2014高考数学(理)一轮：一课双测A+B精练(十七) 定积分与微积分基本定理
2014届高考数学三轮冲刺全员必做训练题：17定积分与微积分基本定理
第Ⅰ组：全员必做题1. ⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋12．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32 B ．1 C ．2D.124.(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.145．(2013·江西高考)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 16．(2014·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为______．7.(2014·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，B (2,4)，C (0,4)，曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．8．(2014·珠海模拟)由三条曲线y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________．9．求下列定积分． (1)21⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)-π⎰(cos x ＋e x)d x .10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，10⎰f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．第Ⅱ组：重点选做题1.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________． 2．曲线y ＝1x＋2x ＋2e 2x，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C10⎰(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|01＝(e 1＋1)－e 0＝e.2．选C 由题意知电视塔高为⎠⎛12gt d t ＝12gt 221＝2g －12g ＝32g .3．选A S ＝-1⎰(x ＋1)d x ＋20π⎰cos x d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 0-1＋sin x |20π＝32. 4．选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰214-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭d x ＋112⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝13201143x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 112＝14. 5．选B S 1＝13x 3⎪⎪⎪21＝83－13＝73，S 2＝ln x ⎪⎪⎪21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x⎪⎪⎪21＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.6．解析：10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，x 0＝±33. 又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：337．解析：∵y ＝ax 2过点B (2,4)，∴a ＝1， ∴所求概率为1－20⎰x 2d x 2×4＝23. 答案：238．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 24，y ＝1，得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S ＝22212201d 1d 44x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰－＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3|10＋x |21－⎝ ⎛⎭⎪⎫112x 3|21＝43. 答案：439．解：(1)21⎰⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝21⎰x d x －21⎰x 2d x ＋21⎰1x d x ＝x 22|21－x 33|21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.(2)0-π⎰(cos x ＋e x)d x ＝0-π⎰cos x d x ＋0-π⎰e x d x ＝sin x |0－π＋e x |0－π＝1－1eπ. 10．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2，b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－a ，b ＝0，∴f (x )＝ax 2＋2－a . 又1⎰f (x )d x ＝1⎰(ax 2＋2－a )d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋－ax |10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2－4. (2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0， ∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0， 得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－0a ⎰(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112， ∴a ＝－1. 答案：－12．解析：由题意得，所求面积为e⎰1x＋2x＋2e2x d x＝e1⎰1x d x＋e1⎰2x d x＋e1⎰2e2x d x＝ln x|e1＋x2|e1＋e2x|e1＝(1－0)＋1(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.答案：e2e。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《定积分与微积分基本定理》理 新人教B版
[第16讲 定积分与微积分基本定理](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1B .π28－1 C .π28 D .π28＋1 2．下列各命题中，不正确的是( )A ．若f(x)是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f(x)d x ＝0B ．若f(x)是连续的偶函数，则⎠⎛－aaf(x)d x ＝2⎠⎛0a f （x ）d xC ．若f(x)在[a ，b]上连续且恒正，则⎠⎛ab f(x)d x>0D ．若f(x)在[a ，b]上连续，且⎠⎛ab f(x)d x>0，则f(x)在[a ，b]上恒正3．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x<1，1，1<x≤2，则定积分⎠⎛02f(x)d x ＝( )A .83B ．2C .43D .134．曲线y ＝x 3与直线y ＝x 所围成图形的面积为( ) A .13 B .12 C ．1 D ．2能力提升5．[2013·湖南卷] 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A .12B ．1C .32D . 3 6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A .112 B .14 C .13 D .7127．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J8．若y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．09．[2013·东北名校二模] ⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝________．10．[2013·陕西卷] 设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________．11．[2013·漳州模拟] 由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．12．(13分)计算下列定积分：(1)⎠⎛03π1－cos 2x d x ；(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ；(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ；(4)⎠⎛01()e x －e －x 2d x.难点突破13．(12分)已知点P 在曲线y ＝x 2－1上，它的横坐标为a(a>0)，由点P 作曲线y ＝x 2的切线PQ(Q 为切点)．(1)求切线PQ 的方程；(2)求证：由上述切线与y ＝x 2所围成图形的面积S 与a 无关．课时作业(十六)【基础热身】1．B [解析] ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1. 2．D [解析] 根据定积分的几何意义可得． 3．C [解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x ＝13x3⎪⎪⎪ )10＋x⎪⎪⎪ )21＝43. 4．B [解析] 如图，所围图形面积A ＝2⎠⎛01(x －x 3)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 4⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14－0＝12.【能力提升】5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线x ＝－π3，x ＝π3，y＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为：S ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪∫π3－π3cos x d x ＝ ) ⎪⎪⎪ )sin x ⎪⎪⎪ )π3－π3⎪⎪⎪ )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3，故选D .6．A [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 4⎪⎪⎪10＝13－14＝112.7．A [解析] 由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ，∴k＝100，则W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x2⎪⎪⎪ )0.060＝0.18(J )． 8．B [解析] y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t ·sin t)d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin 2t d t ＝(－cos t) ⎪⎪⎪ )x 0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos 2t⎪⎪⎪ )x 0＝－cos x ＋1－14cos 2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.9．4 [解析] 根据定积分的性质⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫8π1－x 2＋6x 2d x ＝8π⎠⎛011－x 2d x ＋2⎠⎛013x 2d x ＝8π×π4＋2×x 3⎪⎪⎪ )10＝4.10．1 [解析] 由f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ， x≤0得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x>0，x ＋a 3， x≤0，f(1)＝lg 1＝0， f(f(1))＝f(0)＝a 3＝1，∴a＝1. 11.163[解析] 联立直线方程与抛物线方程得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，即直线y＝－4x －2为抛物线y ＝2x 2的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x＝23(x ＋1)3⎪⎪⎪ )1－1＝163.12．解：(1)⎠⎛3π1－cos 2x d x ＝⎠⎛3π2sin 2x d x ＝2⎠⎛3π⎪⎪⎪)sin x⎪⎪⎪ )d x ＝2⎠⎛0πsin x d x －2⎠⎛π2πsin x d x ＋2⎠⎛2π3πs in x d x＝－2cos x⎪⎪⎪ )π0＋2cos x⎪⎪⎪ )2ππ－2cos x⎪⎪⎪ )3π2π＝22＋22＋22＝6 2.(2)⎠⎛011x 2＋3x ＋2d x ＝⎠⎛011x ＋1－1x ＋2d x ＝ln (x ＋1)－ln (x ＋2)⎪⎪⎪ )10 ＝(ln 2－ln 3)－(ln 1－ln 2)＝2ln 2－ln 3.(3)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －2＋1x d x＝⎠⎛12x d x －2⎠⎛121d x ＋⎠⎛121xd x ＝12x 2⎪⎪⎪ )21－2x⎪⎪⎪ )21＋ln x⎪⎪⎪ )21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12－(4－2)＋(ln 2－ln 1)＝ln 2－12. (4)⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝⎠⎛01(e x ＋e －x )′d x ＝(e x ＋e －x)⎪⎪⎪ )10＝e ＋1e －2. 【难点突破】13．解：(1)点P 的坐标为(a ，a 2－1)，设切点Q 的坐标为(x ，x 2)，由k PQ ＝a 2－1－x 2a －x 及y′＝2x 知a 2－1－x2a －x＝2x ，解得x ＝a ＋1或x ＝a －1.所以所求的切线方程为2(a ＋1)x －y －(a ＋1)2＝0或2(a －1)x －y －(a －1)2＝0.(2)S ＝⎠⎛a －1a [x 2－2(a －1)x ＋(a －1)2]d x ＋⎠⎛aa ＋1[x 2－2(a ＋1)x ＋(a ＋1)2]d x ＝23.故所围成的图形面积S ＝23，此为与a 无关的一个常数．。
2014高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教A版
第十四节定积分与微积分基本定理[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x ＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫ba f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫ba [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|ba ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83.答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π.答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－ ⎭⎪⎫1xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x＋1x d x ；(5)20π⎰sin 2x2d x .[自主解答] (1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211xd x＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 2π⎰1－sin 2x d x＝2π⎰|sin x－cos x|d x＝4π⎰ (cos x－sin x)d x＋24ππ⎰ (sin x－cos x)d x＝(sin x＋cos x)4π＋(－cos x－sin x) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫10－x2＋2x d x＝________.[自主解答] ∫10－x2＋2x d x表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2x d x＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．解：∫20－x2＋2x d x表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2x d x＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－t d t＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？ 解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫2f (x )d x ＝∫10x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22 |21 ＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积 S ＝120⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 112＝14. 定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ， 则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫ba v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫bav (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫ba F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫32x 2＋4x 42 ＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e11＋ln xxd x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1C.32D.12解析：选C ∫e 11＋ln x x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析：选 B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 10＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B. 2 C ．± 3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝± 3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则∫20f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603 (m)．6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x＋2x －2. ∴y ′＝2x＋x ·2xln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝231－351－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1，∵a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ；(3)120⎰e 2xd x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎪⎫π4－14sin π－0＝π4.(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ＋ln x |32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)120⎰e 2xd x ＝12e2x120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝∫1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则∫x0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________． 解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t ≤1，2 1≤t ≤3，13t ＋1 3≤t ≤6，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t2112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)．答案：494m2．计算下列定积分： (1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )31-＝24.(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤10，4t ＋60 10<t ≤20，140 20<t ≤60.某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af (x )2＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． [解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，则f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．[解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R . 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．[例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x (0<x <1)的最小值为________．[解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，f (x )变为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5，因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t≥4,0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≥9，所以f (x )的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <t ＋2<1e时，t 无解；②当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e.[答案] f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.[答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.[答案] C[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围 [例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m . (1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥0，gx ，x <0，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，① 因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根， 由p (x )＝0，得m ＝－x 2＋7x ＋1＝－x ＋12－2x ＋1＋8x ＋1＝2－(x ＋1)－8x ＋1， 因为1<x <5，令t ＝x ＋1，则2<t <6，如图所示，所以－163<m ≤2－4 2.当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根， 所以实数m 的取值范围是－163<m <2－4 2. (2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减． 记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．(ⅰ)若∀a >0时，如图(1)知，由于h (x )在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b <0，且A ⊆B ，即m ≤7；(ⅱ)若∀a <0时，如图(2)知，由于h (x )在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b >0，且B ⊆A ，即m ≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m ＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m ＝7时，A ＝B ，对于∀a ≠0，则∃b (b ≠a ，且ab <0)，使得h (a )＝h (b )．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m ＝－x 2＋7x ＋1(1<x <5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a >0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≤7；反过来，对于∀a <0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图象与函数y ＝k (x －2)＋4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 [点评] 函数y ＝1＋4－x 2的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y＝x＋1x作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式4－x2＝3＋k(x－2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k的取值范围．。
高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理练习含答案
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编30：《定积分》.pdf
山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编30：定积分 一、选择题 ．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）若,则的大小关系为B．C．D． 【答案】B ．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）若实数则函数的图象的一条对称轴方程为B．C．D． 【答案】B ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）已知,若,则=（ ） A．1B．-2C．-2或4D．4 【答案】D ．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）若,,则的大小关系为 . . . . 【答案】B ．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）曲线与围成的封闭区域的面积是1B．C．D． 【答案】C ．（山东省烟台市莱州一中2014届高三10月阶段测试数学试题（理））如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为（ ） A．B．C．D． 【答案】D． ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为B．C．D．【答案】D二、填空题 ．（山东省烟台二中2014届高三10月月考理科数学试题）若在R上可导,,则____________. 【答案】-18 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）=_________________. ( ) 【答案】 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）_________.【答案】7 ．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题） ____________. 【答案】 ．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）设(其中e为自然对数的底数),则的值为_________. 【答案】 ．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）设 ,若,则_______. 【答案】1因为,=,所以,. ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）__________. 【答案】1 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）若函数f(a)=(2+sin x)dx,则f等于_________ 【答案】(+1 ．（山东省博兴二中2014届高三第一次复习质量检测理科数学试卷）若,则的值是___★___. 【答案】2 ．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）由曲线y和直线x=1,以及y=0所围成的图形面积是__________________; 【答案】1/3 ．（山东省潍坊市诸城一中2014届高三10月阶段性测试数学（理）试题）曲线所围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）由直线所围成的封闭图形的面积为__________. 【答案】 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线与直线围成的封闭图形的面积为______________. 【答案】 ．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数与的图像所围成的阴影部分的面积为,则__________. 【答案】3 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）由曲线、直线以及所围成的图形面积是________. 【答案】。
2014版高考数学(理)一轮总复习第17讲定积分及简单应用同步测控
第17讲 定积分及简单应用1.⎠⎛241xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 22.由曲线y ＝x 2与y ＝x 3围成的封闭图形的面积为( )A.112B.14C.13D.7123.一物体受到与它的运动方向相反的力F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时，F (x )所做的功等于( )A.e 10＋25B.e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－254.∫π20(sin x ＋a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 35.(2012·江西卷)计算定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝__________． 6.(2012·山东卷)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝__________．7.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积．8.已知a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6展开式中含x 2项的系数是________．9.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图，直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)的面积为274，则f (x )＝____________．10.如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．第17讲1．D 2.A 3.D 4.B 5.23 6.497．解析：作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图象，所求面积如图中阴影部分的面积．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x ，得交点(1，1)，(0，0)， 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝3x ，得交点(3，9)，(0，0)， 所以图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2|01＋(32x 2－13x 3)|13 ＝1＋(32×32－13×33)－(32×12－13×13) ＝133. 8．－192 解析：因为a ＝⎠⎛0π(sin x ＋cos x )d x ＝ |∫（－cos x ＋sin x ）π0＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2.因为二项式(2x －1x)6展开式的通项为 T r ＋1＝C 6r 26－r (－1)rx 6－2r2.所以r ＝1时，x 2项的系数为C 6125(－1)1＝－192.9．x 3－3x 2 解析：由图象过点(0，0)知c ＝0.又由图象与x 轴在原点处相切知f ′(0)＝b ＝0，则f (x )＝x 3＋ax 2.令f (x )＝0，即x 3＋ax 2＝0，则x ＝0或x ＝－a ，结合图象知a <0，所以函数f (x )的图象与x 轴切于原点，交于点(－a ，0)，所以S 阴影＝|⎠⎛0－a (x 3＋ax 2)d x | ＝－(14x 4＋13ax 3)|0－a ＝112a 4＝274， 所以a ＝－3，故f (x )＝x 3－3x 2.10．解析：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点为(0，0)，(1，0)，则它与x 轴围成的图形面积为S ＝ ⎪⎪⎪⎠⎛01（x －x 2）d x ＝（12x 2－13x 3）10＝16. 则直线y ＝kx 与y ＝x －x 2所围成的面积为112. 又y ＝kx 与y ＝x －x 2的交点坐标分别为(0，0)，(1－k ，k －k 2)，所以直线y ＝kx 与y ＝x －x 2所围成图形面积为⎪⎪⎪⎠⎛01－k （x －x 2－kx ）d x ＝（12x 2－13x 3－12kx 2）1－k 0＝16(1－k )3＝112，所以k ＝1－342.。
2014高考调研理科数学课本讲解_3-4 定积分与微积分基本定理
y＝x2， 由 y＝x
分别解出 O、A、B 三点的横坐标
分别是 0、1、2.
课前自助餐 授人以渔 自助餐
课时作业
高考调研
新课标版 · 数学（理）
x2 x3 因为( )′＝x，(x2－ )′＝2x－x2，故所求的面积 2 3 S＝ (2x－x)dx＋ (2x－x )dx＝
0 1
1 2
2
1 ＝2－0＋
8 1 7 (4－3)－(1－3)＝6.
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方法二 如图( 所 ，求 面 可 写 1 示 的积以成 ) 所
S＝S△O －S2， B D
其中 S2 是由线段 BD、AD 及抛物线段 AB 所 成 区 的 围的域 x2 x3 x2 面积．由于 D 的横坐标也是 2，又( 2 )′＝x，( 3 － 2 )′＝x2－ x.故 S＝ (2x－x)dx－ (x2－x)dx＝
n 2 l ( )
3 9 1 1 π ( ) ( ) ( ) 2＋2 3 －4 4 2 5 4
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探究 1 1 求定积分借助微积分基本定理，关键是求出被 ( ) 积数原数求个数原数求个数导是 函的函，一函的函与一函的数 互运，此注掌一常函的数此，果 逆算因应意握些用数导．外如 被函是对函与段数那可利定分性 积数绝值数分函，么以用积的 质 f(x)dx＝ f(x)dx＋ f(x)dx， 据 数 定 域 将 分 间 根 函 的 义 ，积 区
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高考数学一轮：一课双测A+B精练(十七)定积分与微积分基本定理
3 A. 2 C． 2
B．1 1
D.2
5．由曲线 y＝ x，直线 y＝ x－ 2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( )
10 A. 3
B．4
16 C. 3
D ．6
6．设函数 f(x)＝ax2＋b(a≠ 0)，若 ∫30f(x)dx＝ 3f( x0)，则 x0 等于 (
)
A ． ±1
B. 2
C． ± 3
图形面积为 ∫ 40( x－x＋ 2)dx＝ 23x32－ 12x2＋ 2x
40＝
16 3.
6．选 C ∫ 30f(x)dx＝ ∫ 30(ax2＋ b)dx＝ 13ax3＋ bx 则 9a＋ 3b＝3( ax20＋b) ， 即 x20＝3， x0＝ ± 3.
30＝ 9a＋ 3b，
7．解析：
∫
1 0
f(x)d
.
答案：
4 3
9．解析： 解方程组
y＝ x2， y＝1，
和
y＝
x2， 4
y＝ 1，
得交点坐标 (－ 1,1 )， (1,1)， (－ 2,1)，(2,1) ．则
S＝
2
∫
1 0
x2－
x2 4
dx＋
∫
211
－
x2 4 dx＝
2
1 4
x3
10＋ x 21－ 112x3
21＝
4 3
.
答案： 4 3
10． 解：
B 级 [来
源:www ][来 源:]
1.______ 2.______
答
案
高考数学（理）一轮：一课双测 A+B 精练 ( 十七 )
1．A 2.C 3.B 4.A
A级
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高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(十七) 定积分与微积分基本定理
1．设函数f(x)＝xm ＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，则⎠⎛12
f(－x)dx 的值等于( ) A.56 B.12 C.23
D.16
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( ) A.1
2g B ．g C.3
2
g
D ．2g
3．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f(x)的图象如图所示，则它与x 轴
所围图形的面积为( ) A.2π
5
B.43
C.32
D.π2
4．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x<0，cos x ，0≤x ≤π
2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )
A.3
2
B ．1
C ．2
D.12
5．(2011·新课标全国卷)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.10
3 B ．
4 C.16
3
D ．6
6．设函数f(x)＝ax2＋b(a ≠0)，若∫30f(x)dx ＝3f(x0)，则x0等于( ) A ．±1
B. 2
C ．± 3
D ．2 7．(2013·吉林实验中学高三模拟)设函数f(x)＝ax2＋c(a ≠0)，若∫10f(x)dx ＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为______．
8．(2012·长春调研)设f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x2，x ∈[0，1]，1
x ，x ∈1，e](e 为自然对数的底数)，则∫e 0f(x)dx 的值为
________．
9．(2013·珠海模拟)由三条曲线y ＝x2，y ＝x2
4
，y ＝1所围成的封闭图形的面积为________． 10．求下列定积分．
(1)∫21⎝⎛⎭
⎫x －x2＋1x dx ；(2)∫0－π(cos x ＋ex)dx.
11．(2013·西安模拟)求函数y ＝∫x 0(sin t ＋cos tsin t)dt 的最大值． 12．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f ′(0)＝0，∫10f(x)dx ＝－2. (1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
1．(2013·唐山统考)由曲线y ＝x2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.56
D.23
2．若函数f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)，且f(1)＝4，f ′(1)＝1，∫10f(x)dx ＝31
6，则函数f(x)的解析式
为________．
3.(2012·石家庄模拟)如图，过点A(6,4)作曲线f(x)＝4x －8的切线l.
(1)求切线l 的方程；
(2)求切线l 、x 轴及曲线f(x)＝4x －8所围成的封闭图形的面积S. 7. __________ 8. __________ 9. _________
答 案
高考数学（理）一轮：一课双测A+B 精练(十七)
A 级
1．A 2.C 3.B 4.A
5．选C 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，所以由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)dx ＝⎝⎛⎪⎪23x 32－
⎭⎫12x2＋2x 4
0＝163
. 6．选C ∫30f(x)dx ＝∫30(ax2＋b)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax3＋bx
⎪⎪30＝9a ＋3b ， 则9a ＋3b ＝3(ax20＋b)， 即x20＝3，x0＝± 3.
7．解析：∫10f(x)dx ＝∫10(ax2＋c)dx ＝⎝⎛⎭⎫13ax3＋cx
⎪⎪10 ＝1
3a ＋c ＝f(x0)＝ax20＋c ， ∴x20＝13，x0＝±3
3.
又∵0≤x0≤1，∴x0＝33
. 答案：
33
8．解析：依题意得∫e 0f(x)dx ＝∫10x2dx ＋∫e 11x dx ＝x33 ⎪⎪10＋ln x
⎪⎪e 1＝13＋1＝43. 答案：4
3
9．解析：解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x2，
y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x24，
y ＝1，
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．则S
＝2∫10⎝⎛⎭⎫x2－x24dx ＋∫211－x24dx ＝2⎝⎛⎭⎫14x3
⎪⎪10＋x ⎪⎪21－⎝⎛⎭⎫112x3
⎪⎪21＝43
. 答案：4
3
10．解：(1)∫21⎝⎛⎭⎫
x －x2＋1x dx
＝∫21xdx －∫21x2dx ＋∫211
x dx
＝
x22 ⎪⎪21－x33 ⎪⎪21＋ln x
⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56
. (2)∫0－π(cos x ＋ex)dx ＝∫0－πcos xdx ＋∫0－πexdx ＝sin x ⎪⎪0－π＋ex
⎪⎪0－π＝1－1e π. 11．解：y ＝∫x 0(sin t ＋cos tsin t)dt ＝∫x 0⎝⎛⎭⎫sin t ＋12sin 2t dt ＝⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t
⎪⎪x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54
＝－cos x －
14()2cos2x －1＋54
＝－12c os2x －cos x ＋3
2
＝－1
2
(cos x ＋1)2＋2≤2，
当cos x ＝－1时取等号． 所以函数y ＝∫x 0(sin t ＋cos tsin t)dt 的最大值为2. 12．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)， 则f ′(x)＝2ax ＋b.
由f(－1)＝2，f ′(0)＝0， 得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2，b ＝0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝2－a ，b ＝0，
故f(x)＝ax2＋(2－a)． 又∫10f(x)dx ＝∫10[ax2＋(2－a)]dx
＝⎣⎡⎦⎤13ax3＋2－a x ⎪
⎪⎪
10＝2－23
a ＝－2， 得a ＝6，故c ＝－4.
从而f(x)＝6x2－4.
(2)因为f(x)＝6x2－4，x ∈[－1,1]，
所以当x ＝0时，f(x)min ＝－4； 当x ＝±1时，f(x)max ＝2.
即f(x)在[－1,1]上的最大值为2，最小值为－4.
B 级
1．选A 在直角坐标系内，画出曲线y ＝x2＋2x 和直线y ＝x 围成的封
闭图形，如图所示，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x2＋2x ，y ＝x ，得曲线与直线的两个交点坐标为
(－1，－1)和(0,0)，故封闭图形的面积为S ＝∫0－1[x －(x2＋2x)]dx ＝⎝⎛⎭⎫－13x3－12x2
⎪
⎪
－1＝－⎝⎛⎭⎫13－12＝16
.
2．解析：由题意知f(1)＝a ＋b ＋c ＝4，① f ′(1)＝2a ＋b ＝1.②
又由∫10f(x)dx ＝∫10(ax2＋bx ＋c)dx ＝31
6，
知a 3＋b 2＋c ＝316
.③ ①②③联立，解得a ＝－1，b ＝3，c ＝2，从而所求的函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋3x ＋2.
答案：f(x)＝－x2＋3x ＋2
3．解：(1)∵f ′(x)＝1x －2，∴f ′(6)＝1
2，
∴切线l 的方程为y －4＝1
2(x －6)，
即x －2y ＋2＝0.
(2)令f(x)＝0，则x ＝2，
令y ＝1
2x ＋1＝0，则x ＝－2.
故S ＝∫6－2⎝⎛⎭⎫1
2＋1dx －∫624x －8dx
＝⎝⎛⎭⎫14x2＋x ⎪⎪6－2－16(4x －8)32
⎪⎪62＝163
.。