动态规划应用举例
动态规划的应用举例大全
在0/1背包问题的基础上，通过动态规 划的方式解决多个约束条件下的物品 选择问题。
排程问题
作业车间调度问题
通过动态规划的方式，求解给定一组作业和机器，如何分配作业到机器上，使得 完成时间最早且总等待时间最小。
流水线调度问题
通过动态规划的方式，解决流水线上的工件调度问题，以最小化完成时间和总延 误时间。
应用场景
在基因组测序、进化生物学和生物分类学等领域中，DNA序列比对是关键步骤。通过比对，可以发现物种之间的相 似性和差异，有助于理解生物多样性和进化过程。
优势与限制
动态规划算法在DNA序列比对中具有高效性和准确性，能够处理大规模数据集。然而，对于非常长的序 列，算法可能需要较长时间来运行。
蛋白质结构预测
应用场景
深度学习中的优化算法广泛应用于语音识别、图像处理、 自然语言处理等领域，动态规划可以帮助提高训练效率和 模型的准确性。
自适应控制和系统优化
问题描述
动态规划方法
自适应控制和系统优化是针对动 态系统的优化和控制问题。在这 些问题中，动态规划可以用于求 解最优控制策略和系统参数调整。
通过定义状态转移方程和代价函 数，将自适应控制和系统优化问 题转化为动态规划问题。状态表 示系统的当前状态和参数，代价 函数描述了在不同状态下采取不 同行动的代价。
考虑风险因素和概率
动态规划可以考虑到风险因素和概率，以制定最优的风险评估和管 理策略。
考虑风险承受能力和资本充足率
动态规划可以考虑到风险承受能力和资本充足率，以制定最优的风 险评估和管理策略。
04 动态规划在生物信息学中 的应用
DNA序列比对
算法描述
DNA序列比对是生物信息学中常见的问题，通过动态规划算法可以高效地解决。算法将DNA序列视为字符串，并寻 找两个或多个序列之间的最佳匹配。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
动态规划例题
动态规划例题动态规划是一种以最优化原理为基础的问题求解方法，通过拆分问题为若干阶段，每个阶段求解一个子问题，再逐步推导出整个问题的最优解。
例如，有一个背包能够承受一定的重量，现有一些物品，每个物品都有自己的重量和价值。
我们希望将物品放入背包中，使得背包的总价值最大。
这个问题可以用动态规划来解决。
首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中所能放入的物品的最大价值。
那么，对于每一个物品，可以选择放入背包或者不放入背包。
如果选择放入背包，最大价值为dp[i-1][j-w[i]] + v[i]，其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
如果选择不放入背包，最大价值为dp[i-1][j]。
因此，dp[i][j]的状态转移方程为：dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i]] + v[i], dp[i-1][j])。
基于这个状态转移方程，可以逐步求解从第1个物品到第n个物品的最大价值。
最终，dp[n][W]即为问题的最优解，其中W 表示背包的容量。
举个简单的例子，假设背包的容量为10，有3个物品，它们的重量分别为3、4、5，价值分别为4、5、6。
此时，可以得到如下的dp矩阵：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 4 4 4 4 4 4 4 40 0 0 4 5 5 9 9 9 9 90 0 0 4 5 5 9 10 10 14 14我们可以看到，dp[3][10]的最大价值为14，表示在前3个物品中，容量为10的背包中所能放入的物品的最大价值为14。
通过动态规划，我们可以有效地求解背包问题，得到物品放入背包的最优解。
这个例子只是动态规划的一个简单应用，实际上，动态规划可以解决各种复杂的问题，如最长公共子序列、最大子数组和、最大字段和等。
因此，学习动态规划是非常有意义的。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
动态规划之二--机器负荷问题
案例4 机器负荷分配问题某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。
高负荷下生产时，产品年产量s u 118=，式中u 1为投入生产的机器数量，机器的年折损率为a =07.，即年初完好的机器数量为u 1，年终就只剩下u 1台是完好的，其余均需维修或报废。
在低负荷下生产，产品年产量s u 225=，式中u 2为投入生产的机器数量，机器的年折损率为x 11000=台，要求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配好机器在两种不同负荷下工作的数量，使产品五年的总产量最高。
模型分析 设阶段变量k 表示年度，状态变量x k 是第k 年初拥有的完好机器数量。
k >0时它也是k -1年度末的完好机器数量，决策变量x k 规定为第k 年度中分配在高负荷下生产的机器数量。
于是x u k k -是该年度分配在低负荷下生产的机器数量。
这里与前面几个例子不同的是x k ，u k 的非整数值可以这样来理解：例如x k = 表示一台机器在该年度正常工作时间只占60%；u k = 表示一台机器在该年度的3/10时间里在高负荷下工作。
此时状态转移方程为x u x u k k k k k +=+-=10709125..(),,,,k 阶段的允许决策集合是D x u u x k k k k k (){|}=≤≤0第k 年度产品产量是v x u x k k k k k k ()() ,u -u =+85指数函数是`V ux u k j j j j k [()]855+-=∑最优值函数为f x k k ()=第k 年初从x k 出发到第5年度结束产品产量的最大值由最优化原理得递推关系为 f x u x u f u x u k k u D x k k k k k k k k k k ()max {()[..()]}()=+-++-∈+8507091 边界条件是f x 660()=，计算过程如下：k =5时，f x u x u f u x u u x 550555655555850709()max {()[..()]}=+-++-≤≤ =+-≤≤max {()}05555585u x u x u =+≤≤max {}0555535u x u x 因为f 5的表示式是u 5的单调函数，所以最优决策u 5*=x 5，f 5(x 5)=8x 5；' k =4时,f x u x u f u x u u x 440444544444850709()max {()[..()]}=+-++-≤≤ =+-++-≤≤max {()[..()]}0444444448580709u x u x u u x u =+≤≤max {..}0444414122u x u x 同理，最优决策 u 4*=x 4，f 4(x 4)=x 4，依次可以u x f 333*,=(x )=17.6x 33 u f 220*,=(x )=20.8x 22 u f 110*,=(x )=23.7x 11因为x 1=1000，所以f 1(x 1)=23700（台）。
数学建模动态规划
u5*(E2)F.
4
6
D2 2
F
3
1
D3
3
E2 u4 *(D 1)E1.
f4(D2)5 u4 *(D 2)E2.
f 3 ( C 2 ) m d 3 ( C 2 , D 1 i ) f 4 n ( D 1 ) d 3 ( { C , 2 , D 2 ) f 4 ( D 2 )}
m 4 i7 ,5 n 5 } { 1 . 0
一、基本概念
阶段：是指问题需要做出决策的步数。阶段总数常记为n，相 应的是n个阶段的决策问题。阶段的序号常记为k，称为阶段 变量，k=1,2, …,n. k即可以是顺序编号也可以是逆序编号， 常用顺序编号。 状态：各阶段开始时的客观条件，第k阶段的状态常用状态
变量 s k 表示，状态变量取值的集合成为状态集合，用 S k
4
A
5
2
B1 3
6
8 7
B2
7
C1
5
8
4
C2 5
3
C3 4
8
C4 4
D1
3
5 6
D2 2
1
D3
3
u5*(E1)F,
E1
4
3
E2
u5*(E2)F.
F
f 4 ( D 1 ) m d 4 ( D 1 , E 1 i ) f n 5 ( E 1 ) d 4 ( { D , 1 , E 2 ) f 5 ( E 2 )}
到过程终止时的最佳效益。记为
其中 opt 可根据具体情况取max 或min。 基本方程：此为逐段递推求和的依据，一般为：
式中opt 可根据题意取 max 或 min. 例如，案例1的基本方程为：
动态规划算法的常见实例
动态规划算法的常见实例动态规划算法是一种将复杂问题分解为简单子问题来解决的算法，它可被应用于多个领域中，如经济学、生物学、计算机科学等。
在本文中，我们将详细讨论动态规划算法的常见实例。
一、最长公共子序列问题最长公共子序列（LCS）问题是一个经典的计算机科学问题，它要求在两个字符串中找到最长的相同连续子序列。
例如，对于字符串“ABCD”和“ACDF”，最长公共子序列为“ACD”。
使用动态规划方法来解决LCS问题。
首先定义一个m行n列的二维矩阵，其中m和n分别表示两个字符串的长度。
然后，使用以下递推关系：1. 如果一个字符串的长度为0，LCS为0。
2. 如果两个字符不相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合的最大值。
3. 如果两个字符相同，则LCS为它们的前一个字符集合和它们的后一个字符集合所组成的子序列中的最大值加1。
最后，矩阵右下角的值就是LCS的长度。
二、背包问题背包问题（Knapsack problem）是一个经典的组合优化问题，被广泛应用于计算机科学和其他领域。
在一个决策者必须决定是否将某些物品放入背包中的场景中，背包问题就发挥了作用。
具体来说，我们要解决的问题是：对于一个固定容量的背包，有一些物品，它们的重量和价值都不同，如何在不超过背包容量的前提下，使所装载物品的总价值最大化。
一种解决方案是使用动态规划方法。
定义一个二维数组，其行表示物品，列表示背包大小。
然后，使用以下递推关系：1. 如果所考虑的物品重量大于背包容量，则不选此物品。
2. 否则，在选取该物品和不选该物品两种情况中选择最优解作为最终结果。
最后，矩阵中右下角的值就是最大的总价值。
三、矩阵链乘法矩阵链乘法是一种计算矩阵乘积的优化算法。
它使用动态规划算法来确定矩阵乘积的最小值。
对于一个长度为n的矩阵链，我们可以定义一个n×n 的矩阵M，其中第i行第j列的元素Mi，j表示第i个矩阵与第j个矩阵相乘的最小次数。
动态规划算法有啥用途
动态规划算法有啥用途动态规划算法是一种常用的优化算法，可以在时间和空间上实现高效的计算。
它适用于一系列问题，包括最优化问题、决策问题和计数问题等。
动态规划算法通常用于问题具备「无后效性」（无后效性是指问题的当前状态不会受到未来状态的影响）和「最优子结构」（问题的最优解可以由子问题的最优解推导得到）的情况下。
基本思想是将原问题划分为若干子问题，逐个求解子问题，再根据子问题的最优解推导出原问题的解。
下面将介绍几个典型的应用场景：1. 最短路径问题：最短路径问题是图论中的经典问题，动态规划算法可以高效地解决。
通过构建状态转移方程，可以递推求解从起点到终点的最短路径。
2. 最长公共子序列问题：最长公共子序列问题在字符串处理中非常常见，例如求两个字符串的最长公共子序列长度。
动态规划算法可以通过构建状态转移方程来高效地求解。
3. 背包问题：背包问题是一类经典的组合优化问题，常见的有0-1背包问题、完全背包问题和多重背包问题。
动态规划算法可以用来求解背包问题的最优解。
4. 最大子数组和问题：最大子数组和问题是在一个数列中找到一个连续子数组，使得子数组元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子数组和。
5. 最长递增子序列问题：最长递增子序列问题即求解一个序列中最长的子序列，满足子序列中的元素从左到右递增。
动态规划算法可以高效地求解最长递增子序列的长度。
6. 矩阵链乘法问题：矩阵链乘法问题是矩阵计算中常见的优化问题，即给定一系列矩阵，求解它们相乘的最少次数。
动态规划算法可以用来高效地解决该问题。
7. 0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定的一组物品中，每个物品可以选择放入背包或不放入背包，目标是使得背包中物品的总价值最大，且背包的容量不能超过一个给定的值。
动态规划算法可以用来求解该问题的最优解。
8. 最大子矩阵和问题：最大子矩阵和问题是在一个二维矩阵中寻找一个子矩阵，使得子矩阵元素的和最大。
动态规划算法可以用来高效地求解最大子矩阵和。
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s2
D2(s2)
s3
v2(s2,x2)
v2(s2,x2)+f3(s3)
f2(s2)
x2*
0 1
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 4 3 2 1 0
0 0 13 0 13 29 0 13 29 43 0 13 29 43 55
0+0=0 0+11=11 13+0=13* 0+30=30* 13+11=24 29+0=29 0+45=45* 13+30=43 29+11=40 43+0=43 0+58=58 13+45=58 29+30=59* 43+11=54 55+0=55
其中:
D4 ( s4 ) {x4 / x4 0, d5 s4 x4 d 4 9} {x4 / x4 0, d5 d 4 s4 x4 9 d 4 s4 } {x4 / x4 0,5 s4 x4 12 s4 }
于是:
f 4 s4 min c4 x4 f5 s4 x4 d 4 x4 D4 s4
2 2 2
13 s2 x2 17 s2
min
5x2 13s2 377
对应 x 13 s2
2
442 18s2
k 1 时
f1 s1 min c1 x1 f 2 s1 x1` d1 min
1 1 1
7 x1 18s1 442 8 s x 9 s
最优解为:
( s1 4) x1* 1, ( s2 s1 x1* 4 1 3) x2* 0, ( s3 s2 x2* 3 0 3) x3* 3
即项目A投资1万元，项目B投资0万元，项目C投资3万元， 最大效益为60万吨。
生 产 库 存 问 题
0 13
0 1
2
30
0
3
45
0
4
2 3 4
59
2
k 1 时，0 x1 s1, s2 s1 x1
s1 D1(s1) 0 1 4 2 3 4 s2 v1(s1,x1) v1(s1,x1)+f2(s2) f1(s1) x1* 4 3 2 1 0 0 15 28 40 51 0+59=59 15+45=60* 28+30=58 40+13=53 51+0=51 60 1
xi
2 时，其盈利分别为 g1 x1 5x1, g2 x2 2x2 ,
2 及 g3 x3 3x3 ，问应如何分配投资数额可使总盈利最大？
采购与销售问题
例３ 某商店在未来的4个月里，准备利用它的一个仓库来专门 经销某种商品，仓库最大容量能贮存这种商品1000单位。假定该 商店每月只能出卖仓库现有的货。当商店在某月购货时，下月初才 能到货。预测该商品未来四个月的买卖价格如表4.6所示。假定商 店在1月开始经销时，仓库贮有该商品500单位。问若不计库存费 用，该商店应如何制定1月至4月的订购与销售计划，使预期获利 最大？ 表4.6 月份（k) 1 2 购买单价 Ck 销售单价 pk 10 9 12 8
379 11s1
及 x 9 s1
因
1
s1 2 所以 f1 s1 357 并且 x1 7
与上述运算顺序反推，结合状态转移方程，可得最优策略为:
x 7, x 4, x 9, x 3, x 0, x 4, x 0
* 7
1
2
3
max
13x3 11y3 17 s3 y3 x3
max
4 x3 6 y3 17 s3
为得到此阶段的最优指标值，需求解线性规划问题：
max Z 4 x3 6 y3 17 S3 x3 S3 s.t. x3 y3 1000 S3 x , y 0 3 3
第四步 把自己的求解放到一边，看书中的求解方法，要充分理 解教材中的论述. 第五步 对照自己的求解，分析成败。
资 源 分 配 问 题
例1 有资金4万元，投资A、B、C三个项目，每个项目 的投资效益与投入该项目的资金有关。三个项目A、B、 C的投资效益（吨）和投入资金（万元）关系见下表：
项目 投入资金 1万元 2万元 3万元 4万元 A B C
f 4 s4
0 x4 s4 0 yk 1000 s4 x4
max
17 x4 15 y4 17s4
对应最优决策为： x4 S4 , y4 0
当 k=3 时
f3 s3
0 x3 s3 0 y3 1000 s3 x3 0 x3 s3 0 y3 1000 s3 x3
5 5 5
9 s5 x5 11 s5
min
5
20 x
5
110 10 s5 x5 2
10 x5 10s5 130 9 s x 11 S
min
5 5
10 9 s5 10s5 130 220 20s5
对应 x5 9 s5
解得： x3 S3 , y3 1000
且
f3 S3 6000 13S3
当 k=2 时 f 2 s2
0 x2 s2 0 y2 1000 s2 x2 0 x2 s2 0 y2 1000 s2 x2
max
8 x2 9 y2 6000 13 s2 y2 x2
k 3 时,x3 s3
s3 D3(s3) v3(s3,x3) v3(s3,x3)+f4(s4) f3(s3) x3*
0
0 1
0 11
0+0=0 11+0=11*
0
0
1
2 3 4
11
30 45 58
1
2 3 4
2
3 4
30
45 58
30+Βιβλιοθήκη =30*45+0=45* 58+0=58*
k 2 时，0 x2 s2 , s3 s2 x2
对应 x3 14 S3
4 x3 17s3 329 max 0,8 s x 14 s
min
3 3 3
273 13S3
以及,
k 2 时， f 2 s2 min c2 x2 f3 s2 x2 d 2 x D s
15吨 28吨 40吨 51吨
13吨 29吨 43吨 55吨
11吨 30吨 45吨 58吨
求对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8.
阶段k：每投资一个项目作为一个阶段； k=1,2,3 状态变量sk：投资第k个项目前的资金数； 决策变量xk：第k个项目的投资额； 决策允许集合：0≤xk≤sk (k=1,2), x3=s3 状态转移方程：sk+1=sk-xk 阶段指标：vk(sk ,sk)见表中所示； 基本(递推)方程： fk(sk)=max{vk(sk ,xk)+fk+1(sk+1)} 终端条件：f4(s4)=0
例２ 一个工厂生产某种产品,1-7月份生产成本和产品需求量的 变化情况如下表
月份(k) 生产成本(ck ) 需求量(dk ) 1 0 2 8 3 5 4 3 5 2 6 7 7 4
11 18 13 17 20 10 15
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库， 库容量H=9。已知期初库存量为 2，要求期末（七月低） 库存量为0。每个月生产的产品在月末入库，月初根据 当月需求发货。求七个月的生产量，能满足各月的需 求，并使生产成本最低。
max
5 x2 4 y2 13s2 6000
求解线性规划问题:
max Z 5 x2 4 y2 13s2 6000 x2 s2 s.t. x2 y2 1000 s2 x , y 0 2 2
4
5
6
将以上结果总结成下表：
k ck dk sk xk
1 11 0 2 7
2 18 8 9 4
3 13 5 5 9
4 17 3 9 3
5 20 2 9 0
6 10 7 7 4
7 15 4 4 0
练习：某公司有资金9万元欲投资于三个项目。若投资于项目
i i 1,2,3
的投资额为
动态规划方法应用举例
学习例题的方法建议：
第一步 先看问题，充分理解问题的条件、情况及求解目标。 第二步 结合前面讲到的理论和解题过程，考虑如何确定问题的 状态变量,决策变量以及指标函数等——这一步在开始时会感到 困难，但是一定要下决心去思考，在思考过程中深入理解前文讲 到的概念和理论。 第三步 动手把建模思路数学地表达出来，或者说，把该问题作 为习题独立地来做。
k 6 时
s7 d7 4
f 6 s6 min c6 x6 f 7 s6 x6 d6 x6 D6 s6 min 10 x6 110 10s6
x6 11 s6
对应 x6 11 s6
。
k 5 时 f5 s5 min c5 x5 f 6 s5 x5 d5 x D s
阶段k：月份，k=1,2,…,7,； 状态变量 sk ：第 k 个月初（发货以前）的库存 量； 决策变量xk：第k个月的生产量； 状态转移方程：sk+1=sk-dk+xk； 决策允许集合： Dk(xk)={xk | xk0, dk+1sk+1H } ={xk | xk0, dk+1sk-dk+xkH }； 阶段指标：vk(sk ,xk)=ckxk；