八年级数学上册第2章三角形2.3等腰三角形第2课时等腰三角形的判定习题课件(新版)湘教版
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2.3 等腰三角形的性质定理八年级上册数学浙教版
（1）因为 ， ，所以 平分 ，且 .（2）因为 , ，所以 ，且 平分 .（3）因为 , 平分 ，所以 ，且 .
利用“等腰三角形三线合一”的性质可以解决角相等、线段相等或垂直问题
2.等边三角形三线合一：等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分图，分两种情况讨论：
（1）当点 在点 的左侧 处时，
， ， .
（2）当点 在点 的右侧 处时， ， . 是 的外角， ， ， .综上， 的度数是 或 .
链接教材 本题取材于教材第58页作业题第5题，考查了利用等腰三角形等边对等角的性质求角的度数.中考真题两次利用等边对等角求等腰三角形的底角的度数，并且需要分两种情况讨论求解，难度较大.而教材习题是结合平行线及等边对等角求角的度数，也是常考题目.
等腰三角形三线合一
典例3 如图，在 中， ， 为 边上的中线， ，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
[解析] ， 为 边上的中线， ， . ， .
典例4 如图所示， 是等边三角形， 为 边上的中线， ，求 的度数.
A. B. C. D.
B
[解析] 为等边三角形， ， . ， ， .又 ， .
知识点2 等腰三角形的性质定理2 重点
1.等腰三角形的性质定理2：
性质定理2
几何语言
图示
等腰三角形
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
第2章 特殊三角形
2.3 等腰三角形的性质定理
学习目标
1.掌握等腰三角形的性质定理：①在同一个三角形中，等边对等角；②等腰三角形三线合一.
2.会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、计算.
3.掌握“等边三角形的各个内角都等于 ”.
等腰三角形的判定定理课件(浙教版)
分析：通过证明△FBD≌△DCE≌△EAF，可以说 明DF＝DE＝EF，这就得到△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC ∵AF＝BD ∴AB＋AF＝BC＋BD，即BF＝CD 又∵∠ABC＝∠BCA＝60° ∴∠DBF＝∠ECD＝120° ∵DB＝CE ∴△FBD≌△DCE ∴DF＝ED 同理可证DE＝EF，∴DF＝DE＝EF ∴△DEF是等边三角形．
错因：对条件理解不透彻，三个数的乘积为0， 是其中至少有一个数为0，而不是三个数同时为 0.
第2章 特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理 例1 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交 AB于点E.试说明△BED是等腰三角形．
分析：要说明△BED是等腰三角形， 只要说明∠EBD＝∠EDB即可．
证明：∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠EBD＝∠DBC ∵DE∥BC ∴∠EDB＝∠DBC ∴∠EBD＝∠EDB ∴EB＝ED ∴△BED是等腰三角形
注意点：“角平分线＋平行线”→“等腰三角 形”是一个常见的基本图形．当题目中出现角 平分线与平行线时，应联想到运用“等角对等 边”得到等腰三角形．
等边三角形的判定 例2 如图，△ABC是等边三角形，F，D，E分别 是边BA、CB、AC的延长线上的点，且BD＝CE＝AF. 求证：△DEF是等边三角形．
例 若三角形三边a、b、c满足(a－b)(b－c)(c－a) ＝0，试判断△ABC的形状．
错答：△ABC是等边三角形． ∵(a－b)(b－c)(c－a)＝0 ∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0 ∴a＝b，b＝c，c＝a.即a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形．
正答△ABC是等腰三角形． ∵(a－b)(b－c)(c－a)＝0 ∴a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0 ∴a＝b或b＝c或c＝a. ∴△ABC是等腰三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形 ∴AB＝BC ∵AF＝BD ∴AB＋AF＝BC＋BD，即BF＝CD 又∵∠ABC＝∠BCA＝60° ∴∠DBF＝∠ECD＝120° ∵DB＝CE ∴△FBD≌△DCE ∴DF＝ED 同理可证DE＝EF，∴DF＝DE＝EF ∴△DEF是等边三角形．
错因：对条件理解不透彻，三个数的乘积为0， 是其中至少有一个数为0，而不是三个数同时为 0.
第2章 特殊三角形 2.4 等腰三角形的判定定理
等腰三角形的判定定理 例1 如图所示，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交 AB于点E.试说明△BED是等腰三角形．
分析：要说明△BED是等腰三角形， 只要说明∠EBD＝∠EDB即可．
证明：∵BD是∠ABC的平分线 ∴∠EBD＝∠DBC ∵DE∥BC ∴∠EDB＝∠DBC ∴∠EBD＝∠EDB ∴EB＝ED ∴△BED是等腰三角形
注意点：“角平分线＋平行线”→“等腰三角 形”是一个常见的基本图形．当题目中出现角 平分线与平行线时，应联想到运用“等角对等 边”得到等腰三角形．
等边三角形的判定 例2 如图，△ABC是等边三角形，F，D，E分别 是边BA、CB、AC的延长线上的点，且BD＝CE＝AF. 求证：△DEF是等边三角形．
例 若三角形三边a、b、c满足(a－b)(b－c)(c－a) ＝0，试判断△ABC的形状．
错答：△ABC是等边三角形． ∵(a－b)(b－c)(c－a)＝0 ∴a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0 ∴a＝b，b＝c，c＝a.即a＝b＝c. ∴△ABC是等边三角形．
正答△ABC是等腰三角形． ∵(a－b)(b－c)(c－a)＝0 ∴a－b＝0或b－c＝0或c－a＝0 ∴a＝b或b＝c或c＝a. ∴△ABC是等腰三角形．
苏科版初中八年级数学上册2-5等腰三角形的轴对称性第二课时等腰三角形的判定课件
13.(2024江苏苏州相城期中,25,★★☆)如图,已知AB=AC,∠ ACB=2∠BAC,点D为BC中点,CE平分∠ACB交AD于点I,交 AB于点E,连接BI. (1)求∠AIC的度数. (2)求证:△IBE为等腰三角形.
解析 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=2∠BAC,∴
10.(2024北京朝阳期中,7,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=∠C =36°,D、E分别是线段BC、AC上的一点,根据下列条件之一, 不能判定△ADE是等腰三角形的是 ( C )
A.∠1=2∠2 B.∠1+∠2=72° C.∠1+2∠2=90° D.2∠1=∠2+72°
解析 当∠1+2∠2=90°时,∠1=90°-2∠2, ∴∠DAE=180°-∠B-∠C-∠1=108°-∠1=108°-(90°-2∠2)=18 °+2∠2,∠AED=36°+∠2,∠ADE=36°+∠1-∠2=36°+90°-2∠2 -∠2=126°-3∠2, ∴∠DAE、∠AED、∠ADE之间的大小关系无法确定.故根 据选项C的条件不能判定△ADE是等腰三角形.故选C.
∠BAC+2∠BAC+2∠BAC=180°,∴∠BAC=36°,∴∠ACB=72°.
∵CE平分∠ACB,∴∠AC1I= ∠ACB=36°.∵点D为BC中点,
2
∴AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BA1D= ∠BAC=18°,∴∠AIC
2
=180°-∠CAD-∠ACI=126°.
(2)证明:∵AB=AC,点D为BC中点,∴AD垂直平分BC,∴BI= CI,∴∠BID=∠CID.∵∠AIC=126°,∴∠BID=∠CID=180°-126° =54°,∴∠BIE=180°-54°-54°=72°.∵∠BEI=∠BAC+∠ACE =72°,∴∠BIE=∠BEI,∴BE=BI,即△IBE是等腰三角形.
人教版数学八年级上册13.第2课时等腰三角形的判定课件
线平行于三角形的一边，那么这个三角形的 外角，∠1 =∠2，AD∥BC．
1 A2
D
求证：AB =AC.
B
C
证明：∵ AD∥BC ，
∴ ∠1 =∠B
（ 两直线平行，同位角相等 ），
∠2 =∠C
E
（ 两直线平行，内错角相等 ∵ ∠1 =∠2，
）．A
1 2
D
∴ ∠B =∠C．
4.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、 ∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC， 交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是 等腰三角形？
（2）上题中，若去掉条件AB=AC， 其他条件不变，图中还有等腰三角
形吗？解：（1）△ABC，△ADE， △BDF，△CEF，△BCF都 是等腰三角形.
第2课时 等腰三角形的判定
新课导入
我们知道如果一个三角形有两条边相等， 那么它们所对的角相等，反过来如果一个三 角形有两个角相等，那么它们所对的边是否 也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等 腰三角形的判定方法.
（1）会阐述、推证等腰三角形的判定定理． （2）会运用判定定理解决证明线段相等的问题．
证明：∵OA=OB， ∴∠A=∠B， 又∵AB∥DC， ∴∠C=∠A=∠D=∠B， ∴OC=OD.
随堂演练
1. 如图所示，已知OC平分∠AOB， CD∥OB. 若OD = 3，则CD等于（ A ） A.3cm B.4cm C.1.5cm D.2cm
2. 如图所示，在△ABC中，已知AB=AC， 要使AD = AE，需要添加的一个条件是 __B_E__=__C_D__. （答案不唯一）
推进新课 知识点1 探索等腰三角形的判定定理
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边 相等，那么它们所对的角相等. 反过来， 如果一个三角形有两个角相等，那么它们 所对的边有什么关系？
人教版八年级上册1等腰三角形的综合运用(第二课时)课件
构造全等三角形 线段相等
其他解法：如果过点A做AO⊥BC于点O
A
AO 三线合一
AB=AC AD=AE
B？
DO
？C
E
BO=CO DO=EO
BO -DO=CO -EO
BD=CE
课堂小结
证明线段相等的常见方法： (1)利用等腰三角形的性质和判定证明线段相等； (2)利用垂直平分线的性质和判定证明线段相等； (3)利用全等三角形的性质证明线段相等.
当题目条件中直角比较多时，一般用“同角或等角的 余角相等”来证明两角相等.
例 如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,ME垂直平分AB于
点E,交BC于点M,NF垂直平分AC于点F,交BC于点N.
求证:BM=MN=CN.
C N
M
F
B
E
A
AB=AC ∠A=120°
∠B=∠C=30°
ME垂直平分AB, NF垂直平分AC
例 如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,
求证：BD=CE
分析： AB=AC ∠B=∠C
A
AD=AE ∠ADE=∠AED
∠BAD=∠CAE B D 要证：BD=CE △ABD ≌△ACE
C E
证明：
∵AB=AC,AD=AE,
A
∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED.
∴∠ADE -∠B=∠AED -∠C.
∴BM=AM,CN=AN.
∴ ∠BAM=∠B=30°, ∠NAC=∠C=30°.
M
30°
B
E
C N 30°
F 30° 30°120° A
证明: ∴∠AMN=∠B+∠BAM=60°,
∠ANM=∠C+∠NAC=60°.
浙教版数学八年级上册2.4《等腰三角形的判定》说课稿
浙教版数学八年级上册2.4《等腰三角形的判定》说课稿一. 教材分析《等腰三角形的判定》是浙教版数学八年级上册第2章第4节的内容。
本节课是在学生已经掌握了三角形的基本概念和性质的基础上进行授课的。
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它有两边相等，两个角也相等。
本节课的教学内容主要包括等腰三角形的定义、性质和判定方法。
通过学习本节课，学生能够进一步理解三角形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的几何知识基础。
但学生对等腰三角形的判定方法可能还比较陌生，需要通过实例和推理来理解和掌握。
此外，学生可能对证明过程的书写和逻辑推理还需要进一步的指导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的定义和性质，掌握等腰三角形的判定方法，并能运用判定方法解决问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的定义、性质和判定方法。
2.教学难点：等腰三角形判定方法的推理和证明过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何模型等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的性质和判定方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习三角形的基本概念和性质，引出等腰三角形的定义和性质。
2.探究判定方法：学生分组讨论，每组尝试给出等腰三角形的判定方法，教师进行指导和点拨。
3.推理与证明：学生根据判定方法，进行推理和证明，教师进行评价和反馈。
4.巩固练习：学生进行练习，教师进行讲解和解答。
5.总结与拓展：学生总结等腰三角形的性质和判定方法，教师提出拓展问题，激发学生的思考。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的判定1.定义：两边相等，两个角也相等a.两边相等b.两个角相等c.底角相等2.判定方法：a.两边相等，则两个角也相等b.两个角相等，则两边也相等c.底角相等，则两边也相等八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是对学生的评价，二是对教师的评价。
2.3.2 等腰三角形的性质定理2
(2)由(1)可以得到的结论是：等腰三角形底边上的中点到两腰的 距离相等．问：如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC的平分 线，它们还相等吗？
解：相等．理由如下．
由(1)知 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，
∴∠ADE＝12∠ADB，∠ADF＝12∠ADC，∴∠ADE＝∠ADF. 在△ADE 和△ADF 中，
AD，AE.如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添
加的条件不能为( C )
A．BD＝CE
B．AD＝AE
C．DA＝DE
D．BE＝CD
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，直线MN分别 交AB，AC于点M，N，连结BN，且AN＝BN，ND⊥BC于 点D，则∠BND的度数为( B ) A．65° B．60° C．55° D．50°
∴∠ACD＝∠AED＝90°，即 CD⊥AC.
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于 点E，DF⊥AC于点F. (1)求证：DE＝DF；
证明：∵D是BC的中点， ∴AD是等腰三角形ABC的中线． ∴AD也是等腰三角形ABC的角平分线． ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
13．如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC，AD＝BD. 求证：CD⊥AC.
证明：取AB的中点为E，连结DE，则AB＝2AE， ∵AB＝2AC，∴AE＝AC. ∵AD＝BD，E为AB的中点， ∴DE⊥AB，即∠AED＝90°. ∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAC.
在△ADE 和△ADC 中， AE＝AC， ∠DAE＝∠DAC， AD＝AD， ∴△ADE≌△ADC(SAS)．
冀教版初中八年级数学上册17-1等腰三角形第二课时等腰三角形的判定课件
13.(2024河北石家庄期中)如图,△ABC中,D为AC边上一点, DE⊥AB于E,ED的延长线交BC的延长线于F,且CD=CF. (1)求证:△ABC是等腰三角形. (2)当∠F= 30 度时,△ABC是等边三角形,并给出证明.
解析 (1)证明:∵CD=CF,∴∠F=∠CDF, ∵∠ADE=∠CDF,∴∠F=∠ADE, ∵DE⊥AB,∴∠F+∠B=90°,∠ADE+∠A=90°, ∴∠B=∠A,∴△ABC是等腰三角形. (2)当∠F=30度时,△ABC是等边三角形. 证明:当∠F=30°时, ∵DE⊥AB,∴∠B+∠F=90°,∴∠B=90°-30°=60°, 由(1)知△ABC是等腰三角形, ∴△ABC是等边三角形.
解析 ∵BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线,∴∠ABP= ∠PBD,∠ACP=∠PCE,∵PD∥AB,PE∥AC,∴∠ABP=∠BPD, ∠ACP=∠CPE,∴∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠CPE,∴BD=PD, CE=PE,∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=15 cm.
16.(2024河北承德期末,10,★★☆)如图,已知△ABC是等边三 角形,D是BC边上的一个动点(异于点B,C),过点D作DE⊥AB, 垂足为E,DE的垂直平分线交AC,BC于点F,G,连接FD,FE.当 点D在BC边上移动时,有下列三个结论:①△DEF一定为等腰 三角形;②△CFG一定为等边三角形;③△FDC可能为等腰三 角形.其中正确的有 ( C )
∵∠BDE=∠FEC-∠CBD=30°=∠CBD, ∴DE=BE=6, 故DE的长为6.
能力提升全练
15.(2024河北石家庄藁城期末,8,★★☆)如图,在△ABC中,AB =AC,∠BAC=108°,若AD、AE三等分∠BAC,则图中等腰三角 形有 ( D )