,...,N1
求解方法相同。
令
I(B)1 IjXtj,I01
j1
则平稳序列 X t 的逆转形式 at Xt Ij Xt可j 表示为 j1
at I(B)Xt
由ARMA(n,m)模型 (B)Xt (B)a可t 得
(B)(B)I(B)
仍由先前定义的
* j
和
，* 则上式可化为 l
*jBjl*BlIkBk
j0
(1)
j0
则称上式为平稳序列 X t 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为格林（Green）函数，其中 G 0 1 .
•格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度 的函数。
（1）式可以记为 Xt GBat
其中
GB GjBj j0
式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前
的白噪声通过系统“G
令
*j
j
0,
,
0 j n j n
l* 0l,,
0l m l m
则 (B)G(B)(B)化为
*jBjGkBkl*Bl
j0
k0
l0
比较等式两边B的同次幂的系数，可得
l
G * j lj
l*,l
1,2,3,...
j0
由上式，格林函数可从 l 1 开始依次递推算出。
例：求AR(2,1)系统的格林函数。
Hale Waihona Puke BGjBj
”的作用而生成G，j
是j个
单位时间以前加入系统的干j扰0 项a t j 对现实响应的权，亦
即系统对a t j 的“记忆”。
二、AR（1）系统的格林函数
由AR（1）模型
X t 1 X t 1 at X t 1 X t 1 a t
1 (1 X t 2 a t 1) a t
时间序列 第三章 ARMA模型的特性
后移算子的性质:
(1) 常数的后移算子为常数： Bc c (2) 分配律： (Bm Bn ) Xt Bm Xt Bn Xt Xtm Xtn
(3) 结合律： BmBn X t Bm (Bn X t ) Bm X tn X tmn
(4) 后移算子 B 的逆为前移算子 B1Xt Xt1
(5)
对于
1，无限求和得 (1B 2B2
3B3
...)Xt
Xt 1B
第二节 格林函数(Green’s function)和平稳性 (Stationarity)
一、格林函数(Green’s function)
• 定义：设零均值平稳序 {Xt,t0,1,2,...} 能够表示为
列
Xt Gjatj