2020届吉林省高三第二次模拟数学(理)试题(解析版)

2020届吉林省高三第二次模拟数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B I 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤< C ．{}26x x -<< D ．{}25x x -<<【答案】B【解析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B I . 【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 2．复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ）A ．3B ．C ．2 D【答案】D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，z =， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3．已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-r r r ，若()a c b -⊥r r r，则n 等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】先求出(1,4)a c n -=-r r ，再由()a c b -⊥r r r，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-r r，因为()a c b -⊥r r r，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 4．设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A ．724-B ．524-C ．524D ．724【答案】D【解析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果. 【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈， 4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 5．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．132【答案】A【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果. 【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.6．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a -=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）AB．2CD【答案】D【解析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率c e a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 7．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】D【解析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n na =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 8．已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A【解析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点． 画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53πB ．43π C ．223π+D ．243π+【答案】A【解析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

【详解】设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为231214*********V V V πππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A 。

【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

10．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B【解析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值. 【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.11．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D ．233【答案】A【解析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果.【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目. 12．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）A．2(,5)3B．2(,3)(3,5)3⋃C．18(,6)7D．18(,4)(4,6)7⋃【答案】D【解析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】()22f x ax x'=+，令()0f x'=，得1x=，22xa=-．其单调性及极值情况如下：x2,a⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2a-2,0a⎛⎫- ⎪⎝⎭0 ()0,∞+()f x'+ 0 _ 0 +()f x Z极大值]极小值Z若存在0111,,022x⎛⎫⎛⎫∈--⋃-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()21221112aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）．（图1）（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.二、填空题 13．(1)n x +展开式中的系数的和大于8而小于32，则n =______．【答案】4【解析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果. 【详解】 观察式子可知018232nn n n n C C C <++⋅⋅⋅=<Q ，4n ∴=，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.14．已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -L ，若{}n a 是等比数列，数列{}n a 的通项公式n a =_______． 【答案】12n -【解析】利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】因为211a a a -=，所以212a a =，因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2．又1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-L （，所以当i k =时，有12k k a a +=．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a -=，故答案为：12n -. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.15．实数x ，y 满足121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则yx 的最小值为_______． 【答案】17【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数yx几何意义，从而求得结果. 【详解】 先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点，由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=， 所以点C 的坐标为()7,1．yx等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，yx取得最小值，最小值为17，故答案为：17.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 16．已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为________．1【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值. 【详解】假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则有0000212022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2221x y -+=，圆心为()2,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2222MC x y =-+，又22y x =，所以()()222222=2413MC x y x x x =-+-+=-+，2min3MC∴=，即min MC，所以min 1MN =，1. 【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.三、解答题17．已知在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c Cb B C-=-．（1）求角A 的值； （2）若3a =，设角B θ=，ABC V 周长为y ，求()y f θ=的最大值．【答案】（1）3π；（2）max 33y =． 【解析】（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到222b c a bc +=+，之后应用余弦定理即可求得3A π=；（2）利用正弦定理求得2sin b θ=，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】 （1）由已知sin sin sin sin a A c Cb B C-=-可得sin sin sin sin b B b c a A c C -=-，结合正弦定理可得222b c a bc +=+，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈，∴3A π=．（2）由3a =，3A π=及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， ∴2sin 2sin b B θ==，222sin 2sin 2sin 33c C B ππθ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故232sin 2sin 3y a b c πθθ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，即23sin 36y πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由203πθ<<，得5666πππθ<+<，∴当62ππθ+=，即3πθ=时，max 33y =．【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目. 18．如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1ABC B BC V V 与是全等的等边三角形.（1）求证：1BC AB ⊥；（2）若11cos 4BBA ∠=，求二面角1B B C A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）5． 【解析】（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC V 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥（2）以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果. 【详解】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，由于ABC V 与1B BC V 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥， 且1AO B O O =I ，所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1B AO ，所以1BC AB ⊥． （2）设AB a =，1ABC B BC V V 与是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4BB A ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=， 在1AB C V 中，有22211AB AO B O =+，所以以OA ，OB ，1OB 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02aB ⎛⎫⎪⎝⎭，13B ⎛ ⎝⎭， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则131002033022ay n AB n AB ax az ⎧+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1x =，则()3,1n =r，又平面1BCB 的一个法向量为()1,0,0m =u r， 所以二面角1B B C A --的余弦值为5cos 5n m n mθ⋅==⋅r u rr u r ．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.19．移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望．（参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为125． 【解析】（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．（2）首先确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望. 【详解】（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上 合计根据公式可得()221004040101036 6.63550505050k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0．10的前提下，认为支付方式与年龄有关．（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且()128231081120C C P X C ===，()218231056210C C P X C ===，()38310563120C P X C ===， 其分布列为85656121231201201205EX =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5(,0)4，求QA QB ⋅u u u r u u u r的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）716-．【解析】（1）根据椭圆的离心率为2，得到c =，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到a =从而求得1b =，进而求得椭圆的方程； （2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果. 【详解】（1）由离心率为2，可得2c e a ==，2c a ∴=，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为222x y a +=，因与直线20x y +-=a =，即a =1c =，1b ∴=， 故而椭圆方程为2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，1,2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛- ⎝⎭，由于55711,4416⎛⎛-⋅-=- ⎝⎭⎝⎭；②当直线l 的斜率为0时，)A ，()B ，则557,0,04416⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭； ③当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得()222210t y ty ++-=，有>0∆，∴12222ty y t +=-+，12212y y t =-+， 111x ty =+Q ，221x ty =+，∴()()2112212121212551111,,14444416x y x y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=--+=+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22222211212217124216161622t t t t t t t t --+=-++⋅+=+=-+++，综上所述：716QA QB ⋅=-u u u v u u u v ．【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目. 21．已知函数2()22ln f x bx ax x =-+．（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值； （2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围．【答案】（1）6a b ==-；（2）9ln 28m ≤--． 【解析】（1）根据题意，求得(1),'(1)f f 的值，根据切点在切线上以及斜率等于'(1)f ，构造方程组求得,a b 的值；（2）函数()f x 有两个极值点，等价于方程210x ax -+=的两个正根1x ，2x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，等价于()12f x m x ≤恒成立，12()f x x 3111122ln x x x x =--+，令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，求出导数，判断单调性，即可得到()h x 的范围，即m 的范围.【详解】（1）由题可知()121462f b a =⨯+==-，()222f x bx a x-'=+，()12222f b a ∴=-+='，联立可得6a b ==-．（2）当1b =时，()222ln f x x ax x =-+，()()221222x ax f x x a x x-+∴=-+='， ()f x Q 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，1x ∴，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=，不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，()232321111111111211122()22ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+∴==-+=-++3111122ln x x x x =--+，由1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=，得11152x x +≥，1102x ∴<≤， 令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，()232ln 0h x x x =-+<'， ()h x ∴在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，()19ln228h x h ⎛⎫∴≥=-- ⎪⎝⎭，故9ln28m ≤--．【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目.22．过点()1,0P -作倾斜角为α的直线与曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN ⋅的最小值．【答案】（1）22132x y +=；（2）43． 【解析】（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN 的参数方程，将参数方程代入曲线方程22132x y +=，并将其化为一个关于t 的一元二次方程，根据12PM PN t t ⋅=⋅，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM PN ⋅的最小值. 【详解】（1）由曲线C的参数方程x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），可得2222cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132x y +=．（2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩（t 为参数），将直线MN 的参数方程代入曲线22132x y +=，得()()2221cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()223cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=，设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-， 当cos 0α=时，PM PN ⋅取得最小值为43． 【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目. 23．已知函数()1621f x x =--． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ³ ；（2）16a ≤． 【解析】（1）通过讨论x 的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果. 【详解】（1）有题不等式可化为22116x x ++-≥，当2x -≤时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-； 当122x -<≤时，原不等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去；当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥， 所以不等式的解集为17|53x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）因为()1172,21152,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩，第 21 页 共 21 页 所以若函数()y f x a =-存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图像存在交点，函数()f x 在1(,]2-∞上单调增，在1[,)2+∞上单调递减，且1()162f =.数形结合可知16a ≤．【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.。