第五章 连续时间系统的复频域分析
第五章 连续时间系统的复频域分析
2
(s )2 2
(1)
(s 1)e3s (s 1)2 4
(2) et cos (t 1) (t 2)
三、拉普拉斯变换性质
(s 1)e3s
(1)
(s 1)2 4
e-(t-3)[cos2(t-3) -sin2(t-3)](t-3)
(s 1) (s 1) 2 (s 1)2 4 (s 1)2 22
4
f (t) (4 4et 3tet ) (t)
四、拉普拉斯变换反变换
(1)
F (s)
s2
1 5s
6
(2)
s s2 2s 5
f (t) (et cos 2t 1 et sin 2t) (t)
2
四、拉普拉斯变换反变换
留数定理
留数计算：
假设sk是F(s)的一阶极点，则其留数为：
Re sk (s sk )F(s)est ssk
一、拉普拉斯变换及收敛域
例：求下面信号的LT的收敛区间
f (t ) e2t (t ) e2t (t )
有始信号收敛域的收敛轴由最右面极点决定，收敛域在收敛轴右面
二、常用函数拉普拉斯变换
L (t) 1
L{ (t)} 1
s
Lt (t)
1 s2
Re[s] > 0
L{et (t)} 1 s
L tet (t) 1
（2）
解：
f (t) cos(t) cos(3t) (t)
三、拉普拉斯变换性质
复频域微分与积分
Lt f t d F s
ds
L
f
t
t
s
F
s
d
s
三、拉普拉斯变换性质
例1：L[tet (t)]
信号与系统第5章 连续系统的频域分析
求系统在 f（t）=2 cos2t作用下的零状态响应 yf（k）。
12
解 由微分方程得到系统的频率特性为
13
取傅里叶反变换，得到系统的零状态响应为
14
除了上述求解方法外，前面根据频率特性的物 理含义得到了如下结论，即
如果输入信号为任意的周期信号，则可以通过 傅里叶级数将其分解为上述基本周期信号分量的叠 加。
5
5.1.2 频率特性的性质 以上得到了系统频率特性的 3种不同定义。这 里再对其作几点说明。 ①系统的频率特性是建立在信号傅里叶变换的 基础上的。因此，与信号的频谱一样，一般情况下 系统的频率特性 H（jω）是以 ω 为自变量的复变 函数，并可表示为
6
②实际系统的频率特性一般满足共轭对称性，
即
式中，f（t）为连续信号，fs（t）为抽样信号 ，P（t）称为抽样脉冲。T为抽样周期，或者称为 抽样间隔，fs=1/T称为抽样频率，ωs=2πfs=2π /T 称为抽样角频率。
26
解 1）由微分方程得到系统的传输算子为
根据以上两式得到幅频特性和相频特性曲线如 图 5.3.4所示。
27
图 5.3.4 例 5.3.1图 1
28
2）已知输入信号 f（t）为周期信号，则根据 系统的频率特性可直接求得系统的零状态响应为
本例中输入输出信号的时域波形和幅度谱分别 如图 5.3.5（a）和图 5.3.5（b）所示。由图可知， 输入信号中的两个分量通过系统后，幅度上得到不 同程度的衰减。 29
33
图 5.4.1 幅度调制及其相干解调
34
图 5.4.2 调制信号和已调信号的频谱
35
图 5.4.3 解调器中相乘器输出信号的频谱和低通滤 波器的频率特性
管致中《信号与线性系统》(第5版)(课后习题 连续时间系统的复频域分析)
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台
第 5 章 连续时间系统的复频域分析
5.1 标出下列信号对应于 s 平面中的复频率。
（1） e2t ；（2） te-t ；（3）cos2t；（4） e-t sin（－5t）
答：（1） e2t (t)
s
1
2
，所以
s1＝2
收敛域：
5.4 用部分分式展开法求下列函数的拉普拉斯反变换。
3 / 43
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答：（1）部分分式展开
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拉氏逆变换，有
（2）部分分式展开
拉氏逆变换，有
（3）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（4）部分分式展开
取拉氏逆变换，有
（5）部分分式展开
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所以
（3）因为 令 T＝1，则 所以
(1)n (t nT )
（1）设 而
，则
由时间平移特性，可得
图 5-1
（2）
（3）因为 由时间平移特性，可得
（4）设
，因
由复频域微分特性，有
再由时间平移特性，可得
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5.9 用拉普拉斯变换的性质求图 5-2 各波形函数的拉普拉斯变换。
答：（a）由图 5-2（a）可知
图 5-2
而 由拉式变换的时间平移与线性特性，可得
（b）由图 5-2（b）可知
而 所以
（c）由图 5-2（c）可知
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第五章 连续系统的s域分析
w
S ＋ w s S 2＋ w
2
0
R e s R e s
0 0
5.1 拉普拉斯变换
例5、求L[e (t )]
解： L[e (t )]
lim[e (t )e st ] 0
t
0
e (t )e dt e
st 0
st
1 st dt e s
S(复频)域~拉(普拉)斯变换 代数方程
简单的初等函数
相乘 Y(S) =Yzi(S) + Yzs(S) 为很多不满足绝对可 积的函数f (t)找到变换 域的分析方法。
st
3) 卷积
4) y(t) =yzi(t) + yzs(t) 5) 不满足绝对可积 条件的f (t)
S(复频)域分析法中基本变量为S = s +jw ， e 为基本信 号
0
确定收敛域的一般规律
2）周期信号及幅度稳定信号(只需少加衰减) s >s0 = 0 3）其增长速度比指数函数的衰减慢的信号 s > s0 = 0 如 f ( t ) t n lim t n e s t = 0 s s0 0
t
1）时限信号（能量有限信号）s0 = -(即全部S平面收敛)
例1 因果信号f1(t)= eat e(t) ，求其拉普拉斯变换。 解 F1b (s) 0 e e
at
st
e ( s a )t dt (s a )
0
1 [1 lim e (s a )t e jw t ] t (s a )
收敛轴
1 s a , Re[s ] s a 不定 ， s a 无界 ， s a 对于因果信号，当Re[s]=s>a时，
信号与系统第5章-连续系统的复频域分析
2、单边拉普拉斯变换收敛域的判别方法
若 0时 lim f (t )e t 0 则 f (t )e t 绝对可积
t
F ( s ) 存在， 0即为F ( s ) 的收敛域。
应用电子系
3、常用单边拉普拉斯变换的收敛域 1. 持续时间有限的单个脉冲信号
沿路径 -j∞→+j∞(虚轴)的分解与迭加
应用电子系
应用电子系
e
st
的含义 S平面 s j
C2
C1 B2 B1
A1
A2
C1* C2*
应用电子系
拉普拉斯变换的收敛域
1、收敛域定义： 使f(t) e-σt收敛，即F(s)存在的σ 的取值范围
例如：f (t ) e (t )
3t
t t
j t
dt f (t )e( j )t dt
令 s j 则积分结果为s 的函数，所以上式表示 为：
F ( s) f (t )es tdt
拉普拉斯正变换
应用电子系
F ( s) f (t )es tdt
符合绝对可积条件的函数不仅存在拉普拉斯 变换，而且存在傅里叶变换。所以，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换可以相互转化。
F ( j ) F ( s) j s
j s
应用电子系
不符合绝对可积条件的函数，其傅里叶变 换和拉普拉斯变换则不符合上面的转化关系。
应用电子系
常用函数的拉普拉斯变换：
信号与系统 第四章 连续时间系统的复频域分析
• 拉普拉斯变换
• 拉普拉斯变换的主要性质
• 拉普拉斯反变换 • 系统的s域分析
《信号与线性系统》 东南大学 管致中 夏恭恪 孟桥著 高等教育出版社第五章-5
∫
y”
y’
∫
y (t)
∫
-a n-1
-a1 -a0
4
第五章 连续时间系统的复频域分析
4．系统方程含有x的导数
以二阶为例：y a1 y a0 y b1x b0 x （x的阶数低于y的阶数——实际系统） 引入辅助变量 q(t) , 使 q a1q a0q x 将上式代入原方程,有
y a1y a0 y b1q a1q a0q b0q a1q a0q y a1y a0 y b1q b0q a1b1q b0q a0b1q b0q
积分器 x(t)
y(t)
零态：
t
y(t) 0 x( )d
非零态：
t
y(t) 0
x( )d y(0)
y(0)
X (s)
a
Y(s)
Y (s) aX (s)
X (s)
1
Y (s)
s
Y(s) 1 X (s)
s
Y (s) 1 X (s) y(0)
s
s
y(0)
s
x(t)
y(t)
X (s)
1
s
Y (s)
2
第五章 连续时间系统的复频域分析
（二）微分方程式的模拟
1．一阶 ：y a0 y x
y
a0 y
x
LT
sY (s)
X (s) a0Y(s)
x
y
y
X (s)
sY (s) 1
Y (s)
s
a0
a0
时域框图
s域框图
2．二阶：y a1 y a0 y x y a1y a0 y x
积分器个数＝阶数
积分器
系统的模拟图由三种基本运算器组合起来： 标量乘法器
连续时间系统的复频域分析
因而拉普拉斯变换分析法常称为复频域分析法。
拉普拉斯变换分析法和傅里叶变换分析法都是建立在线性非时变系统的齐次性可迭加性基础上的。
只是信号分解的基本单元函数不同。
（1）拉普拉斯变换的数学定义和物理意义（2）拉普拉斯变换的性质及计算方法（3）连续时间系统的复频域分析法（4）系统函数的定义§5.3 拉普拉斯变换的收敛域由上面的讨论可知，连续时间信号f t 的拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）式F s 是否存在，取决于f t 乘以衰减因子以后是否绝对可积，即：受迫分量自然分量受迫分量自然分量例5-15 图5-18中，已知C1 1F， C2 2F， R 3Ω，初始条件uC1 0 EV，方向如图。
设开关在t 0时闭合，试求通过电容C1的响应电流iC1 t 。
图5-18 （a）时域电路模型 E 图5-18 （b）s域电路模型 3 s s 2 1 s 1 1 s I C uC1 0 C1 1F， C2 2F，R 3Ω初始条件uC1 0 EV s 1 1 s I C 3 s s 2 1 E sin ?ot 例：解： 9、时域卷积定理：若则 10、频域卷积定理：则若其中初值: f t |t 0+ f 0+ 若f t 有初值，且f t ? F s ，则 12、终值定理：终值: f t |t ? f ? 若f t 有终值，且f t ?F s ，则 11、初值定理：注意：终值存在的条件：F s 在s右半平面无极点，在j?轴上单实根极点[F S 1/S]。
当f t 含有冲激及其导数时，有解：§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.6 拉普拉斯变换的基本性质§5.7 线性系统的拉普拉斯变换分析方法一、由方程求响应利用拉氏变换求线性系统的响应时，需要首先对描述系统输入输出关系的微分方程进行拉氏变换，得到一个s域的代数方程; 由于在变换中自动地引入了系统起始状态的作用，因而求出响应的象函数包含了零输入响应和零状态响应，再经过拉氏反变换可以很方便地得到零输入响应、零状态响应和全响应的时域解。
实验5 连续时间系统的复频域分析
实验5连续时间系统的复频域分析一、实验目的1、掌握拉普拉斯变换及其反变换的定义，并掌握MAT1AB实现方法。
2、学习和掌握连续时间系统系统函数的定义及复频域分析方法。
3、掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、实验原理与方法1、拉普拉斯变换连续时间信号XQ)的拉普拉斯变换定义为拉普拉斯变换定义为X(S)=Γx(t)e-st dt (1)J-‹XJ拉普拉斯反变换定义为x(t)≈-Γr X(s)e s,ds (2)2用J”>在MAT1AB中，可以采用符号数学工具箱的Iap1ace函数和iIap1ace函数进行拉氏变换和反拉氏变换。
1=IaPIaCC(F)符号表达式F的拉氏变换，F中时间变量为t,返回变量为S的结果表达式。
1=Iap1ace(F,t)用t替换结果中的变量s。
F=i1ap1ace(1)以S为变量的符号表达式1的拉氏反变换,返回时间变量为t的结果表达式。
F=iIap1ace(1,x)用X替换结果中的变量t。
除了上述iIap1ace函数，还可以采用部分分式法，求解拉普拉斯逆变换，具体原理如下：当X(S)为有理分式时，它可以表示为两个多项式之比：X(S)=祟=…+"。
...................... ⑶D(S)a N s+即_科+…+劭式(3)可以用部分分式法展成一下形式X(S)=/一+/一+...+—^ (4)♦Pi s-p2s-p N通过查常用拉普拉斯变换对，可以由式(1-2)求得拉普拉斯逆变换。
利用MAT1AB的residue函数可以将I(S)展成式(1-2)所示的部分分式展开式，该函数的调用格式为：[r,p,k]=residuc(b,a)其中b、a为分子和分母多项式系数向量，r、p、k分别为上述展开式中的部分分式系数、极点和直项多项式系数。
2、连续时间系统的系统函数连续时间系统的系统函数是系统单位冲激响应的拉氏变换HG)=Γh(t)e-s1dt (5)J-OO此外，连续时间系统的系统函数还可以由系统输入和系统输出信号的拉氏变换之比得到H(S)=Y(S)ZX(S) (6)单位冲激响应反映了系统的固有性质，而"($)从复频域反映了系统的固有性质。
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F ( j )
e
t
1 f (t ) 2
f (t )e ( j ) t dt.....2
j t
F ( j )e
d
双边拉普拉斯变换（广义傅里叶 变换）
1 f (t ) 2
ds if .s j , then, d j
j
t1
t2
注意 : 对于右边信号: lim f (t )e t 0
t
只有t 0时, 收敛域才包括.
拉普拉斯变换收敛域的重要性
f 2 (t ) u (t ) e u (t )
t
LT
1
1 1 1 1 f 2 (t ) s s 1 s 1 s
f 3 (t ) u (t ) e u (t ) 0
n N (s) sk t 1 K k s s k ，LT F ( s ) K k e (t ) D ( s ) s sk k 1
2.方程D ( s ) 0有p次重根s1 1 d pk K1k ( p k )! ds p k
1 b 0 5 c 0 1 1 1 L1[ L1 ( / s ( s /(s 2 5)) s ( s 2 5) 5 5 1 (1 cos 5t )u (t ) 5
(b
1 2 ) s cs 1 5 s ( s 2 5)
拉普拉斯逆变换例题2
st
s2 e st ( s 3)( s 1) 2
s 0
2 3
拉普拉斯逆变换例题2（续）
[( s s 2 ) F ( s)e ] s s2 3
st
s 2 st e 2 s( s 1)
s 3
1 3t e 12
d s2 2 st Re s[1] [( s 1) e ] s s3 1 2 ds s( s 3)( s 1) t t 3 t t 3 t e e ( )e 2 4 2 4
1
N (s) ( s s1 ) p D ( s ) s s1
n K1 p p 1 K1( p 1) p 2 s1t s t LT F ( s ) t t K12t K11 e (t ) K p e q (t ) ( p 2)! q p 1 ( p 1)!
收敛轴
收敛轴
j
0 收敛坐标
lim f (t )e
t t
0
0 收敛条件
双边拉普拉斯变换收敛域例题1
f (t ) u (t ) e u (t )
t
t
f (t )e dt u(t )e dt u(t )e(1 )t dt
t t 0
������
������→∞
→ ∞时，上述积分不收敛，不存在拉普
拉普拉斯变换的收敛域
S平面Biblioteka j 左半平面 收 敛 区 右半平面
0
>0称收敛条件
0称绝对收敛坐标
双边拉普拉斯变换的收敛域
给定信号f (t ), 对应的拉氏变换为F ( s ) 在S平面上，凡是能使F ( s )存在的区 域（或者说所有的集合），称为F ( s ) 的收敛域。
1 2
3 5 2t f (t ) 2 (t ) (3e e )u(t ) 2
信号与线性系统 连续时间系统的复频域分析
李榕
傅里叶变换法的缺陷
一般只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有 许多信号往往是不符合绝对可积条件的 在求取时域中的响应时，利用傅里叶反变换要 进行对频率自负无穷大到正无穷大的无穷积分， 通常这个积分的求解是比较困难的。
拉普拉斯变换对傅里叶变换的改 进
有几种情况不满足狄利 若乘一衰减因子 e ， 克雷条件： 其中 为任意实数，则 f (t ).e t 收敛，可以 u(t) at (a 0) 满足狄里赫利条件 增长信号 e u (t )e t 周期信号 cos t 1
单边拉普拉斯变换与傅里叶变换 （续一）
(2)
f (t )
0 0
at
t0 f (t ) 0
j
e u (t )
t
a
a
1 s j 1 F ( j ) F ( s) j a sa
单边拉普拉斯变换与傅里叶变换 （续二）
(3)
0 0
u(t )
存在傅氏变换，但 f (t ) 0 以虚轴为收敛边界， 不能简单用 s j ， 要包含奇异函数项。
F ( j )e
( j )
d
F ( s)
双边
1 f (t ) 2j
j
f (t )e
st
dt
F ( s )e
j
st
ds
一个简单函数的双边拉普拉斯变 换
例题(p.213)：求单边指数函数的拉普拉斯变换。 ������ ������ = ������ ������������ ������ ������ (其中 α 为常数) 解：
s2 试用留数定理求F ( S ) 的原函数。 2 s( s 3)( s 1)
象函数为有理，真分式，有多重极点
解 : F ( s )有两个单极点 : s1 0; s2 3; 有一个二重极点s3 1
它们的留数分别为：
[( s s1 ) F ( s)e ]s s1 0
0
( j ) t
dt
F (s) f (t )e dt
st
原函数 逆LT
1 j st f (t ) j F ( s)e ds 2j
常用信号的拉普拉斯变换
u(t)
1 s
e u (t )
t
1 sa
t
n
n! s
n 1
(t )
(t t0 )
围线积分法（留数法）要点
当F ( s )为有理函数时，若sk 为一阶极点，则其留数为： Re sk ( s sk ) F ( s )e st
s sk
若sk 为p阶极点，则其留数为 1 d p 1 Re sk ( s sk ) p F ( s )e st ( p 1)! ds p 1 ss
2 1 3t t 3 t f (t ) [ e ( )e ]u (t ) 3 12 2 4
拉普拉斯逆变换例题3
4 s 11s 10 求L [ ] 2 2 s 5s 3
1 2
象函数为有 理，但非真 分式
方法一：直接用留数法求解
3 5 2t t f (t ) (3e e )u(t ) 2
t
1 1 1 1 f 3 (t ) s s 1 s 1 s
LT
不同原函数，收敛域不同，也可得到相同的象 函数。
单边拉普拉斯变换
因果
f1 (t ) f (t )e
0
t
s j
拉普拉斯变换指的 是单边变换！
规定单边拉氏变换下限从 0-开始
象函数 正LT
F1 ( j) f (t )e
1
e
st0
拉普拉斯变换计算例题1：正弦/ 余弦信号的拉普拉斯变换
cos0t
f (t ) u (t ) e
j0t
sin 0t
j0t
e 2
f (t ) u (t )
e
j0t
e 2j
j0t
1 1 1 F (S ) ( ) 2 S j0 S j0 S 2 2 S 0
b.对于t>t0为零的左边信号,收敛域在收敛轴 的左边.
lim e
t
t
t 0...... 1 e
et
2 1
几种信号的收敛情况（续二）
c.对于双边信号,其收敛域在 1 2 内
0
1
几种信号的收敛情况（续三）
d.凡是有始有终能量信号,对于整个s平面 都收敛。
拉普拉斯逆变换例题3（续）
4 s 11s 10 象函数为有理， 求L [ ] 2 2 s 5s 3 但非真分式 2 4 s 11s 10 s4 2 2 2 2 s 5s 3 2 s 5s 3 k1 k2 方法二：部分 2 分式展开法 3 s 1 s 2
∞ ∞
������ ������ =
−∞
������ ������(������)������
������������
−������������
������������ =
0
������
− ������−������ ������
1 ������������ = ������ − ������
以上的拉普拉斯变换始终存在吗？ 显然，当������ − ������−������ 拉斯变换。
0
e u ( t )
1
u(t )
j
0 0
1 0
1 LT 1 1 f (t ) s 1 s
0
1
0
1
0
0 1
双边拉普拉斯变换收敛域例题2
f (t ) e u (t ) e u (t )
at bt
f (t )e
t
dt e
0
( b ) t
dt e
0
( a ) t
dt
b