1.4生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例
令S ( x ) 0, 得x 50.
'
练习: 把长为L的铁丝分成两段，一段做 成圆形, 一段围成正方形，怎样分 法，能使圆和正方形面积之和最小.
L 解: 取 4 的一段做圆
4 L 的一段做正方形 4
例1. 某产品生产x件时的总成本函 数为
1 3 2 C ( x ) 300 x 5 x 170 x 12
每件产品的价格是134元, 求产量为 多少时利润最大.
解: 由题意, 生产x件时, 总收益 R(x)=134x ,设利润为L(x)
L( x ) R( x ) C ( x ) 1 3 2 134 x ( 300 x 5 x 170 x ) 12 1 3 2 x 5 x 36 x 300 12
f ( r ) 0.8 ( r 2r )
2
当r 2时，f ( r ) 0
当r (0,2)时，f ( r ) 0 当r ( 2,6)时，f ( r ) 0
当r=2cm时, 利润最小 当r=6cm时, 利润最大 书本P36 例1
例4. 要设计一个容积为V的圆柱形 水池(无盖), 已知底的单位面积造价 是侧面的单位面积造价的2倍, 问: 如何设计水池的底半径和高, 才 能使总造价最省? R
h
解:设高为h,底半径R, 侧面单位造价为a
则表面积S=2Rh+ R2 所以, 总造价P=2aRh+ 2aR2
由V R h, 则 2aRV 2 P (r ) 2aR 2 R
2
令P ( R ) 2aV / R 4aR 0,
2
得R V / 2 , 从而
问题: 1.瓶子多大时, 能使每瓶饮料的利 润最大? 2. 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利 润最小?
1.4生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例一、几何中的最值问题【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？1-1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做成一个无盖的方底容器，先在四角分别截去一个小正方形,再然后把四边翻转角再焊接而成，则该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?1-2、要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角 为多大时，水槽的流量最大？二、利润最大问题【例2】 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm .(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2-2、某分公司经销某种品牌产品，每件成品的成本为3元，且每件成品需向总公司交元a 元(35)a ≤≤的管理费，预计当每件成品的售价为x 元(911)a ≤≤时，一年销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L 与每件成品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件成品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大()Q a .2-1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加0元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？三、费用最省问题【例3】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平分米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(10)x≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）3-1、已知某厂每天生产x件产品的成本为22500020040xc x=++元，若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？[注] 对于型如)0(>+=ab xb ax y 的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例一、知识点阅读1. 优化问题：生活中求利润最大、用料最省、效率最高、体积面积最大等问题，称为优化问题.2. 解决优化问题的一般步骤（1）审：认真阅读并理解题目，化繁为简，揭示数学本质；（2）设：在阅读理解的基础上，建立数学模型，选定未知量，设未知数； （3）列：建立相关的函数关系式； （4）解：利用导数的知识求解最优解； （5）验：回归实际问题进行检验； （6）答：结合题意作答.二、题型阅读例1 把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成一个正方形和一个正三角形，问如何截取可使二者的面积之和最小？解：设围成正方形的一段长为xcm ，那么围成正三角形的一段为cm x )12(-，记二者面积之和为)(x S ，那么3sin )312(21)4(22πx x S -+=（120<<x ）.239128)('⨯-+=x x x S ，令0)('=x S ， 得11)433(48349348-=+=x . 当)11)433(48,0(-∈x 时，0)('<x S ；当)12,11)433(48(-∈x 时，0)('>x S ；因此，11)433(48-=x 是函数)(x S 的极小值点，也是最小值点，所以围成正方形的一段长截取为cm 11)433(48-时，二者面积之和最小.答：围成正方形的长为cm 11)433(48-时，面积和最小.【模仿1】把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成两个正三角形，则两正三角形面积之和最小为.夹角正弦边长边长⨯⨯⨯=∆21S例2ml 500的圆柱形金属饮料罐，它的高与半径应该怎样选择，才能使所饮料罐用材料最省？解: 设半径为rcm ，高为hcm ，那么5002=h r π，得2500r h π=. 记表面积为)(r S ，那么2250022)(rr r r S πππ⋅+=， 即r r r S 10002)(2+=π. 求导得210004)('r r r S -=π，令010004)('2=-=rr r S π，得3250π=r .当)250,0(3π∈r 时，0)('<r S ；当),250(3∞+∈πr 时，0)('>r S ；因此，3250π=r 是函数)(r S 的极小值点，也是最小值点，此时32)250(500ππ=h ，才能使所饮料罐用材料最省. 答：饮料罐半径为cm 3250π，高为32)250(500ππ时，饮料罐用材料最省.反思：解答最优化问题的关键是列出正确的函数关系式，余下的就是导数的最值问题.例3 某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为3210453700)(x x x x R -+=（单位：万元），成本函数为5000460)(+=x x C （单位：万元）. 求：（1）利润函数)(x P (提示：利润＝产值－成本)的解析式；（2）年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？解：（1）P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000 (x ∈N 且x ∈[1,20]). （2）P ’(x)＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x ＋9)(x －12) (x ∈N 且x ∈[1，20])，当1≤x ≤12时，P ’(x)＞0，P(x)单调递增；【模仿2】（1）圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 1∶4D. 4∶1（2）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为 .当12＜x ≤20时，P ’(x)＜0，P(x)单调递减；∴x ＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船 公司的年利润最大.答：年造船12艘时，造船公司的年利润最大. 小结：关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数.例4 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进 行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元. 若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则（1）试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数. 如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈 利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 分析：（1）利用题中等量关系列出y 与x 的函数 关系式，将x ＝100代入所求关系式判断y >0还是y <0； （2）先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求 最值.解：(1)由题意，每年销售Q 万件，年成本共为)332(+Q 万元. 年销售收入是%50%150)332(⋅+⨯+x Q .∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝%50%150)332(⋅+⨯+x Q x Q -+-)332( ＝)332(21x Q -+＝)311332(21x x x -+++⨯ ＝)0()1(235982≥+++-x x x x ，∴所求的函数关系式为：)0()1(235982≥+++-=x x x x y因为100=x 时，0<y ，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由)0()1(23598)(2≥+++-==x x x x x f y ，得【模仿3】某产品的销售收入P (万元)是产品x (千台)的函数：217x P =)0(>x ；生产总成本Q (万元)也是x (千台)的函数：232x x Q -=)0(>x ，为使利润最大化，应生产（ ）A. 9千台B. 8千台C. 6千台D. 3千台)0()1(2632)('22≥++--=x x x x x f .令0)('=x f ，则2x ＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去) ，或x ＝7. 又∵当x ∈(0，7)时，0)('>x f ； 当x ∈(7，＋∞)时，0)('<x f ， ∴极大值)(x f ＝)7(f ＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴极大值)()(max x f x f =＝)7(f ＝42.答：当年广告费投入7万元时，企业年利润最大. 小结：用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. 根据题意设出变量，列出函数关系式，注明定义域，再利用导数求最值，若在定义域内只有一个极值，则这个极值就是最值. 解决此类问题，也要灵活运用数学结合的方法.用导数解决优化问题的基本思路：三、综合训练1.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为23481313-+-=x x y ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件 2. 某箱子的容积与底面边长x 的关系为)600)(260()(2<<-=x xx x V ,则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为 ( )A.30B.40C.50D.203. 用长为24m 的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )3mA.8B.12C.16D.244. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则其高应为 ( )cmA.20 33B.100C.20D.2035. 某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k (k >0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ,x ∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x 的取值为 ( )A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 66. 把一个周长为12cm 的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为.7. 用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为.8. 统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为]120,0(,880312800013∈+-=x x x y ,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.9. 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为m 1的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为m 3的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时,帐篷的体积最大？最大体积是多少？（帐篷体积=正六棱柱的体积+正六棱锥的体积）。
课件6：1.4 生活中的优化问题举例
3
20 c－2.
令 3 c－202＝m，则 m>0， 所以 y′＝8πcr－2 2(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 0<m<2，即 c>92时， 当 r＝m 时，y′＝0；
当 r∈(0，m)时，y′<0； 当 r∈(m,2)时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 3<c≤92时， 当 r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3<c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
当 c>92时，建造费用最小时 r＝
3
20 c－2.
【名师点评】 (1)建立函数后要写出定义域．
(2)对于含参数的函数模型，不但要注意参数的范围，而 且若参数对最值(实际上是对单调性)有影响时，需对参数 分类讨论．
题型三 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的
销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关 系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值；
故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得
的利润最大．
【名师点评】 (1)解决此类有关利润的实际应用题,应 灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本 等量关系有：
①利润＝收入－成本；
②利润＝每件产品的利润×销售件数．
(2)对于单峰函数来说极值点就是最值点．
方法感悟
利用导数解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)． (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大 者为最大值，最小者为最小值． (4)依据实际问题的意义给出答案．
1.4生活中的优化问题举例
x x
60
x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令V ( x ) 60x x 0 , 解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极 值点，那么这个极值点必定是最值点。
例3.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、 宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
则 S 2( x 2) 2 2 y 1
2
y
4x 2 y 8
由基本不等式：
4 x 2 y 2 8 xy 2 8 128 64
(当且仅当4 x 2 y 32取" ")
x
x 8, y 16 Smin 64 8 72 （dm 2 )
练习：教材P104 6
课后作业
白皮书P22
例1.学校或班级举行活动，通常需要张贴 海报进行宣传．现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积128dm 2 , 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面 积最小？
解：设版心的宽为x dm ，长为y dm则有 ຫໍສະໝຸດ y=128 另设四周空白面积为Ｓ，
方法小结 解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题 得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 利的工具，其基本思路如以下流程图所示: 优化问题
1.4生活中的优化问题举例
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
•实际问题转化数学模型；
•求解数学问题； •数学结果还原到实际问题之中
h(x) < 0 ; 当x∈(0,80)时，
h(x) > 0 . 当x∈(80,120)时，
∴在x=80时，取得极小值，也是最 小值h(80)=11.25.
1 3 100 1 2 800 15 3 h(x) = ( x - x + 8) = x + 128000 80 x 1280 x 4 0 < x ≤ 120
求函数的导数得： 1 800 x3 - 803 h(x) = x- 2 = 640 x 640x2
令 h(x) = 0 解得：x = 80
3.4
生活中的优化问题举例
例1 海报版面设计
学校或班级举行 活动,通常需要张贴海 报进行宣传.现让你设 计一张如图所示 的竖 向张贴的海报，要求 2 dm 版心面积为128 ， 上下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白面积 最小？
解：设版心的高为x dm，则版心的 128 宽为 dm，此时四周空白面积为
x
128 S x = x + 4 + 2 - 128 x 512 = 2x + + 8, x > 0 x
求导数，得
512 S x = 2 - 2 . x
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1 解：利润L pq C (25 q )q (100 4 q) 8
1 L ' q 21, 令L ' 0, 求得q 84 4
1 2 q 21q 100 8
当L ' 0时,q 84, 当L ' 0时,q 84,
当产量q为84时，利润L最大
规格（L） 价格（元）
2 5.1
1.25 4.5
0.6 2.5
例3： 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 成本是0.8πr2分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米，已知每 出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子 的最大半径为6cm， （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
因此x=
1 6
a是极大值点，
由题意可知，当x过小（接近0）或过大 （接近a）时，箱子容积很小， 因此当截下的正方形边长是 积最大。
1 6
a时，容
A组5.如图，用铁丝弯成一个上面是半圆，下面 是矩形的图形，其面积为a平方米. 为使所用材 料最省，底宽应为多少？
习题1.4 B组 #2
10%时,销量可增加40%. 现决定一次性降价, 销售价为多 少时,可获得最大利润? 解: 设销售价为x元, 可获得利润为y元, 则
1. 习题1.4
2. B组 2
A组
2,5
2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定 断面尺寸时， 希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时， 使得湿周 l=AB+BC+CD 最小， 这样可使水流阻力小， 渗透少，求此时的高 h 和下底边长 b.
E A h B
D 600
b
C
1 解：由梯形面积公式，得 S= (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC ， 2 E D A 3 2 3 DE= h,BC=b∴AD= h+b, 3 3 h 0 1 2 3 3 60 h 2b)h ( h b)h ① ∴ S= ( B C 2 3 3 b h 2 2 h ,AB=CD.∴l= h ×2+b② ∵CD= cos30 3 3
解法二：由解法(一)得
512 512 S ( x) 2 x 8 2 2x 8 x x
2 32 8 72
512 当且仅当2x , 即x 16( x 0)时S 取最小值 x
128 此时y= 8 16
答：使用版心宽为8dm，长为 16dm时，四周空白面积最小。
h
V V 3 从而h 2 2 pR 2p
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 ：罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
A组6.已知:某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为
C 100 4q , 价格p与产量q的函数关系式为
1 p 25 q ,求产量 q 为何值时，利润 L 最大？ 8
L( x ) x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 (3 x ) 1.5
2 2
x 1
2
0,
x (3 x )2 1.52 (3 x ) x 2 1 , 1.25 x 2 6 x 9 0. 解得 x 1.2 和 x 6 (舍去). 答： ……
1.4 生活中的优化问题 举例
问题1:学校宣传海报比赛，要求版心面积128dm左右 边距1dm上下边距2dm，请问你将如何设计？
版心
问题2：下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品， 若它们的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
生活中经常遇到求 利润最大、用料最 省、效率最高等问 题，这些问题通常 称为优化问题.
y
o
a
x1
x2
x3
x4
b
x
例1：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让 你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面 积为 128dm2 ，上、下两边各空 2dm ，左、右两边各空 1dm ，
如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
x
分析：已知版心的面 积，你会如何建立函数 关系表示海报四周的面 积呢？
运用什么知 识解决优化 问题
规格（L） 价格（元）
2 5.1
1.25 4.5
0.6 2.5
一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条连续不断的 曲线，则求f (x) 的最值的步骤是： （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值(极大值与极小值)； （2）将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较， 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。
增加10元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，
宾馆每天每间需花费20元的各种维修费房间定价多 少时，宾馆的利润最大？ 解:设宾馆定价为(180＋10x)元时，宾馆的利润Ｗ最大
W (180 10 x)(50 x) (50 x) 20 2 10 x 340 x 8000 令W ' ( x) 0, 求得x 17 当W ' ( x) 0时, x 17 ；当W ' ( x) 0时, x 17 当x 17，利润W最大 此时房价为： 180 10 17 350 （元）
饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的道理 吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示，则
（1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？
（2）对制造商而言，哪一种的利润更大？
'
解得：x 16，x 16 （舍）
128 128 于是宽为： 8 x 16
x
S ( x) S ( x)
(0,16)
16 0
(16, )
当x 0,16时，s' x 0； 当x 16, 时，s' x 0.
极小值
因此，x=16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以， 当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
3. A 、 B 两村距输电线（直线）分别为 1km 和 1.5km（如 CD 长 3 km . . 现两村合用一台变压器供电. 问变压器 图） ， 设在何处,输电线总长 AE BE 最小.
分析: 法一:这是一个几何最 值问题,本题可用对称 性技巧获得解决.
A
法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决
4 (b a )元/件时, 可卖出 c 件.市场调查表明,当售价下降 3
已知某商品进价为a元/件, 根据以往经验, 当售价是b
bx y [c ( 10%) 40% c]( x a) b c c 2 即 y (4 x 5bx 4ax 4ab ) y (8 x 5b 4a ) b b 5b 4a 令 y 0 , 得 x 8 5b 4a 答: 销售价为 时, 利润最大. 8
r f '( r ) f (r)
(0，2)
减函数↘
2 0 -1.07p
(2，6]
+
增函数↗
当半径r＞２时，f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增，
即半径越大，利润越高； 当半径r＜２时，f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减， 即半径越大，利润越低． 1.半径为２cm 时，利润最小，这时 f (2) 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，
4 3 S 3 S S 3 h h 3h 由①得 b= h,代入②,∴l= 3 h 3 h h 3
S S S S l′= 3 2 =0,∴h= 4 , 当 h< 4 时，l′<0,h> 4 时，l′>0. h 3 3 3
24 3 S ∴h= 4 时，l 取最小值，此时 b= S. 3 3
由问题的实际意义可知：
l l2 当x 时, S取最小值 . 最小值为 . 32 2
A组3:某种圆柱形的饮料罐的容积为定值V时,如何确定它的高 与底半径,使得所用材料最省? 解 :设圆柱的高为h,底面半径为R. 则表面积为 S ( R) 2pRh 2pR2 V 2 则 h . 又 V pR (h , 2 R pR V S ( R ) 2pR 2 2pR 2 2V 2pR 2 . pR R 2V 由S ( R ) 2 4pR 0. 解得R 3 V . R 2p
y
o
2
3
r
当r 0,2时, f r 是减函数 ,你能 解释它的实际意义吗 ?
图1.4-4
A组1.一条长为 l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形， 要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0<x<l, 则两个正方形面积和为
x 2 lx 2 1 S s1 s2 ( ) ( ) (2 x 2 2lx l 2 ) 4 4 16 1 1 l S (4 x 2l ) (2 x l ) 令S 0, 得x 2 16 8
2
2 2 V ( x) 12 x 8ax a
令 V ( x) 12 x2 8ax a 2 0
解得x1=
1 6
1 a，x2= 2 a（舍去），
1 1 在区间(0， a ) 内，且当 0< x < a 时， 2 6