华师版八年级数学不等式的简单变形2
不等式的简单变形[下学期]--华师大版-
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不等式和它的基本性质
例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空： a> b (1)a-3 > b-3 (2) (3) -4a < -4b
2 2
不等式和它的基本性质
1.用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后 括号内填写理由.
(1)∵a＞b (2)∵ a＞b ∴a-4 ＞b-4(不等式基 ) ∴ 4a ＞ 4b(不等式基 ) 本性质2 本性质 1 (3)∵3m＞5n (4)∵4x＞5x ∴ -m ＜ 5n (不等式基 ) ∴ x＜0(不等式基) 本性质3 本性质1 (5)∵ a ＜ 3 b (6)∵a-1＜8 ∴ a 4＞2b( 不等式基 ) ∴ a＜ 9( 不等式基 ) 2
> 7×2_______4 × 2，
7×0_______4 ×0， =
< 7×（－1）_______4 ×（－1），
< 7×（－2）_______4 ×（－2）， < 7×（－3）_______4 ×（－3），
从中你能发现什么？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
概括：
不等式的性质2 如果a>b，并 且c>0，那么ac>bc。 不等式的性质3 如果a>b，并 且c<0，那么ac<bc。 这就是说，不等式两边都乘以（或 除以）同一个正数，不等号的方向 不变；不等式两边都乘以（或除以） 同一个负数，不等号的方向改变。
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帝正在看一本书，至于是什么书，慕容凌娢没敢正眼看。她只能把头压的很低，脸与地面成三十度角，小心翼翼的转着眼珠， 寻找那抹代表着希望，又让人心情舒畅的绿。那是玉玺特有的颜色，虽然看起来很像出轨绿。连续翻了N个白眼之后，慕容凌 娢依旧木有找到玉玺，只是感觉头晕眼花。好后悔，好扎心！后悔当年还在学校时没有好好练习‘写轮眼’。虽然考试时用处 并不大，但也不会落得现在这种心有余而能力不足的地步啊。 正当慕容凌娢悲愤抑郁时，身后响起一阵脚步声。郭扬从殿外 急匆匆走进来，再怎么稳的小碎步也掩盖不了他的方乱。“陛下……”郭扬恭恭敬敬递上去了一个信封。这貌似是奏折啊…… 虽然郭扬遮挡的很严实，慕容凌娢仍然看出那封面是奏折专属的。需要皇帝亲自定夺的奏折，绝对不简单。难道是没经过通政 司的加急密报？“草民先行告退。”夏桦跪下磕头，然后准备开溜。“夏先生请留步。”皇帝神情凝重。郭扬脸色也好不到哪 儿去，但他依旧记得给别人使眼色。侍女们对郭扬的神色了如指掌，没有一点拖泥带水，全都退下了。慕容凌娢当然也跟着走 了出去。不管怎么说，经过一波三折，起起落落（实际上并没有，全是慕容凌娢想象出来的。）之后，她终于还是提前出来了， 和原计划没偏差。至于夏桦那边……他那么机智，一定没问题。慕容凌娢决定熟悉一下整个皇宫的布局，先踩踩点，免得偷灵 石时再迷路。偶然抬头，看到极高的宫墙，慕容凌娢还是很方的，毕竟这墙跟郭扬家的墙根本就不在一个比较级上。这可怎么 翻呢……慕容凌娢将手按在朱红色的宫墙上，毫不客气的使劲推了一下，但这只会让她自己后退两步。巍峨的高墙在慕容凌娢 后退时，只是露出滑稽球般金灿灿的光辉，高傲的不能再高傲了。“坑人。”慕容凌娢不满的小声低估，看四周没有其他人经 过，就蹲下来从墙根开始估计墙的高度。她蹲下去，又马上站起来，抬头看墙的顶端，然后又伸长手臂跳起，看看自己到底能 能达到那种程度。连续跳了几次，慕容凌娢保守估计，这墙有十米。“呲——”慕容凌娢靠在墙边，一点头绪都没有。她难不 成要背一段绳索来?“你是何人！”高调又充满命令语气的声音从慕容凌娢背后响起。慕容凌娢一怔，回过头去，只见一个身 着粉色宫装的女孩站在自己面前，后面还跟着六个宫女。“大胆，见到本公主还不行礼。”女孩双手掐腰，柳眉微皱，还很有 气势的噘着嘴。“公主殿下恕罪……”慕容凌娢很麻溜的跪下了，毕竟膝盖什么的，能有命重要？宫斗大戏里的套路就是一言 不合就掌嘴，一点不爽就一丈红，还是小心为好。“奴婢并非有意冒犯公主殿下，还望殿下开恩。”（古风一言）奈何桥畔轮 回转，定携素手至桑田。第119章 八哥“公
解一元一次不等式(2)[下学期]--华师大版-
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石门实验中学数学组
《同步练习册》58页，预习检测
பைடு நூலகம்、 ＞
；＞。 2、 ＞ ； 3、 ＜ ； 4、不变； 5、不变 ； 改变 6、解：X－2 +2＜3+2
X＜5
抽出若干位同学，分成甲、乙两组， 甲组人数为５人,乙组人数为２人。 （1）若每组各增加3人，现在哪组 人数多？ （2）若每组各减少3人，现在哪组 人数多？
随堂练习：解下列不等式
1 1 (1)1 x x 1 2 2 (2) x 7 12 (3)7 x 4 5 6 x
不等式的两边都乘以（或除以）同 一个数，不等号的方向是否也不变呢 ？
试一试，将不等式7 ＞4两边都乘以同一个数， 比较所得的数的大小，用“＜”或“＞”填空： 左边 7 ×3 7 ×2
解:(1)不等式的两边都除以3, (2)不等式的两边都乘以 不等号的方向不变,所以 2,不等号的方向不变,所以
3X 3＞9 3 X ＞3
1 x 2
2＞（－3） 2
X＞-6
(3)不等式的两边都除以-2 1 (或乘以－ ),
2
不等号的方向改变,所以 1 1 －2 x ×(- ) ＜6 × () 2 2 x＞-3
这就是说，不等式两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变；不等式 两边都乘以（或除以）同一个负数，不等 号的方向改变。
《同步练习册》58页， 堂堂清第１、２、３
1、 C
2、＜ C ＜ ＞ ＜ ＜ ＞ ＜ ＞ 3、
解不等式：(1)3X＞9； （2） 1 X＞－3 (3)－2X＜6 2 请思考：如何将X的系数化为1？根据是什么？
个数或同一个整式，不等式的方向不变。
数学初一下华东师大版8.2不等式的简单变形资料
答案: (1)x>-2
(2)x≤ 0
(3)x>1
(4)x≥3
5
例２、解不等式
(1)
1 x>-3 2
(2)
-2x<6
x>-3
解: (1)两边同时乘以２，得：
(2)两边同时除以－２，得：
x>-6
化系数为 1
6
回顾与小结： １、不等式的性质（特别要注意性质３） ２、解一元一次不等式的过程，类似于解一元一 次方程，就是将不等式进行一系列的变形，最终 转化成x >a( x≥a)或x<a(x≤a)的形式 ３、解一元一次不等式的步骤：移项、化系数为 １
本课学习目标：
1、掌握不等式的基本性质. 2、会利用不等式的性质求不等式 的解集. 3、加深对解集概念的理解.
1
根据不等式 7 > 4 填空:
＞ 7+3__4+3 ＞ 7+(-1)__4+(-1) ＞ 7+0__4+0 ＞ ×3 7×3__4
﹤ ×(-1) 7×(-1)__4
﹦ ×0 7×0__4
总结:
☆ 不等式的两边加上或减去同一个数或者整式, ☆ 不等式的两边都乘以（或除以）一个正数，不等
不等号的方向不变 号的方向不变
☆ 不等式的两边都乘以（或除以）一个负数，不等
号的方向改变
2
不等式的性质：
1、如果a b，则a c b c 2、如果a b, 并且c 0, 则ac bc 3、如果a b, 并且c 0, 则ac bc
提示：与解方程一样，解一元一次不等式的过程，其 实就是将不等式进行一系列的变形，最终转化成x >a( x≥a)或x<a(x≤a)的形式
8.2.2不等式的简单变形
学习目标
1、理解并掌握不等式的基本性质。 2、会利用不等式性质进行简单不等式的 变形 3、掌握解简单不等式的方法。
设疑自探
1、不等式有哪些性质？ 2、如何运用不等式基本性质进行不等式 的简单变形。 3、进行不等式简单变行应注意什么？
问题情景： 你能准确填出不等号吗？
随堂练习：
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) 2 x 4 ( 2 )3 x 0 1 (3) x 2 3 1 ( 4) x 3 4
已知a＞b，判断下列不等式变形是否正确，并说明理由。
a b (1) c c 2 2 (2)ac bc
2 2
C≤0时不成立 C=0时不成立 成立 C=1时不成立
不等式的两边都乘以（或除以）同 一个数，不等号的方向是否也不变呢 ？
试一试，将不等式7 ＞4两边都乘以同一个数，比较所 得的数的大小，用“＜”或“＞”填空：
左边
7×3 7 ×2 7 ×1 7 ×0 7 ×（－1） 7 ×（－2） 7 ×（－3）
＞、 ＜、 =
右边
4 ×3 4 ×2 4 ×1 4 ×0 4 ×（ － 1） 4 ×（ － 2） 4 ×（ － 3）
解 ：不等式的两边都减去 2x
（即加上－ 2x ），不等号的 方向不变，所以 3x－2x<2x－3－2x 得 x<－3
解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集：
1 1 (1)1 x x 1 2 2 ( 2) x 7 12 (3)7 x 45 6 x ( 4 ) 4 1 .5 x 0 .5 x 7
不等号有何 变化
＞ ＞ ＞ = ＜ ＜ ＜
不变 不变 不变 变 变 变 变
不等式的简单变形
(3)a(c 1)b(c 1)
（4）a(c-1)2＞b(c-1)2
1、不等式的两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式，不等式 的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一 个正数，不等号的方向不变；不等式 两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变。
不等号有何 变化
＞ ＞ ＞ = ＜ ＜ ＜
不变 不变 不变 变 变 变 变
从中你能发现什么？
不等式的性质2 如果a＞b，并且c＞0, 那么ac＞bc 不等式的性质3 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc
ห้องสมุดไป่ตู้
这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同 一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数， 不等号的方向改变。
与解方程一样，解不等式的过程，就是要 将不等式变形成x>a 或x<a的形式。 例如: x －7＝8 x －7＜8
解：方程的两边都加上7， 解：不等式的两边都加上7， 不等号的方向不变，所以 等式仍然成立，所以
x－7＋7＝8＋7 x＝8＋7 x＝15
x－7＋7＜ 8＋7 X＜8+7 X＜15
例1：解不等式 （1）X－7＜8 （2）3X＜2X －3
8.2.2不等式的简单变形
问题情景： 你能准确填出不等号吗？
老师 同学
＞ 13 谁的年龄大？ 30 ______ 三 年 前：30－3 ______ ＞ 13－3 ＞ 13＋5 五 年 后：30＋5 ______
不等式的性质1
如果a>b，那么 a＋c>b＋c，a－c>b－c
这就是说，不等式的两边都加上（或减 去）同一个数或同一个整式，不等式的 方向不变。
解 ：不等式的两边都
华师版八年级下册数学第8章 一元一次不等式 不等式的简单变形
*12.若a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不 等式成立的是( )
A．ac＞bc B．ab＞cb C．a＋c＞b＋c D．a＋b＞c＋b
【点拨】由图知，a＜b＜0，c＞0， A．ac<bc，故A错误； B．ab＞cb，故B正确； C．a＋c＜b＋c，故C错误； D．a＋b＜c＋b，故D错误，故选B.
9．不等式－3x＋5≤2的解集在数轴上表示正确的是( )
【点拨】不等式两边同时减去5，得－3x≤－3，然后 不等式的两边同时除以－3，得x≥1，故选A.
【答案】A
10 ． 如 果 (a ＋ 9)x ＜ a ＋ 9 的 解 集 为 x ＞ 1 ， 那 么 a 需 要 满 足 ()
A．a＜0B．a≤－9C．a＜9D．a＜－9
不等式性质1和3，先两边都减去3， 再两边都乘以－4.
15．已知关于 x 的不等式(1－a)x＞2 两边都除以 1－a，得 x ＜1－2 a，试化简：|a－1|＋|a＋2|.
解：由已知得1－a＜0，即a＞1， 则|a－1|＋|a＋2|＝a－1＋a＋2＝2a＋1.
16．(1)比较大小：如果a－1＞b＋2，那么a____＞____b. (2)试比较2a与3a的大小： ①当a＞0时，2a________3a； ②当a＝0时，2a___＜_____3a； ③当a＜0时，2a____＝____3a.
C．∵a＞b，∴a＋1＞b＋1，∵b＋1＞b－1，∴a＋1 ＞b－1，符合题意； D．设a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a－1＜b＋1，不 符合题意．
【答案】C
2．由a－3<b＋1C．a－1<b＋3 D．a＋1<b－3
3．【中考·沈阳】不等式2x≤6的解集是( A ) A．x≤3 B．x≥3 C．x＜3 D．x＞3
8.2.2不等式的简单变形
华师大版七年级（下）第八章一元一次不等式主备人：王晓梅8.2.2不等式的简单变形一、温故知新：1、方程有哪些简单变形？2、用不等式表示（1）a是负数（2）a与5的和小于7二、设问导读阅读教材第55-57页的内容，思考并完成下列问题：问题1：1.用“＞”或“＜”填空，观察不等号的方向是否有变化？．（1）5＞3，则5+2______3+2，5-2______3-2（2）-1<3,则-1+2______3+2，-1-3______3-3(3) 6＞2,则6×5______2×56×(-5) ______2×(-5)(4)-2＜3,则-2×6______3×6（-2）×（-6）______3×（-6）（5）通过（1，（2），（3），(4)你能总结出不等式的三条基本性质吗？问题2.（1）如果a b，则a成立吗？（2）如果a b，c，则ac ＞ bc 一定成立吗？（3）如果a b，c，则ac与bc之间是什么不等关系？问题3、（1）x-7<8中，怎样才能将-7消去？结果是什么？（2）3x<2x-3中，如何将2x消去？结果是什么？（3）上述的运算目的是让不等号左侧和右侧分别只含有什么项？三、自学检测1. .设a>b,用“<”或“>”填空：（1）a+2 b+2；（2）a-3 b-3；（3）-4a-4b；（4）2a2b；2、解不等式：（1）x－3>1；（2）－32x>－1；（3）3x<1+2x；（4）2x>4四、巩固训练题组一1.设a < b，用“< ”或“ >”填空，并说明依据：（1）3a 3b ；依据 .（2）a-8 b-8；依据 .（3）-2a -2b ；依据 .（4）2a-5 2b-5 ；依据 .2. 用不等式的性质解下列不等式. （1）x+2>6；（2）2x≤3x+10；（3）x-2≥0.1； (4) -3x＜10.题组二1.利用不等式的性质，用“<“，”>“号填空。
8.2.2不等式的简单变形.2.2不等式的简单变形.教学设计
8.2.2解一元一次不等式(不等式的简单变形)教学设计华师大版数学七年级下册学习目标：1．理解不等式的三条基本性质.2．经历不等式性质的探究过程，体会类比方法，感悟分类讨论的数学思想，培养观察概括能力，积累数学活动经验．3．会用不等式的基本性质解简单的不等式，经历和体会解不等式中“转化”的过程和思想．学习重点：探究不等式性质和解简单的不等式．学习难点：不等式的性质3．回顾复习：问题1．回顾等式的基本性质：等式的基本性质1文字叙述：等式两边都加上（或都减去），．a=，那么．符号表示：如果b等式的基本性质2文字叙述：等式两边都乘（或都除以），．a=，那么．符号表示：如果b【设计理由】探究不等式的性质，是把它和等式的性质类比，找到切入口．此问题旨在唤醒学生已有的等式的性质，为后面探究做好准备．【使用说明】学生独立思考、查阅、填出所提问题.科学探究：如图所示，一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然a>b），如果在两边盘内分别加上等量的砝码c，那么盘子仍然像原来那样倾斜（即a＋c>b＋c）.【归纳结论】不等式的性质1：如果a>b，那么a＋c>b＋c，a-c>b-c.这就是说，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等式的方向不变.思考：不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？试一试：将不等式7>4两边都乘以同一个数，比较所得的数的大小，用“<”，“>”或“＝”填空：……从中你能发现什么？【归纳结论】不等式的性质2：如果a>b ，并且c>0，那么ac>bc . 不等式的性质3：如果a>b ，并且c<0，那么ac<bc.这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.与解方程一样，解不等式的过程，就是要将不等式变形成x>a 或x<a 的形式.【教学说明】让学生参与知识的形成过程的学习，有利于培养学生动手实践，积极探索的科学学习方法，有利于培养学生的良好学习习惯和严谨的学习态度，有利于发展学生的直觉思维、形象思维和逻辑思维能力，有利于培养学生的独立钻研、相互交流和共同协作的科学态度，符合新课标的思想.【学习反馈】1．若b a >，用“>”或“<”填空：（1）2+a ____2+b ， （2）2-a _____2-b ， （3）2a_____2b ， （4）a 2-_____b 2-． 【设计理由】本题是不等式性质的基本运用，通过学习反馈，了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生以获得成功体验的空间，再次激发学习兴趣，建立学好数学的自信心，进一步达成目标1.【使用说明】学生独立完成，引导评价交流．学习能力较强的班级可补充类似“a 2-+2_____b 2-+2”需要两次运用性质的比较大小的题目.问题1．解不等式： （1）87＜－x ； （2）323-x x ＜．解：两边都加上7，得8<x ， 解：两边都减去2x ，得33-<x，即15<x ． 即3-<x ． 【思考】1．这里的变形与方程的什么变形类似？2．将不等式的某些项改变符号后移到另一边，不等号的方向会不会改变？问题2．解不等式：（1）321->x ； （2）62<-x ． 解：两边都除以21，得213÷-x ， 解：两边都除以－2，得)2(6-÷x， 即6-x． 即3-x．【思考】1．这里的变形与方程的什么变形类似？2．不等式的两边都乘以（或都除以）什么数时，不等号的方向需要改变？ 3．解不等式的过程，就是将不等式进行适当的变形，化成什么形式？ 【设计理由】问题4、5是让学生经历用不等式的基本性质解简单的不等式，是本节课的重点，这样设计就是要让学生掌握解不等式是通过“移项”和“系数化为1”将不等式进行适当的变形，体会其中“转化”的过程和思想．达成目标3.【使用说明】学生先独立完成、个别展示，老师小结.重点强调今后解不等式就不要采用“不等式两边同加同减”来进行变形，直接移项便可，感悟转化的思想.【学习反馈】1.解下列不等式：（1）21>+x ； （2）24-<x ； （3）121<x －．【设计理由】本题是用不等式的基本性质解简单的不等式，通过学习反馈，了解学习效果，进一步达成目标3。
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教学过程设计
三、巩固训练： Ｐ60 exc3、4 四、知识小结： 通过两节对不等式性质的学习要知道： 应用不等式 1 解不等 式时可以对照解一元一次方程中的移项；应用不等式的性质 2、 3 来解不等式时要注意到区别，特别是不等式两边都乘以同一个 负数时要改变不等号的方向。 不能简单地生搬解方程中的化系数 为 1。 五、家庭作业： Ｐ63 exc1（3、4） 、3 六、每日预题： 1、解一元一次方程有哪些基本步骤？ 2、解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程有何相同之 处与不同之处？ 七、教学反馈：
一、知识导向： 本节内容可以说是不等式性质 1 的后续， 要结合有关等式的 基本性质 2 的基础上来进行学习， 但在学习中应该说最大的不同 点就在于性质 3 的运用， 即当不等式的两边同时乘以同一个负数 时，必须改变不等号的方向。 二、新课拆析： 1、知识回顾： 其一、不等式的基本性质 1； 其二、等式（方程）的基本性质 2； 其三、运用“移项”简便地对不等式进行简单变形。 2、知识设疑： （引例）将不等式 7 > 4 两边都乘以同一个数，比较所得的 数的大小，用“<”或“>”填空： 7 × 3…… 4 × 3 、 7 × 2…… 4 × 2 7 ×1…… 4 × 1 、 7 × 0…… 4 × 0
7 × (−3)…… 4 × (−3) 、 7 × (−2)…… 4 × (−2)
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简要回顾有关不 等式的性质 1 的 研究方法有助于 更快地引入不等 式的基本性质 2、 3 的学习， 并及时 与等式的基本性 质进行比较。 通过运用实例， 用数字来说明这
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通过运用性质 2、 3 扩展到 “化系数 为 1” ，我们可以 在下一节学习解 一元一次不等式 时能更顺利地学 习。 但在这里必须让 学生清楚知道， “化系数为 1” 这 一步骤是根据不 等式的基本性质 2、3 得到的。
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分析备注
两个性质的异同 点。
> b ， c 为任意正数） （
这里头的 c ， 只能 是一个数，特别 要区分到是正数 或是负数。 可以让学生再举 出一些简单的例 子来说明。
a b 那么 ac > bc、 > c c 如果 a
> b ， c 为任意负数） （
a b 那么 ac < bc、 < c c 4、知识拓展： 1 通过对不等式 x > −3 及 −2 x < 6 的解题， 再结合一元一次方 2 程中的“化系数为 1”法则，我们可以寻找到一定的规律：采用 解方程中的“化系数为 1”思想来解不等式较为简便。 1 即对 x > −3 的解题，我 2 x > −6 5、例题讲解： 例：解不等式 1 （1） x > −3 （2） −2 x < 6 2 例：解不等式（运用“化系数为 1” ）并在数轴上表示解集 （1） −9 x > 14 （2） 8 x − 7 ≤ 15
分析备注
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教学过程设计 第十三章 §13.2 一元一次不等式 解一元一次不等式
分析备注
不等式的简单变形（2） 教学目的： 1、使学生会运用不等式的性质 2、3，将不等式 进行简单变形； 2、通过不等式的三条性质的学习，使学习感受到 数学学习中“转化的思想。 教学分析： 重点：通过不等式的性质，求解不等式的解集； 难点：不等式性质 3 的应用。 关键： 应用不等式性质 3 时， 不等号的方向要改变。 教学过程：
教学过程设计
请同学们通过试验，观察你所得的结论，发现了什么？ 3、知识形成： 通过引例，可以得到：将不等式 7 > 4 两边都乘以同一个正 数例如 3、2、1，不等号的方向不变；当两边都乘以零时，是相 等的两个数；当都乘以同一个负数时，如：-2、-3 时，不等号方 向变了。 概括：不等式的性质 2，不等式两边都乘以（除以）同一个正数， 不等号的方向不变； 不等式的性质 3， 不等式两边都乘以 （除以） 同一个负数， 不等号的方向改变； 即，如果 a