c第三章平稳时间序列模型的特性
时间序列模型的特征讲义
时间序列模型的特征讲义时间序列模型特征讲义1. 数据的趋势性特征：时间序列模型通常需要分析数据的趋势性，即数据是否存在明显的上升或下降趋势。
有三种常见的数据趋势性特征：a. 上升趋势：数据随时间逐渐增加。
b. 下降趋势：数据随时间逐渐减少。
c. 平稳趋势：数据在长期内保持相对稳定，没有明显的上升或下降趋势。
2. 数据的季节性特征：某些数据在特定的时间段内会有重复的模式出现，这种特征被称为季节性特征。
常见的季节性特征包括：a. 季节性上升：数据在特定时间段内逐渐增加。
b. 季节性下降：数据在特定时间段内逐渐减少。
c. 季节性波动：数据在特定时间段内上升和下降交替出现。
3. 数据的周期性特征：周期性特征是指数据在一定时间间隔内出现循环模式的情况。
与季节性特征不同，周期性特征在更长的时间尺度上存在。
常见的周期性特征包括：a. 周期性上升：数据在一定时间间隔内逐渐增加。
b. 周期性下降：数据在一定时间间隔内逐渐减少。
c. 周期性波动：数据在一定时间间隔内上升和下降交替出现。
4. 数据的随机性特征：除了趋势性、季节性和周期性特征外，数据可能还包含随机性特征。
随机性特征表示数据在某一时间点的取值不受前一时间点的取值影响，具有随机性。
随机性特征使得时间序列模型无法准确预测未来的取值，需要通过其他方法进行处理。
5. 数据的自相关性特征：自相关性特征描述了数据点与其过去时间点的相关性。
自相关性越高，当前数据点与其过去时间点的关系越密切，可以通过自相关函数（ACF）进行衡量。
自相关性特征在时间序列模型中通常用于选择合适的滞后阶数（lag order）。
6. 数据的季节性相关性特征：季节性相关性特征描述了数据点与其过去季节性时间点的相关性。
季节性相关性越高，当前数据点与其过去季节性时间点的关系越密切，可以通过季节性自相关函数（SACF）进行衡量。
季节性相关性特征在时间序列模型中也用于选择合适的滞后阶数。
7. 数据的外部因素特征：在时间序列模型中，还需要考虑可能影响数据变动的外部因素。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
c平稳时间序列模型的特性
第一节 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解旳一般形式
任何一种ARMA模型都是一种线性差分方程。所以，ARMA模 型旳性往往取决于差分方程程根旳性质。线性定常离散时间系 统旳主要数学工具是常系数差分方程 :
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k) u(k)
(3.1.1)
这就是ARMA(2，1)系统旳平稳性条件，即
1 1,
2 1
也就是，特征方程旳特征根旳模在单位圆内。
对于ARMA(n,n-1)模型，类似地有
i 1, i 1,2,, n
29
2.用自回归系数表达旳平稳性条件： ARMA(2，1)系统旳平稳性条件旳系统参数形式为：
12
2 1
1 1
2
1
这阐明系统旳平稳性仅与自回参数有关，而与移动平均参数无
2j
AR(2)系统动态性旳格林函数，即
Gj
1 1 2
1j
2 2 1
2j
1 1 2
(1j1
j1 2
)
ARMA(1，1)系统旳格林函数为：
G
j
1 1 1 0
1j
0 1 0 1
0
j
1, j (1
0 1)1j1,
j 1
27
5.ARMA(n,n-1)系统旳格林函数
比较AR(1)和ARMA(2，1)能够发觉，动态性增长，是经过 把一种带有合适系数旳项 2j 加到AR(1)系统旳格林函数之上实 现旳，那么，与此相类似，ARMA(n,n-1)系统旳格林函数则为
j
序列中旳数据依存关系。
(4) 格林函数所描述旳动态性完全取决于系统参数.
11
三、根据格林函数形成系统响应(时间序列)
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
第3章 线性平稳时间序列分析
延迟算子
定义：设B为一步延迟算子，如果当前序列乘
以一个延迟算子，就表示把当前序列值的时间
向过去拨一个时刻，即 BXt=Xt-1。
性质： B0 1
B(c
X
t
)
c
B(
X
t
)
c
X
t
1,
c为任意常数
B(
X
t
Yt )
X t1
Yt1
(1
B)n
n
(1)i Cni Bi
B
n
X
t
i0
X t n
线性差分方程
EXt
常数方差：
var Xt var t 1t1
q t q
1 12
2 2
q2
2 a
【注】MA(q)模型一定为平稳模型。
MA(q)模型的可逆性
可逆MA模型定义
若一个MA模型能够表示成无穷阶的自回归模型， 则称该MA模型称为可逆的。
例：（1）X t t 2t1 （2）X t t 0.5t1
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解
zt a1zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
非齐次线性差分方程的通解 zt
齐 方
次 程
线性差
的特z解t
分
方程的 之和
通
解zt
和非齐次线性差分
zt zt zt
一阶差分方程
P33
yt yt1 t
（1）Xt 1 2Bt （2）Xt 1 0.5Bt
（1）t 1/ 1 2B Xt
（2）t 1/ 1 0.5B Xt 0.5Bn Xt 0.5n Xtn
平稳时间序列模型及其特征
第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（2.1.1）常记作AR(1)。
其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（2.1.2）为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B 为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。
利用这些记号，（2.1.2）式可化为：X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt (2.1.3) 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q (2.1.4) 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列X t称为滑动平均序列。
第三章线性平稳时间序列模型
可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依 模型中， 时刻值依赖于两部分， 可见 模型中 时刻值依赖于两部分 赖于它的前一期的值x 另一部分是依赖于与x 赖于它的前一期的值 t-1；另一部分是依赖于与 t-1不相关 的部分ε 的部分 t 可将AR(1)模型写成另一种形式： 模型写成另一种形式： 可将 模型写成另一种形式
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 +L+ ϕ p xt − p + εt
其中： (1) p ≠ 0 (2) εt是白噪声序列 (3) Exsε t = 0, ∀s < t
E (ε t ) = 0，Var (ε t ) = σ ε2 , E (ε t ε s ) = 0, s ≠ t
那么我们就说xt遵循一个p阶自回归或AR(p)随机过程。
例如： ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之 转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。 ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。 ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。 ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。 对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下 ϕ (B )(1 − B) d xt = θ ( B)ε t 其中： ϕ (B ) = 1 − ϕ 1 B − ϕ 2 B 2 − L − ϕ p B p
(二).二阶自回归模型，AR(2)
1.设{xt}为零均值的随机序列，如果关于xt的合适模型为： 其中：
xt = ϕ1xt −1 + ϕ2 xt −2 + εt
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
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于这一思想是由Wold引入(1938年)到时序分析中的，故叫做
Wold分解。他认为可以用线性空间来解释ARMA模型的解。
如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解
Xt
G
j
at
由于
j
at j 是相互独立的，可看作线性空间的基 a j (或无限j0维坐标轴)，
显然 X t 可由at j 线性表示，其系数 G j 就是 X t 对于 at j 的坐标，
把一个带有适当系数的项
j 2
加到AR(1)系统的格林函数之上实
现的，那么，与此相类似，ARMA(n,n-1)系统的格林函数则为
G j g12j g22j gnnj
gj
(i
(in1 1in2 L n1) 1)(i 2 )(i i1)(i i1)L
(i
n )
28
七、ARMA(2，1)系统的平稳性 1.用特征根表示的平稳性条件
X t 13 X t3 12at2 1at1 at
…………
8
依次推下去，并代入(3.1.4)式，可得到：
X t 1j at j j0
将(3.1.5)代入(3.1.4)式，得
(3.1.5)
1j at j 1(
a j1 1 t
j
)
at
j0
j 1
方程的解(3.1.5)式是驱动函数 at 的一个线性组合，方程解的系数 函数 1j客观地描述了该系统的动态性，故这个系数函数就叫做记
2
第ห้องสมุดไป่ตู้节 格林函数和平稳性
一、线性常系数差分方程及其解的一般形式
任何一个ARMA模型都是一个线性差分方程。因此，ARMA模 型的性往往取决于差分方程程根的性质。线性定常离散时间系 统的主要数学工具是常系数差分方程 :
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k) u(k)
(3.1.1)
7
二、AR(1)系统的格林函数
格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为
X t 1 X t1 at
由于在动态条件下，
（3.1.4）
X t1 1 X t2 at1 X t 1 (1 X t2 at1 ) at 12 X t2 1at1 at X t2 1 X t3 at2
林函数来说，就是随着j→∞，扰动的权数G j 0,由于 Gk 1j
故必有 j ,1j 0 ,显然，
1 1
这就是AR(1)系统的渐近稳定条件，也就是平稳性条件。
18
五、格林函数与Wold分解
所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过
程分解成不相关的随机变量的和.正交和不相关是一致的。由
at 1at1 2at2 a n1 tn1 u(t)
(3.1.2)
那么，如何求解差分方程呢?与微分方程一样，先求相应的齐
次方程的通解，然后求一个原方程的特解，原方程的解等于 通解与特解的线性组合。
4
首先设 Y (k) k ,则(3.1.2)的特征方程为
kn an1 kn 1 a0k 0
16
四、AR(1)系统的平稳性 1.系统稳定性与非稳定性 渐近稳定性是指系统受扰后达到任意初始状态，由此出发
的状态向量都随时间的增长而趋于平衡状态。渐近稳定系统一 定是平稳的。而系统的不稳定性则是指，如果系统受扰后达到 任意初始状态，由此出发的状态向量将随时间而趋向无穷。不 稳定系统一定是非平稳的。
G j 1G j1 2G j2, j 3
21
将上式变形得 G j 1G j1 2G j2 0
利用B算子式得 (1 1B 2 B2 )G j 0, j 2
这样,在已知系统参数的情况j 下，我们便可递推地计算出所有的 G j 。当 j 充分大时，格林函数G j 满足(3.1.11)式自回归部分相应 的差分方程。
Gj
1
11 2
1j
21 2 1
2j
25
例如，1 1.3，2 0.4，1 0.4,用显式求格林函数。 解：求特征根，即求 2 1.3 0.4 0 的根
1, 2
1 (1.3 2
1.69 1.6)
1 (1.3 0.3) 2
即
1 0.8, 2 0.5
于是，格林函数为
Gj
0.8 0.4 0.8 j 0.8 0.5
对于ARMA(2，1)
G j g11j g22j
显然，只有当 1 1, 2 1时，才能使得 j 时,Gj 0
这就是ARMA(2，1)系统的平稳性条件，即
1 1, 2 1 也就是，特征方程的特征根的模在单位圆内。
对于ARMA(n,n-1)模型，类似地有
i 1, i 1,2, , n
5
例3.1 y(k 1) ay(k) b 显然是一个一阶非齐次差分方程。 解：求相应的齐次差分方程的通解，设 y(k) k ,则有
k1 ak 0, a
∴ y(k) ak 是相应的齐次方程的通解。 下面求特解，设 y(k) 常数 d，则
d ad b,
d b 1 a
故原方程的通解为
上式是普通的n阶差分方程，其中 a0 , , an1 为系统参数的函数，
当其为常数时,就是常系数n阶差分方程，u(k) 是个离散序列,也 叫做驱动函数；y(k) 是系统的响应。u(k) 0 时,为齐次差分方程.
3
求解n阶齐次差分方程就是在给定输出时间序列n个初始条件 y(0), y(1), , y(n 1)下，求出输出时间序列y(n), y(n 1) …来。当 然，最好是求出一般解。ARMA模型完全等价于一个差分方 程，驱动函数可以看作是
因而上式也叫做Wold分解式，其系数叫Wold系数。
19
六、ARMA(2，1)系统的格林函数
1．ARMA(2，1)系统的格林函数的隐式 我们可以利用比较系数法来求得ARMA(2，1)模型的格林
函数。具体推导如下： ARMA(2，1)模型是一个二阶非齐次差方程:
X t 1 X t1 2 X t2 at 1at1
22
2.ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式
与ARMA(2，1)系统相类似，将 X t ( G j Bj )at
代入ARMA
j0
模型，展开并整理对比B的同次幂系数得B的幂指数,得:
0 : G0 1
1: G1 1G0 1 G1 1G0 1 1 1
2 : G2 1G1 2G0 2 G2 1(1 1) 2 2
0.5 0.4 0.5 j 0.5 0.8
1 (4 0.8 j 0.5 j ) 3
26
4．AR(2)和ARMA(1，1)系统的格林函数
AR(2)和ARMA(1，1)模型是ARMA(2，1)模型的特殊形式，
ARMA(2，1)的格林函数
Gj
g11j
g22j
1 1 1 2
1j
2 2
1 1
(3.1.11)
Xt
G
j
at
j,为方便用B算子式
j0
(1 1B 2 B2 ) X t (1 1B)at
(3.1.12)
X t G0at G1at1 G2at2 L ( G jB j )at
j0
(3.1.13)
20
(1 1B 2 B2 )( G j B j )at (1 1B)at j0
如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量 随时间的增长既不回到均衡位置，又不趋于无穷，这就是系统 的临界稳定性。
17
2.AR(1)系统的平稳性条件 对于AR(1)系统来说，如果系统受扰后，该扰动的作用渐
渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位 置，那么，该系统就是渐近稳定的，也就是平稳的。相对于格
2j
AR(2)系统动态性的格林函数，即
Gj
1 1 2
1j
2 2 1
2j
1 1 2
(1j1
2j1)
ARMA(1，1)系统的格林函数为：
G
j
1 1 1 0
1j
0 1 0 1
0
j
1, j (1
0 1)1j1,
j 1
27
5.ARMA(n,n-1)系统的格林函数
比较AR(1)和ARMA(2，1)可以发现，动态性增加，是通过
各个扰动对系统后继行为的作用描述在图3.2中。
15
3.1系统参数对系统响应的影响 对此我们用实例加以说明，对前 面的序列分将别利用1 0.5 和 1 0.9 成了两个序列，分别描 绘在图3.2和图3.3中，通过比较 图3.1、图3.2可以知道: (1) 1 取负值时，响应波动较大。 (2) 1 取正值时，响应变得平坦。 (3) 1 越大，系统响应回到均衡 位置的速度越慢，时间越长。
它的解为
Xt
at
1 1B
(1 1B 12 B2
13 B3
)at
1j at j
G j at j
j0
j0
10
3.格林函数的意义
(1)
G
j是前j个时间单位以前进入系统的扰动
a
t
对系统现在行
j
为(响应)影响的权数。
(2)
G
客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。
j
(3)
G
是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间
由B的同次幂的系数必相等，于是有：
(3.1.14)
0：G 0 1
1: G1 1G0 1
G1 1 1
2 : G2 1G1 2G0 0 G2 1(1 1) 2 12 11 2
3: G3 1G2 2G1 0 G3 1G2 2G1
4 : G4 1G3 2G2 0
j
G4 1G3 2G2
(3.1.3)
(3.1.3)左端为特征多项式，多项式的根为特征根。如果能求出 特征方程(3.1.3)的n个特征根 1,2 , n 就可求得n阶齐次差分方