初一整式乘除含答案

整式乘除知识点睛模块一 幂的运算幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=. ⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．⑵ 幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）． ⑶ 积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()n n n ab a b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）． 模块二 整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c .⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++模块三 整式的除法⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c .⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶ 多项式除以多项式后有专题介绍.例题精讲【例1】 已知：240x y +-=，求：1233x y -⋅的值【答案】1221333x y x y -+-⋅=，240x y +-=，24x y ∴+=，2133327x y +-∴==【例2】 若3m a =，4n a =，求32m n a +的值为多少？【答案】()()323232m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅，当3m a =，4n a =时，原式3234432=⨯= 【巩固】若5n a =，2n b =，则()32na b =【答案】()()()3232n n n a b a b =⋅，当5n a =，2n b =时，原式3252500=⨯= 【例3】 计算：()()132()()n n y x x y x y y x +--+-- 【答案】()()()()13332()()0n n n n y x x y x y y x x y x y +++--+--=--+-= 【例4】 当4,41==b a 时，求代数式32233)21()(ab b a -+-的值 【答案】33223363636117()()288a b ab a b a b a b -+-=-=，当4,41==b a 时,原式367145684⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭ 【例5】 已知1平方公里的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧81.310⨯千克煤所产生的能量，那么我国960万平方公里土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克的煤？【答案】()()481596010 1.310 1.24810⨯⨯⨯=⨯千克【例6】 比较下列各题中幂的大小．⑴比较大小：20.4a =-，24b -=-，214c -=（-），014d =（-）． ⑵已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系．⑶比较552，443，335，226这4个数的大小关系．⑷1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”、“<”或“=”)．⑸已知2001200367M =+，2003200167N =+，比较M 、N 的大小关系． ⑹已知999999P =，990119Q =，比较P 、Q 的大小关系． ⑺已知200620073131A +=+，200720083131B +=+，试比较A 与B 的大小． ⑻对于0a b c >>>，0m n >>(m ，n 是正整数)，比较n m c a ，m n a b ，n m b c 的大小关系．【答案】本题介绍了幂的大小比较常用的8个方法．⑴0.16a =-，10.062516b =-=-，16c =，1d =．a b d c <<<．直接计算． ⑵431124(3)3a ==，341123(3)3b ==，261122(3)3c ==，所以a b c >>．比较指数．⑶55511112(2)32==,44411113(3)81==,33311115(5)125==,22211116(6)36==，11111111323681125<<<，552244332635<<<．比较底数．⑷16166415162<=．13136564333222>=>,所以16131533<．放缩．⑸因为M N -200120032003200167(67)=+-+20012003200320016767=+--20012200126(16)7(71)=-+-200120014873560=⨯-⨯>，所以M N >．作差． ⑹因为999990991199P Q =÷990999099999999991191911911⨯=⋅=⋅=，所以P Q =．作商． ⑺设20063a =，则1031a A a +=>+，31091a B a +=>+．而1313191A a a B a a ++=÷++2(1)(91)(31)a a a ++=+229101961a a a a ++=++2411961a a a =+>++．换元． ⑻因为0abc >>>，0m n >>(m ，0m n p +-=为正整数)，故可取3a =，2b =，1c =，3m =，2n =，则3232108m n a b =⨯=，23214n m b c =⨯=，231327n m c a =⨯=．所以m n n m n m a b c a b c >>．【例7】 已知：2n a =，3m a =，4k a =，则22n m k a +-的值为_________．【答案】当2n a =，3m a =，4k a =时，22223()()4n m k n m k a a a a +-=⋅÷=【例8】 比较552、443、335、226四个数的大小.【答案】552244332635<<<.【巩固】比较1002与753的大小。

1002_________753．【答案】∵100425252(2)16==，75325253(3)27==，且25251627<，∴1007523<．【例9】 化简求值，其中12a =，2b =-，则22()()________a b a b +--= 【答案】原式=2222224a ab b a ab b ab ++-+-=；当12a =，2b =-时，原式14(2)42=⨯⨯-=- 【例10】 若318()(2)8k mx x x ⋅=-，则适合此等式的______m =，_______k =【答案】∵3318()(2)(2)8k k mx x m x x +⋅=⋅=-，∴28m =-，318k +=，解得4m =-，15k =【例11】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值．【答案】22()()26x my x ny x xy y ++=+-，22()()()x my x ny x m n xy mny ++=+++，2222()26x m n yx mny x xy y +++=+-，比较等式两边得2m n +=，6mn =-，所以()2(6)12m n mn +=⨯-=-．定理：如果11110110n n n n n n n n a x a x a x a b x b x b x b ----++++≡++++……，那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =．【巩固】 若()()22345x x ax bx c +-=-+，则a = ，b = ，c = ．【答案】10a =-，7b =，12c =【巩固】 已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值．【答案】解法一：(系数比较法)4322x x x +++22(1)(2)x mx x nx ≡++++432()(3)(2)2x m n x mn x m n x ≡+++++++．比较对应项的系数，得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩(1)(2)(3)，由⑶-⑴得1m =-，将1m =-代入⑴，得2n =．当1m =-，2n =时，⑵显然成立．所以1m =-，2n =．解法二:(数值代入法)由432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，分别用1和1-代入上式，可得32103230mn m n mn m n +++=⎧⎨--+=⎩,解得1m =-，2n =．【例12】 计算：222222224(3)()(4)89xy x y x y y x y --÷+.【答案】原式2222442249()1689x y x y x y y x y =--÷+422442244299297x y x y x y x y x y =--+=【例13】 已知1a =，则3227212a a a +--的值等于_________．【答案】由已知得2(1)5a +=，所以224a a +=则原式=322243212a a a a ++--222(2)3212a a a a a =++--22832123(2)1212120a a a a a =+--=+-=-=【例14】 先化简，其中1x =-，1y =，则2212(3)(631)_______3x xy x xy --+-+-=【答案】原式=221(62)(2)3x xy x xy --+-+-=2216223x xy x xy -+-+-=21833x xy -+-当1x =-，1y =时，原式=11831133---=-【例15】 先化简，再求值：⑴若2a =，2b =-，2222(22)[2(1)32]a b ab a b ab +--++=_________；⑵已知：2277A B a ab -=-，且2467B a ab =-++，①_______A = ②若21(2)0a b ++-=，则________A =⑶已知多项式2222(231)(543)mx x x x y x -++--+化简后不含2x 项．则多项式332[3(45)]________m m m m ---+=【答案】⑴8-⑵由题意知2514A a ab =-++，∵21(2)0a b ++-=，∴10a +=，20b -=，即1a =-，2b =，∴3A =⑶∵多项式2222(231)(543)mx x x x y x -++--+化简后不含2x 项∴260m -=，解得3m =，则3332[3(45)]3523m m m m m m ---+=-+-=-【例16】 已知27x y +=，225x y +=，则2222(42)32(1)x y x y y +--+-的值为________．【答案】原式=2222222[2(2)]3224(2)3()2x y x y y x y x y +--+-=+-++∵27x y +=，225x y +=∴原式=183．【例17】 计算：⑴3(1)(1)x x -÷-; ⑵4322(352)(3)x x x x -++÷+.【答案】⑴用竖式除法232322211001011x x x x x x x x x xx xx x ++-++--+---所以，商式为21x x ++，余式为0． ⑵224324232322358335023958051581528241526x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-++++--+---++--+所以，商式为2358x x --，余式为1526x +．说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式=除式⨯商式+余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用“除式|被除式”表示．如⑴，我们可记为3(1)|(1)x x --；当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数．显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数．课后作业【习题1】如果2(1)(5)x x ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为_________．【答案】解：原式=32(15)4x a x ax a +--+∵不含2x 项，∴150a -=，解得15a = 【习题2】若2211322323⋅=⋅-⋅++x x x x ，求x【答案】()()()11323233223232x x x x x x x ++⋅-⋅=⋅⨯-⋅⨯=⨯1122323223x x x x ++⋅-⋅=⋅2x ∴=【习题3】化简求值，其中2x =-，3y =-，则2222211154()2()_____2364x x xy xy x -++-=【答案】解：原式=22222221415462332x x xy xy x x xy --+-=-- 当2x =-，3y =-时，原式=226(2)(2)(3)6-⨯---⨯-=-。