2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt共37页
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高数-隐函数与参数方程求导.ppt
解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
确定的隐函数
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 (*)
dx dx
因 x = 0 时 y = 0 , 故 代入(*)求解。
4
例3. 求椭圆
在点
处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 8
2 9
y
y
0
将点
代入
1 3 y 0 43
y x2 3
第四节
第二章
隐函数与参数方程求导
一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数
1
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称
此函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
exy1 x2 y y 1 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
如 x 0 e y 1 0
若将直角坐标系中的原点取为极点，
把 x 轴的正半轴取为极轴。
设直角坐标系中点 M 的坐标 x, y 极坐标系中点M 的坐标 r,
r oM 称为极坐标的极径。
y
• M r,
ry
0x
x
0r
称为极坐标的极角。
0 2
由极轴出发逆时针方向为正。
两坐标系中变量间关系：xy
r r
cos sin
x 2 y 2 r 2
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt d t dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx d t dy dt dy
2-3 隐函数及参数方程及高阶导数_图文.ppt
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数计算，是微积分中的重要内容。对于隐函数，我们可以通过对方程两边同时求导次进行求导，注意此时要运用复合函数的求导法则。对于由参数方程所确定的函数，其一阶导数可以通过参数方程中各变量对参数的导数关系求得。而二阶导数则需要在一阶导数的基础上，进一步对参数求导，并结合链式法则进行计算。掌握这些方法和步骤，能够有效解决隐函数及参数方程相关的高阶导数问题，提升微积分学习的效果和应用能力。
隐函数与参数式函数的求导.ppt
y0
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
y
2(1
sin y) 2x c(1os ysinyy ) (1(1sisninyy)2)2
2(1 sin y) 2x cos y 2x
1 sin y (1 sin y)2
2(1
sin y)2 4x2 (1 sin y)3
cos
y
，
d2 y dx2
x1 2.
y0
8
例4 设 y y(x) 是由方程 x 2 y cos y 0 所确定的
上式两边对x求导得
y cos x ln tan x sin x 1 sec2 x
y
tan x
cos xln tan x sec x
y y (cos x ln tan x sec x)
(tan x)sin x (cos x ln tan x sec x).
18
作业
P97 2(2, 4,9),3(2, 4,5)
算所构成的复杂函数和幂指函数.
20
例9 设 x y y x , 求 dy . dx
解 等式两边取对数得 y ln x x ln y ,
方程两边关于 x 求导,得
yln x y ln y x y ,
x
y
(ln x x ) y ln y y
y
x
y
xy ln y xy ln x
y2 x2
隐函数,求 d2 y dx2
x1 .
y0
另解 原方程两边关于x求导，得
2x y sin y y 0
代入 x 1, y 0,可得y |x1 2.
y0
上式两边继续关于x求导，得
2 y cos y ( y)2 sin y y 0
代入 x 1, y 0, y |x1 2可得
第四部分隐函数与参数方程的求导法教学课件
则称此函数为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 若消参困难或无法消参，如何求导?
一 般 地, 给 了 参 数 方 程
x (t)
y
(t
)
设函数x (t)单调，可导，且'(t) 0
则由反函数求导法则知 ：
() dt dx
dx
dt
dt
dt
例7
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy
dx
dt dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
1.
2
当 t 时, x a( 1), y a.
例10 一汽球从离开观察员500米处离地面铅直
上升,其速率为140米 / 秒.当气球高度为500米时,
观察员视线的仰角增加率是多少?
解 设气球上升t秒后, 其高度为h米, 观察员视线
的仰角为 , 则
tan h
500
上式两边对t求导,得 sec2 d 1 dh
dt 500 dt dh 140(米 / 秒), 当 h 500时, sec2 2
1 y cos x ln x sin x 1
y
x
y y(cos x ln x sin x 1 ) x
x sin x (cos x ln x sin x ) x
隐函数、参数方程的求导、高阶导数
高等数学应用教程 例2.27
2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.5 高阶导数
例2.28
高等数学应用教程 例2.29
2.2.5 高阶导数
所以
高等数学应用教程 小结
பைடு நூலகம்
2.2 导数的运算
隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程所确定的函数的求导法 高阶导数的概念及求导法
高等数学应用教程
第2章 导数与微分
2.2 导数的运算
➢ 2.2.3 隐函数的求导法
➢ 2.2.4 由参数方程所确定的
函数的求导法
➢ 2.2.5 高阶导数
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.22
2.2.3 隐函数的求导法
两个函数, 容易得,
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 例2.23
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程 课堂练习 P53, 9 (2)
2.2.3 隐函数的求导法
例2.24
高等数学应用教程 例2.25
2.2.3 隐函数的求导法
高等数学应用教程
2.2.3 隐函数的求导法
例2.26
高等数学应用教程 2.2.4 由参数方程所确定的函数的求导法
作业
P52 习题2-2: 9（1）；10; 11(1); 12(2); 13(2)
第三节高阶导数隐函数导数参数方程求导
dy dy
dx d2y
dx x x d2y
dx2 d3y
dx2 x x
d3y
dx3
dx3 x x
dny dny
dxn
dxn x x5
4.求高阶导数举例： 例1： y ax b,求y.
解：
例 2解: ：
y a, y 0.
s sint ,求s.
s cos t ,
s 2 sint .
y
2 y3
1
1 y2
,
( y 0).
注
隐函数求高阶导数，多次将方程两边分别对x求导
注意利用原方程和含一阶导数的方程，不断将结果化简。一般，
隐函数的导数仍是隐式形式。
21
三、参数方程所确定的函数的导数
设
参
数
方
程 xy
(t) (t)
t ( , )
唯 一 确 定 函 数y f ( x)
k 1,2,,20,
k 3,4,,20,
y20 x2e2x 20
220 e2x x2 20 219e2x 2x 20 19 218 e2 x 2
2!
220 e2x x2 20x 95 .
13
例y10xex , 求y(n)
解： y ( xex ) xe x x e x ( x 1)e x
气阻力，求：
1、炮弹在时刻 t 的速度； 2、若弹着点 A 也在地平线上，求射程。
解：建立坐标系如图 1、炮弹在时刻 t 的速度；
y
v y v(t)
则
设 时 刻t 炮 弹 在x(t), y(t)，
x(t
)
v0
t
co
s
y(t)
隐函数及参数方程的的导数解析PPT课件
(x 3)(x 4)
解: 先在两边取对数 得
ln y 1 [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2
上式两边对x求导 得
1 y
y
1 2
(
x11
x
1 2
1 x3
x1 4)
于是
y
y 2
(
1 x 1
x
1
2
1 x3
x
1) 4
说明 严格来说 本题应分x4 x1
2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t ) 确定了 (t)
y与x间的
函数关数 ,则称其为由参数方程所 确定的函数.
例如
x
y
2t, t2,
t x 消去参数t
2
y t 2 ( x)2 x2 y 1 x
y 3 1 x
把隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显 化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方 程两边求导, 然后从所得的新方程中把 隐函数的导数解出.
例1 求由方程eyxye0所确定 的隐函数y的导数
解: (ey)(xy)(e)(0)
角为 arctan v2
v1 达到最高点的时刻 t
v2 g
,
高度
o
t
v2 g
x
落地时刻
函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和
商的导数
此方法是先在yf(x)的两边取 对数 然后用隐函数求导法求出y的导
解: 先在两边取对数 得
ln y 1 [ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4)] 2
上式两边对x求导 得
1 y
y
1 2
(
x11
x
1 2
1 x3
x1 4)
于是
y
y 2
(
1 x 1
x
1
2
1 x3
x
1) 4
说明 严格来说 本题应分x4 x1
2x3三种情况讨论 但结果都是一样的
三、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t ) 确定了 (t)
y与x间的
函数关数 ,则称其为由参数方程所 确定的函数.
例如
x
y
2t, t2,
t x 消去参数t
2
y t 2 ( x)2 x2 y 1 x
y 3 1 x
把隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
问题: 隐函数不易显化或不能显 化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方 程两边求导, 然后从所得的新方程中把 隐函数的导数解出.
例1 求由方程eyxye0所确定 的隐函数y的导数
解: (ey)(xy)(e)(0)
角为 arctan v2
v1 达到最高点的时刻 t
v2 g
,
高度
o
t
v2 g
x
落地时刻
函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和
商的导数
此方法是先在yf(x)的两边取 对数 然后用隐函数求导法求出y的导
W2_3隐函数与参数方程求导
例1
两边取对数
a ln y x ln a [ ln b ln x ] b [ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
11
例2
( x 1)( x 2) y ( x 3)( x 4)
两边取对数
1 ln y ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4 2 对 x 求导
三、由参数方程确定的函数的导数 若变量 y 是 x 的函数， 其对应关系是通过第三个变量 t 联系在一起的，即 x , y 是 t 的函数。 x t 参数方程的一般形式为： t 是参变量。 y t x 2t 2 例如： 表示抛物线 yx 2 y 4t
e y y xy 0
y
0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导
确定的隐函数
得
dy dy 2 1 21x 6 0 5y dx dx
4
()
因 x = 0 代入原方程得 y = 0 , 故 直接将
x 0, y 0
内容小结
1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法
转化
极坐标方程求导
16
作业
P104 1(1) , ; (3)
3 (1), (4); 4 (2) (4) ; 5
17
2
2
x a (t sin t ) y a1 cos t
处的切线方程。
x a ( 1) 2 ya
解：点坐标：
t
d y a sin t 1 d x t t a ( 1 cos t ) 2 2