不等式与多项式不等式的变形与根的判别
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
(完整版)方程与不等式的知识点梳理
方程与不等式知识点梳理1、方程与方程组一元一次方程：①在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
②等式两边同时加上或减去或乘以或除以（不为0）一个代数式，所得结果仍是等式。
解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程的解。
解二元一次方程组的方法：代入消元法/加减消元法。
一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最高系数为2的方程1）一元二次方程的二次函数的关系大家已经学过二次函数（即抛物线）了，对他也有很深的了解，好像解法，在图象中表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当Y的0的时候就构成了一元二次方程了。
那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点。
也就是该方程的解了2）一元二次方程的解法大家知道，二次函数有顶点式（-b/2a,4ac-b2/4a），这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程的解(1）配方法利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解(2)分解因式法提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。
在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解(3)公式法这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a，X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a3）解一元二次方程的步骤：（1）配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式(2)分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式(3)公式法就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c4）韦达定理利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
不等式解法整式分式根式.doc
§不等式的解法（一）【一线名师精讲】基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程，当元的取值范围扩大时，应与原有取值范围求交集。
2、解不等式是一个由繁到简的转化过程，其转化的总思路为：分式不等式整不式等根式不等式不式绝对值不等式等的函数不等式式解3、解含有等号的不等式时，应该将等式与不等式分开解答后取并集。
基本类型不等式的解法：( 一 ) 、整式不等式的解法1、一元一次不等式标准形式：ax b 或 ax b(a 0) .解法要点：在不等式的两端同时除以 a 后，若a0 则不等号要反向。
2、一元二次不等式标准形式：ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 （其中 a 0 ）。
解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求方程ax2bx c 0 的根。
（3）写解：根据方程ax2 bx c 0根的情况写出对应不等式的解集。
当两根明确时，可由“大于 0，两根外；小于 0，两根内”的口诀写解，当0 时，则可由函数 y ax 2 bx c 的草图写解。
3、一元高次不等式（可分解因式型）标准形式：a( x x1 )( x x 2) (x x n)0 或a (x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) 0 a 0 。
解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便，一般可按如下步骤进行：（1）整形：将不等式化为标准形式。
（2）求根：求出对应方程的根。
（3）穿根：将方程的根标在数轴上，用一条曲线从右上方开始依次穿过。
方程有重根时，奇数重根按正常情况穿过，偶数重根则不穿过，反弹回来后继续穿根。
即“奇过偶不过”。
（ 4 ）写解：数轴上方所对应曲线的区间为a( x x1 )( x x2 ) ( x x n ) 0 的解，数轴下方所对应曲线的区间为a(x x1)(x x 2) (x x n) 0 的解。
（二）、分式不等式的解法标准形式：g ( x)0，或 g ( x ) 0 。
(天津专版)2018年高考数学母题题源系列专题20应用导数研究函数的性质文
母题二十 应用导数研究函数的性质【母题原题1】【2018天津，文20】设函数()()()123=()f x x t x t x t ---，其中123,,t t t R ∈，且123,,t t t 是公差为d 的等差数列． （I ）若20,1,t d == 求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （II ）若3d =，求()f x 的极值；（III ）若曲线()y f x = 与直线()2y x t =---d 的取值范围．【考点分析】本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和分类讨论思想，考查综合分析问题和解决问题的能量，满分14分．【答案】(Ⅰ)0x y +=；(Ⅱ)极大值为-；(Ⅲ) ((),10,-∞-+∞【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得()()3231,f x x x f x x '=-=-，结合()()0010,f f '=-=，究()g x 的性质可得d 的取值范围是((),10,-∞+∞．试题解析：（Ⅰ）由已知，可得()()()311f x x x x x x =-+=-，故()231f x x '=-，因此()()0010,f f '=-=，又因为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()()()00?0f y f x '-=-，故所求切线方程为0x y +=．（Ⅱ）由已知可得()()()()()()()332232222222223393399f x x t x t x t x t x t x t x t x t t =-+---=---=-+--+．故()2222 3639x t x t f x '=-+-．令()0f x '=，解得2x t =2x t =当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表：∴函数()f x 的极大值为(((329f t =-⨯=；函数()f x 的极小值为(32f t =-=-．（Ⅲ）曲线()y f x =与直线()2y x t =---有三个互异的公共点等价于关于x 的方程()()()()2222 0x t d x t x t d x t -+---+-=有三个互异的实数解，令2u x t =-，可得()3210u d u +-+=．设函数()()321gx x d x =+-+()y f x =与直线()2y x t =---价于函数()y f x =有三个零点．()()3231x x g d '=+-．()g x 的极小值())322219g x d g ⎛==--+ 若()20g x ≥，由()g x 的单调性可知函数()y g x =至多有两个零点，不合题意． 若()20,g x <即()322127d ->，也就是d >，此时2d x >，()0,g d d =+>且()312||,26|20d x g d d d --=--+<-，从而由()g x 的单调性，可知函数()y g x =在区间()()()11222,,,,,d x x x x d -内各有一个零点，符合题意．d ∴的取值范围是((),10,-∞-+∞．【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用． 【母题原题2】【2017天津，文19】设,a b ∈R ，||1a ≤．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()e ()x g x f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和e x y =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线， （i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e x g x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，递减区间为(),4a a -．（2）（ⅰ）()f x 在0x x =处的导数等于0．（ⅱ）b 的取值范围是[7],1-．试题解析：（I ）由324()63()f x x a x x a b =--+-，可得2()3123()3()((44))f 'x x a x a a x x a -=---=--，令()0f 'x =，解得x a =，或4x a =-．由||1a ≤，得4a a <-． 当x 变化时，()f 'x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(),4a a -．（II ）（i ）因为()e (()())xx x g'f f 'x =+，由题意知000()e ()exx x x g g'⎧=⎪⎨=⎪⎩，由（I ）知()f x 在(,)1a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，从而()e xg x ≤在00,[11]x x -+上恒成立．【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间；3．导数的综合应用．【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出0x a =，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能． 【母题原题3】【2016天津，文20】设函数3()(1)f x x ax b =---，R x ∈，其中R b a ∈, (I)求)(x f 的单调区间；(II) 若)(x f 存在极值点0x ，且)()(01x f x f =，其中01x x ≠，求证：1023x x +=； （Ⅲ）设0>a ，函数|)(|)(x f x g =，求证：)(x g 在区间[]02,上的最大值不小于．．．41． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：a x x f --=2)1(3)('，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当0a ≤时，有()0f x '≥恒成立，所以()f x 的单调增区间为(,)-∞∞．②当0a >时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得3)1(20a x =-，计算可得00(32)()f x f x -=再由)()(01x f x f =及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数)(x g 最大值：主要比较(1),(1),,f f f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭，的大小即可，分三种情况研究①当3a ≥时，33120331a a +≤<≤-，②当334a ≤<时，3321233133103321aa a a +≤<+<-<≤-，③当304a <<时，23313310<+<-<a a ．当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：所以)(x f 的单调递减区间为)331,331(a a +-，单调递增区间为)331,(a --∞，),331(+∞+a ． （Ⅱ）证明：因为)(x f 存在极值点，所以由（Ⅰ）知0>a ，且10≠x ，由题意，得0)1(3)('200=--=a x x f ，即3)1(20a x =-，进而b a x a b ax x x f ---=---=332)1()(00300．又 b a ax x ab x a x x f --+-=----=-32)1(38)22()22()23(000300)(33200x f b ax a =---=，且|}1||,21max{||})0(||,)2(max{|b b a f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=⎩⎨⎧<++--≥+++-=0),(10),(1b a b a a b a b a a ，所以2||1≥++-=b a a M ． （2）当343<≤a 时，3321233133103321a a a a +≤<+<-<≤-，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，)331()3321()0(a f a f f +=-≥，)331()3321()2(af a f f -=+≤，所以)(x f 在区间]2,0[上的取值范围为)]331(),331([af a f -+，因此|}392||,392max{||})331(||,)331(max{|b a a ab a a a a f a f M -----=-+= |})(392||,)(392max{|b a a a b a a a +-+--=414334392||392=⨯⨯⨯≥++=b a a a ．|}21||,1max{||})2(||,)0(max{|b a b f f M ----==|})(1||,)(1max{|b a a b a a +--++-=41||1>++-=b a a ． 综上所述，当0>a 时，)(x g 在区间]2,0[上的最大值不小于41． 证法2：欲证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于14，只需证在区间[02]，上存在12,x x ，使得③若304a <≤时，()()102222f f a -=-≥，成立；④当34a >时，411132f f ⎛⎛-= ⎝⎝，成立． 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域(定义域优先)； (2)求导函数f ′(x )；(3)在函数f (x )的定义域内求不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0的解集．(4)由f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)的解集确定函数f (x )的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f (x )在(a ，b )上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到． 【母题原题4】【2015天津，文20】已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <，求证：1321-43a x x <-+．【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析． 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x =-，可得3()44f x x ¢=-，当()0f x '>，即1x < 时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x > 时，函数()f x 单调递减．所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞，单调递减区间是()1,+∞．（II ）设()0,0P x ，则1304x =，()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，即()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-．由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减，故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减，又因为()00F x '=，所以当()0,x x ∈-∞时，()0F x '>，所以当()0,x x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在()0,x -∞单调递增，在()0,x +∞单调递减，所以对任意的实数x ，()()00F x F x ≤=，对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £．【命题意图】导数是研究函数的重要工具，利用导数研究函数的单调性可以描绘出函数图象大致的变化趋势，是进一步解决问题的依据．分类讨论思想具有明显的逻辑特征，是整体思想一个重要补充，解决这类问题需要一定的分析能力和分类技巧．因此高考对这类题主要考查导数的运算、代数式化简与变形，考查运算求解能力，运用数形结合、分类讨论的思想方法分析与解决问题能力．【命题规律】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想．含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一．这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等．【答题模板】解答本类题目，以2017年第10题高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：求解导函数、因式分解、分类讨论，写出单调性 （1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2(2)1(1)(21)x x x x f x ae a e ae e '=+--=-+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减． （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-．当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增．第二步：依据单调性判断零点情况 （ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点． （ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+． ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点；②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<． 第三步： 赋值判断零点 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点．设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->． 由于3ln(1)ln a a ->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点．综上，a 的取值范围为(0,1)．【方法总结】1．研究函数单调区间，实质研究函数极值问题．分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏．2．求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间．3．讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况．大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．4．含参数的函数的极值(最值)问题常在以下情况下需要分类讨论：(1)导数为零时自变量的大小不确定需要讨论；(2)导数为零的自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论； (3)端点处的函数值和极值大小不确定需要讨论；(4)参数的取值范围不同导致函数在所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论． 5．求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数)(x f 的定义域(定义域优先)； (2)求导函数()f x '；(3)在函数)(x f 的定义域内求不等式()0f x '>或()0f x '<的解集．(4)由()0f x '>（()0f x '<）的解集确定函数)(x f 的单调增(减)区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．6．由函数)(x f 在(,)a b 上的单调性，求参数范围问题，可转化为()0f x '≥ (或()0f x '≤)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．7．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．8．函数、导数解答题中贯穿始终的是数学思想方法，在含有参数的试题中，分类与整合思想是必要的，由于是函数问题，所以函数思想、数形结合思想也是必要的，把不等式问题转化为函数最值问题、把方程的根转化为函数零点问题等，转化与化归思想也起着同样的作用，解决函数、导数的解答题要充分注意数学思想方法的应用．9．导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用． 10．函数的单调性问题与导数的关系（1）函数的单调性与导数的关系：设函数()y f x =在某个区间内可导，若()0f x '>，则()f x 为增函数；若/()0f x <，则()f x 为减函数． （2）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论； (3) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数））0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加．（4）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集．11．函数的极值与导数 （1）函数极值的概念设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数()f x 的一个极大值，记作y 极大值=0()f x ；设函数()y f x =在0x 附近有定义，若对0x 附近的所有点，都有0()()f x f x >，则称0()f x 是函数()f x 的一个极小值，记作y 极小值=0()f x ．注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极小值;极值点不能在函数端点处取．（2）函数极值与导数的关系当函数()y f x =在0x 处连续时，若在0x 附近的左侧/()0f x >，右侧/()0f x <，那么0()f x 是极大值；若在0x 附近的左侧/()0f x <，右侧/()0f x >，那么0()f x 是极小值．注意：①在导数为0的点不一定是极值点，如函数3y x =，导数为/23y x =，在0x =处导数为0，但不是极值点； ②极值点导数不定为0，如函数||y x =在0x =的左侧是减函数，右侧是增函数，在0x =处取极小值，但在0x =处的左导数0(0)(0)lim x x x -∆→-+∆--∆=-1，有导数0(0)(0)lim x x x+∆→+∆-∆=1，在0x =处的导数不存在．（3）函数的极值问题①求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0点，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点取极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；②已知极值求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；③已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围．12．最值问题 （1）最值的概念对函数()y f x =有函数值0()f x 使对定义域内任意x ，都有()f x ≤0()f x （()f x ≥0()f x ）则称0()f x 是函数()y f x =的最大（小）值．注意：①若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值．②最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值．（2）函数最问题①对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；②对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式()f x ≤（≥）()g a （x 是自变量，a 是参数）恒成立问题，()g a ≥max ()f x （≤min ()f x ），转化为求函数的最值问题，注意函数最值与极值的区别与联系．1．【2018（1）若曲线（2【答案】（1）1；（2详解：（1（2【名师点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点(2) 己知斜率求切点(3) 巳知切线过不是切点)2．【2018（1）求曲线处的切线方程；（2）若函数2（3试问：正整数否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．【答案】【解析】分析：（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2p（x）a的范围即可；（3）求出h（x）的导数，根据函数的单调性求出h（x）的最值，从而求出m的范围即可．详解：（1（3）由题意因此，而是正整数，故，所以时，存在，时，对所有【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．3．【2018（1（2）求函数的单调区间；（3存在实数恒成立，求【答案】（12）见解析（3代入函数解析式，之后应用求导公式求得其导数，将其函数值和导函数值，之后应用点斜式将切线方程写出，在化为一般式即可；第二问对函数求导，对导数等于零的根的大小进行比较，分类讨论求得其单调区间；第三问从函数解析式可以发现，将问题转化为最值来处理即可求得结果．（3时，，，由（2）最大值即【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，该题涉及到的知识点有函数在某个点处的切线的方程的问题，应用导数的几何意义求得其斜率，之后应用点斜式完成任务，函数的单调性，即为求其导数，大于零时单调增，小于零时单调减，需要分类讨论，关于恒成立问题需要将其向最值转化．4．【2018 a >2．（I）讨论函数f(x)的单调性；（II a的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（2，5]【解析】分析：（Ⅱ）原不上恒成立，解不等式可得所求范围．g(x)在x∈(0，+∞)上为增函数．在，∵，∴实数【名师点睛】（1）注意函数的单调区间不能并在一起，若相同的单调区间有多个，中间应用“和”或“，”．（2）函数在某一区间上单调递增（减）的问题，可转化为导函数在该区间上大于等于零（或小于等于零）处理，解题时注意不要忘了等号．5．【2018（Ⅲ）【答案】在（3）不存在．两个不相等的实根，进而可得结果．详解：(1)，解得时，（2）的定义域为，使得函数问题转化为关于的方程即方程，使得函数【名师点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题．求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 处取极小值．（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小．6．【2018天津滨海新区七模拟】已知函数()1ln xf x x ax-=+（其中0a >，e 2.7≈）． （1）当1a =时，求函数()f x 在()()1,1f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++．【答案】（1）0y =；（2）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析【解析】试题分析：（1）()21x f x x='-，()10f '=，()10f =，可求得切线方程．（2）即()f x '在区间[)2,+∞上()0f x '≥恒成立．（3）由（1）得()1ln x f x x x -=+ 0≥在[)1,+∞上恒成立，即1ln x x x -≥．令1nx n =-，得()1ln ln 1n n n--≥，2,3,....n =，不等式同向相加可得．试题解析：（1）()1ln x f x x x -=+，()21.x f x x-∴=' ()10f ∴'=． ()10f =，()()11f x f ∴在点（，）处的切线方程为0y =．（2）()1ln x f x x ax -=+，()21(0).ax f x a ax -∴=>' 函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，()0f x ∴'≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立． 10ax ∴-≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立，即1a x≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立． [)2,x ∈+∞时，max 112x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴ 12a ≥，即所求正实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（3）当1a =时，()1ln x f x x x -=+，()21x f x x='-，所以23111lnln ln 12123n n n +++>+++-，即23111ln()12123n n n ⨯⨯⨯>+++-， 所以111ln 23n n >+++，即对于任意大于1的正整数n ，都有111ln 23n n>+++．【名师点睛】(1)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则()f x '≥0在区间(a ，b )上恒成立；要检验()f x '=0．(2)若可导函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则()f x '≤0在区间(a ，b )上恒成立；要检验()f x '=0．离散型不等式证明关键要找到恒成立不等函数，再x 用离散点列代换，利用不等式同向相加可证，恒成立不等函数一般需要在题中寻找．7．【2018天津模拟】已知函数()()32+1,0{,ln ,0xx x x f x g x x ax m e ax x -+<==-+-≥．（1）当3a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式()()f x g x >对任意的正实数x 都成立，求实数m 的最大整数；（3）当0a >时，若存在实数[],0,2m n ∈且1m n -≥，使得()()f m f n =，求证： 21e a e e -≤≤-． 【答案】（1）单调减区间为(),ln3-∞，单调增区间为()ln3,+∞；（2）2；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）当3a =时，()321,0{3,0xx x x f x e x x -++<=-≥，通过求导得出函数的单调性；（2）由()()f x g x >可得ln x e ax x ax m ->-+对任意的正实数都成立，等价于ln x e x m ->对任意的正实数都成立，设()ln (0)x h x e x x =->，求出()min h x ，即可求出实数m 的最大整数；（3）由题意()x f x e a '=-，（ 0x ≥），得出()f x 在()0,ln a 上为减函数，在()ln ,a +∞上为增函数，若存在实数[],0,2m n ∈，()()f m f n =，则ln a 介于,m n 之间，根据函数单调性列出不等式组，即可求证．∴函数()f x 在区间()0,ln3上为减函数，在区间()ln3,+∞上为增函数．且()01f =，综上，()f x 的单调减区间为(),ln3-∞，单调增区间为()ln3,+∞．（2）由()()f x g x >可得ln x e ax x ax m ->-+对任意的正实数都成立，即ln xe x m ->对任意的正实数都成立．记()ln (0)xh x e x x =->，则()min m h x <，可得()1x h x e x'=-， 令()()()211,0,x x x h x e x e x xφφ==-=+'>'则 ∴()x φ在()0,+∞上为增函数，即()h x '在()0,+∞上为增函数又∵()120,1102h h e ⎛⎫=''=-⎪⎝⎭， ∴()h x '存在唯一零点，记为000011,,102x x x e x ⎛⎫∈-=⎪⎝⎭则且，当()00,x x ∈时，()0h x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，∴()h x 在区间()00,x 上为减函数，在区间()0,x +∞上为增函数．∴()h x 的最小值为()000ln xh x e x =-．∵000000110,,ln xx e e x x x x -=∴==-，∴()000011,,12h x x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，可得()052,2h x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 又∵()min m h x <，∴实数m 的最大整数为2．(3)由题意()xf x e a '=-，（ 0x ≥），令()0,ln f x x a '==解得，由题意可得，1a >，当0ln x a <<时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>又∵()f x 在(),ln m a 上单调递减，且0ln m a ≤<，∴()()0f m f ≤，∴()()10f f ≤， 同理()()21f f ≥，则21{2e a e a e a-≤-≤-，解得21e a e e -≤≤-，∴21e a e e -≤≤-．【名师点睛】本题主要考查利用函数导数研究函数的单调性，最值，考查利用函数的导数求解不等式恒成问题．要通过求解不等式恒成立问题来求得参数的取值范围，可将不等式变形成一为零的形式，然后将另一边构造为函数，利用函数的导数求得这个函数的最值，根据最值的情况来求得参数的取值范围．8．【2018（1；（2（3的最大值．【答案】（1内单调递减；（2（3【解析】试题分析：（1）求出（2内单调递减，则有再证明当（3，的最大值，利用导数可得在单调递增，当（2解法一：时，综上实数解法二：时，内单调递减，则有当时，，有，则， 因此，即．综上实数（3有2个不相等的实数根，9．【2108天津部分区期末考】已知函数()()ln 1f x x a x =+-，a R ∈． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当12a =-时，令()()212g x x f x =--，其导函数为()'g x ，设12,x x 是函数()g x 的两个零点，判断122x x +是否为()'g x 的零点？并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g （x ）=x 2﹣2lnx ﹣x ，x 1，x 2是函数g （x ）的两个零点，不妨设0＜x 1＜x 2，可得x 12﹣2lnx 1﹣x 1=0，x 22﹣2lnx 2﹣x 2=0，两式相减化简可得x 1+x 2﹣1=()1212122ln ln 1x x x x x x -+-=-，再对g （x ）求导，判断122x x g +⎛'⎫⎪⎝⎭的符号即可证明 试题解析：（1）依题意知函数()f x 的定义域为()0+∞，，且()1f x a x'=-． ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0+∞，上单调递增． ②当0a >时，由()0f x '=得1x a =，则当10x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时()0f x '>；当1x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时()0f x '<． 所以()f x 在10a ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增，在1a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递减． （2）122x x +不是导函数()g x '的零点．证明如下：由（Ⅰ）知函数()22ln g x x x x =--． ∵1x ，2x 是函数()g x 的两个零点，不妨设120x x <<，∴22111111222222222ln 02ln { { 2ln 02ln x x x x x x x x x x x x --=-=⇒--=-=，两式相减得： ()()()12121212ln ln x x x x x x -+-=-又01t <<，∴()0t ϕ'>，∴()t ϕ在()0,1上是増函数， 则()()10t ϕϕ<=，即当01t <<时，()21ln 01t t t --<+，从而()()1212122ln ln 0x x x x x x ---<+，又121200x x x x <<⇒-<所以()()1212121222ln ln 0x x x x x x x x ⎡⎤--->⎢⎥-+⎣⎦， 故1202x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭'，所以122x x +不是导函数()g x '的零点． 10．【2018天津河西期中考试】已知函数()()223e xf x x ax a =+--．（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值．（2）设0a <，当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =的上方，求实数a 的取值范围．【答案】（1）5a =-；（2）[)2,0e --． 【解析】试题分析：（1）由()'20f =解得a ，注意要检验此时2是极值点；（2）题意说明()f x 在区间[]1,2上的最大值2e ≤，因此只要求出导数()'f x ，确定()f x 在区间[]1,2上的单调性及最大值，解相应的不等式可得所求范围．当2x >时，()0f x '>，∴2x =是()f x 的极值．∴5a =-． （2）当[]1,2x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2e y =上方，等价于[]1,2x ∈，()2e f x ≤恒成立，即[]1,2x ∈，()2max e f x ≤恒成立，由（1）知，()()()31e x f x x a x =++-'，令()0f x '=，得13x a =--，21x =，当5a ≤-时，32a --≥，∴()f x 在[]1,2x ∈单调减，()()()2max 12e e f x f a ==--≤，e 2a ≥--与5a ≤-矛盾，舍去．当54a -<<-时，132a <--<，()f x 在()1,3x a ∈--上单调递减，在()3,2x a ∈--上单调递增，∴()maxf x 在()1f 或()2f 处取到，()()12f a e =--，()22f e =，∴只要()()212e f a e =--≤，计算得出e 24a --≤<-．当40a -≤<时，31a --≤，()f x 在[]1,2x ∈上单调增，()()max 2xf x f e ==，符合题意，∴实数a 的取值范围是[)e 2,0--．【名师点睛】利用导数研究函数的极值与最值是中学学习导数的主要内容，解题时要注意导数与极值的关系，()0'0f x =是0x 为可导函数()f x 的极值的必要条件，还必要满足在0x 两侧()'f x 的符号是异号，因此在由极值点求参数值时，必须检验，否则可能出错． 11．【2018天津滨海新区模拟】已知函数()()32ln ,ln .2f x x g x x x⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ （1）求函数f (x )是单调区间；（2）如果关于x 的方程()12g x x m =+有实数根，求实数m 的取值集合； （3）是否存在正数k ，使得关于x 的方程()()f x kg x =有两个不相等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由．【答案】(1) ()3,1,3,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭是函数的增区间；（－1，0）和（0，3）是函数的减区间; (2) 实数m 的取值范围是(],ln21-∞-;(3) 满足条件的正数k 不存在．由 ，由因此是函数的增区间； （－1，0）和（0，3）是函数的减区间（2）因为所以实数m 的取值范围就是函数的值域对令∴当x =2时取得最大值，且又当x 无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于－∞．因此函数的值域是即实数m 的取值范围是(],ln21-∞-。
根的判别式教 案
(1)16 x 2 + 8 x = -3 ( 3) 2 x 2 − 9 x + 8 = 0
( 2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ( 4 ) x 2 − 7 x − 18 = 0
板 复习 1. 定义
书
设
计 练习
例1
例2
5
根的判别式教学设计 根的判别式教学设计
姓名： 单位： 姓名：曹秀凤 单位： 沈阳市九十八中学 第二章 第三节 公式法（ 内 容 第二章 一元二次方程 第三节 公式法（二） 一、教学 内容分析 学科： 学科： 数 学
“一元二次方程的根的判别式 一节，在《北师大版》的新教材中没有出 一元二次方程的根的判别式”一节 北师大版》 一元二次方程的根的判别式 一节， 但是它在整个中学数学中占有重要的地位， 现,但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次 但是它在整个中学数学中占有重要的地位 方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式， 方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数等奠定 基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题 通过这一节的学习， 用它可以解决许多其它综合性问题。 基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。通过这一节的学习，培养学 生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、 生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能 力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。 并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
当
时，有两个相等的实数根； 有两个相等的实数根；
当
时，没有实数根。 没有实数根。
反之亦然。 反之亦然。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
不等式解法整式分式根式
§ 不等式的解法一一线名师精讲基础知识串讲解不等式的基本原则：1、解不等式实质是一个等价变形的过程,当元的取值范围扩大时,应与原有取值范围求交集;2、解不等式是一个由繁到简的转化过程,其转化的总思路为：3、解含有等号的不等式时,应该将等式与不等式分开解答后取并集;基本类型不等式的解法： 一、整式不等式的解法 1、一元一次不等式标准形式：b ax >或)0(≠<a b ax .解法要点：在不等式的两端同时除以a 后,若0<a 则不等号要反向;2、一元二次不等式标准形式：02>++c bx ax 或02<++c bx ax 其中0>a ;解法要点：解一元二次不等式一般可按以下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求方程02=++c bx ax 的根; 3写解：根据方程02=++c bx ax 根的情况写出对应不等式的解集;当两根明确时,可由“大于0,两根外；小于0,两根内”的口诀写解,当0≤∆时,则可由函数c bx ax y ++=2的草图写解;3、一元高次不等式可分解因式型标准形式：0)())((21>---n x x x x x x a 或0)())((21<---n x x x x x x a ()0>a ;解法要点：用“数轴穿根”的方法最为简便,一般可按如下步骤进行：1整形：将不等式化为标准形式; 2求根：求出对应方程的根;3穿根：将方程的根标在数轴上,用一条曲线从右上方开始依次穿过;方程有重根时,奇数重根按正常情况穿过,偶数重根则不穿过,反弹回来后继续穿根;即“奇过偶不过”;4写解：数轴上方所对应曲线的区间为0)())((21>---n x x x x x x a 的解,数轴下方所对应曲线的区间为0)())((21<---n x x x x x x a 的解;二、分式不等式的解法 标准形式：0)()(>x f x g ,或0)()(<x f x g ; 解法要点：解分式不等式的关键是去分母,将分式不等式转化为整式不等式求解;若分母的正负可定,可直接去分母；若分母的正负不定,则按以下原则去分母：0)()(0)()(>⋅⇔>x g x f x g x f 0)()(0)()(<⇔<x g x f x g x f 三、根式不等式的解法 标准形式：)()(x g x f >；)()(x g x f >；以及)()(x g x f <;解法要点：解根式不等式的关键是去根号,应抓住被开方数的取值范围以及不等式乘方的条件这两大要点进行等价变换：⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g ⎪⎩⎪⎨⎧<≥>⇐<)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 基本题型指要【例1】 解下列不等式或不等式组：1⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+220)1)(3(2x x x x 20)4)(2()3(2≤-+-x x x 3x x x x x <-+-+222322402)1(2≥---x x x1思路导引：按规范化程序操作,化为标准形式后求解,可以有效的防止错误;解析：将0)1)(3(<-+x x 化为标准形式0)1)(3(>-+x x ,易得：1,3>-<x x 或;由222+<x x 得01)1(2>+-x ,所以R x ∈; 综上所述,原不等式组的解集为{}13|>-<x x x 或，;2解析：由已知,0)4)(2()3(2≥-+-x x x , 用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}342|=≥-≤x x x x 或，，或误区警示：若不化为标准形式求解,易将解集错写为{}42|≤≤-x x ;另外,建议将这类等式与不等式的混合式中的“等式”单独求解,以防止漏掉3=x 这类解;3思路导引：解分式不等式的关键是去分母;但本题分母正负不明,若直接去分母应分类讨论,较为复杂,使用移项通分化为标准形式的方法较好;解析：将x x x x x <-+-+222322化为标准形式,得：0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ,因为12>++x x 恒成立,所以,0)1)(3()2(>+--x x x ;用数轴穿根法易得原不等式的解集为：{}321|><<-x x x 或，;4思路导引：解根式不等式关键是抓住乘方的条件,对原不等式实施等价转换,去除根号;解析：原不等式等价于：02)1(2>---x x x (1)或02)1(2=---x x x (2)由1得：⎪⎩⎪⎨⎧>->--01022x x x ,解得2>x ；由2得12-==x x ，或;所以,原不等式的解集为{}12|-=≥x x x ，或; 误区警示：请找出下面解法的错误： 由022≥--x x ,得01≥-x ,所以,原不等式的解为1≥x ;点评：解等式与不等式的混合型不等式,最好将等式与不等式分开求解,以避免错误; ◆题型二：解含参数的不等式不少同学都怕解含参数的不等式,究其原因,关键是没有把握住解题技巧;其实,解含有参数的不等式在总思路上与解普通不等式完全相同,当参数不影响式子的变形时,与解普通不等式没有差异,在参数影响式子的变形时,就需弄清参数的取值范围或者予以分类讨论,才能顺利的解出不等式;例2解下列关于x 的不等式： 102>+ax 2x t tx )2(22+>+3)1,0(1log 22log 3≠>-<-a a x x a a 1思路导引：本题在求解x 时必须去除系数a ,由于a 的范围不明,无法直接变形,若将a 按变形的要求分为正、负、零三类,则在每一小类中式子就能顺利变形了;解析：由已知,2->ax ; ①、当0>a 时,a x 2->； ②、当0<a 时, ax 2-<； ③、当0=a 时,20->恒成立,R x ∈ ;故,原不等式解集当0>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->a x x 2|,当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<a x x 2|,当0=a 时为R ;2思路导引：解含参数的二次不等式通常是在以下三个地方实施分类讨论：一是平方项系数有参数时需分正、负、零讨论,二是判别式△有参数时的需分正、负、零讨论,三是两根有参数时需根据他们的大小关系分类讨论;本题中的不等式即0)2)(1(>--tx x ,在求解过程中参数会在两个地方影响式子变形：一是平方项系数t 的正、负、零,二是对应的二次方程的根1与t2是否存在、谁大谁小;此时,同一字母t 形成了不同的分类,可将t 在0、2处分段统筹安排进行分类如图;解析：原不等式即0)2)(1(>--tx x ;① 当0<t 时,可以化为0)2)(1(<+--tx x , 易知12<t ,所以12<<x t; ② 当0=t 时,原不等式即022>+-x ,所以 1<x ;③ 当20<<t 时,易知12>t,可得，1<x tx 2>或; ④ 当2=t 时,原不等式即0)1(22>-x ,所 以1≠∈x R x ，且;⑤ 当2>t 时,易知12<t ,可得，tx 2< 1>x 或;综上所述,原不等式的解集当0<t 时,为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<12|x t x ；当0=t 时,为{}1|<x x ；当20<<t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><t x x x 21|，或；当2=t 时,为{}1|≠∈x R x x ，且；当2>t 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;误区警示：本题易漏掉20==t t 和两种特殊情况的讨论;另外,在0<t 时,解集易错为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><12|x t x x ，或;3思路导引：本题关键是抓住根式不等式的解题特点,对不等式进行乘方处理,去除根号;若令t x a =log 进行换元,会使书写变得更简便;解析：按根式不等式的解题思路,易知原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧>--<-≥-)3(01log 2)2()1log 2(2log 3)1(02log 32 x x x x a a a a由1得,32log ≥x a 由2得,1log ,43log ><x x a a 或 由3得.21log >x a 由此得,1log ,43log 32><≤x x a a 或 当1>a 时,易求得原不等式的解集为}|{4332a xa x a x ><≤，或；当10<<a 时,易求得原不等式的解集为}0|{3243a x a x ax <<≤<，或;误区警示：在乘方去除根号的过程中,要注意不等式乘方的条件以及根号内式子的取值范围,保证不等式的变形为等价变形;点评：从本例的解答过程可以看出,解含参数的不等式关键是抓住以下两个要点来处理不等式中的参数：一是由“参数是否影响不等式变形”来确定该不该对参数进行分类讨论,二是由“参数是怎样影响不等式变形” 来确定怎样对参数进行分类讨论;已知不等式的解集求参数值或范围是一类很常见也很重要的题型;由于该题型解法较为灵活,我们在解题时若不能把握住它的解题规律,往往会觉得变化莫测而无可适从;解答本题型关键是要抓住以下两个要点：一是按其正向题型“解不等式”变化,试解原不等式；二是利用已知的解集或解集的部分信息去逆向推测它们与参数的关系;两个要点结合,就会比较容易找到所求参数的方程或不等式,从而求出它们的值或范围;例3已知不等式022>++bx ax 1若不等式的解集为31,21-,求b a +；2若不等式的解集为R,求b a 、应满足的条件; 1思路导引：从解集的形式可知：原不等式必为二次不等式；再从解不等式的角度来看,原不等式的解集可由方程022=++bx ax 的二根来得出,但二根不方便写出,自然会想到用韦达定理列式解题;解析：由题意,方程022=++bx ax 的二根为3121和-, 所以,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯--=+->⨯-<aa b a b a 23121312102402易解得212-=-=b a ，, 所以,14-=+b a ;误区警示：不能遗漏条件0242>⨯-a b 和0<a ;2思路导引：原不等式022>++bx ax 的系数b a 、范围未定,可能形成二次型、一次型、常数型三类不等式;因为原不等式的解集为R,故原不等式只能为二次型、常数型不等式;解析：1当0==b a 时, 原不等式为02>,其解集显然为R,符合题意;2当0≠a 时,因为原不等式解集为R ,所以,⎪⎩⎪⎨⎧<⨯->02402a b a化简得a b a 802<>，且;综上所述,b a 、应满足的条件为：0==b a ；或a b a 802<>且;点评： 已知二次不等式的解集求参数值可分为两种类型：若解集为“两根内外”型,一般用韦达定理求解；若解集为R 或φ,则通常用数形结合解题;例4若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222k x k x x x 的整数解只有－2,求实数k 的取值范围;思路导引：本题的解题思路与已知不等式的解集求参数值相似,只是要注意不等式组的解集应是各个不等式解集的交集;解析： ⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--)2(05)25(2)1(0222 k x k x x x由1解得12-<>x x ，或;由2得0))(52(<++k x x ;因为－2是不等式组的解,故0)2](5)2(2[<+-+-⨯k ,得 2<k ,所以25->-k ,2的解为k x -<<-25; 由此可知,原不等式组的解为Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧-<<--<k x x 251,或⎪⎩⎪⎨⎧-<<->k x x 252;因为2<k ,所以2->-k ,故Ⅰ的整数解为－2;而原不等式组的整数解只有－2,所以Ⅱ应该没有整数解,所以33-≥≤-k k ，即;综上所述,23<≤-k ;阅卷老师评题例51996年全国高考解不等式.1)11(log >-xa命题目的：本题综合考查了对数不等式、分式不等式、二次不等式的解法,以及分类讨论的思想和运算能力;考情分析：该题本身的能力要求并不高,但在解答的过程中却多次涉及易错点,故当年考生的得分率较低,区分度达;思路导引：因为对数函数的单调性与a 有关,故应对a 分类讨论去除对数符号,将原不等式化为分式不等式,然后再化为整式不等式求解;解析：Ⅰ当1>a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧>->-)2(11)1(011 a x x 因1>a ,故只需解2式,由此得 )3(11 xa >- 因为,01<-a 所以,0<x 由3可得 .011<<-x aⅡ当10<<a 时,原不等式等价于： ⎪⎩⎪⎨⎧<->-)5(11)4(011 a xx 由4得,,01<>x x 或 由5得,011>->a x,故0>x , 易解得5的解为ax -<<111; 所以ax -<<111; 综上所述:当1>a 时,不等式的解集为 };011|{<<-x ax 当10<<a 时,不等式的解集为}.111|{ax x -<< 点评：解不等式要注意不等式变形的等价性,对常见的易错点应熟记于心,这样才能有效地避免错误;此外,在解题时注意充分使用已知条件,常常会得到简便解法;如解不等式25时利用a 的范围判断出x 的正负后,就能很方便的去分母了;本题也可由011>-x得出10><x x ，或后,分0<x 和1>x 两类解答;例62004年上海高考记函数fx=132++-x x 的定义域为A,g x =lg x －a －12a －xa <1 的定义域为B;1 求A ；2 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.命题目的：本小题主要考查集合的有关概念, 考查二次不等式、分式不等式、对数不等式的解法,以及分析问题和推理计算能力;考情分析：此题型在各地高考中经常出现;本题难度较小,得分率较高,但有的考生在求a 的范围时没充分使用1>a 的条件,引起解题过程复杂或出错;解析：1由2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, 解得 x <－1或x ≥1, 即A=－∞,－1∪1,+ ∞2 由x －a －12a －x >0, 得x －a －1x －2a <0.因为a <1,所以a +1>2a ,故B=2a ,a +1; 由B ⊆A 知：2a ≥1或a +1≤－1, 解得a ≥21或a ≤－2; 因为a <1, 所以21≤a <1或a ≤－2, 故当A B ⊆时, 实数a 的取值范围是－∞,－2∪21,1 ． 好题优化训练基础巩固1、1652->+-x x x 的解集为 A )1,(-∞ B ),2(+∞ C )35,1[ D )35,(-∞答案：D解析:取0=x 可排除B 、C ；取1=x 可排除A;故选D; 2、满足3121-><xx 与的x 的取值范围是 A 2131<<x B 21>x C 31-<x D 3121-<>x x ，或 答案：D解析:解不等式组或验证排除; 3、解不等式212->-x x答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x解析:原不等式等价于Ⅰ⎩⎨⎧<-≥-02012x x ,或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(1202012x x x x由Ⅰ解得221<≤x , 由Ⅱ解得52<≤x所以,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤521|x x ;点评：若令t x =-12,则该不等式可化为一个关于t 的二次不等式求解;4、解关于x 的不等式04)1(22<++-x a ax ; 答案：原不等式的解集当0=a 时,为{}2|>x x ；当10<<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a x x 22|；当1=a 时为 φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<22|x a x ；当0<a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><22|x a x x ，或;解析: 原不等式即0)2)(2(<--x ax ,a 的范围明显会影响不等式的解集,故需分类讨论： 10=a 时,原不等式即042<+-x ,解得2>x ; 210<<a 时,22>a ,不等式的解为ax 22<<; 31=a 时,原不等式为0)2(2<-x ,Φ∈x ; 41>a 时,22<a ,不等式的解为22<<x a; 50<a 时,原不等式可化为0)2)(2(>-+-x ax , 易知22<a ,所以不等式的解为22><x a x ，或; 5、不等式13642222<++++x x m mx x 对一切实数x 均成立,求m 的取值范围; 答案：1,3;解析:已知分母恒正,故原不等式可化为：3642222++<++x x m mx x , 即0)3()26(22>-+-+m x m x , 由题意,该式对一切实数x 恒成立; 所以,0)3(8)26(2<---=∆m m , 容易解得31<<m ;技能培训6、不等式0343>---x x 的解集为：_______; 答案：3,＋∞;解析:原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-34303043x x x x ,解得3≥x ;7、设1)(2+-=ax x x f ;若方程0)(=x f 没有正根,则a 的取值范围为____________; 答案：)2(，-∞;解析:因为方程0)(=x f 没有正根,由图 易知；⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=∆0242aa , 或042<-=∆a ; 解得：2<a ; 8、若关于x 的不等式0342>+++x x a x 的解是13-<<-x ,或2>x ,则a 的值为 A 2 B 2- C21D 21-答案：B解析:原不等式即0)3)(1)((>+++x x a x ,由其解集易知2-=a ;9、若0)1(3)1()1()(2<-+--+=m x m x m x f 对于 一切实数x 恒成立,则m 的取值范围是 A ),1(+∞ B )1,(--∞ C )1113,(--∞ D ),1()1113,(+∞--∞ 答案：C解析:由已知,⎪⎩⎪⎨⎧<-+--<+0)1)(1(12)1(012m m m m ,解得1113-<x ; 10、解关于x 的不等式)1(12)1(≠>--a x x a ; 答案：不等式的解集当0<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ；当10<<a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；当0=a 时为Φ；当1>a 时,为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或; 解析: 原不等式可化为02)2()1(>--+-x a x a ,所以0)]2()1)[(2(>-+--a x a x ; 1当0<a 时,21201<--<-a a a ，,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--212|x a a x ； 2当10<<a 时,212>--a a ,原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<<122|a a x x ；3当0=a 时,原不等式为10>,所以∈x Φ； 4当1>a 时,212<--a a ,,所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<>122|a a x x x ，或;11、某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件;税务部门对市场销售的商品征收附加费,为了既增加国家收入又有利于活跃市场,必须合理确定征收的税率;根据调查分析,若政府对商品M 征收的税率为p ％时,每年销售减少10p 万件,试问：1若税务部门对商品M 每年所收税金不少96万元,求p 的取值范围;2在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,因如何确定p 值3若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定p 值答案：162≤≤p ;22=p ;34=p ;解析: 1税率为%p 时,销售量为p 1080-万件,销售金额为)1080(80p -万元80<<p ;由题意易得：⎩⎨⎧<<≥⋅-8096%)1080(80p p p ,解得62≤≤p ;2销售金额最大即)1080(80p -最大,由1可知,62≤≤p ,所以,当2=p 时 ,最大销售金额为4800万元;3由1知易知,销售金额为)1080(80p -,故税金为128)4(8%)1080(802+--=⋅-p p p , 因为80<<p ,所以,4=p 时,国家所得税金最多,为128万元;12、若不等式02>++c bx ax 的解集为),(βα,且βα<<0,求不等式02<++a bx cx 的解集; 答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ1,1|x x x 或解析:依题意,方程02＝c bx ax ++的二根为βα、,故有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+-=)2(0)1(0)( αββαac ab所以,)(βα+-=a b ,)(αβa c =,这样即可将不等式02<++a bx cx 化为0)()(2<++-a x a x a βααβ,由题意易知0<a ,所以0)1)(1(>--x x βα; 因为βα<<0,所以αβ110<<,故所求不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><αβ11|x x x ，或;13、解不等式)0(122>->-a x a ax答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x解析:原不等式可化为：Ⅰ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-)2()1(2)1(0122 x a ax x 或Ⅱ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-)4(02)3(012a ax x 由1得1≤x ,由2得a a x a a 2121++<<-+, 由3得1>x , 由4得2ax ≥; 因为0>a ,所以121>++a a ； 1当20≤<a 时,121≤-+a a ,12≤a,故不等式组Ⅰ的解为121≤<-+x a a ,不等式组Ⅱ的解为1>x ,此时,原不等式的解为a a x 21-+>;2当2>a 时,121>-+a a ,12>a,此时不等式组Ⅰ的解为Φ,不等式组Ⅱ的解为2ax ≥,原不等式的解为2a x ≥; 综上所述,原不等式的解集当20≤<a 时为{}a a x x 21|-+>,当2>a 时为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥2|a x x ;点评：本题也可用图形法求解;思维拓展14、k 为何值时,方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1 答案： 5285-≤<-k 解析: 作函数41)(2++-==k kx x x f y ;因为方程0412=++-k kx x 的二实根的绝对值都小于1,所以函数图象与x 轴的交点的横坐标在－1与1之间如图 ; 分析图形特点可得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>+=->=<⨯--<-≥+--0452)1(045)1(11210)41(4)(2k f f k k k 解得5285-≤<-k ; 点评：已知一元二次方程的根在某个指定区间内时,常常数形结合,抓住判别式△、对称轴的位置以及区间端点的函数值列式解题;。
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不等式与多项式不等式的变形与根的判别
在数学中，不等式是解决实际问题和推导数学结论的重要工具。
而
多项式不等式是不等式中涉及到多项式的等式或者不等式，其解的集
合往往是多项式的根所决定的。
本文将介绍不等式的变形方法以及多
项式不等式的根的判别方法。
一、不等式的变形方法
在解决不等式问题时，我们常常需要对不等式进行变形，以便更好
地理解和求解。
下面列举几种常见的不等式变形方法。
1. 两边加减同一个数
对于形如a < b的不等式，我们可以在两端同时加上或减去同一个
数c，这样不等式的不等关系不会改变。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，我们可以将其变形为2x > 2或x > 1。
2. 两边乘除同一个正数
对于形如a < b的不等式，如果a和b都是正数，我们可以在两端同时乘以或除以同一个正数c，这样不等式的不等关系依然成立。
例如，
对于不等式3x > 1，我们可以将其变形为x > 1/3。
3. 两边乘除同一个负数
对于形如a < b的不等式，如果a和b都是负数，我们可以在两端同时乘以或除以同一个负数c，不等关系会反转。
例如，对于不等式-2x < 4，我们可以将其变形为x > -2。
4. 移项
对于一些复杂的不等式，我们可以通过移项的方式将未知数移到一边，将常数移到另一边，从而简化不等式的形式。
例如，对于不等式
5x + 3 > 2x + 7，我们可以将其变形为3x > 4，再进一步求解。
二、多项式不等式的根的判别方法
多项式不等式是不等式中涉及多项式的等式或不等式。
我们经常需
要判断多项式不等式的根的情况，以便进一步求解不等式。
下面介绍
几种常见的多项式不等式的根的判别方法。
1. 零点判别法
对于形如P(x) > 0或P(x) < 0的多项式不等式，我们可以通过求解
多项式P(x) = 0的根来判断不等式的解的情况。
具体步骤为：（1）求解P(x) = 0的根，得到多个根x1, x2, ..., xn。
（2）将数轴分成n+1个区间，每个区间的端点为根的值。
（3）在每个区间内选择一个点进行测试，判断P(x)的正负情况。
（4）根据P(x)的正负情况确定不等式的解的情况。
2. 二次多项式不等式的判别法
对于形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的二次多项式不等式，我们可以通过判别式△ = b^2 - 4ac的正负情况来判断不等式的解的情况。
具体步骤为：
（1）计算判别式△ = b^2 - 4ac的值。
（2）根据△的正负情况确定不等式的解的情况：
- 当△ > 0时，方程有两个不相等的实根，不等式的解为两个实根之间；
- 当△ = 0时，方程有两个相等的实根，不等式的解为两个实根相等的点；
- 当△ < 0时，方程无实根，不等式无解。
（3）根据不等式的形式确定解的开闭情况。
综上所述，不等式的变形方法和多项式不等式的根的判别方法是解决不等式问题的关键步骤。
通过合理运用这些方法，我们可以更好地理解和求解不等式，并在实际问题中灵活运用。
希望以上内容能帮助到您。