[模糊数学第四章
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数据处理(模糊数学)
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确 定性的领域，即从必然现象到偶然现象， 定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊 的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域， 现象。 现象。
模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 模糊是指客观事物差异的中间过渡中的“不分明性” 是指客观事物差异的中间过渡中的 亦此亦彼性” 或“亦此亦彼性”。 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、 如高个子与矮个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 污染严重与不严重等。在决策中，也有这种模糊的现象， 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？ 如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。 好干部之间没有绝对分明和固定不变的界限。这些现象很 难用经典的数学来描述。 难用经典的数学来描述。
第一章 模糊数学基本概念
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A 等表示。 通常用大写字母 、B、C等表示。 等表示 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U 等表示。 通常用大写字母 、V、X、Y等表示。 等表示 论域U中的每个对象 称为 论域 中的每个对象u称为 的元素。 中的每个对象 称为U的元素。
称为集合A的特征函数 的特征函数。 函数 χ A 称为集合 的特征函数。
二、模糊集合及其运算 1、模糊子集 、 定义： 是论域， 定义：设U是论域，称映射 是论域
µA : U →[0,1],
~
模糊数学建模4
例设U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 }, 1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 1 0.4 0.4 0.4 0.8 0.4 1 0.5 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 1
1 2 2 R R 0.2 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2
0.2 1 0.3
0.2 1 0.3
模糊聚类分析
模糊矩阵
模糊矩阵 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
模糊矩阵的合成
模糊矩阵的转置
模糊矩阵的λ
－截矩阵
模糊矩阵
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时, X 上的一个 模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：
R2≤R ( ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
当＜时, R的分类是R分类的加细.当由1变 到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定 的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类, 这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类．
1 0 R1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
相应的分类:{u1},{u2 },{u3},{u4 },{u5}共分为5类
1 2 2 R R 0.2 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2 0.2 1 0.3 0.2 1 0.3 0.2 1 0.2
0.2 1 0.3
0.2 1 0.3
模糊聚类分析
模糊矩阵
模糊矩阵 模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
模糊矩阵的合成
模糊矩阵的转置
模糊矩阵的λ
－截矩阵
模糊矩阵
设R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，则称R为模糊矩阵. 当rij只取0或1时，称R为布尔(Boole)矩阵. 当模糊 方阵R = (rij)n×n的对角线上的元素rii都为1时，称 R为模糊自反矩阵.
当论域X = {x1, x2, …, xn}为有限时, X 上的一个 模糊等价关系R就是模糊等价矩阵, 即R满足：
R2≤R ( ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .
当＜时, R的分类是R分类的加细.当由1变 到0时, R的分类由细变粗,由模糊等价关系R确定 的分类所含元素由少变多,逐步归并,最后成一类, 这个过程形成一个动态聚类图,称之为模糊分类．
1 0 R1 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
相应的分类:{u1},{u2 },{u3},{u4 },{u5}共分为5类
模糊数学 (4)
B∈F (U )
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。
∨ ( A B) = A
B∈F (U )
∧ ( A B) = A
∧
性质4 性质 A ⊆ B ⇒ A B = A A B=B ∧ 1 c 1 性质5 性质 c A A ≥ A A ≤ 2 2 性质6 性质 A ⊆ B ⇒ A C ≤ B C 且 A C≤B C
∧ ∧
由性质1有A B ≤ A ∧ B ≤ A
a b a
b
（4）算术平均最小贴近度 若U={u1,u2,…,un}，则 n
N ( A, B ) =
i =1 n
2∑ ( A(u i ) ∧ B (u i ))
∑ A(u ) + ∑ B(u )
i =1 i i =1 i
n
当U=[a,b]时，有
N ( A, B ) =
2∫ ( A(u ) ∧ B(u ))du
模糊数学及其应用
2010年 2010年5月
模糊模式识别
模式识别基本概念 模式识别的原理 模糊集的贴近度 模糊模式识别的直接方法最大隶属原则 模糊模式识别的间接方法择近原则 多特征模糊模式识别 模糊模式识别的应用
3.1 模式识别基本概念
模式指事物的标准形式、样本。 模式识别是将待识别的对象特征信息与给 定样本特征信息比较、匹配，并给出对象所 属模式类的判断。 读远方家人亲笔信 熟悉一个朋友的面孔 公安人员识别指纹 军用卫星遥感图像识别 人类基因图谱识别
3.2 模式识别的原理
3.2 模式识别的原理
3 特征分析部分 特征分析包括特征标定、特征选择和特征提取三 部分。 特征标定是提出原始特征值的过程，这项工作通 常由专门技术人员根据特定传感器特性和实际测 到的结果进行标定。 特征选择是从原始的p个特征值中选择s个特征值 构成最佳子集的过程。必须选择那些反映待识别 对象的各种最重要而又本质的、可区别于它事物 的特征作为最佳特征子集。
第四章计算智能(2)-模糊推理1
模糊计算和模糊推理
经典二值（布尔）逻辑
在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
1
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2
模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
3
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
5
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
42
模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
33
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
经典二值（布尔）逻辑
在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
1
天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
2
模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
3
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
5
IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
42
模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
33
模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
第四章 模糊数学
（可多位专家取其平均值，如体操比赛打分） 3 描点( xi， A ( xi ))，作出 A ( xi )的曲线。
例2：考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄， 请专家评定结果如表：
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0，则有：
1 0.6 0.1 0 A （最后一项可不写） x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： （1）专家评定法（德尔菲法） 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A； 2 适当选取X 中若干点xi，请专家评定其 A ( xi )；
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。
而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。 于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如：
雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；
青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：
书159～161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的，很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到 A的函数表达式，可根据估计的 A
进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的 A ( x)类型（论域为R1）：
Fuzzy模糊数学-共5节-电子书---讲义
模糊数学第1节模糊聚类分析第2节模糊模式识别第3节模糊相似优先比方法第4节模糊综合评判第5节模糊关系方程求解在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么x∈A，要么x∉A，二者必居其一。
这一特征可用一个函数表示为：A x x A x A()=∈∉⎧⎨⎩1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。
模糊数学方法及其应用(第3版)第四章答案
0.46 ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 0.32 + 0.46
0.41 0.54 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 1 0.38 ⎟ 模糊优先关系矩阵 R = 0.59 ⎜ ⎜ 0.46 0.62 1 ⎟ ⎝ ⎠
找出每行最小值 0.41, 0.38, 0.46 ，其中最大值 0.46 位于第三行，因此 c 为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到 a 与 b 的模糊优先关系矩阵：
用矩阵作业法解模糊关系方程第一步求最大解040507050405070105040608060104060307040504040504050505040405来代替得到ij04050705040504050405070504040504040505050405070405因为每一列都有非零的元素所以原模糊关系方程有解第三步求极小解种取法选取第一列的第一个元素第二列的第一个元素第三列的第一个元素和第四列的第四个元因此选中了第一行的和第四行的05元素在行中选中的元素中选取最大值第二行和第三行中没有选取元素得到一个解1110405070705同理选取时得到解211070405选取时得到解3110405选取时得到解41105选取时得到解05选取时得到解070405选取时得到解0405选取时得到解05拟极小解为第四步构造解集方程的解集为07100400405020505040404080706010202解
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ TR ( B) = B o R = (0.7, 0.2, 0) o ⎜ 0 1 0 0 ⎟ = (0.7, 0.2, 0.7, 0) % % % ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 解法 2，由模糊关系矩阵 R = 0 1 0 0 知存在模糊映射 f ( x ) ，使得 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
模糊数学第四章
1 0.3 0 0.1
R
0.6
0.8
0.4
0.2
0.3 1 0 0
0
0
0
0
(1) A = {x1, x2}, 求TR (A)； (2) B = (0.5, 0.6, 0.9, 1, 0), 求TR (B)；
15
TR(A)= A °R TR(A)= (1, 1 , 0, 0, 0) °R = (1, 0.3, 0, 1)
都唯一确定了一个F关系,记作
Rf F (U V )
使对任意的 u U ,都有
R f u f (u)
8
例4: 设 f :U F(V ),且
f (u)(v) e(uv)2 ,u U,vV
试确定关系 R F(U V ) ,并求 R u=2 ,与 R u=3
9
4.2 模糊变换
4
例２ 设
U {u1,u2 ,u3},V {v1, v2 , v3, v4}
0.5 0.2 0.3 0 R 0.4 1 0.3 0.1
0 0.2 0.7 0
R F(U V ),
u1
f (u1 )
0.5 0.2 0.3 ;
v1
v2
v3
0.4 1 0.3 0.1
u2 f (u2 )
v1
v2
v3
; v4
u3
f (u3 )
0.2 0.7 .
v1
v2
按定义可知ｆ是Ｕ从Ｖ到的Ｆ映射。
5
定义2：设 R F(U V )，对 u U ，对应 V 的
一个 F 集,记 R , 它具有隶属函数 u R (v) R(u,v),v V u 称 R 为R在u处的截影. u 同理,可以定义 R 在 v 处的截影.
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~
~
~~
~
~
~
~
~
~ tT
tT ~
~
4) f 1( Bt )
f
1 (
t
B
)
;
~
~ tT
tT ~
~
5) ( f 1(B))c f 1(Bc )
~
~
~
~
证4）：u U ,( f 1( Bt ))(u) ( Bt ) f (u) Bt ( f (u))
~ tT ~
tT ~ ~
tT ~ ~
f 1(Bt )(u) ( f 1(Bt ))(u)
~
~
证：
充分性
显然
QT
~
V
U
必要性
设方程的解为R F (V W ),即 Q R S
~
~~ ~
QT S
~
~
S
~
(1) 先证：R QT S
~
~
~
(QT S )(v, w) (QT (Q R))(v, w)
~
~
~
~~
uU
Q~ T
(v,
u)(Q
~
R)(u,
~
w)
W Q
U
~
V
Q R ~~
R
~
第四章 Fuzzy扩展原理 Fuzzy综合评判 Fuzzy关系方程
第一节 Fuzzy映射与Fuzzy变换 扩展原理
定义：称映射 f : U F (U )为从U到V的Fuzzy映射
~
称映射T : F (U ) F (V )为从U到V的一个Fuzzy变换 ~
一、扩展原理
思考：
已知 f : U V 的映射，对A F (U ),它在映射 f 下的象是什么？
tT ~ ~
~
证：
v V ,
f(
~ tT
t
A
)(v
)
~
f
( u )v
tT
At
~
(u)
tT
v f (
u)
At
~
(u)
f ( At )(v) ( f ( At ))(v)
tT ~ ~
tT ~ ~
3 设 f : U V 则 1）f 1( ) ; 2) B A f 1(B) f 1( A) 3 f 1( Bt ) f 1(Bt );
(a1 , a2 ,...,am )称为权重集
注：1）A可视为U上的Fuzzy集：A a1 a2 ... am F (U )
~
~ u1 u2
um
2) 各个权重，一般由人们根据实际问题的需要主观确定
m
一般要求满足归一化条件： ai 1 i 1
第三步 建立评价集：评判者对评判对象可能作出的各种总的评判结果所组成的集合
f 1 : P(V ) P(U ) B f 1(B) u f (u) B, u U B的原象集
U
f
V
用特征函数表示有
A
f(A)
f
(
A)(v)
v
f (u)
A(u)
0
v f (U ) v f (U )
f 1(B)(u) B( f (u)) u U
例1：设 U 3,2,1，1，2，3, V 1,2,3,...,9
~
~
~
对于 B F (V ),它在 f 下的原象又是什么？
~
~
即从U到V的映射 f ,应当怎样扩展到F (U )到F (V )去?
~
(一 ） 普通集合的扩展原 理
设 f :U V 由 f 可诱导出映射
f : P(U ) P(V ) A f ( A) v u A使v f (u) A的象集
~
~
~
~
注：从定义可知，模糊关系方程的最大最小解是唯一
的
V
X
~
W
定义：在[0，1]上定义算子：
ab
b 1
ab ab
注：算子对寻求方程的最大解，将起重要作用
定义：在[0，1]上定义算子：
ab
b 1
算子的性质：
ab ab
1) 保序性： a,b,c 0,1, b c ab ac
推论：a(b c) ab; a(b c) ac
2) a (ab) a b
a(a b) b
证明：
a b,此时a c, ab b c ac
1) a b,此时ab 1 ac
推论显
然
a b, a (ab) a b 2)
a b, a (ab) a 1 a a b
定义：
Q
给模糊关系Q F (U V ), R F (V W )
证：
~
~ ~ 0,1 ~ ~
•
由分解定理有
f ( A)
~~
0,1
(
f
~
(
A))
~
•
，故
只需证：（
f
~
(
A))
~
•
（ f ( A ))
~
~ •
v
f
~
(
A)~
•
f ( A)(v)
~~
A(u) u U , v
f (u)v ~
f (u)，
使 A(u) u U , v f (u)，使u A v f (u) f ( A )
则由 f 1 (B)(u) B( f (u))得：
~
~
~~
f
1 ( B)
B(
~
f
~
(1))
B(
~
f
~
(2))
...
B(
~
f
~
(6))
0.7
0.7
0.7
0.2
0.2
0.9
~
~
1
2
6
123456
例2：p103
Fuzzy扩展原理的性质
1 设 f : U V , A F (U ), 则 f ( A) f ( A )
~
U
~
~
把 Q R F (U W )叫做Q 与 R的合成
~~
~~
QR
~
~
其隶属函数为：(Q
~
R)(u,
~
w)
vV
Q~ (u,
v )
R(v,
~
w)
例： 0.5 0.4
0.6 0.1
0.8 0.2
0.3 0.2
0.7 0.5
(0.50.3) (0.40.2) (0.50.7) (0.40.5) (0.60.3) (0.80.2) (0.60.7) (0.80.5)
tT ~ ~
tT ~ ~
4 设 f : U V 则 1） f ( f 1 (B)) B ; 2) f 1 ( f ( A)) A
~~
~
~
~
~~
~
证1）： v V ,
若 v f (U ),则（ f ( f 1(B)))(v) f 1(B)(u) B( f (u)) B(v)
~~
~
f (u)v ~
W
uU
Q~ (u,
v)( (Q(u, tV ~
t)
R( t ,
~
w))
uU
Q~ (u,
v)((Q(u,
~
v)
R(v,
~
w))
R(v, w) R(v, w) (a(a b) b)
uU ~
~
定理1 设 Q F (U V ), X F (V W ), S F (U W )
~
~
~
Q X S 有解 QT S 是其解，此时 QT S 还是其最大解
（二）模糊集合的扩展原理
设 f : U V ,有 f 可诱导出两个Fuzzy变换
f : F (U ) F (V )
~
f 1 : F (V ) F (U )
~
称为由 f 诱导出的Fuzzy变换 称为由 f 诱导出的Fuzzy逆变换
Fuzzy扩展原理的隶属函数形 式为
f
(
A)(v)
f
(u)v
A(u)
~
~
~
第三节 Fuzzy关系方程的可解性及最大解
R
~
已知 R F (U V ), S F (U W )
U
~
~
求模糊关系X F (V W )满足方程：R X S
~
~~
~
S R X
~
~~
定义： 设 P 是模糊关系方程R X S的解
~
~~
~
1）P 是最大解 解 X 满足 X P
~
~
~
~
2) P 是最小解 解 X 满足 P X
由 f 还可诱导出另一映射 f 1 : P(V ) P(U )
设 B 1,9 f 1 (B) 3,1,1,3
普通集合扩展原理的性质：
设 A1 , A2 P(U ), f : U V 1) A1 A2 f ( A1 ) f ( A2 ) 2) f ( A1 A2 ) f ( A1 ) f ( A2 ) 3) f ( A1 A2 ) f ( A1 ) f ( A2 ) 4) f ( A1 A2 ) f ( A1 ) f ( A2 ) 当 f 是单射时等式成立
Ri (ri1 , ri 2 ,...,rin )
~
单因素评判集
将各单因素评判集为行组成一矩阵
r11 r12
R
r21
r22
~ ......
rm
1
rm 2
... r1n
...
r2
n
...
rmn