广东省广州市荔湾区2015届高三11月调研测试(二)数学文试题 Word版含答案
2015年广州二模文科数学试题参考答案
2
3 ．…………………………………………6 分 2
由正弦定理
a …………………………………………………………………………………7 分 = 2R ， sin A
数学（文科）试题 A 第 1 页 共 9 页
得 a = 2 R sin A = 2 ´ 14 ´
数学（文科）试题 A 第 2 页 共 9 页
18． （本小题满分14分） （1）证明：连接 A1 B ， 在四边形 A1 BCD1 中， A1 D1 P BC 且 A1 D1 = BC ， 所以四边形 A1 BCD1 是平行四边形． 所以 A1 B P D1C ．…………………………………………2分 在△ ABA1 中， AM = AN = 1 ， AA1 = AB = 3 ， 所以 M D C N B A1 D1 C1 B1
( a2 , b2 ) ， ( a3 , b1 ) ， ( a3 , b2 ) ， ( a4 , b1 ) ， ( a4 , b2 ) ， ( b1 , b2 ) 共 9 种.……………………………………11 分
故所求的概率为
9 3 = . ………………………………………………………………………………12 分 15 5
1 æ1 1 9 9ö 13 ´ç + ´ + ÷ ´ 3 = ，………………………………………………11分 ç ÷ 3 è2 2 2 2ø 2
13 41 = ，…………………………………………………13分 2 2
从而 V2 = VABCD - A1B1C1D1 - VAMN - DD1C = 27 所以
b 2 + c 2 - a 2 ( 5k ) + ( 3k ) - ( 7 k ) cos A = = …………………………………………………………3 分 2bc 2 ´ 5k ´ 3k
广州市荔湾区2015届高三11月调研测试(二)数学(文)试卷
广州市荔湾区2015届高三11月调研测试（二）数学(文)试卷2014.11本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4参考公式：其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1，那么集合A B 为( )A ．(){}1,3-B ．()3,1-C ．{}3,1- D ．(){}3,1- 2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为( )A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >） 4．已知向量,a b 的夹角为120，，且8a b ⋅=-，则 ) A ．6 B.7 C ．8 D.9 5．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 6．根据如下样本数据：A. 0a >,0<bB. 0a >,0>bC. 0a <,0<bD. 0a <,0>b7 ）8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A ．0 BCD9a b点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为( )A BCD 10．若实数1122,,,x y x y 满足22211122(3ln )(2)0y x x x y +-+-+=，则221212()()x x y y -+-的最小值为( )A. 8 B C ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 已知{}n a 是等差数列，125a a +=，91021a a +=，则该数列前10项和10S =________． 12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________. 13．给出下列四个命题：有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题；④函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,（1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17. （本小题满分12分）随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出,,,A B C D 四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：（1）若会员甲选择的是A 款商品，求甲的评价被选中的概率；（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是C 款商品的概率.18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O上一点，且（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求点B 到平面PAC 的距离．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是首项为2，公差不为零的等差数列，且1517,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜，直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点M 、N ． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分），()()F x f x kx =+ (k ∈R )． （1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．文科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. 65 12.13. ③④15. 035 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos 5B =且(0,)B π∈，∴1分 cos(π=- ………………2分………………4分………………5分………………6分 （2）由（1 ………………7分 ………………8分解得14c =． ………………9分 ∴7BD =， ………………10分在BCD ∆中， ………………11分………………12分 17. 解：（1）由条形图可得，选择,,,A B C D 四款商品的会员共有2000人，……1分其中选A 款商品的会员为400人，由分层抽样可得A 款商品的评价抽取了 份． ………………2分 设 “甲的评价被选中” 为事件M ，则 ………………3分 答：若甲选择的是A 款商品，甲的评价被选中的概率是0.05. ………………4分 (2) 由图表可知，选,,,A B C D 四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分记对A 款商品评价为差评的会员是a ；对C 款商品评价为差评的会员是,,b c d ；对D 款商品评价为差评的会员是,e f ．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件：(),,a b ()()()(),,,,,,a c a d a e a f ，(),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f()()(),,,,,d e d f e f ． ………………9分设“至少有一人选择的是C 款商品” 为事件N ,事件N 包含有12个基本事件：(),,a b ()(),,,,a c a d (),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,cd ce cf ()(),,,d e d f .由古典概率公式知………………11分 答：至少有一人选择的是C 款商品的概率为………………12分 18．解：（1）由3BD =, 1AD =，知4AB =，2AO =，点D 为AO 的中点．……1分连接OC ．∵2AO AC OC ===，∴AOC ∆为等边三角形， ………………2分 又点D 为AO 的中点，∴CD AO ⊥． ………………3分 又∵PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， ………………4分PD AO D ⋂=，PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，∴CD ⊥平面PAB ， ………………5分 又PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥CD ． ………………6分（2）由（1）知CD AB ⊥，……………7分 又∵PD ⊥平面ABC ，∴8分 在Rt PCD ∆中， ………………9分在Rt PAD ∆中， ………………10分在等腰PAC ∆中，PC 边上的高为………………11分………………12分 设点B 到面PAC 的距离为d ，由P ABC B PAC V V --=，∴ ………13分 ，即点B 到面PAC 的距离为 ………………14分 19．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∴12a =，524a d =+，17216a d =+，由1517,,a a a 成等比数列， ∴()()2242216d d +=+， ………………3分 即2d d =．∵0d ≠，∴1d =． ………………5分 ∴()2111n a n n =+-⨯=+． ………………6分 （2）由（1………………7分………………8分………………9分 两式相减得：………………11分………………12分………………13分………………14分另解：由(1)． ………………7分利用待定系数法2121A B A =⎧⎨-=⎩,………………10分 ∴123...n n S b b b b =++++………………14分20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率，直线BP 的斜率（0x ≠）， ………2分………………3分 ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得 ………………7分 由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得 ………………8分9分∴线段MN 长的最小值………………10分（3）设点(),Q x y是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN=，即………………11分故以MN为直径的圆的方程为：………………12分令0x=，得()2212y+=，解得………………13分∴以MN 为直径的圆经过定点………………14分21.解:（1）当1=k时，………………1分当0>x时，，当且仅当1=x时，()F x取最小值2．…………2分当0x≤时，()e xF x x=+，()e10xF x'=+>，()F x在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F≤．………………3分所以当1=k时，()F x的值域为(,1][2,)-∞+∞．………………4分（2………………5分①当0=k时，当0>x时，()0F x'<，()F x在区间(0,)+∞上单调递减，………………6分当0x≤时，()0F x'>，()F x在区间(,0]-∞上单调递增．………………7分②当0>k 时， 当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分 当0>x 时，令时，()0F x '<，()F x 在区间 ………………9分 时，'()0>F x ，()F x 在区间 ………………10分 ③当0k <时， 当0>x 时，，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。
2015高考真题——数学文(广东卷)Word版含答案
2015高考真题——数学文（广东卷）Word版含答案绝密★启用前试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合，，则（）A．B．C．D．2、已知是虚数单位，则复数（）A．B．C．D．3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．4、若变量，满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．D．5、设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）A．B．C．D．6、若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交B．与，都相交C．至多与，中的一条相交D．与，都不相交7、已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）A．B．C．D．8、已知椭圆（）的左焦点为，则（）A．B．C．D．9、在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）A．B．C．D．10、若集合，，用表示集合中的元素个数，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11、不等式的解集为．（用区间表示）12、已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．13、若三个正数，，成等比数列，其中，，则．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．15、（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知．求的值；求的值．17、（本小题满分12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．求直方图中的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，．证明：平面；证明：；求点到平面的距离．19、（本小题满分14分）设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．求的值；证明：为等比数列；求数列的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．求圆的圆心坐标；求线段的中点的轨迹的方程；是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设为实数，函数．若，求的取值范围；讨论的单调性；当时，讨论在区间内的零点个数．2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）参考答案一、选择题1.C2.D3.A4.C5.B6.A7.B8.C9.D 10.D二、填空题11. 【答案】12. 【答案】13. 【答案】14. 【答案】15. 【答案】16. 【答案】（1）；（2）．17. 【答案】（1）；（2），；（3）．18. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是19. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．(1)当n=2时，4解得：（2）因为即×，所以数列（3）由知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是20. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或．（1）圆（2）设线段AB的中点M由圆的性质可得垂直于直线l设直线l的方程为所以因为动直线l与圆相交，所以所以或所以满足即（3）由题意知直线l表示过定点T斜率为k的直线结合图形，按逆时针方向运动到的圆弧，根据对称性，只需讨论在x轴对称下方的圆弧。
高中毕业班综合测试(二)数学文试题.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 台体的体积公式()11223hV S S S S =++，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240的值为A ．32 B ．12 C ．12- D ．32-2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为 A ．12B ．32C ．72D ．1324．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．645．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1--7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n +D ．221n-8．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．23D ．1Vx=1, y=2z=xy是z<20? x =yy =z输出z结束否开始图19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 A ．13 B ．7C ．433 D ．33210．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为 A ．14 B ．12 C ．34D ．1二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km /h 的关系可以用2y ax =来描述，已知这种型号的汽车在速度为60km/h 时，紧急刹车后滑行的距离为b ()km ．一辆这种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离为3b ()km ，则这辆车的行驶速度为 km/h ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；BA CD FG 图3（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示． 年龄 分组 抽取份数 答对全卷 的人数 答对全卷的人数 占本组的概率 [20,30) 40 28 0.7 [30,40) n 27 0.9 [40,50) 10 4 b [50,60]20a0.1（1）分别求出n ，a ，b ，c 的值；（2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的概率． 18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别是 棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}na 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()2ln f x x ax x =++()a ∈R ．C 1 ABA 1B 1D 1C DMN图4年龄频率/组距 20 30 40 50 600.01c 0.04 0.03 0（1）若函数()f x 在1x =处的切线平行于x 轴，求实数a 的值，并求此时函数()f x 的极值； （2）求函数()f x 的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C A D B B D二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．题号 1112131415答案2 3- 603 43116．（本小题满分12分）解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分（2）由（1）知，1cos 2A =-， 因为A 是△ABC的内角，所以23sin 1cos 2A A =-=．…………………………………………6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分 得32sin 2141432a R A ==⨯⨯=．…………………………………………………………………8分 由（1）设7a k =，即23k =，所以5103b k ==，363c k ==．………………………………………………………………10分所以1sin 2ABC S bc A ∆=131036322=⨯⨯⨯……………………………………………………11分453=．所以△ABC 的面积为453．…………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1，所以200.1a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有可能的情况是：()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()24,a a ， ()21,a b ，()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =，所以四边形11A BCD 是平行四边形． 所以11A BD C ．…………………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以1AM ANAA AB=， C 1 ABA 1B 1D 1C DMN所以1M N ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MND C ．所以M ，N ，C ，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333A M N A D N C D N S D A S D D S D D ∆∆∆=++………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ， 因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN平面1DD C ．延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ，所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． C 1 A B A 1B 1D 1C D M N延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =． 所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点．所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分 从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分 所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上， 所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-，解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数，则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++，所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分 依题意有()10f '=，即1210a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x'=++221ax x x ++=，（ⅰ）当0a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=．因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中11184a x a --=-，21184a x a+-=-．因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是1180,4a a ⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间是118,4a a ⎛⎫+--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）方法一：设圆C 的方程为：()222x a y r-+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l 的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C 的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C 的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k 满足00211k y kx k -+-=+，即1k ，2k 是方程()()2220022110xxk yxk y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-()()220000220000412122y y x x x x x x -+⎡⎤=-⎢⎥++⎣⎦……………………………………………9分 因为()220044y x =--， 所以()02056222x AB x -=+．…………………………………………………………………………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ， 则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=， 因为直线PA 与圆C 相切，所以()0022001a y ax y a x -+=-+，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ②由①②知a ，b 为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以()24AB a b a b ab =-=+-200002422y x x x ⎛⎫=+ ⎪++⎝⎭()()2000204422y x x x ++=+．……………………………………………………………………9分因为()220044y x =--，所以()02056222x AB x -=+……………………………………………………………………………10分()2001652222x x =-+++．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以222165AB t t =-+252522163264t ⎛⎫=--+⎪⎝⎭，………………………………………12分当532t =时，max 524AB =，当14t =时，min 2AB =． 所以AB 的取值范围为522,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…………………………………………………………………14分。
2015年高考广东文科数学试题及答案(word解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试〔XX 卷〕数学〔文科〕一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．〔1〕[2015年XX ，文1，5分]若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =〔〕〔A 〕{}0,1-〔B 〕{}0〔C 〕{}1〔D 〕{}1,1- [答案]C [解析]{}1MN =，故选C ．〔2〕[2015年XX ，文2]已知i 是虚数单位，则复数()21i +=〔〕〔A 〕-2〔B 〕2〔C 〕2i -〔D 〕2i [答案]D[解析]22(1i)12i i 2i +=++=，故选D ．〔3〕[2015年XX ，文3，5分]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是〔〕〔A 〕2sin y x x =+〔B 〕2cos y x x =-〔C 〕122x x y =+〔D 〕sin 2y x x =+[答案]A[解析]()()()222sin sin sin x x x x x x -+-=-≠±+，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称．()22cos()cos x x x x ---=-，故为偶函数；对于C ，函数定义域为R ，关于原点对称，因为1()2222x x xxf x -=+=+，所以()22()x x f x f x --=+=，故为偶函数；D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且sin 2()(sin 2)x x x x -+-=-+，故为奇函数，故选A ． 〔4〕[2015年XX ，文4，5分]若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为〔〕〔A 〕10〔B 〕8〔C 〕5〔D 〕2 [答案]C[解析]在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由()2,2-，()4,4-，()4,1-组成的三角形．由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当4x =，1y =-时，2z x y =+取得最大值5．本题也可以通过平移直线23y x =-，当直线233zy x =-+经过()4,1-时，截距达到最大，即z 取得最大值5，故选C ．〔5〕[2015年XX ，文5，5分]设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且b c <，则b =〔〕〔A 〕3〔B 〕2〔C 〕22〔D 〕3[答案]B[解析]由余弦定理得：222a b c =+2cos bc A -，所以234122232b b =+-⋅⋅，即2680b b -+=，解得2b =或4b =．因为b c <，所以2b =，故选B ．〔6〕[2015年XX ，文6，5分]若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是〔〕〔A 〕l 至少与1l ，2l 中的一条相交〔B 〕l 与1l ，2l 都相交 〔C 〕l 至多与1l ，2l 中的一条相交〔D 〕l 与1l ，2l 都不相交 [答案]A[解析]以正方体为模型，易知l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．〔7〕[2015年XX ，文7，5分]已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为〔〕〔A 〕0.4〔B 〕0.6〔C 〕0.8〔D 〕1 [答案]B[解析]采用列举法，记5件产品中分别为,,,,a b c d e ，其中,d e 为分别对应2件次品，从5件产品中任取2件有基本事件,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10个，恰有一件次品的含有基本事件,,,,ad ae bd cd ce 共6个，故恰有一件次品的概率概率为60.610=，故选B ．〔8〕[2015年XX ，文8，5分]已知椭圆222125x y m+=()0m >的左焦点为()14,0F -，则m =〔〕〔A 〕9〔B 〕4〔C 〕3〔D 〕2 [答案]C[解析]由题意得4c =，222516m c -==，故29m =．因为0m >，故3m =，故选C ．〔9〕[2015年XX ，文9，5分]在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，()1,2AB =-，()2,1AD =， 则AD AC ⋅=〔〕〔A 〕2〔B 〕3〔C 〕4〔D 〕5 [答案]D[解析]由平行四边形法则，得(1,2)(2,1)(3,1)AC AB AD =+=-+=-，所以231(1)5AD AC ⋅=⨯+⨯-=，故选D ． 〔10〕[2015年XX ，文10，5分]若集合(){},,,04,04,04,,,E p q r s p s q s r s p q r s =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=〔〕〔A 〕50〔B 〕100〔C 〕150〔D 〕200 [答案]D[解析]对于E ，当4s =，,,p q r 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，因而有44464⨯⨯=；当3s =，,,p q r 可以从0,1,2这三个数任取一个，因而有33327⨯⨯=；当2s =，,,p q r 可以从0,1这两个数任取一个，因而有2228⨯⨯=；当1s =，0p =，0q =，0r =，只有一种，故()642781100card E =++++=；对于F ，先处理前面两个(),t u ，当4u =，t 可以从0,1,2,3这四个数任取一个，有4种；当3u =，t 可以从0,1,2这3个数任取3个；当2u =，t 可以从0,1，这四个数任取2个；当1u =，0t =只有一种，故前面两个(),t u 的可能结果有4+3+2+1=10种，同理可得后面(),v w 有10种，故()1010100card F =⨯=．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 〔一〕必做题〔11~13〕〔11〕[2015年XX ，文11，5分]不等式2340x x --+>的解集为． [答案]()4,1-[解析]由2340x x --+>得2340x x +-<，即()4(1)0x x +-<，所以41x -<<，即2340x x --+>的解集为()4,1-．〔12〕[2015年XX ，文12，5分]已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．[答案]11[解析]由题意有121()5n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以125n x x x n ++⋅⋅⋅+=，所以()()()121(212121n x x x n ⎡⎤++++⋅⋅⋅++=⎣⎦ ()1211(2221111n x x x n n n n⎡⎤++⋅⋅⋅++=⋅=⎣⎦．〔13〕[2015年XX ，文13，5分]若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b =． [答案]1[解析]因为正数a ，b ，c 成等比数列，所以21b ac ==，所以1b =． 〔二〕选做题〔14-15题，考生只能从中选做一题〕〔14〕[2015年XX ，文14，5分]〔坐标系与参数方程选做题〕在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩〔t 为参数〕，则1C 与2C 交点的直角坐标为． [答案]()2,4-[解析]由()cos sin 2ρθθ+=-得2x y +=-，由222x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩得2228x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以28y x =(0)x ≥，联立228x y y x +=-⎧⎨=⎩ 解得24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为为()2,4-．〔15〕[2015年XX ，文15，5分]〔几何证明选讲选做题〕如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若4AB=，23CE =，则AD =． [答案]8[解析]因为CE 是圆O 的切线方程，所以2EC EB EA =⋅,所以()()2234EB EB =⋅+，解得2EB =或6EB =-〔舍去〕．连接OC ，则OC DE ⊥，由AD DE ⊥，得//AD CO ，所以CO OEAD AE=，所以22242AD +=+，故3AD =． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 〔16〕[2015年XX ，文16，12分]已知tan 2α=．〔1〕求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；〔2〕求2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--的值．解：〔1〕因为tan 2α=，所以tan tan214tan()34121tan tan 4παπαπα+++===---． 〔2〕2sin 2sin sin cos cos21ααααα+--222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα==+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+- 22tan 41tan tan 2422ααα===+-+-． 〔17〕[2015年XX ，文17，12分]某城市100户居民的月平均用电量〔单位：度〕，以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．〔1〕求直方图中x 的值；〔2〕求月平均用电量的众数和中位数；〔3〕在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取多少户？解：〔1〕由题意得：()0.0020.00250.0050.00950.0110.0125*201x ++++++=，解得0.0075x =． 〔2〕由频率分布直方图可知众数为2202402302+=，设中位数为x ，则有 ()0.002*200.0095*200.011*20220*0.01250.5x +++-=，解得224x =，所以月平均用电量的中位数为224． 〔3〕月平均用电量为[)220,240的频率为0.0125*200.25=，月平均用电量为[)240,260的频率为0.0075*200.15=，月平均用电量为[)260,280的频率为0.005*200.1=，月平均用电量为[]280,300的频率为0.0025*200.05=，设月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取n 户,则0.25110.250.150.10.05n =+++，解得5n =所以用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 [)220,240的用户中应抽取5户． 〔18〕[2015年XX ，文18，14分]如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =．〔1〕证明：//BC 平面PDA ； 〔2〕证明：BC PD ⊥；〔3〕求点C 到平面PDA 的距离． 解：〔1〕因为四边形ABCD 为矩形，所以//BC AD ．因为BC ⊄平面PDA ， 〔2〕取CD 的中点为O ，连接PO ，因为PD PC =，所以PO DC ⊥．又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC平面ABCD DC =，PO ⊂平面PDC ，所以PO ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以BC PO ⊥． 又BC CD ⊥CD PO O =，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC PD ⊥． 〔3〕因为PO ⊥平面ABCD ，即P 到平面ADC 的距离为PO，PO ==因为BC PD ⊥，//AD BC ，所以AD PD ⊥，所以1134622PDA S AD DP ∆=⋅=⨯⨯=，设点C 到平面RDA 的距离为h ，由C PDA P ADC V V --=得16326ADC PDA S PO h S ∆∆⋅⋅⋅===， 即C 到平面RDA〔19〕[2015年XX ，文19，14分]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． 〔1〕求4a 的值；〔2〕证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；〔3〕求数列{}n a 的通项公式．解：〔1〕当2n =时，4231458S S S S +=+，所以()1234124()5a a a a a a +++++=12318()a a a a +++，即4231748a a a =-+=．〔2〕因为211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+≥，所以211144450(2)n n n n n S S S S S n +++---+-=≥所以()()()2111144550(2)n n n n n n S S S S S S n ++++--+-++-=≥，所以211450(2)n n n n a a a a n +++-++=≥，即21440(2)n n n a a a n ++-+=≥，所以211(2)()4n n n a a a n ++=-≥*当1n =时，321515,444a a a =-=，所以32114a a a =-，满足()*式，所以211(1)4n n n a a a n ++=-≥所以211111222n n n n a a a a +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=，公比为12的等比数列．〔3〕由〔2〕得1111111222n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以12n +，可得11224n n n n a a ++-=，所以{}2n n a 是以122a =，公差为4的等差数列．所以()221442n n a n n =+-⋅=-，所以1422122n n n n n a ---==． 〔20〕[2015年XX ，文20，14分]已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x 相交于不同的两点A ，B ．〔1〕求圆1C 的圆心坐标；〔2〕求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；〔3〕是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x 与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值X 围；若不存在，说明理由．解：〔1〕由题意知：圆1C 方程为：22(3)4x y -+=，∴圆1C 的圆心坐标为()3,0． 〔2〕由图可知，令()11,M x y ，222211111||,||(3)OM x y C M x y =+=-+，22211||||||OC OM C M =+，2222211113(3)x y x y ∴=++-+，221139()24x y ∴-+=，∵直线L 与圆1C 交于A 、B 两点，∴直线L 与圆1C 的距离：02d ≤< 22110(3)4x y ∴≤-+<，2211930(3)()442x x ∴≤-+--<，1533x ∴<≤ ∴轨迹C 的方程为：22395()(,3]243x y x -+=∈．〔3〕∵直线L ：(4)y k x =-与曲线2239()24x y -+=仅有1个交点，联立方程：22(4)5(,3]393()24y k x x x y =-⎧⎪∈⎨-+=⎪⎩， 得：2222(1)(83)160k x k x k +-++=，在区间5(,3]3有且仅有1个解．当2222=(83)64+1=k k k ∆+-（）0时，43k =±，此时，125(,3]53x =∈，仅有一个交点，符合题意．当0∆≠时，令2222()(1)(83)16g x k x k x k =+-++，则有：5()(3)03g g ≤解得：2525[,]77k ∈-，∴k 的取值X 围为：2525[,]77k ∈-或43k =±．〔21〕[2015年XX ，文21，14分]设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．〔1〕若()01f ≤，求a 的取值X 围； 〔2〕讨论()f x 的单调性；〔3〕当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 解：〔1〕22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤．当0a ≤时，01≤，显然成立；当0a >，则有21a ≤，所以12a ≤．所以102a <≤．综上所述，a 的取值X 围12a ≤．〔2〕()2221,()(21)2,x a x x af x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上， 所以()f x 在(,)a +∞单增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴为21122a x a a +==+>，开口向上，所以()f x 在(,)a -∞单减．综上，()f x 在(,)a +∞单增，在(,)a -∞单减．〔3〕由〔2〕得()f x 在(,)a +∞单增，在(0,)a 单减，所以2min ()()f x f a a a ==-．〔i 〕当2a =时，min ()(2)2f x f ==-，223,2()54,2x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，令()40f x x +=，即()4()0f x x x =->．因为()f x 在(0,2)单减，所以()(2)2f x f >=-，而4y x=-在(0,2)单增，(2)2y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在(0,2)无交点．当2x ≥时，24()3f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()22(1)0x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时，()4f x x+有一个零点2x =． 〔ii 〕当2a >时，2min ()()f x f a a a ==-，当(0,)x a ∈时，(0)24f a =>，2()f a a a =-，而4y x =-在(0,)x a ∈单增，当x a =时，4y a =-．下面比较2()f a a a =-与4a -的大小因为32224(4)(2)(2)()0a a a a a a a a a a-----++---==<，所以24()f a a a a=-<-．结合图像不难得当2a >，()y f x =与4y x=-有两个交点．综上，当2a =时，()4f x x +有一个零点2x =；当2a >，()y f x =与4y x=-有两个零点．。
[精品]广东省广州市2015高中毕业班综合测试(二)高中数学文科试题和答案
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试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）2015.4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号．用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．台体的体积公式()123hV S S =+，其中1S ，2S 分别是台体的上，下底面积，h 是台体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 240 的值为A．12 C ．12- D．2．已知函数()3x f x =()x ∈R 的反函数为()g x ，则12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．3log 2-B ．3log 2C ．2log 3-D ．2log 33．已知双曲线C ：22214x y b-=经过点()4,3，则双曲线C 的离心率为A ．12 BD4．执行如图1所示的程序框图，则输出的z 的值是A ．21B ．32C ．34D ．64 5．已知命题p ：x ∀∈R ，20x >，命题q ：,αβ∃∈R ，使()tan tan tan αβαβ+=+，则下列命 题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 6．设集合{}22A x a x a =-<<+，{}2450B x x x =--<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围为A ．[]1,3B ．()1,3C ．[]3,1--D ．()3,1-- 7．已知数列{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为 A ．2121n -+ B ．2121n -- C ．221n + D ．221n - 8．已知函数()，若在区间[]上任取一个实数，则使()成立的概率为 A ．425B ．12C ．23 D ．19．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABCD10．设函数()3233f x x ax bx =++有两个极值点12x x 、，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，则点(),a b 在aOb平面上所构成区域的面积为A ．14B ．12C ．34D ．1 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题） 11．已知i 为虚数单位，复数1iiz -=，则z = ． 12．已知向量(),1x =a ，()2,y =b ，若()1,1=-a +b ，则x y += ．13．某种型号的汽车紧急刹车后滑行的距离y ()km 与刹车时的速度x ()km/h 的关14．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点，AE 与BC 的延长线交于点F，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）图3在在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t =⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC 外接圆的半径为14，求△ABC 的面积． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了100份，统计结果如下面的图表所示．（n a b c （2）从年龄在[]40,60答对全卷的人中随机抽取2人授予“环保之星”，求年龄在[]50,60的人中至少有人被授予“环保之星”的概率．18．（本小题满分14分）如图4，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为3，M ，N分别是棱1AA ，AB 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，C ，1D 四点共面；（2）平面1MNCD 将此正方体分为两部分，求这两部分的体积 之比．19．（本小题满分14分）已知点(),n n n P a b ()n ∈*N 在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若(),,n n a n f n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，，是否存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．C 1ABA 1B 1D 1C DMN图420．（本小题满分14分）已知函数()2a∈R．=++()lnf x x ax x（1）若函数()f x在1f xx=处的切线平行于x轴，求实数a的值，并求此时函数()的极值；（2）求函数()f x的单调区间．21．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k=，5b k=，3c k =()0k >， (2)分由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A是△ABC的内角，所以s ic o s A ==6分 由正弦定理2si na R A =，…………………………………………………………………………………7分得2sin 214a R A ==⨯=由（1）设7a k =，即k =，所以51b k ==，3c k ==10分所以1s i2ABC S bc A ∆=12=⨯……………………………………………………11分=所以△ABC的面积为45312分17．（本小题满分12分）解：（1）因为抽取总问卷为100份，所以()10040102030n =-++=．………………………………1分 年龄在[)40,50中，抽取份数为10份，答对全卷人数为4人，所以4100.4b =÷=．……………2分年龄在[]50,60中，抽取份数为20份，答对全卷的人数占本组的概率为0.1， 所以2a ÷=，解得2a =．…………………………………………………………………………3分根据频率直方分布图，得()0.040.030.01101c +++⨯=， 解得0.02c =．……………………………………………………………………………………………4分（2）因为年龄在[)40,50与[]50,60中答对全卷的人数分别为4人与2人．年龄在[)40,50中答对全卷的4人记为1a ，2a ，3a ，4a ，年龄在[]50,60中答对全卷的2人记为1b ，2b ，则从这6人中随机抽取2人授予“环保之星”奖的所有()22,a b ，()34,a a ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ， ()12,b b 共15种．…………………………………………………………………………………8分其中所抽取年龄在[]50,60的人中至少有1人被授予“环保之星”的情况是：()11,a b ，()12,a b ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()41,a b ，()42,a b ，()12,b b 共9种.……………………………………11分故所求的概率为53159=. ………………………………………………………………………………12分18．（本小题满分14分） （1）证明：连接1A B ，在四边形11A BCD 中，11A D BC 且11A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形．所以11A B D C ．…………………………………………2分 在△1ABA 中，1AM AN ==，13AA AB ==， 所以1AM ANAA AB=， 所以1M N．…………………………………………………………………………………………4分所以1MN DC ． 所以M，N，C，1D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解法一：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，连接1D A ，1D N ，DN ，C 1 ABA 1B 1D 1C DMNC 1 A 1B 1D 1DM则几何体1D AMN -，1D ADN -，1D CDN -均为三棱锥， 所以1111D AMN D ADN D CDN V V V V ---=++1111111333AMN ADN CDN S D A S D D S D D ∆∆∆=++ ………9分 111319333323232=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯132=．……………………………………………………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分解法二：记平面1MNCD 将正方体分成两部分的下部分体积为1V ，上部分体积为2V ，因为平面11ABB A 平面11DCC D ，所以平面AMN 平面1DDC ． 延长CN 与DA 相交于点P ， 因为AN DC ， 所以AN PA DC PD =，即133PA PA =+，解得32PA =． 延长1D M 与DA 相交于点Q ，同理可得32QA =．所以点P 与点Q 重合．所以1D M ，DA ，CN 三线相交于一点． 所以几何体1AMND D C -是一个三棱台．……………………………………………………………9分所以1111332AMV V -⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭，………………………………………………11分从而11212722ABCD A B C D AMN DD C V V V --=-=-=，…………………………………………………13分所以121341V V =． 所以平面1MNCD 分此正方体的两部分体积的比为1341．……………………………………………14分19．（本小题满分14分）解：（1）因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1， 所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分因为数列{}n a 是公差为1的等差数列， 所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分（2）因为()1,32,n n f n n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，，假设存在k ∈*N ，使()()34f k f k +=成立．………………………………………………………7分①当k 为奇数时，3k +为偶数， 则有()()33241k k +-=-， 解得11k =，符合题意．………………………………………………………………………………10分②当k 为偶数时，3k +为奇数， 则有()()31432k k +-=-， 解得1011k =，不合题意．………………………………………………………………………………13分综上可知，存在11k =符合条件．………………………………………………………………………14分20．（本小题满分14分） 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，……………………………………………………………………1分因为()2ln f x x ax x =++， 所以()121f x ax x'=++，………………………………………………………………………………2分依题意有()10f '=，即12a ++=，解得1a =-．………………………………………………3分此时()()()212121x x x x f x x x--+-++'==，所以当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数，………………………………………5分所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，极大值为0．………………………………………………6分（2）因为()121f x ax x '=++221ax x x++=，（ⅰ）当a ≥时，………………………………………………………………………………………7分因为()0,x ∈+∞，所以()f x '2210ax x x++=>， 此时函数()f x 在()0,+∞是增函数．……………………………………………………………………9分（ⅱ）当0a <时，令()0f x '=，则2210ax x ++=． 因为180a ∆=->，此时()f x '()()212221a x x x x ax x x x--++==，其中114x a -=-，214x a=-． 因为0a <，所以20x >，又因为12102x x a=<，所以10x <．……………………………………11分所以当20x x <<时，()0f x '>，当2x x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在()20,x 上是增函数，在()2,x +∞上是减函数．…………………………………13分综上可知，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是()0,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调递增区间是0,⎛ ⎝⎭，单调递减区间是14a ⎛⎫+-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭．……………………………………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）方法一：设圆C的方程为：()222x a y r -+=()0r >，………………………………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-， 所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩………………………………………………………………………………3分解得1a =-，1r =． 所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分方法二：设()0,0O ，()1,1A -，依题意得，圆C 的圆心为线段OA 的垂直平分线l 与x 轴的交点C ．………………………………1分因为直线l的方程为1122y x -=+，即1y x =+，……………………………………………………2分所以圆心C的坐标为()1,0-．…………………………………………………………………………3分所以圆C的方程为()2211x y ++=．…………………………………………………………………4分（2）方法一：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，PB 的方程为：()020y y k x x -=-， 则点A 的坐标为()0100,y k x -，点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110xx k y x k y +-++-=的两根，………………………………7分即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以12A B =-x =9分因为()220044y x =--，所以AB =………10分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．………………………………………………………………………………11分由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，……………………12分所以()0max2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分 方法二：设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=， 即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………………………………………………………………5分设点()0,A a ，()0,B b ， 则直线PA ：00y ay a x x --=，即()0000y a x x y ax --+=，因为直线PA 与圆C1=，化简得()2000220x a y a x +--=． ① 同理得()2000220x b y b x +--=， ② 由①②知a，b为方程()2000220x x y x x +--=的两根，…………………………………………7分即00002,2.2y a b x x ab x ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以AB a b =-===…9分因为()220044y x =--， 所以AB =………10分=．………………………………………………………………11分令012t x =+，因为026x ≤≤，所以1184t ≤≤．所以AB ==， (12)分当532t =时，max AB =， 当14t =时，min AB = 所以AB的取值范围为4⎦．…………………………………………………………………14分。
2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列 命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率 为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =， 则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ． 考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的 均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的 切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3． 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的 方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372． 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增； 对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。
广东省广州市荔湾区高三数学上学期第二次调研试卷 文(
2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}2．若复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或13．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x=2是方程x+2=0的根．则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2015 B．﹣1 C．D．26．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．7．随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．B．20π C．12π D．100π9．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．2010．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），则满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．1711．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9= ．14．已知点P为抛物线C：x2=y上的一点，F为抛物线C的焦点，若|PF|=1，则点P的纵坐标为．15．已知奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（1）＜0，则x的取值范围为．16．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=，且b=3，a=2．（1）求sin2A；（2）求△ABC的面积．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B﹣AB1D的体积．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx﹣1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．（Ⅰ）求证：BE2=CE•PE（Ⅱ）若EC=2，求PB的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•松山区校级月考）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点．（1）写出直线l的参数方程，曲线C的普通方程；（2）求|AP|：|BP|的值．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2 （Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2015-2016学年广东省广州市荔湾区高三（上）第二次调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．若复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，则实数a等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．0或1【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】方程思想；转化思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】利用纯虚数的定义、方程的解法即可得出．【解答】解：复数z=（a2﹣a）﹣ai为纯虚数，∴，解得a=1．故选：B．【点评】本题考查了纯虚数的定义、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知平面向量=（1，﹣2），=（4，m），且⊥，则向量5﹣3=（）A．（﹣7，﹣16） B．（﹣7，﹣34） C．（﹣7，﹣4）D．（﹣7，14）【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，∴，解得m=2，∴=（5，﹣10）﹣（12，6）=（﹣7，﹣16）．故选A．【点评】熟练掌握向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．已知命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0；命题q：x=2是方程x+2=0的根．则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有|x|≥0为真命题，命题q：x=2是方程x+2=0的根为假命题，则p∧￢q为真命题．，其余为假命题，故选：A【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，判断命题p，q的真假是解决本题的关键．5．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是（）A．2015 B．﹣1 C．D．2【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该循环中S的值是以3为周期的，计算出k=2014时S的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=2，k=0，S==﹣1；k=1，S==；k=2，S==2；k=3，…；所以，该循环中S的值是以3为周期的，且k=2014=3×671+1时，S=，k=2015时，终止循环，输出S=．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题目．6．当双曲线C不是等轴双曲线时，我们把以双曲线C的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线C的“伴生椭圆”．则离心率为的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线、椭圆的离心率计算公式计算即得结论．【解答】解：设双曲线C的方程为﹣=1，则e==，∴b2=2a2，∴双曲线C的“伴生椭圆”方程为： +=1，∴“伴生椭圆”的离心率为==，故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7．随机地从区间[0，1]任取两数，分别记为x、y，则x2+y2≤1的概率P=（）A．B．C．D．1﹣【考点】几何概型．【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计．【分析】在平面直角坐标系中作出图形，则x，y∈[0，1]的平面区域为边长为1的正方形，符合条件x2+y2≤1的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形内部，则扇形面积与正方形面积的比为概率．【解答】解：在平面直角坐标系中作出图形，如图所示，则x，y∈[0，1]的平面区域为边长为1的正方形OABC，符合条件x2+y2≤1的区域为以原点为圆心，1为半径的扇形OAC内部，∴P（x2+y2≤1）==．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率计算，正确作出几何图形是解题的关键．8．用与球心距离为2的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的表面积为（）A．B．20π C．12π D．100π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】求出小圆的半径，然后利用球心到该截面的距离为2m，小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：用一平面去截球所得截面的面积为π，所以小圆的半径为：1；已知球心到该截面的距离为2，所以球的半径为： =所以表面积为4π•5=20π．故选：B．【点评】本题是基础题，考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，满足勾股定理，考查计算能力．9．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．4 B．8 C．16 D．20【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】通过三视图苹果几何体的形状，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图的几何体是四棱锥，底面的边长为2、6的矩形，四棱锥的顶点在底面的射影落在矩形的长边的一个三等份点，由三视图的数据可知，几何体的高是4，所以几何体的体积为：×6×2×4=16．故选C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查学生的视图能力，空间想象能力与计算能力．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（a n﹣1），则满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为（）A．12 B．14 C．16 D．17【考点】数列的求和．【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式可得a n，再利用指数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵S n=（a n﹣1），∴当n=1时，，解得a1=4．当n≥2时，S n﹣1=，可得a n=，化为：a n=4a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为4．∴a n=4n．不等式a n＞2n+16化为：22n＞2n+16，∴2n＞n+16，解得n＞16．∴满足不等式a n＞2n+16的最小正整数n的值为17．故选：D．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（0）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】求出函数的周期，确定ω的值，利用f（）=﹣，得Asinφ=﹣，利用f（）=0，求出（Acosφ+Asinφ）=0，然后求f（0）．【解答】解：由题意可知，此函数的周期T=2（π﹣π）=，故=，∴ω=3，f（x）=Acos（3x+φ）．f（）=Acos（+φ）=Asinφ=﹣．又由题图可知f（）=Acos（3×+φ）=Acos（φ﹣π）=（Acosφ+Asinφ）=0，∴f（0）=Acosφ=．故选C．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，是基础题．12．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx+k只有一个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） B．（﹣1，1）C．[0，1] D．（﹣∞，﹣1]∪[0，1] 【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意可得函数y=f（x）的图象和直线y=k（x﹣1）只有一个交点，数形结合求得k 的范围．【解答】解：由题意可得函数y=f（x）的图象（红线部分）和直线y=k（x﹣1）（蓝线部分）只有一个交点．直线y=k（x﹣1）经过定点（1，0），斜率为k．当 0＜x＜1时，f′（x）=＞1，当x≥1时，f′（x）=﹣∈[﹣1，0），如图所示：故 k∈（﹣∞，﹣1]∪[0，1]，故选：D．【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9= 20 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a1+a10=20，再由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式可得S10==5（a1+a10）=100，∴a1+a10=20，由等差数列的性质可得a2+a9=a1+a10=20，故答案为：20．【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．14．已知点P为抛物线C：x2=y上的一点，F为抛物线C的焦点，若|PF|=1，则点P的纵坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得P点到抛物线C：x2=y的准线y=﹣的距离也为1，即y+=1，解得答案．【解答】解：∵|PF|=1，∴P点到抛物线C：x2=y的准线y=﹣的距离也为1，即y+=1，解得：y=，故答案为：【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，熟练掌握抛物线的性质，是解答的关键．15．已知奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，且满足f（2x﹣1）+f（1）＜0，则x的取值范围为（0，2）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化进行求解即可．【解答】解：∵奇函数f（x）在定义域（﹣3，3）上是减函数，∴不等式f（2x﹣1）+f（1）＜0等价为f（2x﹣1）＜﹣f（1）=f（﹣1），则不等式等价为，即，即0＜x＜2，即不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．16．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是．【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；数形结合．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可．【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行∵k AC=，∴=1，∴a=﹣1，则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故答案为：．【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于基础题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，B=，且b=3，a=2．（1）求sin2A；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】（1）由已知及正弦定理可求得sinA==，利用大边对大角可得A为锐角，从而可求cosA=，利用倍角公式即可得解；（2）由余弦定理可求得c的值，根据三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵B=，且b=3，a=2．∴由正弦定理可得：sinA===．∵b=3＞a=2．∴A为锐角，cosA==，∴sin2A=2sinAcosA=2×=．（2）∵B=，且b=3，a=2．∴由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，可得：27=4+c2﹣2c，整理可解得：c=1+2．∴S△ABC=acsinB==．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，大边对大角等知识的应用，属于基本知识的考查．18．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，侧棱长为，D为A1C1中点．（Ⅰ）求证；BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）三棱锥B﹣AB1D的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC1∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC1∥平面AB1D．（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB1A1 ，DH为三棱锥D ﹣ABB1的高，求出和DE的值，再根据，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（6分）（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D﹣ABB1的高．（8分）∵，（10分）且，∵．（12分）【点评】本题主要考查证明直线和平面平行的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，求棱锥的体积，属于中档题．19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝合计肥胖 2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2＞k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c=d）【考点】独立性检验的应用．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）根据全部50人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字．（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关．（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率．【解答】解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，，∴x=6常喝不常喝合计肥胖 6 2 8不胖 4 18 22合计10 20 30…（3分）（2）由已知数据可求得：K2=≈8.522＞7.879，因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A、B、C、D，女生为E、F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF．故抽出一男一女的概率是P=﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查画出列联表，考查等可能事件的概率，考查独立性检验，在求观测值时，要注意数字的代入和运算不要出错．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点A（，）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知l：y=kx﹣1，是否存在k使得点A关于l的对称点B（不同于点A）在椭圆C上？若存在求出此时直线l的方程，若不存在说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）通过椭圆的焦距求出c，利用a、b、c的关系以及点的坐标适合椭圆方程，求出a，b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）法1：当k=0时，验证点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，代入利用韦达定理，以及对称综上，说明不存在k满足条件．法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程利用韦达定理，以及对称知识，说明k=1，导出对称点B与点A重合，不合题意，不存在k满足条件．法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1），设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0），利用|PA|=|PB|，求出与A关于x=0对称，不存在k满足条件．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，∴c=，则a2﹣b2=2…①，椭圆过点A（，）．…②，解①②可得a2=3，b2=1，∴椭圆的方程：（Ⅱ）法1：当k=0时，直线l：y=﹣1，点不在椭圆上；当k≠0时，可设直线，即2x+2ky﹣3﹣k=0代入整理得（4k2+12）y2﹣4k（k+3）y+（k+3）2﹣12=0因为，所以若A，B关于直线l对称，则其中点在直线y=kx﹣1上所以，解得k=1因为此时点在直线l上，所以对称点B与点A重合，不合题意所以不存在k满足条件．法2：设AB：x=﹣ky+m，代入椭圆方程化简得（k2+3）y2﹣2kmy+m2﹣3=0，，所以若A，B关于直线l对称，则其中点在直线y=kx﹣1上，所以，即2km=k2+3．又在直线AB：x=﹣ky+m上，所以2m﹣k=3，消m得（3+k）k=k2+3，所以k=1因为此时点在直线l上，所以对称点B与点A重合，不合题意，所以不存在k满足条件．法3：由l：y=kx﹣1可知直线l恒过点P（0，﹣1），设点A关于l的对称点B坐标为（x0，y0），因为点A，B关于l对称，所以|PA|=|P B|所以①又B在椭圆上，所以②联立①②解得或因为与A点重合，舍，因为与A关于x=0对称所以不存在k满足条件．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的对称关系的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系．21．已知函数f（x）=lnx+，其中a为常数，且a＞0．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，求a的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最小值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】分类讨论；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，结合两直线垂直的条件，解方程可得a=3；（2）对a讨论，当0＜a≤1时，当1＜a＜2时，当a≥2时，判断导数的符号，得到单调性，即可得到最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣=（x＞0），因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=x+1垂直，所以f′（1）=﹣2，即1﹣a=﹣2，解得a=3；（2）当0＜a≤1时，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为增函数，∴f（x）min=f（1）=a﹣1；当1＜a＜2时，由f′（x）=0得，x=a∈（1，2），对于x∈（1，a）有f′（x）＜0，f（x）在[1，a]上为减函数，对于x∈（a，2）有f′（x）＞0，f（x）在[a，2]上为增函数，∴f（x）min=f（a）=lna；当a≥2时，f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，这时f（x）在[1，2]上为减函数，∴f（x）min=f（2）=ln2+﹣1．综上所述f（x）min=．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，结合函数的单调性，属于中档题．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．（Ⅰ）求证：BE2=CE•PE（Ⅱ）若EC=2，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（Ⅰ）证明：△BEC∽△PEB，即可证明BE2=CE•PE（Ⅱ）证明△ACE∽△CBE，求出AC，由，可求PB的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P …（1分）∵CE是圆O的切线，∴∠ACE=∠CBE，∴∠CBE=∠P …（2分）∵∠BEP=∠CEB，∴△BEC∽△PEB …（3分）∴，∴BE2=CE•PE…（4分）（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，…（5分）∴EC2=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2．…（6分）∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，∴=．…（7分）∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2．∴AC=，…（9分）由，可得PB=．…（10分）【点评】本题考查三角形相似的判定语性质的运用，考查切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．（2015秋•松山区校级月考）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点．（1）写出直线l的参数方程，曲线C的普通方程；（2）求|AP|：|BP|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；解题思想；方程思想；转化思想；坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用直线的倾斜角，以及经过的点求出直线的参数方程，转化极坐标方程为普通方程即可．（2）直线的参数方程代入抛物线方程，求出参数的值，利用此时的几何意义求解即可．【解答】解：（1）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，它的参数方程为：，t为参数，…（2分）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin2θ﹣2cosθ=0，直角坐标方程为：y2=2x．…（4分）（2）由（1）和y2=2x可知：，…（5分）得t2=6∴，…（7分）由参数的意义知|AP|=，|BP|=，…（9分）∴|AP|：|BP|=1．…（10分）【点评】本题考查直线的参数方程与抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，考查计算能力．【选修4-5：不等式选讲】24．（2015•固原校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）化简函数的解析式，分类讨论，求得不等式的解集．（Ⅱ）不等式即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．根据绝对值的意义可得|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|2x+1|﹣|x|﹣2=，当x ＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得 x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x 对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．- 21 -。
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广州市荔湾区2015届高三11月调研测试（二）数学(文科) 2014.11本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4参考公式：其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1，那么集合A B 为( )A ．(){}1,3-B ．()3,1-C ．{}3,1- D ．(){}3,1- 2．若复数z 满足()1i z i -=,则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为( )A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >） 4．已知向量,a b 的夹角为120，，且8a b ⋅=-，则 ) A ．6 B.7 C ．8 D.9 5．函数cos 2sin 2y x x =-的一条对称轴为（ ）A. B. C. D. 6．根据如下样本数据：A. 0a >,0<bB. 0a >,0>bC. 0a <,0<bD. 0a <,0>b7 ）8．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A ．0 BCD9点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为( )A BC D 10．若实数1122,,,x y x y 满足22211122(3ln )(2)0y x x x y +-+-+=，则221212()()x x y y -+-的最小值为( )A. 8 B C ．2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11. 已知{}n a 是等差数列，125a a +=，91021a a +=，则该数列前10项和10S =________．12. 一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图都是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则这个几何体的体积为________. 13．给出下列四个命题： 有最小值2；②“2450x x --=”的一个必要不充分条件是“5x =”；③命题:,tan 1p x x ∃∈=R ；命题2:,10q x x x ∀∈-+>R ．则命题“()p q ∧⌝”是假命题；④函数()3132f x =x x +-在点()()2,2f 处的切线方程为3y =-.其中正确命题的序号是 ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4sin ρθ=与直线(sin cos )4ρθθ+=相交所得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题） 如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB AC =，延长BC 到点D ，使得CD AC =，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE ，若035D ∠=,则ABE ∠的大小为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别是,,a b c ,（1）求cos C 的值；（2）若10a =，D 为AB 的中点，求CD 的长.17. （本小题满分12分）随着社会的发展，网上购物已成为一种新型的购物方式．某商家在网上新推出,,,A B C D 四款商品，进行限时促销活动，规定每位注册会员限购一件，并需在网上完成对所购商品的质量评价．以下为四款商品销售情况的条形图和用分层抽样法选取100份评价的统计表：（1）若会员甲选择的是A 款商品，求甲的评价被选中的概率；（2）在被选取的100份评价中，若商家再选取2位评价为差评的会员进行电话回访，求这2位中至少有一位购买的是C 款商品的概率.18．（本小题满分14分）如图所示，已知PD 垂直以AB 为直径的圆O 所在平面，点D 在线段AB 上，点C 为圆O 上一点，且（1）求证：PA ⊥CD ；（2）求点B 到平面PAC 的距离．19．（本小题满分14分）已知{}n a 是首项为2，公差不为零的等差数列，且1517,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 两点的坐标分别为()0,1、()0,1-，动点P 满足直线AP 与直线BP 的斜率之积为直线AP 、BP 与直线2y =-分别交于点M 、N ．（1）求动点P 的轨迹方程； （2）求线段MN 的最小值；（3）以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点的坐标;若不经过定点，请说明理由．21．（本小题满分14分），()()F x f x kx =+ (k ∈R )．（1）当1k =时，求函数()F x 的值域； （2）试讨论函数()F x 的单调性．文科数学参考答案与评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. 65 12.13. ③④14. 15. 035 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 解：（1）4cos 5B =且(0,)B π∈，∴1分 cos(π=- ………………2分………………4分………………5分………………6分 （2）由（1 ………………7分 ………………8分 解得14c =． ………………9分 ∴7BD =， ………………10分在BCD ∆中， ………………11分………………12分 17. 解：（1）由条形图可得，选择,,,A B C D 四款商品的会员共有2000人，……1分 其中选A 款商品的会员为400人，由分层抽样可得A 款商品的评价抽取了………………2分 设 “甲的评价被选中” 为事件M ，则 ………………3分 答：若甲选择的是A 款商品，甲的评价被选中的概率是0.05. ………………4分 (2) 由图表可知，选,,,A B C D 四款商品的会员分别有400,500,600,500人， ………5分 用分层抽样的方法，选取评价的人数分别为20,25,30,25人，其中差评的人数分别为1,0,3, 2人，共6人． ………………6分 记对A 款商品评价为差评的会员是a ；对C 款商品评价为差评的会员是,,b c d ；对D 款商品评价为差评的会员是,e f ．从评价为差评的会员中选出2人，共有15个基本事件：(),,a b ()()()(),,,,,,a c a d a e a f ，(),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f()()(),,,,,d e d f e f ． ………………9分设“至少有一人选择的是C 款商品” 为事件N ,事件N 包含有12个基本事件：(),,a b ()(),,,,a c a d (),b c ，()()(),,,,,,b d b e b f ()()(),,,,,,c d c e c f ()(),,,d e d f .………………11分 答：至少有一人选择的是C 款商品的概率为………………12分 18．解：（1）由3BD =, 1AD =，知4AB =，2AO =，点D 为AO 的中点．……1分连接OC ．∵2AO AC OC ===，∴AOC ∆为等边三角形， ………………2分 又点D 为AO 的中点，∴CD AO ⊥． ………………3分 又∵PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， ………………4分PD AO D ⋂=，PD ⊂平面PAB ，AO ⊂平面PAB ，∴CD ⊥平面PAB ， ………………5分 又PA ⊂平面PAB ，∴PA ⊥CD ． ………………6分（2）由（1）知CD AB ⊥， ……………7分又∵PD ⊥平面ABC ，……………8分 在Rt PCD ∆中， ………………9分在Rt PAD ∆中， ………………10分在等腰PAC ∆中，PC 边上的高为………………11分………………12分 设点B 到面PAC 的距离为d ，由P ABC B PAC V V --=，∴ ………13分 ，即点B 到面PAC 的距离为 ………………14分 19．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，∴12a =，524a d =+，17216a d =+，由1517,,a a a 成等比数列， ∴()()2242216d d +=+， ………………3分 即2d d =．∵0d ≠，∴1d =． ………………5分 ∴()2111n a n n =+-⨯=+． ………………6分 （2）由（1………………7分………………8分………………9分 两式相减得：………………11分………………12分………………13分………………14分另解：由(1)． ………………7分利用待定系数法2121A B A =⎧⎨-=⎩,………………10分 ∴123...n n S b b b b =++++………………14分20. 解：（1）已知()()0,1,0,1A B -，设动点P 的坐标(),x y ，∴直线AP 的斜率，直线BP 的斜率（0x ≠）， ………2分………………3分 ………………4分（2）设直线AP 的方程为的()110y k x -=-，直线BP 的方程为的()210y k x +=-，………………6分由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，得 ………………7分 由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，得………………8分9分 ∴线段MN 长的最小值 ………………10分（3）设点(),Q x y 是以MN 为直径的圆的任意一点，则0QM QN=，即………………11分 故以MN 为直径的圆的方程为： ………………12分令0x =，得()2212y +=，解得 ………………13分 ∴以MN 为直径的圆经过定点………………14分21.解:（1）当1=k 时， ………………1分当0>x 时，，当且仅当1=x 时，()F x 取最小值2． …………2分 当0x ≤时，()e x F x x =+，()e 10x F x '=+>， ()F x 在()0,∞-上单调递增，所以()(0)1=F x F ≤． ………………3分所以当1=k 时，()F x 的值域为(,1][2,)-∞+∞． (4)分（2………………5分 ①当0=k 时，当0>x 时，()0F x '<，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减， ………………6分 当0x ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增． ………………7分②当0>k 时，当0x ≤时，()e 0x F x k '=+>，()F x 在区间(,0]-∞上单调递增．………………8分 当0>x 时，令时，()0F x '<，()F x 在区间 ………………9分 时，'()0>F x ，()F x 在区间 ………………10分 ③当0k <时，当0>x 时，，()F x 在区间(0,)+∞上单调递减．……………11分 当0x ≤时，令()e 0x F x k '=+=，得ln()=-x k ， 下面讨论ln()=-x k 是否落在区间(,0)-∞上，令ln()0k -≥，解得1-k ≤，令ln()0k -<，解得10-<<k ，当1-k ≤时，当0x ≤时，()0F x '<，()F x 在(),0-∞上单调递减．……………12分 当10-<<k 时，在(),0-∞上存在极值点ln()=-x k ，当ln()0-<<k x 时，()0F x '>，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，当ln()<-x k 时，()0F x '<，()F x 在(,ln())-∞-k 上单调递减．……………13分 综上所述：当0>k 时，()F x 在(,0]-∞和)k 上单调递减； 当0=k 时，()F x 在(,0]-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当10-<<k 时，()F x 在(ln(),0]-k 上单调递增，在(,ln())-∞-k 和(0,)+∞上 单调递减；当1-k ≤时，()F x 在(],0-∞和()0,+∞上单调递减． ……………14分。