哈工大数学建模课作业第一题和第三题
数学建模第一次作业
14-15(2)数学建模第一次作业注意事项：提交时间截至3月27日课前，请将电子文档发送至邮箱sxjm@。
两个题目做到一个word文档里，文档和邮件标题均以“学号+姓名”命名。
请注意提交时间(顺序会影响给分结果)。
一、(必做题)ppt的思考题(1)~(4),由学号的后两位除以4的余数来确定；二、(必做题)本文档里的题目1~5，由学号的后两位除以5的余数来确定；三、(选做题)对于“生猪价格下降1%”理解的，0.65(11%)tp=-请根据ppt课件上的过程给出相应的结果(包括图形和灵敏性分析等)。
1油污清理问题一处石油泄漏污染了200英里的太平洋海岸线，所属石油公司被责令在14天内将其清除，预期则要被处以10000美元/天的罚款。
当地的清洁队每周可以清理5英里的海岸线，耗资500美元/天，额外雇佣清洁队则要付每支清洁队18000美元的费用和500美元/天的清洁费用.(1). 为使公司的总支出最低，应该额外雇佣多少支清洁队？采用5步方法，并求出清洁费用。
(2). 讨论清洁队每周清洁海岸线长度的灵敏性。
分别考虑最优的额外雇佣清洁队的数目和公司的总支出。
(3). 讨论罚金数额的灵敏性。
分别考虑公司用来清理漏油的总天数和公司的总支出。
(4). 石油公司认为罚金过高而提出上诉。
假设处以罚金的唯一目的是为了促使石油公司及时清理泄漏的石油，那么罚金的数额是否过高？*(5). (选做题)即使一开始采取围堵措施，海浪仍导致油污以每天0.5英里的速度沿海岸线扩散，这将导致最终清理的海岸线超过200海里，请分析扩散速度对公司总支出的影响。
2报刊价格问题一家有80000订户的地方日报计划提高其订阅价格。
现在的价格为每周1.5美元，据估计如果每提高定价10美分，就会损失5000订户。
(1)采用五步法，求使利润最大的订阅价格(2)对(1)中所得结论讨论损失5000订户这一参数的灵敏性。
分别假设这个参数值为3000，4000，5000，6000或7000，计算最优订阅价格(3)设n=5000为提高定价10美分而损失的订户数，求最优订阅价格p作为n的函数关系。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
建模习题答案
田佳王伊陈鹏《数学建模入门》练习题练习题1：发现新大陆！发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。
为什么哥伦布能做到呢？(参考答案：有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。
)答： 1）从其主观条件分析：他具有一个优秀水手的素质：对大海的热爱，具有宝贵的航海经验，接触过航海所必不可少的宇宙学和数学，并且学会了绘制地图和使用各种航海工具。
更为重要的事，在航海强国葡萄牙，哥伦布在思想上为远航做好了准备。
他阅读了《马可·波罗游记》，对东方的富饶遐想无限，使他产生了到东方区的想法；他接触了学者托斯勘内里，接受了“地圆学说”，坚定了从海上到达东方的信念。
2）从客观条件分析：出于共同的对黄金的追求，哥伦布与西班牙王室达成了一致（签订《圣塔菲协定》），西班牙为其提供了自己的船队、自己的船员。
当时中国的指南针也已传到航海界，这一发明对其也有及其重要的作用练习题2：棋盘问题有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。
问能否用这些骨牌盖住这62个方格？答：这个问题涉及到数学上的一个典型排列：完美覆盖31张不重叠的多米诺牌则盖住31个白方格和31个黑方格。
因此，这副被剪过的棋盘没有完美覆盖，上述推理可总结为：31黑白 32黑＋30白更一般地．可以将棋盘上的方格交替徐成黑色和自色，切除一些方格，得到一块切过的棋盘什么时候能有一个完美覆盖？为使完美覆盖存在，这块被切过的棋盘必须又有相等的黑方格数和白方格数但是，这个条件却不是充分的，最后是不能够用这些骨牌盖住其余方格的练习题3：硬币游戏如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。
最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。
为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？答：决定先放。
首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对手没有地方放硬币为止，由于长方形的对称性，只有中心不存在对称位置，故先放者赢。
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示
《数学建模》课程第一章自测练习及解答提示一、填空题：1．设年利率为0.05，则10年后20万元的现值按照复利计算应为 . 解：根据现值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R S Q 2783.1221201011≈=（万元） 应该填写：12.2783万元．2．设年利率为0.05，则20万元10年后的终值按照复利计算应为 . 解：根据终值计算公式：10)05.01(20)1(+=+=n R P S =5779.322021910=（万元） 应该填写：32.57793．所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 .解：应该填写：问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析．4．设某种商品的需求量函数是,1200)(25)(+-=t p t Q 而供给量函数是3600)1(35)(--=t p t G ，其中)(t p 为该商品的价格函数，那麽该商品的均衡价格是 .解： 由商品的均衡价格公式：80352536001200)(=++=++=c a d b t p 应该填写：80.5．一家服装店经营的某种服装平均每天卖出110件，进货一次的批发手续费为200元，存储费用为每件0.01元/天，店主不希望出现缺货现象，则最优进货周期与最优进货量分别为 .解：根据经济订购批量公式：1911001.020022*≈⨯⨯==R c c T s b 209701.011020022*≈⨯⨯==s b c R c Q 应该填写：.2097,19**=≈Q T二、分析判断题1. 从下面不太明确的叙述中确定要研究的问题，需要哪些数据资料（至少列举3个），要做些甚麽建模的具体的前期工作（至少列举3个） ，建立何种数学模型：一座高层办公楼有四部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决．解：（1）要研究的问题：如何设置四部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益．（2）所需资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等．（3）要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每天的相关资料．（4）可以建立概率统计模型，亦可在适当的假设下建立确定性模型．2.一条公路交通不太拥挤，以至人们养成“冲过”马路的习惯，不愿意走临近的“斑马线”．交管部门不允许任意横穿马路，为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马线”，以便让行人可以穿越马路．那末“选择设置斑马线的地点”这一问题应该考虑哪些因素？试至少列出3种．解：（1）车流的密度（2）车的行驶速度（3）道路的宽度（4）行人穿越马路的速度（5）设置斑马线地点的两侧视野等．3．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划解：（1）注射一定量的葡萄糖，采集一定容量的血样，测量注射前后葡萄糖含量的变化，即可估计人体的血液总量．注意采集和测量的时间要选择恰当，使血液中的葡萄糖含量充分均匀，又基本上未被人体吸收．（2）调查不同年龄的人的死亡率，并估计其在未来一定时期的变化，还应考虑银行存款利率和物价指数，保险金与赔偿金之比大体上应略高于死亡率．（3）从一批灯管中取一定容量的样本，测得其平均寿命，可作为该批灯管寿命的估计值．为衡量估计的精度，需要从样本寿命确定该批灯管寿命的概率分布，即可得到估计值的置信区间．还可试验用提高电压的办法加速寿命测试，以缩短测量时间．（4）根据牛顿第二定律建立火箭向上发射后的运动方程，初速已知，若不考虑空气阻力，很容易算出到达最高点（即速度为零）时间；若考虑空气阻力，不妨设其与火箭速度（或速度的平方）成正比，并有试验及拟合方法确定阻力系数，再解方程得到结果．（5）司机看到黄灯后停车要有一定的刹车距离S1，设通过十字路口的距离为S2，汽车行驶速度为v，则黄灯的时间长度t应使距停车线S1之内的汽车能通过路口，即t （S1+S2）/v．S1可由试验得到，或按照牛顿第二定律解运动方程，进一步可考察不同车重、不同路面及司机反应灵敏程度等因素的影响．（6）根据资料和经验确定维修费用随着车龄和行驶里程的增加而增加的关系，再考虑维修和更新费用，可以以一年为一个时段，结合租金决定应该维修或更新．（7）统计在各层上班的人数，通过数据或计算确定电梯运行时间，以等待的人数与时间乘积为目标，建立优化模型，确定每部电梯运行的楼层（有的从大厅直接运行到高层）．4．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T 市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T 市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T 市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．解：（1）设想有两个人一人上山，一人下山，同一天同时出发，沿同一路径，必定相遇．（2）不妨设从甲站到乙站经过丙站的时刻表是：8：00，8：10，8：20，…，那么从乙站到甲站经过丙站的时刻表应该是：8：09，8：19，8：29，…．（3）步行了25分钟．设想他的妻子驾车遇到他后，先带他去车站，再回家，汽车多行驶了10分钟，于是带他去车站这段路程汽车跑了5分钟，而到车站的时间是6：00，所以妻子驾车遇到他的时刻是5：55．三、计算题1．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．解：人、猫、鸡、米分别记为i =1, 2, 3, 4，当i 在此岸时记x i =1，否则记x i =0，则此岸的状态可用s =（x 1, x 2, x 3, x 4）表示．记s 的反状态为s '=（1-x 1, 1-x 2, 1-x 3, 1-x 4），允许状态集合为S ={（1, 1, 1, 1），（1, 1, 1, 0），（1, 1, 0, 1），（1, 0, 1, 1）（1, 0, 1, 0）及它们的5个反状态}．决策为乘船方案，记作d =（u 1, u 2, u 3, u 4），当i 在船上时记u i =1，否则记u i =0，允许决策集合为D ={（1, 1, 0, 0），（1, 0, 1, 0），（1, 0, 0, 1），（1, 0, 0, 0）}．记第k 次渡河前的状态为s k ，第k 次渡河的决策为d k ，则状态转移律为s k +1=s k +（-1）k d k ，设计安全过河方案归结为求决策序列d 1, d 2, …, d n ∈D ，使状态s n ∈S 按状态转移律由初始状态s 1=（1, 1, 1, 1）经n 步到达s n +1=（0, 0, 0, 0）．一个可行方案如下：2．假定人口的增长服从这样的规律：时间t 的人口为x (t )，t 到t +∆t 时间内人口的增长与x m - x (t )成正比 （其中x m 为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．解 )(d d x x r t x m -=，r 为比例系数,0)0(x x =， 解为rt m m x x x t x ---=e )()(0，如图1中粗实线所示．当t 充分大时，它与Logistic 模型相近． 图13．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例x x方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c 与商品重量w 的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素．（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，画出它的简图，说明w 越大c 越小，但是随着w 的增加c 减小的程度变小．解释实际意义是什么？ 解：（1）生产成本主要与重量w 成正比，包装成本主要与表面积s 成正比，其它成本也包含与w 和s 成正比的部分，上述三种成本中都含有与w 和s 无关的成分．又因为形状一定时一般有s ∝w 2/3，故商品的价格可表为C = αw +β w 2/3+γ（α，β，γ为大于0的常数）．（2）单位重量价格131--++==w w w C c γβα，其 图2 简图如图2所示．显然c 是w 的减函数，说明大包装商品比小包装商品便宜；曲线是下凸的,4．用宽w 的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条 不重叠，问布条与管道轴线的夹角α应多大（如图3）． 若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）． 如果管道是其它形状呢？解：将管道展开如图4，可得απcos d w =，若d 一 图3 定，0→w ，2πα→；d w π→，0→α．若管道长度为l ，不考虑两端的影响时布条长度显然为w dl π，若考虑两 端的影响，则应加上απsin dw ．对于其它形状管道，只需将d π 改为相应的周长即可．5．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开 图4 始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k ≈ r 的情况． 解： 贮存量)(t q 的图形如图5．单位时间总费用 KT r k r c T c T c 2)()(21-+=， 使)(T c 达到最小值的最优周期)(221r k r c k c T -=*． 图5 当k 》r 时，rc c T 212=*，相当 于不考虑生产的情况．当k ≈ r 时，∞→*T ，因为0产量被销量抵消，无法形成贮存量．四、综合应用题1．试建立方桌问题在四条腿脚呈长方形情形时的数学模型，以说明方桌能否在地面上放稳的问题．（ 提示：要求按照五步建模法进行建模工作，本题至少应给出前四个步骤．） 解：问题分析所谓方桌可否在地面上放稳，可视为其四个桌脚可否同时着地，从而可将问题归结为桌脚与地面的距离是否同时为零，故构造这个距离函数是建模的关键，而证明四个距离函数同时为零这个命题是建模的最终目的．模型假设(1) 四条桌腿同长,视四个桌脚为四个几何点,四脚的连线呈长方形；(2) 地面的高度是连续变化的，即将地面看作数学上的连续曲面；(3)模型建立 如图6，以长方形的两条对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，且不妨设A ，C 两桌脚开始时位于横轴上，则问题与旋转角度θ有关．注意到假设3，设A ，B 两个桌脚与地面距离之和为0)(≥θf ，另外两个桌脚与地面距离之 和为,0)(≥θg 则)(,θθf ∀与)(θg 中至少有一个为零，当 图6 0=θ时不妨假设0)(,0)(>=θθg f ．又由假设2，以上两个函数均为旋转角度的连续函数，于是有命题：已知,0)0(,0)0(,0)()()(),(>==∀g f g f g f 且，的连续函数，对是θθθθθθ则0θ∃，使得.0)()(00==θθg f上述命题即为所建立的数学模型．模型求解将桌子旋转0180)(π，则A 、B 两点与D 、C 两点恰好交换位置．由假设便有，)(,0)(ππg f >.0=又由前述假设，.0)0(,0)0(>=g f令),()()(θθθg f h -=则有.0)(,0)0(><πh h 由于)(),(θθg f 的连续性知)(θh 也是连续函数．依据连续函数的基本性质（零点定理），必至少存在一个角度0θ，,00πθ<<使得0)(0=θh ，即).()(00θθg f =又根据θθθ∀=,0)()(g f 成立，故有.0)()(00==θθg f 模型分析由于本问题结论简单，符合实际，故分析过程从略．2．试建立确定情形下允许缺货的存储问题的数学模型．提示： 所谓的确定情形下的存储模型是指文字教材第一章提到过的不允许缺货的存储模型；所谓允许缺货是在不允许缺货模型假设条件下，再考虑因缺货造成的损失建立相应的模型．（要求按照五步建模法进行建模工作，本题应给出五个步骤．）解： 问题分析由题设，只须在不允许缺货模型条件下，考虑因缺货造成的损失即可．而缺货损失按天计算与下列因素有关：货物总需求量、缺货量、缺货时刻、每单位的缺货费用等． 模型假设 （1）每次定货费为C 1，每天每单位货物的存储费为C 2 （2）每天货物的需求量为r 单位.（3） 每T 天定货Q 单位，所定货物可在瞬间到达．（4）允许缺货，每天每单位货的缺货费为C 3缺货时，存储量q 视为负值，则)(t q 的图形变为,Q rt q +-=如图7所示．模型建立 图7 货物在1T t =时售完，则必有一段时间缺货．又在T t =时下一次定货量Q 到达，于是有1rT Q = （1）在一个定货周期内的总费用包括定货费1C 、存储费Q T C dt t q C T 102221)(1⎰=和缺货费.)(13dt t q C T T ⎰其中21)(2)()(11T T r dt Q rt dt t q TT T T -=-=⎰⎰ 其中用到了（1）式．于是总费用应为2/)(2/213121T T r C QT C C C -++= （2） 则由（1）式解出r Q T /1=并代入（2）式可得r Q rT C r Q C C C 2/)(2/23221-++= （3）每天的平均总费用便是rT Q rT C rT Q C T C T C Q T C 2/)(2///),(23221-++== （4）（4）式即为所求的数学模型．模型求解对（4）式分别求总费用对定货周期和定货量的偏导数，并令其为零解得0)()(22322322221=-+----=∂∂Q rT T C Q rT rT C rT Q C T C T C0)(32=--=∂∂Q rT rTC rT Q C Q C 由3230C C rT C Q Q C +=⇒=∂∂，代入0=∂∂TC 便可解出 32321*33221*2;2C C C C r C Q C C C rC C T +=+=. （5） （5）式就是在允许缺货情形下，最佳定货周期与最佳定货量公式．模型分析当3C 远远超过2C 时，（5）式就转化为不允许缺货模型中的相应结论，这也说明所建模型是合理的，结论也是正确的．。
哈工大图论习题
1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
数学建模第一次作业作业
(i)取定 x0 3.9, t0 1790, ，拟合待定参数 r .
t=1790:10:2000; c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,20 4.0,226.5,251.4,281.4]; f1=@(r,t)3.9.*exp(r.*(t-1790)); r0=0.02; r=nlinfit(t,c,f1,r0), se1=sum((c-f1(r,t)).^2), plot(t,c,'k+',1780:1:2010,f1(r,1780:1:2010),'k') (ii)取定 t0 1790 ，拟定待定参数 t0 、 x0 、 r
数学建模第一次作业 1、绘制图形 （1）程序及图形如下： n=500; t=linspace(0,2*pi,n); x1=cos(t); y1=sin(t); x2=2*cos(t); y2=2*sin(t); x3=2*cos(t); y3=sin(t); plot(x1,y1,'k',x2,y2,'k',x3,y3,'k') axis equal;title('参数方程画 x^2+y^2=1, x^2+y^2=4, x^2/4+y^2=1 的图像'); gtext('x^2+y^2=1') gtext('x^2+y^2=4') gtext('x^2/4+y^2=1')
2
黎曼函数的图像 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 分 母 P的 最 大 值 n =36时
数学建模作业题+答案
数学建模MATLAB 语言及应用上机作业11. 在matlab 中建立一个矩阵135792468101234501234A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦答案：A = [1,3,5,7,9;2,4,6,8,10;-1,-2,-3,-4,-5;0,1,2,3,4]2. 试着利用matlab 求解出下列方程的解（线性代数22页例14）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩ 答案：A=[2 ,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6]; B=[8;9;-5;0]; X=A\B 或A=[2,1,-5,1;1,-3,0,-6;0,2,-1,2;1,4,-7,6] b=[8,9,-5,0]' X=inv(A)*b3. 生成一个5阶服从标准正态分布的随机方阵，并计算出其行列式的值，逆矩阵以及转置矩阵。
答案:A=randn(5) det(A) inv(A) A'4. 利用matlab 求解出110430002A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量。
答案：A=[-1,1,0;-4,3,0;0,0,2] [V,D]=eig(A)5.画出衰减振荡曲线3sin3t y et -=在[0,4]π上的图像。
要求，画线颜色调整为黑色，画布底面为白色。
（在实际中，很多打印机时黑白的，因此大多数作图要考虑黑白打印机的效果。
） 给出恰当的x ，y 坐标轴标题，图像x 轴的最大值为4π。
6. 生成一个0-1分布的具有10个元素的随机向量，试着编写程序挑选出向量中大于0.5的元素。
数学建模和Matlab 上机作业2（2016-9-20）跟老师做（不用整合进作业中）：上机演示讲解：函数，递归的两个例子的写法。
附：1. Fibonacci Sequence （斐波那契数列）在数学上，费波那西数列是以递归的方法来定义： F1= 1；F2= 1；F （n ）=F （n-1）+F （n-2） 2. 阶乘举例：数学描述：n!=1×2×……×n ；计算机描述：n!=n*(n-1)!自己做（需要整合进作业中，提交到系统中）：1. 写一个m 文件完成分值百分制到5分制的转换（即输入一个百分制，转换后输出一个5级对应的得分，联系条件控制语句）。
数学模型-哈尔滨工业大学
系统建模的抽象过程
（可观测） 输入变量 （可观测） 输出变量
真实系统
观测屏障
抽象
真实系统
ω（t） ρ（t）
黑箱 灰箱 白箱
数学描述 ω（t）、ρ（t）---输入输出变量对
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数学建模信息源
数据
2．先验知识
3．试验数据
先验 知识
建模
模型应用
目的 达到否？
目标
1．目标和目的
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图2.1 数学建模的信息源
在定义一个系统时，首先要确定系统的边界。尽管世界上的事物是 相互联系的，但当我们研究某一对象时，总是要将该对象与其环境区别开 来。边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系 统对边界以外的环境的作用称为系统的输出。
边界 输出
环境
输入
系统
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研究上述系统时，可分为三类问题： （1）系统的分析问题 （2）系统的控制问题 （3）系统的辨识问题
K 0 s W0 ( s ) e (Ts 1) n
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1.1.3 数学模型
本质上讲，系统数学模型是从系统概念出发的关 于现实世界的一小部分或几个方面的抽象的“映像”。
系统数学模型的建立需要建立如下抽象：输入、 输出、状态变量及其间的函数关系。这种抽象过程称 为模型构造。
系统数学建模就是将真实系统抽象成相应的数学 表达式（一些规则、指令的集合）。
2
主要内容安排
第一章 绪论 第二章 系统辨识常用输入信号 第三章 系统数学描述及经典辨识法 第四章 最小二乘法辨识
第五章 极大似然法辨识
第六章 系统结构辨识
3
实验1 白噪声和M序列的产生 实验2 相关分析法辨识脉冲响应
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1、某银行经理计划用一笔资金进行证券投资业务，可供购进的证券及其相应信息如下表所示，且有如下规定和限制：（1）市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需要按50%的税率纳税；（2）政府及代办机构的证券总共至少购进400万元；（3）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级越小，信用程度越高）；请回答下列问题：（1）若该经理有1000万资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元，该经理应该如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？注：为简化问题起见，题中的税前收益率和利率都与年限无关，即都为固定值。
问题分析这个优化问题的目标是使投资获得最大利润，要做的决策就是投资计划，即在每个证劵下投资多少金额，决策受到信用等级、到期年限、到期税前收益率以及每种证劵的纳税税率的约束。
基本模型决策变量：设每种证劵分别投资A、B、C、D、E（万元），平均信用等级为X，平均到期年限为Y。
目标函数：设投资总金额为Q，投资的利润为W（万元），根据条件有W=A×4.3％+B×5.4％×50％+C×5.0％×50％+D×4.4％×50％+E×4.5％=0.043×A+0.027×B+0.025×C+0.022×D+0.045×E约束条件：平均信用等级X=(2×A+2×B+C+D+5×E)/ Q≤1.4平均到期年限Y=(9×A+15×B+4×C+3×D+2×E)/Q≤5非负约束所有的证劵投资均为非负值附加约束B+C+D≥400模型分析与假设每种证劵投资资金均为连续变量取值，税前收益率和利率都与年限无关；每种证劵投资资金符合比例性、可加性、连续性。
模型求解根据题设的条件，针对问题一有如下函数关系及约束条件W=0.043×A+0.027×B+0.025×C+0.022×D+0.045×EA+B+C+D+E=1000=QB+C+D≥4002×A+2×B+C+D+5×E≤1.4×Q=14009×A+15×B+4×C+3×D+2×E≤5×Q=50000≤A≤10000≤B≤10000≤C≤10000≤D≤10000≤E≤1000模型求解用LINGO软件求解，程序如下从程序运行的结果中可以得到最优解为：A=218.1818，B=0，C=736.3636，D=0，E=45.45455,W=29.83636。
即对A中证劵投资218.1818万元，对C中证劵投资736.3636万元，对E中证劵投资45.45455万元，对B和D中证劵不进行投资，此种投资方案可使投资利润最大为29.83636万元。
针对问题二在问题一的条件下，从程序运行的结果中可以看到，程序的第二条所对应的影子价格为2.983636％，大于2.75％，所以应该借足100万元进行投资。
用LINGO软件求解，程序如下从程序运行的结果中可以得到最优解为：A=240，B=0，C=810，D=0，E=50,W=32.82。
即对A中证劵投资240万元，对C中证劵投资810万元，对E中证劵投资50万元，对B和D中证劵不进行投资，此种投资方案可使投资利润最大为32.82万元。
针对问题三在问题一的条件，从程序的运行结果中，从灵敏度分析的结果中可以看到A的系数在0.0417～0.0465之间变化时，投资的最优解仍然不变，因此证劵A的税前收益增加为 4.5％时，投资不应改变；C的系数在0.02444～0.0423333之间变化时，投资的最优解仍然不变，因此C的税前收益减少为4.8％时，即0.024已经小于0.02444，投资方案应改变。
3、某公司有三个加工厂，某月公司接到4份分别来自于A，B，C，D客户的订单依次为15,17,22,12件，三个加工厂开工费用（固定值，与生产量无关）和生产量及各加工厂的至各个客户的每件运输费用如下面两个表格所示，请制定生产和运输费用，使得总费用最小。
单件运输费用（元）问题分析：这个优化问题的目标是使生产与运输费用总和最少，即要求每个客户投给每个工厂的订单量做出一个最优分配决策，即每个客户给每个加工厂分配加工量做出的决策要考虑每个加工厂的开工费用、每个工厂生产量、每个工厂到每个客户单件运输费用和每个客户的订单量这四个因素。
基本模型决策变量：设A 、B 、C 、D 四个客户分别给每个工厂的分配变量为A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3、D1、D2、D3。
目标函数：设生产与运输总费用为W （元），开工费用为W1（元），运输费用为W2（元），W=W1+W2。
约束条件：开工费用：根据每个工厂生产量及A 、B 、C 、D 四个客户的订单总量66件，可判断至少有两个工厂要开工，即W1至少是两个工厂开工费用的总和。
运输费用：根据已有的费用关系可有以下关系，W2=6×A1+4×A2+8×A3+2×B1+9×B2+8×B3+6×C1+5×C2+C3+7×D1+3×D2+5×D3订单量：根据要求有，A1+A2+A3=15，B1+B2+B3=17，C1+C2+C3=22，D1+D2+D3=12 工厂生产量：根据要求有，A1+B1+C1+D 1≤39，A2+B2+C2+D2≤35，A3+B3+C3+D3≤31 非负约束：每个客户分配给每个工厂的分配额不能取负值且为整数。
模型求解：上述决策可分为两部分实现：一、只开两个工厂时的最优决策；二、三个工厂一起开工的最优决策。
一、 只开两个工厂1、 只开工厂一、工厂二根据已知条件有：A3=B3=C3=D3=0，A1+A2=15 B1+B2=17 C1+C2=22 D1+D2=12A1+B1+C1+D 1≤39 A2+B2+C2+D 2≤35 W1=91+70=161W2=6×A1+4×A2+2×B1+9×B2+6×C1+5×C2+7×D1+3×D2将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+4×(15-A1）+2×B1+9×(17-B1)+6×C1+5×(22-C1)+7×D1+3×(12-D1)=2×A1-7×B1+C1+4×D1+359即变为如下条件W=W1+W2=2×A1-7×B1+C1+4×D1+520A1+B1+C1+ D1≤39 A1+B1+C1+ D1≥31 0≤A1≤150≤B1≤170≤C1≤220≤D1≤12用LONGO软件求解，程序如下此种情况下为A1=0，B1=17，C1=14，D1=0，A2=15，B2=0，C2=8，D2=12，A3=B3=C3=D3=0，W=4152、只开工厂二、三根据已知条件有：A1=B1=C1=D1=0，A2+A3=15B2+B3=17C2+C3=22D2+D3=12A2+B2+C2+D2≤35A3+B3+C3+D3≤31W1=70+24=94W2=4×A2+8×A3+9×B2+8×B3+5×C2+C3+3×D2+5×D3 将上述的W2变为如下式子W2=4×A2+8×（15-A2）+9×B2+8×(17-B2)+5×C2+22-C2+3×D2+5×(12-D2) =-4×A2+ B2+4×C2-2×D2+338即为W=W1+W2=-4×A2+ B2+4×C2-2×D2+432A2+B2+C2+ D2=350≤A2≤150≤B2≤170≤C2≤220≤D2≤12用LINGO软件求解，程序如下此种情况下为：A2=15，B2=8，C2=0，D2=12，A3=0，B3=9，C3=22，D3=0，A1=B1=C1=D1=0，W=3563、只开工厂一、三根据已知条件有：A2=B2=C2=D2=0，A1+A3=15B1+B3=17C1+C3=22D1+D3=12A1+B1+C1+D1≤39A3+B3+C3+D3≤31W1=91+24=115W2=6×A1+8×A3+2×B1+8×B3+6×C1+C3+7×D1+5×D3 将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+8×（15-A1）+2×B1+8×(17-B1)+6×C1+22-C1+7×D1+5×(12-D1) =-2×A1-6×B1+5×C1+2×D1+338即为W=W1+W2=-2×A1-6×B1+5×C1+2×D1+453A1+B1+C1+ D1≤39A1+B1+C1+ D1≥350≤A1≤150≤B1≤170≤C1≤220≤D1≤12用LINGO软件求解，程序如下此种情况下为：A1=15，B1=17，C1=0，D1=3，A3=0，B3=0，C3=22，D3=9，A2=B2=C2=D2=0，W=327二、三个工厂同时开根据已知条件有：A1+A2+A3=15B1+B2+B3=17C1+C2+C3=22D1+D2+D3=121≤A1+B1+C1+D1≤391≤A2+B2+C2+D2≤351≤A3+B3+C3+D3≤31W1=91+70+24=185W2=6×A1+4×A2+8×A3+2×B1+9×B2+8×B3+6×C1+5×C2+C3+7×D1+3×D2+5×D3将上述的W2变为如下式子W2=6×A1+4×A2+8×（15-A1-A2）+2×B1+9×B2+8×(17-B1-B2)+6×C1+5×C2+22-C1-C2+7×D1+3×D2+5×(12-D1-D2)=-2×A1-4×A2-6×B1+ B2+5×C1+4×C2+2×D1-2×D2+338 即为W=W1+W2=-2×A1-4×A2-6×B1+ B2+5×C1+4×C2+2×D1-2×D2+523 1≤A1+B1+C1+ D1≤391≤A2+B2+C2+ D2≤3531≤A1+B1+C1+ D1+ A2+B2+C2+ D2≤650≤A1+ A2≤150≤B1+B2≤170≤C1+C2≤220≤D1+ D2≤12用LINGO软件求解，程序如下此种情况下为：A2=15，B1=17，C3=22，D2=12，其余均为0，W=337结果分析从上面的求解中可以得出最优解为只开工厂一、三，此时的总费用最少为327，最终的决策为：工厂一加工客户A和B的所有订单以及D客户的3件，工厂三加工D客户的9件。