概率统计中的几条主线

概率统计中的几条主线
合肥工业大学数学学院 宁荣健 一、概率计算
事件的关系和运算 概率计算的基本公式 古典概型、几何概型、贝努里概型 概 率 计 算 条件概率公式、乘法公式 乘法公式 全概公式、逆概公式 事件的独立性 中心极限定理 利用分布计算概率 ⒈事件的关系和运算 ⑴ 子事件(事件的包含) A B ：若 A 发生，则 B 必然发生； ⑵ 相等事件 A B ： A B 且 A B ； ⑶ 并事件 A B ： “ A, B 中至少发生一个” ； ⑷ 交（积）事件 AB ： “ A, B 都发生” ； ⑸ 互不相容（互斥）事件: AB ； ⑹ 对立事件：若 A
x1
p11 p12 p1 j
x2
p21 p22 p2 j
xi
pi1 pi 2 pi j
y1 y2 yj
⑷二维离散型随机变量分布律的性质： ① pij 0 ， i 1, 2, ⒊密度函数及性质
, j 1, 2,
；
②
p
i j
ij
1．
⑴一维连续型随机变量的密度 f ( x) ： f ( x) 满足 F ( x) ⑵一维连续型随机变量密度函数的性质： ① f ( x) 0, x (, ) ； ②
2
k k ⑶贝努里概型：在 n 重贝努里试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Cn p (1 p)nk ，
其中 k 0,1, 2,
, n ， p P( A) ， 0 p 1 ．对比二项分布．
⒍事件的独立性 ⑴事件 A 和 B 相互独立的直观理解为事件 A 和 B 各自发生与否没有任何关系．并会根据实际问 题判断事件 A 和 B 的独立性． ⑵事件 A, B 相互独立 P( AB) P( A) P( B) P( B | A) P( B) ( P( A) 0) .
, An 相互独立，则分别将 Ai 不变或换成 Ai 后所得事件仍相互独立．例
, An ， A1 , A2 , , An 等也分别相互独立． ⑥如果随机事件 A1 , A2 , , Am , B1 , B2 , , Bn 相互独立，则由 A1 , A2 , B1 , B2 , , Bn 组成的随机事件相互独立．
An ) 0 ， n 2 ，则 An ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )
P( An | A1 An1 ) ．
P( A1 A2
适用范围：链式结构
A1
P( A1 )
A2
P( A2 | A1 )
A3
P( A3 | A1 A2 )
An
P( An | A1 An1 )
如果事件 A1,A2 , , An 两两互不相容，则
1
P( A1
A2
An ) P( A1 ) P( A2 )
P( An ) ．
⑷差事件概率计算公式： P( A B) P( AB ) P( A AB) P( A) P( AB) ； 若 B A ，则① P( A B) P( A) P( B) ； ⑸对立事件概率计算公式： P( A) 1 P( A) ． ⒊条件概率公式、乘法公式 ⑴条件概率： P( B A) ． ①公式法： P( B A) P( AB) , P( A) 0 ； P( A) ②代入法：改变样本空间直接计算． ⑵乘法公式： P( A) 0 ，有 P( AB) P( A) P( B A) ． 设 P( A1 A2 ② P( B) P( A) ．
⑷二维连续型随机变量密度函数的性质： ① f ( x, y) 0 ， ( x, y) R 2 ； ⒋常见分布及其数字特征 ⑴ 0 1 分布 X ~ B(1, p) ： P{ X k} p k (1 p)1k ， k 0,1; EX p, DX pq ． ⑵二项分布 B(n, p) ： P{X k} Cn p (1 p)
5
1 ⑹正态分布 X ~ N ( , ) ： f ( x) e 2
( x )2 2 2
2
， x ；
EX , DX 2 .
5．常见分布的性质 ⑴（了解）设随机变量 X1 , X 2 ,
, X n 相互独立，且 X i ~ B(ni , p), i 1, 2,
B ，且 AB ，称 B 为 A 的对立事件，记为 A B ．
⑺ 差事件 A B ： “ A 发生，而 B 不发生” ． ⑻ 事件的运算律 ①交换律： A B B A ， AB BA ； ②结合律： ( A B) C A ( B C ) ， ( AB)C A( BC ) ； ③分配律： ( A B)C AC BC ， ( AB) C ( A C )( B C ) ； ④摩根律：
⒋全概公式、逆概公式 ⑴全概率公式： A1 ,
, An 为一完备事件组，则 P( B) P( Ai ) P( B Ai ) ．
i 1
n
适用范围：并列结构
P( A1 ) P( A2 )
A1 A2
An
P( B A1 ) P( B A2 )
P( B An )

P( An )
B
⑵贝叶斯公式(逆概公式): P( Ai B)
xi L
p．
i
② P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D

pij ．
⑶利用密度函数计算概率：
3
① P{a X b} P{a X b} P{a X b} P{a X b} ② P{( X , Y ) D}

b a
f ( x) dx ．

x
f (t )dt ， x ．


f ( x)dx 1 ．
⑶ 二 维 连 续 型 随 机 变 量 的 密 度 f ( x, y ) ： f ( x, y ) 满 足 F ( x ,y )

x
y

f u ( v, dudv ) ，
( x, y) R 2 ．
k
k!
e , 0, k 0,1, 2,
2 1 b a , a x b, ab EX , DX ⑷均匀分布 X ~ U [a, b] ： f ( x) b a . 2 12 0 , 其它.
e x , x 0, 1 1 0 , EX , DX 2 . ⑸指数分布 E ( ) ： f ( x) x 0. 0,
A, B, C两两独立, P( ABC ) P( A) P( B) P(C ).
P( A B) P( A B) ．
④如果随机事件 A1 , A2 , 互独立． ⑤如果随机事件 A1 , A2 , 如 A1 , A2 ,
, An 相互独立，则 A1 , A2 ,
, An 的任一部分事件（至少两个事件）也相
A B A B ， AB A B ．
⒉概率计算的基本公式 ⑴非负性：设 A 为任一随机事件，则 0 P( A) 1． ⑵规范性： P() 1 ， P() 0 ． ⑶并事件概率计算公式： P( A
B) P( A) P( B) P( AB) ；
P( A B C) P( A) P( B) P(C) P( AB) P( AC) P( BC) P( ABC) ．
k k n k
②




f ( x, y)dxdy 1 ．
, k 0,1, 2,
, n,0 p 1 ；
EX np,
DX npq ． B(n, p) .
， EX DX .
应用背景 ：记 X 为 n 重贝努利试验中 A 发生的次数切比雪夫不等式（估计概率） 设 EX
, Am 组成的随机事件与由
， DX 2 ，则对任意的 0 ，有
P{ X } 1
2 2 P { X } 或 ． 2 2
⒏利用分布计算概率 ⑴利用分布函数计算概率： ① P{a X b} F (b) F (a) ， P{ X x0 } F ( x0 ) F ( x0 0) 等等． ② P{x1 X x2 , y1 Y y2 } F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) ． ⑵利用分布律计算概率： ① P{ X L}
x X ~ 1 p1
⑵一维离散型随机变量分布律的性质： ① pi 0 ， i 1, 2, ；
x2 p2
xi pi
②
．
i
p
i
1．
, j 1, 2,
；或
⑶二维离散型随机变量的分布律： P{ X xi , Y y j } pij ， i 1, 2,
4
X
Y
⑶二维随机变量的分布函数： F ( x, y) P{X x, Y y} ， ( x, y) R 2 ． ⑷二维随机变量分布函数的性质： ① 0 F ( x, y) 1 ，其中 ( x, y) R 2 ； ② F (, ) 1, F ( x, ) F (, y) F (, ) 0 ； ③ F ( x, y) 分别为关于变量 x 和 y 单调不减的函数； ④ F ( x, y) 分别关于变量 x 和 y 处处右连续． ⒉分布律及性质 ⑴一维离散型随机变量的分布律： P{ X xi } pi ， i 1, 2, ；或
, n ，则
X i ~ B( ni , p) ．
i 1 i 1
n
n
特别地，设随机变量 X1 , X 2 ,
, X n 相互独立，且 X i ~ B(1, p), i 1, 2,