直角三角形提升练习

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八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习13 以直角三角形三边为边长的图形面积

八年级数学下册考点知识与题型专题讲解与提升练习专题13 以直角三角形三边为边长的图形面积一、单选题1．如图，在直角ABC 中，90,ACB AC ︒∠==，则以B 为圆心，分别BA BC 、为半径的圆形成一个圆环，则该圆环的面积为（）．AB ．2πC ．4πD ．6π2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（）A ．13B ．26C ．34D ．473．如图，已知正方形A 的面积为25，正方形C 的面积为169，那么正方形B 的面积是（）A ．144B ．169C ．25D ．1944．如图，分别以Rt△ABC 的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S 1，S 2，S 3．若S 1= 36，S 2= 64，则S 3=（）A ．8B ．10C ．80D ．1005．如图，x ，y ，z 分别表示以直角三角形三边为边长的正方形面积，则下列结论正确的是（）A ．222x y z =+B ．x y z <+C ．x y z ->D ．x y z =+6．如图，直线l 上有三个正方形,,a b c ，若,a b 的面积分别为3和8，则c 的面积为（）A ．6B ．5C ．4D ．37．如图1，以直角三角形的各边边边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大正三角形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A ．直角三角形的面积B ．较小两个正三角形重叠部分的面积C ．最大正三角形的面积D ．最大正三角形与直角三角形的面积差8．如图，正方形A 、B 、C 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形A ，B 的边长分别为3和5，则正方形C 的面积为()A ．16B ．12C ．15D ．189．如图，正方形A 的面积为4，正方形B 的面积为3，则正方形C 的面积为（）A ．5B ．7C ．9D ．2510．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，正方形,AEDC BCFG 的面积分别为25和144，则AB 的长度为（）A ．13B ．169C ．12D ．511．以直角三角形的两直角边为边长所作正方形的面积分别是9和16，则斜边长为（） A ．5B ．25C ．15D ．22512．如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于（）A ．4πB ．8πC ．2πD ．16π13．如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作1S ，2S ，3S ；则1S ，2S ，3S 之间的关系是（）A ．123S S S +>B ．123S S S +<C ．123S S S +=D ．222123S S S +=14．如图，已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆，面积分别记S 1，S 2，S 3，若S 1＝4，S 2＝9，则S 3的值为( )A．13 B．5 C．11 D．315．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝16，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）A．16 B．32 C．160 D．256二、填空题16．如图，以Rt ABC的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形ABFG、正方形ACDE的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______．17．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边向外作正方形，面积分别为S1，S 2，若S1＝2，S2＝5，则BC 2＝_____．18．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC=8cm，分别以三角形的三条边为边作正方形，则三个正方形的面 S 1＋S 2＋S 3的值为_______．19．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A 所代表的正方形的边长为_____三、解答题20．求下列图形中阴影部分的面积．（1）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，8AB =，6AC =，BC 是圆O 的直径，点A 在圆上；（2）如图，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，90CBD ∠=︒，4=AD ，3AB =，12BC =，四边形DCEF为正方形．21．如图，已知直线l 的解析式为：y 43=x +4，它的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标及线段AB 的长度；（2）已知y 轴上一点C 的坐标为（0，m ）． ①若S △ABC =6，求点C 的坐标；②若点C 到直线l 与到x 轴的距离相等，请直接写出点C 的坐标．22．已知ABC ∆中，ACB ∠=90°，如图，作三个等腰直角三角形ACD ∆，EAB ∆，FCB ∆，AB ，AC ，BC 为斜边，阴影部分的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ．（1）当AC =6，BC =8时，①求1S 的值； ②求4S -2S -3S 的值；（2）请写出1S ，2S ，3S ，4S 之间的数量关系，并说明理由．23．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，如图1，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作等边三角形ABF ，ACE ，BCD（1）若ACE S =△，ABF S =△BCD S =△______．（2）如图2，将BCD △沿BC 翻折，点D 的对应点记为P ，①连接EP ，请求出AEP ∠的度数．②若AB =随着AC 的长度变化，点P 也随之运动，试探究AP 的值是否变化，若不变，求出AP 的值；若改变，求出AP 的最小值．24．三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O 为坐标原点，()1,4A -，()4,1B --，()1,1C ．将三角形ABC 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形111A B C ．（1）画出平移后的三角形；（2）直接写出点1A ，1B ，1C 的坐标：1A （______，______），1B （______，______），1C （______，______）；（3）请直接写出三角形ABC 的面积为_________． 25．阅读理解：（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：（a +b ）2＝c 2+4×12ab ，化简证得勾股定理：a 2+b 2＝c 2．（初步运用）（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．（迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．26．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ．较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC ＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＋S 2＋S 3＝16，则S 2＝．27．如图，在平面直角坐标系中，已知点()0,A a ，点(),0B b ，其中a ，b 满足2|4|(3)0a b -+-=，点P 从点O 出发，沿O B A →→的路径以每秒2个单位的速度向终点A 运动，设运动时间为t 秒．（1）求线段AB 的值．（2）是否存在t ，使得OBP 为等腰三角形，若存在，请求出所有t 的值，若不存在，请说明理由．（3）当AP 平分OAB ∠时，求t 的值．（4）线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90得到线段AC ，连结BC ，若该平面内存在点()3,Q m ，使得ABQ △与ABC 的面积相等，则m 的值为_________________．28．如图，在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，AD ⊥BC 于D ，AD ＝4cm ，过点D 作DE ∥AC ，交AB 于点E ，DF ∥AB ，交AC 于点F ．动点P 从点A 出发以1cm /s 的速度向终点D 运动，过点P 作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．设点P 运动时间为x （s ），△AMN 与四边形AEDF 重叠部分面积为y （cm 2）．（1）AE ＝cm ，AF ＝cm ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）若线段MN 中点为O ，当点O 落在∠ACB 平分线上时，直接写出x 的值．。

专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型(专项练习)(培优篇)

C D E B A 专题12.25 三角形全等几何模型-“一线三直角”模型（专项练习）（培优篇）知识储备：1、模型一：三垂直全等模型图一如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA2、拓展：模型二：三等角全等模型图二如图二，∠D=∠BCA=∠E ，BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA一、单选题1．如图，Rt△ABC 中，△C=90°，BC=6，DE 是△ABC 的中位线，点D 在AB 上，把点B 绕点D 按顺时针方向旋转α（0°<α<180°）角得到点F ，连接AF ，BF ．下列结论：△△ABF 是直角三角形；△若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ；△若α=90°，连接EF ，则S△DEF=4.5；其中正确的结论是（）A ．△△B ．△△C ．△△△D ．△△二、填空题2．如图，点A 的坐标为()4,0，点B 的坐标为()0,1-，分别以OB ，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰Rt OBF △，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于P 点，点P 的坐标是______．3．如图，AO△OM ，OA=7，点B 为射线OM 上的一个动点，分别以OB ，AB 为直角边，B 为直角顶点，在OM 两侧作等腰Rt△OBF 、等腰Rt△ABE ，连接EF 交OM 于P 点，当点B 在射线OM 上移动时，则PB 的长度____________．三、解答题4．在Rt AOB ∆中，AOB 90∠=．(1)如图△，以点A 为直角顶点，AB 为腰在AB 右侧作等腰Rt ABC ∆，过点C 作CD OA ⊥交OA 的延长线于点D ．求证：A AOB CD ∆∆≌．(2)如图△，以AB 为底边在AB 左侧作等腰Rt ABC ∆，连接OC ，求AOC ∠的度数．(3)如图△，Rt AOB ∆中，,OA OB OD AB =⊥,垂足为点D ，以OB 为边在OB 左侧作等边OBC ∆,连接AC 交OD 于E ，2OE =,求AC 的长．5．已知Rt△ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点E 为△ABC 内一点，连接AE ，CE ，CE △AE ，过点B 作BD △AE ，交AE 的延长线于D ．（1）如图1，求证BD=AE ；（2）如图2，点H 为BC 中点，分别连接EH ，DH ，求△EDH 的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点M 为CH 上的一点，连接EM ，点F 为EM 的中点，连接FH ，过点D 作DG △FH ，交FH 的延长线于点G ，若GH ：FH =6：5，△FHM 的面积为30，△EHB =△BHG ，求线段EH 的长．6．如图1，在Rt ACB ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，分别过B 、C 两点作过点A 的直线l 的垂线，垂足为D 、E ；（1）如图1，当D 、E 两点在直线BC 的同侧时，猜想，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（2）如图2，当D 、E 两点在直线BC 的两侧时，BD 、CE 、DE 三条线段有怎样的数量关系？并说明理由.（3）如图3，90BAC ∠=︒，22AB =，28AC =.点P 从B 点出发沿B A C →→路径向终点C 运动；点Q 从C 点出发沿C A B →→路径向终点B 运动.点P 和Q 分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P 和Q 作PF l ⊥于F ，QG l ⊥于G .问：点P 运动多少秒时，PFA ∆与QAG ∆全等？（直接写出结果即可）7．如图，在△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC—CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P 、Q 两点同时出发．分别过P 、Q 两点作PE△l 于E ，QF△l 于F ．设点P 的运动时间为t （秒）：（1）当P 、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．8．（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：△CAE ABD ∠=∠；△DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．9．如图，A （-2，0），B （0，4）以B 点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC （1）求C 点的坐标；（2）如图2点E 为y 轴正半轴上一动点，以E 为直角顶点作等腰直角△AEM ，过M 作MN△x 轴于N ，求OE -MN 的值．10．如图，OA OB =，OA OB ⊥，135ACO ∠=︒，求ACB ∠的度数.11．综合与实践．积累经验我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，线段DE 经过点C ，且AD DE ⊥于点D ，BE DE ⊥于点E .求证：AD CE =，CD BE =”这个问题时，只要证明ADC CEB ∆∆≌，即可得到解决，（1）请写出证明过程；类比应用（2）如图2，在平面直角坐标系中，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()0,2，点C 的坐标为()1,0，求点B 的坐标．拓展提升（3）如图3，ABC ∆在平面直角坐标系中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，则点B 的坐标为____________．12．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD△直线m ，CE△直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA ＝△AEC ＝△BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）实际应用：（3）如图，在△ACB 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．13．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，E 点为射线CB 上一动点，连结AE ，作AF AE ⊥且AF AE =．（1）如图1，过F 点作FD AC ⊥交AC 于D 点，求证：FD BC =；（2）如图2，连结BF 交AC 于G 点，若3AG =，1CG =，求证：E 点为BC 中点．（3）当E 点在射线CB 上，连结BF 与直线AC 交于G 点，若4BC =，3BE =，则AG CG =______．（直接写出结果）14．如图，以ABC 的边AB 和AC ，向外作等腰直角三角形ABE △和ACF ，连接 EF ，AD 是ABC 的高，延长DA 交EF 于点G ，过点F 作DG 的垂线交DG 于点H ．（1）求证：FHA ADC ≌△△；（2）求证：点G 是EF 的中点．15．如图，等腰Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A ，B 分别在坐标轴上．（1）如图1，若点C 的横坐标为5，直接写出点B 的坐标_______；图1（2）如图2，若点A 的坐标为()6,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB ，AB 为边在第一、第二象限作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE △，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴的正半轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变，求出PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．图216．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．（提出问题）如图1，在直角ABC 中，△BAC =90°，点A 正好落在直线l 上，则△1、△2的关系为（探究问题）如图2，在直角ABC 中，△BAC =90°，AB =AC ，点A 正好落在直线l 上，分别作BD △l 于点D ，CE △l 于点E ，试探究线段BD 、CE 、DE 之间的数量关系，并说明理由．（解决问题）如图3，在ABC 中，△CAB 、△CBA 均为锐角，点A 、B 正好落在直线l 上，分别以A 、B 为直角顶点，向ABC 外作等腰直角三角形ACE 和等腰直角三角形BCF ，分别过点E 、F 作直线l 的垂线，垂足为M 、N ．△试探究线段EM 、AB 、FN 之间的数量关系，并说明理由；△若AC =3，BC =4，五边形EMNFC 面积的最大值为18．如图，在平面直角坐标系中，点()()3,01,0B A --、分别是x 轴上两点，点()0,P h 是y 轴正半轴上的动点，过点P 作,DP PB CP PA ⊥⊥，且,PD PB PC AP ==．（1）如图1，连接AD BC 、相交于点E ，求证：PCB PAD ≌；（2）如图1，连接PE ，求证：PE 平分CED ∠；（3）如图2，连CD 与y 轴相交于点Q ，当动点P 在y 轴正半轴上运动时，线段PQ 的长度是否改变？如果不变，请求出其值；如果改变，请求出其变化范围．19．在Rt ABC △中，90CAB ∠=︒，AB AC =，点O 是BC 的中点，点P 是射线CB 上的一个动点（点P 不与点C 、O 、B 重合），过点C 作CE AP ⊥于点E ，过点B 作BF AP⊥于点F ，连接EO ，OF ．（问题探究）如图1，当P 点在线段CO 上运动时，延长EO 交BF 于点G ，（1）求证：AEC △BFA ；（2）BG 与AF 的数量关系为：______（直接写结论，不需说明理由）；（拓展延伸）（3）△如图2，当P 点在线段OB 上运动，EO 的延长线与BF 的延长线交于点G ，OFE ∠的大小是否变化？若不变，求出OFE ∠的度数；若变化，请说明理由；△当P 点在射线OB 上运动时，若2AE =，5CE =，直接写出OEF 的面积，不需证明． 20．如图，线段AB=4，射线BG△AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使△EAP=△BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．（1）求证：AEP△CEP；（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；（3）请直接写出AEF的周长．参考答案1．C【分析】△根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出AD BD DF ==，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可判断；△分两种情况讨论：ABF ABC ∠=∠或ABF BAC ∠=∠，分别求α即可； △先根据题意画出图形，首先证明FDG ADE ≅ ，然后得出3FG DE ==，最后利用12DEF S DE FG =⋅即可求解．【详解】△△DE 是△ABC 的中位线，AD DB ∴=．由旋转可知DF DB =，AD BD DF ∴==，,DAF AFD DBF DFB ∴∠=∠∠=∠ ．180DAF AFB ABF ∠+∠+∠=︒ ，90AFD DFB ∴∠+∠=︒ ，即90AFB ∠=︒ ，△△ABF 是直角三角形，故△正确；90C ∠=︒ ，90BAC ABC ∴∠+∠=︒ ．若△ABF 和△ABC 全等，当ABF ABC ∠=∠时，180218022(90)2ABF ABC ABC BAC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠ ；当ABF BAC ∠=∠时，180218022(90)2ABF BAC BAC ABC α=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠，综上所述，若△ABF 和△ABC 全等，则α=2△BAC 或2△ABC ，故△正确；过点F 作FG DE ⊥交ED 的延长线于点G ，△DE 是ABC 的中位线，//DE BC ∴ ，90AED ACB ∴∠=∠=︒ ．FG DE ⊥，90FGE ∴∠=︒．90FDB ∠=︒，90ADF ∴∠=︒，90FDG ADE ∴∠+∠=︒．90DAE ADE ∠+∠=︒ ，FDG DAE ∴∠=∠．90AFB ∠=︒，D 为AB 中点，FD AD ∴=．在FDG △和ADE 中，FGD AED FDG DAE FD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()FDG ADE AAS ∴≅3FG DE ∴==，1133 4.522DEF S DE FG ∴=⋅=⨯⨯=，故△正确；所以正确的有：△△△．故选：C ．【点拨】本题主要考查三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．2．()0,3-【分析】作EN y ⊥轴于N ，求出NBE BAO ∠=∠，证ABO BEN ≅△△，得BN =AO ，再由90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，证BFP NEP ≅△△，推出BP NP ==2，由点B 的坐标为()0,1-即可得出点P 的坐标为()0,3-．【详解】解：如图，作EN y ⊥轴于N ，90ENB BOA ABE ∠=∠=∠=︒，90OBA NBE ∴∠+∠=︒，90OBA OAB ∠+∠=︒，NBE BAO ∴∠=∠，在ABO 和BEN 中，AOB BNE BAO NBE AB BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABO BEN AAS ∴≅△△，OB NE BF ∴==，OA=BN90OBF FBP BNE ∠=∠=∠=︒，在BFP △和NEP △中，FPB EPN FBP ENP BF NE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFP NEP AAS ∴≅△△，BP NP ∴=，又因为点A 的坐标为(4,0)，4OA BN ∴==，122BP NP BN ∴===，又△点B 的坐标为()0,1-，△点P 的坐标为()0,3-．故答案为：()0,3-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．3．72【分析】根据题意过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，首先证明△ABO△△BEN ，得到BO=ME ；进而证明△BPF△△MPE 并分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点E 作EN△BM ，垂足为点N ，△△AOB=△ABE=△BNE=90°，△△ABO+△BAO=△ABO+△NBE=90°，△△BAO=△NBE ，△△ABE 、△BFO 均为等腰直角三角形，△AB=BE ，BF=BO ；在△ABO 与△BEN 中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△ABO△△BEN （AAS ），△BO=NE ，BN=AO ；△BO=BF ，△BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠⎪∠⎧⎩∠⎪∠⎨＝＝＝，△△BPF△△NPE （AAS ）， △BP=NP=12BN ，BN=AO ， △BP= 12AO= 12×7=72．故答案为：72．【点拨】本题考查三角形内角和定理以及全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形并灵活运用有关定理进行分析．4．（1）见解析；（2）135AOC ∴∠=；（3）【分析】（1）根据“一线三垂直”模型，可以证得A AOB CD ∆∆≌；（2）过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，利用旋转模型证明BCM ∆△()ACO ASA ∆，由外角的性质计算即可；（3）在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，利用等腰直角△AOB ，等边△BOC 证得OAE ∆△()OCH SAS ∆，通过等角代换证明HOE ∆为等边三角形，由线段和计算即可得到结果．【详解】（1）△△BAC=△AOB=90°，△△BAO+△DAC=△BAO+△ABO=90°，△△DAC=△ABO ，△△ABC 是等腰直角三角形，△AB=AC ，在△AOB 和△CDA 中，ABO DAC AOB CDA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOB△△CDA （AAS ）（2）如图△，过点C 作CM△CO 交BO 于M ，AC 与BO 交于点N ，90MCO ACB ∴∠=∠=，BCM ACO ∴∠=∠，90BCA AOB ∠=∠=，BNC ANO ∠=∠，CBM OAC ∴∠=∠，△AC=BC ，BCM ∴∆△()ACO ASA ∆，CM CO ∴=，45COM CMO ∴∠=∠=，9045135AOC ∴∠=+=，故答案为：135°．（3）如图△，在CE 上截取一点H ，使CH=AE ，连接OH ，△△AOB 是等腰直角三角形，△BOC 是等边三角形，所以AO BO CO ==，OAE OCH ∴∠=∠，OAE ∴∆△()OCH SAS ∆，OH OE ∴=，AE=CH=3，△AOE=△COH ，OD AB ⊥，△AOB=90°，45AOE BOE ∴∠=∠=，45COH ∴∠=，△BOH=△BOC -△COH=60°-45°=15°，154560HOE ∴∠=+=，HOE ∴∆为等边三角形，2HE EO ∴==，Rt△ADE 中，△DAE=45°-15°=30°，△AE=2DE ，设DE=x ，则AE=2x ，，△AD=OD ，，，，．故答案为：．【点拨】本题考查了“一线三垂直”模型，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等角代换的应用，计算线段和的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．5．（1）见解析；（2）△EDH＝45°；（3）EH＝【分析】（1）根据全等三角形的判定得出△CAE△△ABD，进而利用全等三角形的性质得出AE＝BD 即可；（2）根据全等三角形的判定得出△AEH△△BDH，进而利用全等三角形的性质解答即可；（3）过点M作MS△FH于点S，过点E作ER△FH，交HF的延长线于点R，过点E作ET△BC，根据全等三角形判定和性质解答即可．【详解】证明：（1）△CE△AE，BD△AE，△△AEC＝△ADB＝90°，△△BAC＝90°，△△ACE+CAE＝△CAE+△BAD＝90°，△△ACE＝△BAD，在△CAE与△ABD中ACE BAD AEC ADB AC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CAE △△ABD （AAS ），△AE ＝BD ；（2）连接AH△AB ＝AC ，BH ＝CH ，△△BAH ＝11904522BAC ∠=⨯︒=︒，△AHB ＝90°， △△ABH ＝△BAH ＝45°，△AH ＝BH ，△△EAH ＝△BAH ﹣△BAD ＝45°﹣△BAD ，△DBH ＝180°﹣△ADB ﹣△BAD ﹣△ABH ＝45°﹣△BAD ，△△EAH ＝△DBH ，在△AEH 与△BDH 中AE BD EAH DBH AH BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEH △△BDH （SAS ），△EH ＝DH ，△AHE ＝△BHD ，△△AHE +△EHB ＝△BHD +△EHB ＝90°即△EHD ＝90°，△△EDH ＝△DEH ＝18090452︒-︒=︒；（3）过点M 作MS △FH 于点S ，过点E 作ER △FH ，交HF 的延长线于点R ，过点E 作ET △BC ，交HR 的延长线于点T ．△DG △FH ，ER △FH ，△△DGH ＝△ERH ＝90°，△△HDG +△DHG ＝90°△△DHE ＝90°，△△EHR +△DHG ＝90°，△△HDG ＝△HER在△DHG 与△HER 中HDG HER DGH ERH DH EH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DHG △△HER （AAS ），△HG ＝ER ，△ET △BC ，△△ETF ＝△BHG ，△EHB ＝△HET ，△ETF ＝△FHM ，△△EHB ＝△BHG ，△△HET ＝△ETF ，△HE ＝HT ，在△EFT 与△MFH 中ETF FHM EFT MFH EF FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△EFT △△MFH （AAS ），△HF ＝FT ， △22HF MS FT ER =， △ER ＝MS ，△HG ＝ER ＝MS ，设GH ＝6k ，FH ＝5k ，则HG ＝ER ＝MS ＝6k ， 563022HF MS k k ==， k△FH ＝△HE ＝HT ＝2HF ＝【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，属于压轴题．6．（1）+DE CE BD =（2）CE DE BD =+（3）当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等【分析】（1）根据题意首先证明()ABD ACE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明+DE CE BD =. （2）根据题意首先证明()ABD CAE AAS ∆≅∆，在采用等量替换即可证明CE BD DE =+.（3）根据PFA ∆与QAG ∆全等，列方程即可，注意要分类讨论.【详解】（1）+DE CE BD =.理由如下：△在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，又△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90BAD ABD ∠+∠=︒，△EAC ABD ∠=∠，△AB AC =，△()ABD ACE AAS ∆≅∆，△AD CE =，BD AE =，△DE AD AE CE BD =+=+.（2）CE DE BD =+..理由如下：△BD AE ⊥，CE AE ⊥，△90ADB AEC ∠=∠=︒，△90ABD BAD ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90BAD EAC ∠+∠=︒，△ABD EAC ∠=∠，在ABD ∆和CAE ∆中，△ABD CAE ∠=∠，ADB CEA ∠=∠，AB AC =，△()ABD CAE AAS ∆≅∆，△BD AE =，AD CE =，△AD AE DE =+，△AD BD DE =+，△CE BD DE =+；（3）解：△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222283t t -=-，解得6t =，△当点P 在AB 上，点Q 在AC 上时，222328t t -=-，解得10t =.△当点P 在AC 上，点Q 在AB 上时，（t>11）222328t t -=-解得：t=6(舍)△当点Q 运动到B 点，点P 在AC 上时，（11<t≤503） 22222t -=，解得22t =（舍）.所以当P 点运动6秒或10秒时PFA ∆与QAG ∆全等.【点拨】本题主要考查三角形的全等证明,关键在于第三问的分类讨论思想,这是数学的一个重要思想，应当熟练掌握.7．（1）t 的值为72秒；（2）CP 的长为6(6)6(614)t t t t -≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6【分析】（1）由题意得t+3t=6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；（2）根据题意即可得出CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．【详解】解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）当P在AC上，Q在BC上时，△△ACB＝90，△△PCE＋△QCF＝90°，△PE△l于E，QF△l于F．△△EPC＋△PCE＝90°，△PEC＝△CFQ＝90°，△△EPC＝△QCF，△△PCE△△CQF，△PC＝CQ，△6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，△CQ＝8﹣3t＝5；当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，△CQ＝3t﹣8＝2.5，当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质，线段的动点问题，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．8．（1）△见解析；△见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）△根据平行线的判定与性质即可求解；△由条件可证明△ABD△△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知△BAD ＋△CAE ＝180°−α，且△DBA ＋△BAD ＝180°−α，可得△DBA ＝△CAE ，结合条件可证明△ABD△△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI△△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）△△BD△直线l ，CE△直线l△△BDA=△CEA=90°△△BAC=90°△△BAD+△CAE=90°△△BAD+△ABD=90°△△CAE=△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD ，AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：△△BDA=△BAC=α△△DBA+△BAD=△BAD+△CAE=180°﹣α△△DBA=△CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE=BD 、AD=CE△DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM△HI 于M ，GN△HI 的延长线于N△△EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN△EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GNGHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△EMI△△GNI （AAS ）△EI=GI△I 是EG 的中点．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．9．（1）C （-4，6）；（2）OE －MN=2．【分析】（1）作CE△y 轴于E ，易证△CBE△△BAO ，即可得点C 的坐标；（2）作MF△y 轴于F ，易证△AOE△△EFM ，可得OE －MN=EF=OA 即可求得答案．【详解】（1）作CE△y 轴于E ，如图1，△A （-2，0），B （0，4），△OA=2，OB=4，△△CBA=90°，△△CEB=△AOB=△CBA=90°，△△ECB+△EBC=90°，△CBE+△ABO=90°，△△ECB=△ABO ，在△CBE 和△BAO 中ECB ABO CEB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CBE△△BAO ，△CE=BO=4，BE=AO=2，即OE=2+4=6，△C （-4，6）．（2）如图2，作MF△y 轴于F ，则△AEM=△EFM=△AOE=90°，△△AEO+△MEF=90°，△MEF+△EMF=90°，△△AEO=△EMF ，在△AOE 和△EMF 中，AOE EFM AEO EMF AE EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEO△△EMF ，△EF=AO=2，MF=OE ，△MN△x 轴，MF△y 轴，△△MFO=△FON=△MNO=90°，△四边形FONM 是矩形，△MN=OF ，△OE -MN=OE -OF=EF=OA=2．考点：全等三角形的判定及性质．10．△ACB=90°.【分析】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．通过AAS 证明△AOM△△OBN ，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求得答案.【详解】作AM△直线OC 于M ，BN△直线OC 于N ．△△ACO=135°，△△ACM=45°，△AM=CM ，在△AOM 与△OBN 中，90()AMO ONB AOM OBN BON OA OB ∠∠︒⎧⎪∠∠∠⎨⎪=⎩＝＝＝均为的余角，△△AOM△△OBN(AAS)，△OM=BN ，ON=AM=CM ，△NC=OM=BN ，又△BN△NS ．△△BCN=45°，△△ACB=△ACO -△BCN=90°.【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，有一定的综合性，难点是作出辅助线．11．（1）见解析；（2）B 的坐标（3，1）；（3）（3，4）【分析】（1）根据AD△DE 、BE△DE 得到△D=△E=90°再根据直角三角形的性质以及同角的余角相等，推出△DAC=△BCE ，进而证明ADC CEB ≅，最后再根据全等三角形对应边相等得出AD=CE ，CD=BE ；（2）如图4，过点B 作BE△x 轴于点E ，通过证明AOC CEB ≅，进而得出AO=CE ，CO=BE ，再根据点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0），求得OE=3，最后得出B 的坐标（3，1）；（3）如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ，通过证明CDB AEC ≅，进而得出BD=CE=，AE=CD ，最后根据点A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，得出B 坐标（3，4）.【详解】（1）证明：△AD△DE ，BE△DE△△D=△E=90°△△DAC+△ACD=90°又△△ACB=90°△△ACD+△BCE=90°△△DAC=△BCE在△ADC 和△CEB 中D E DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADC△△CEB△AD=CE ，CD=BE（2）解：如图，过点B 作BE△x 轴于点E△△AOC=90°△△OAC+△ACO=90°又△△ACB=90°△△ACO+△BCE=90°△△OAC=△BCE在△AOC 和△CEB 中90AOC CEB OAC ECBAC BC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AOC△△CEB△AO=CE ，CO=BE又△点A 的坐标为（0，2），点C 的坐标（1，0）△AO=2，CO=1△CE=2，BE=1△OE=3△B 的坐标（3，1）（3）（3，4）解：如图5，过点C 做CF△x 轴与点F ，再过点A 、B 分别做AE△CF ，BD△CF ， △AE△CF ，BD△CF△90AEC CDB ∠=∠=︒，△90ACE CAE ∠+∠=︒,又△90ACB ∠=︒，△90ACE BCD ∠+∠=︒，△CAE BCD ∠=∠,△在ACE △和BCD △中AEC CDB CAE BCD AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ACE BCD ≅（AAS ）△BD=CE ，AE=CD ，又△A 的坐标为()2,1，点C 的坐标为()4,2，△CE=BD=2-1=1，CD=AE=4-2=2设B 点坐标为（a ，b ），则a =4-1=3，b =2+2=4，△B 坐标（3，4）.【点拨】本题综合考查了全等三角形的证明以及平面直角坐标系中求点坐标的综合应用问题；通过构建“一线三等角”模型，再利用直角三角形的性质以及同角的余角相等解决角关系是本题的关键.12．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4)【分析】（1）证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明△ABD=△CAE ，证明△ABD△△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；（3）根据△AEC△△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】（1）证明：△BD△直线m ，CE△直线m ，△△ADB ＝△CEA ＝90°△△BAC ＝90°△△BAD ＋△CAE ＝90°△△BAD ＋△ABD ＝90°△△CAE ＝△ABD△在△ADB 和△CEA 中ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADB△△CEA （AAS ）△AE ＝BD ，AD ＝CE△DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE即：DE ＝BD ＋CE（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在△ABD 中，△ABD=180°-△ADB -△BAD ，△△CAE=180°-△BAC -△BAD ，△BDA=△AEC ，△△ABD=△CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝△△ABD△△CAE （AAS ）△AE=BD ，AD=CE ，△DE=AD+AE=BD+CE ；（3）解：如图，作AE△x 轴于E ，BF△x 轴于F ，由（1）可知，△AEC△△CFB ，△CF=AE=3，BF=CE=OE -OC=4，△OF=CF -OC=1，△点B 的坐标为B （1，4）．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）113或53 【分析】（1）证明△AFD△△EAC ，根据全等三角形的性质得到DF=AC ，等量代换证明结论；（2）作FD△AC 于D ，证明△FDG△△BCG ，得到DG=CG ，求出CE ，CB 的长，得到答案；（3）过F 作FD△AG 的延长线交于点D ，根据全等三角形的性质得到CG=GD ，AD=CE=7，代入计算即可．【详解】解：（1）证明：△FD△AC ，△△FDA=90°，△△DFA+△DAF=90°，同理，△CAE+△DAF=90°，△△DFA=△CAE ，在△AFD 和△EAC 中， AFD EAC ADF ECA AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AFD△△EAC （AAS ），△DF=AC ，△AC=BC ，△FD=BC ；（2）作FD△AC 于D ，由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，在△FDG和△BCG中，90 FDG BCG FGD BGCFD BC ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△FDG△△BCG（AAS），△DG=CG=1，△AD=2，△CE=2，△BC=AC=AG+CG=4，△E点为BC中点；（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD△AG的延长线交于点D，BC=AC=4，CE=CB+BE=7，由（1）（2）知：△ADF△△ECA，△GDF△△GCB，△CG=GD，AD=CE=7，△CG=DG=1.5，△4 1.5111.53 AGCG+==，同理，当点E在线段BC上时，4 1.551.53 AGCG-==，故答案为：113或53.【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）先利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AF AC =，利用AAS 得到AFH CAD ∆≅∆；（2）由（1）利用全等三角形对应边相等得到FH AD =，再EK AD ⊥，交DG 延长线于点K ，同理可得到AD EK =，等量代换得到FK EH =，再由一对直角相等且对顶角相等，利用AAS 得到FHG EKG ≅△△，利用全等三角形对应边相等即可得证．【详解】证明：（1） △FH AG ⊥，90AEH EAH ∴∠+∠=︒，90FAC ∠=︒，90FAH CAD ∴∠+∠=︒，AFH CAD ∴∠=∠，在AFH ∆和CAD ∆中，90AHF ADC AFH CADAF AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AFH CAD AAS ∴∆≅∆，（2）由（1）得AFH CAD ∆≅∆，FH AD ∴=，作FK AG ⊥，交AG 延长线于点K ，如图；同理得到AEK ABD ∆≅∆，EK AD ∴=，FH EK ∴=，在EKG ∆和FHG ∆中，90EKG FHG EGK FGHEK FH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()EKG FHG AAS ∴∆≅∆，EG FG ∴=．即点G 是EF 的中点．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握K 字形全等进行证明是解本题的关键．15．（1）()05，；（2）不变，PB 的值为3【分析】（1）作CD△BO ，可证△ABO 全等于△BCD ，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；（2）作EG△y 轴，可证△BAO 全等于△EBG 全等于△EGP 全等于△FBP ，可得BG=OA 和PB=PG,即可求得PB 是AO 的2倍，即可得到结论．【详解】（1）如图，作CD△BO 于D ，△△CBD+△ABO=90°，△ABO+△BAO=90°，△△CBD=△BAO,在△ABO 和△BCD 中，90BOA BDC CBD BAOAB BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABO△△BCD,△CD=BO=5,△B 点的坐标（0,5）故答案为：()05，．（2）不发生改变，理由如下：作EG y ⊥轴于G ，90BAO OBA ∠+∠=︒，90OBA EBG ∠+∠=︒，BAO EBG ∴∠=∠．在BAO ∆和EBG ∆中，90AOB BGE BAO EBGAB BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAO EBG AAS ∴∆≅∆AO BG ∴=，OB EG =OB BF =，BF EG ∴=在EGP ∆和FBP ∆中，90EPG FPB EGP FBP EG FB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()EGP FBP AAS ∴∆≅∆PG PB ∴=．11322PB BG AO ∴===． △不变，PB 的值为3．【点拨】本题考查三角形全等、等腰直角三角形性质、勾股定理、角平分线性质，熟练掌握添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．16．解决问题：证明见解析；问题延伸：成立，证明见解析.【分析】解决问题：对于图1，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，则四边PMCN 为矩形，根据角平分线性质得PM=PN ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBM=△PEN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，则PB=PE ；对于图2，连结PD ，根据正方形的性质得CB=CD ，CA 平分△BCD ，根据角平分线的性质得△BCP=△DCP ，再根据“SAS”证明△CBP△△CDP ，则PB=PD ，△CBP=△CDP ，根据四边形内角和得到△PBC+△CEP=180°，再利用等角的补角相等得到△PBC=△PED ，则△PED=△PDE ，所以PD=PE ，于是得到PB=PD ；问题延伸：对于图3，过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，根据正方形的性质得△BCD=90°，AC 平分△BCD ，而PM△BC ，PN△CD ，得到四边PMCN 为矩形，PM=PN ，则△MPN=90°，利用等角的余角相等得到△BPM=△EPN ，然后根据“AAS”证明△PBM△△PEN ，所以PB=PE ．【详解】解决问题：如图1，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBM=△PEN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE PBM PEN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ；如图2，连结PD ，△四边形ABCD 为正方形，△CB=CD ，CA 平分△BCD ，△△BCP=△DCP ，在△CBP 和△CDP 中CB CD BCP DCP CP CP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△CBP△△CDP （SAS ），△PB=PD ，△CBP=△CDP ，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△PBC+△CEP=180°，而△CEP+△PEN=180°，△△PBC=△PED ，△△PED=△PDE ，△PD=PE ，△PB=PD ；问题延伸：如图3，PB=PE 还成立．理由如下：过点P 作PM△BC ，PN△CD ，垂足分别为M ，N ，△四边形ABCD 为正方形，△△BCD=90°，AC 平分△BCD ，△PM△BC ，PN△CD ，△四边PMCN 为矩形，PM=PN ，△△MPN=90°，△△BPE=90°，△BCD=90°，△△BPM+△MPE=90°，而△MEP+△EPN=90°，△△BPM=△EPN ，在△PBM 和△PEN 中PMB PNE BPM EPN PM PN ∠=∠∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，△△PBM△△PEN （AAS ），△PB=PE ．17．提出问题：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由见解析；解决问题：△EM FN AB +=，理由见解析；△492．【分析】提出问题：根据平角的定义、角的和差即可得；探究问题：先根据垂直的定义可得90ADB CEA ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得2ABD ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,BD AE AD CE ==，最后根据线段的和差即可得；解决问题：△如图（见解析），同探究问题的方法可得,EM AD FN BD ==，再根据线段的和差即可得；△如图（见解析），同探究问题的方法可得,ACD EAM BCD FBN ≅≅，再根据三角形全等的性质可得,ACD EAM BCD FBN S S S S ==，然后利用三角形的面积公式将五边形EMNFC 面积表示出来，由此即可得出答案．【详解】提出问题：12180,90BAC BAC ∠+∠+∠=︒∠=︒，2190∴∠+∠=︒，故答案为：1290∠+∠=︒；探究问题：BD CE DE +=，理由如下：,BD l CE l ⊥⊥，90ADB CEA ∴∠=∠=︒，190ABD ∴∠+∠=︒，由提出问题可知，1290∠+∠=︒，2ABD ∴∠=∠，在ABD △和CAE 中，2ADB CEA ABD AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD CAE AAS ∴≅，,BD AE AD CE ∴==，DE AE AD BD CE ∴=+=+，即BD CE DE +=；解决问题：△EM FN AB +=，理由如下：同探究问题的方法可证：,EM AD FN BD ==，AB AD BD EM FN ∴=+=+，即EM FN AB +=；△如图，过点C 作CD l ⊥于点D ，同探究问题的方法可证：,ACD EAM BCD FBN ≅≅，,ACD EAM BCD FBN S S S S ∴==， ACE 和BCF △都是等腰直角三角形，且3,4AC BC ==，3,4AE AC BF BC ∴====， 191,8222ACE BCF S AC AE S BC BF ∴=⋅==⋅=， ∴五边形EMNFC 面积为EAM ACE ACD BCD BCF FBN SS S S S S +++++， 982ACD ACD BCD BCDS S S S =+++++， ()2522ACD BCD SS =++， 2522ABC S =+，则当ABC 面积取得最大值时，五边形EMNFC 面积最大，设ABC 的BC 边上的高为h ，则122ABC S BC h h =⋅=，在ABC 中，CAB ∠、CBA ∠均为锐角，∴当90ACB ∠=︒时，h 取得最大值，最大值为3AC =，ABC ∴面积的最大值为236ABC S =⨯=，则五边形EMNFC 面积的最大值为25492622⨯+=，故答案为：492．【点拨】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）不变，1．【分析】（1）根据题意直接证明即可；（2）作PM D A ⊥，PN BC ⊥，运用角平分线的判定定理证明；（3）通过“一线三垂直”模型，证得SDQ CTQ △△≌，进而结合边长数量关系求解．【详解】（1）90DPB APC ∠=∠=︒，DPA BAC ∴∠=∠，在PCB 与PAD △中，PD PB DPA BAC PC AP =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩()PCB PAD SAS ∴△≌△（2）如图，作PM D A ⊥，PN BC ⊥，则90PMA PNC ∠=∠=︒，由PCB PAD ≌，得PCN PAM ∠=∠，在PMA △与PNC △中，PMA PNC PCN PAM PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()PMA PNC AAS ∴△△≌，PM PN ∴=，PE ∴平分CED ∠（3）如图，作DS CT 、分别垂直于y 轴，垂足为S T 、，90APO TPC ∠+∠=︒，90TPC TCP ∠+∠=︒，APO PCT ∴∠=∠（余角的性质）在APO △与PCT △中，POA CTP APO PCT PA PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()APO PCT AAS ∴△△≌，1OA TP ∴==，PO CT =，同理可证：PBO DPS △△≌，3OB SP ∴==，4ST SP PT =+=，∴ PO SD =，CT SD =，在SDQ △与CTQ △中，CQT SQD CTQ DSQ CT SD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SDQ CTQ AAS ∴△△≌122SQ TQ ST ∴===， 1PQ QT PT ∴=-=．。

2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题

2023年中考数学高频考点提升练习--三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。

八年级数学上册第十一章【三角形】提高练习(培优专题)

一、选择题1．下列每组数分别是三根小木棒的长度，不能用它们搭成三角形的是（）A ．1cm ，2cm ，3cmB ．2cm ，3cm ，4cmC ．3cm ，4cm ，5cmD ．5cm ，6cm ，7cm2．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（）A ．5边形B ．6边形C ．7边形D ．8边形3．若过六边形的一个顶点可以画n 条对角线，则n 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（）A ．12B ．10C ．9D ．65．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（）A ．2.4B ．3C ．5D ．8.56．如图，在ABC ∆中，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AC ⊥，若40,60B C ︒︒∠=∠=，则ADE ∠的度数为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒7．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（）A ．4cm, 5cm,9cmB ．4cm, 5cm, 6cmC ．5cm,12cm,6cmD ．4cm,2cm,2cm8．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 9．以下列长度的各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．2cm ，3cm ，6cmB ．3cm ，4cm ，8cmC ．5cm ，6cm ，10cmD ．5cm ，6cm ，11cm10．下列四个图形中，线段CE 是ABC 的高的是（）A ．B ．C ．D ． 11．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题12．如图1，△ABC 中，有一块直角三角板PMN 放置在△ABC 上（P 点在△ABC 内），使三角板PMN 的两条直角边PM 、PN 恰好分别经过点B 和点C .若∠A ＝52°，则∠1＋∠2＝__________；13．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．14．如图，在ABC 中，CE AB ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，且3AB =，6BC =，5CE =，则AD =_________．15．一个正多边形的每个内角为108°，则这个正多边形所有对角线的条数为_____． 16．已知ABC 的高为AD ，65BAD ∠=︒，25CAD ∠=︒，则BAC ∠的度数是_______． 17．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=︒，54ACB ∠=︒，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．18．已知等腰三角形的一边长等于11cm ，一边长等于5cm ，它的周长为______． 19．已知//AB CD ，点P 是平面内一点，若30,20BPD PBA ∠=︒∠=︒，则CDP ∠=___________度．20．如图，把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若150,222∠=︒∠=︒，则3∠=_______．21．如图，在ABC 中，E 、D 、F 分别是AD 、BF 、CE 的中点，若DEF 的面积是1，则ABC S =______．三、解答题22．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．23．已知，a ，b ，c 为ABC 的三边，化简|a ﹣b ﹣c|﹣2|b ﹣c ﹣a|+|a+b ﹣c|． 24．如图，//AE DF ，BE DF ⊥于点G ，190B ∠+∠=︒．（1）判断CD 与AB 的位置关系，并说明理由．（2）若50A ∠=︒，求出DEG ∠的度数．25．如图，ABC 中，AD 是高，,AE BF 是角平分线，它们相交于点,80O CAB ∠=︒，60C ∠=°，求DAE ∠和BOA ∠的度数．一、选择题1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（）A ．三角形两边之和大于第三边B ．三角形具有稳定性C ．三角形的内角和是180D ．直角三角形两个锐角互余2．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒3．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（）A ．3B ．4C ．5D ．64．若一个多边形的每个内角都等于160°，则这个多边形的边数是（）A ．18B ．19C ．20D ．215．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（）2cmA ．5B ．6C ．7D ．86．在ABC 中，若一个内角等于另两个内角的差，则（）A ．必有一个内角等于30°B ．必有一个内角等于45°C ．必有一个内角等于60°D ．必有一个内角等于90°7．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（）A ．AEB ．CDC ．BFD ．AF8．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°9．现有两根木棒，长度分别为5cm 和13cm ，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）A ．20cm 的木棒B ．18cm 的木棒C ．12cm 的木棒D ．8cm 的木棒 10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A ．3，5，6B ．3，2，1C ．2，2，4D ．3，6，10 11．下列说法正确的个数为（）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤二、填空题12．如图，已知//,AB CD E 是直线AB 上方一点，G 为直线AB 下方一点，F 为直线CD 上一点，148EAF ︒∠=，3BAF BAG ∠=∠，3DCE DCG ∠=∠，则E ∠和G ∠的数量关系为___________．13．如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，过点C 作CD ∥OB 交∠AOB 的平分线OE 于点F ，作CH ⊥OB 交BO 的延长线于点H ，若∠EFD ＝α，现有以下结论：①∠COF ＝α；②∠AOH ＝180°﹣2α；③CH ⊥CD ；④∠OCH ＝2α﹣90°．其中正确的是__（填序号）．14．如图，在△ABC 中，点O 是△ABC 内一点，且点O 到△ABC 三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC ＝________．15．将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果147∠=︒，220∠=︒，那么3∠= __________．16．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H 的度数为___________．17．如图，△ABC 的面积为1，分别倍长（延长一倍）AB ，BC ，CA 得到△A 1B 1C 1，再分别倍长A 1B 1，B 1C 1，C 1A 1得到△A 2B 2C 2．…按此规律，倍长2020次后得到的△A 2020B 2020C 2020的面积为_____．18．多边形每一个内角都等于90︒，则从此多边形一个顶点出发的对角线有____条． 19．如图，△ABC 中，D 为BC 边上的一点，BD ：DC=2：3，△ABC 的面积为10，则△ABD 的面积是_________________20．如图，AB BE ,分别是ABC 中,BC AC 边上的高，6cm BC ，4cm AC =，若3cm =AD ，则BE 的长为__________cm ．21．一个三角形的三个内角度数之比为2:3:5，那这个三角形一定是三角形__________．三、解答题22．如图，已知在ABC 中，CE 是外角ACD ∠的平分线，BE 是ABC ∠的平分线．（1）求证：2A E ∠=∠．（2）若A ABC ∠=∠，求证：//AB CE ．23．题情景：在三角形纸片内部给定－些点，满足这些点连同三角形三个顶点没有三个点在一条直线上，以这些点为顶点，将纸片剪成－些小三角形纸片，一共能得到几个小三角形？问题解决：甲同学绘制了如下三个图，分别在三角形内部取1个点、2个点，如下图所示：继续探究：在三角形内部取三个点，画出分割的图形，并经过观察计数完成表格：内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数 3 5拓展联系：当纸片是四边形时，探究此时内部所取点的个数与得到三角心个数的关系，完成表格：内部点的个数1 2 3 n 得到三角形个数概括提升：设纸片的边数为m ，内部点的个数为n ，得到三角形的个数是x ，请直接写出x 与m 、n 的关系：______________．24．如图BC 平分∠ABE ，DC 平分∠ADE ，求证：∠E+∠A=2∠C25．已知：180,BDG EFG B DEF ∠+∠=︒∠=∠．（1）如图1，求证：//DE BC ．（2）如图2，当90A EFG ∠=∠=︒时，请直接写出与C ∠互余的角．一、选择题1．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合DFB ∠的度数为（）A ．145︒B ．155︒C ．165︒D ．175︒ 2．一个多边形的外角和是360°，这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．不确定 3．若一个正多边形的内角和等于其外角和的3倍，则这个正多边形是（） A ．5边形 B ．6边形 C ．7边形 D ．8边形 4．下列长度（单位：cm ）的三条线段能组成三角形的是（）A ．13，11，12B ．3，2，1C ．5，12，7D ．5，13，5 5．如图，D 是ABC 的边BC 上任意一点，E 、F 分别是线段AD CE 、的中点，且ABC 的面积为220cm ，则BEF 的面积是（）2cmA ．5B ．6C ．7D ．86．下列长度的线段能组成三角形的是（）A ．2，3，5B ．4，6，11C ．5，8，10D ．4，8，4 7．在下列长度的四根木棒中，能与2m 、5m 长的两根木棒钉成一个三角形的是（） A ．2m B ．3m C ．5m D ．7m8．如图，直线//BC AE ，CD AB ⊥于点D ，若150∠=︒，则BCD ∠的度数是（）A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°9．设四边形的内角和等于a ，五边形的外角和等于b ，则a 与b 的关系是（）． A ．a b = B ．180a b =+° C ．180b a =+︒ D ．360b a =+︒ 10．下列说法正确的个数为（）①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若ax ay =，则x y =；④若A 、B 、C 三点共线且AB BC =，则B 为AC 中点；⑤各边相等的多边形是正多边形． A ．①②④ B ．①②③ C ．①④⑤ D ．②④⑤ 11．如图，105DBA ∠=︒，125ECA ∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．50°二、填空题12．从n 边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n 边形分割成17个三角形，则n ＝______．13．在△ABC 中，∠A 是钝角，∠B =30°，设∠C 的度数是α，则α的取值范围是___________14．如图，已知ABC 中，90,50ACB B D ︒︒∠=∠=，为AB 上一点，将BCD △沿CD折叠后，点B 落在点E 处，且//CE AB ，则ACD ∠的度数是___________．15．若,,a b c 是△ABC 的三边长,试化简a b c a c b +-+--= __________． 16．如果三角形两条边分别为3和5，则周长L 的取值范围是________17．如果点G 是ABC ∆的重心，6AG =，那么BC 边上的中线长为_______________________．18．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．19．如图，在一个四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，且∠ABC=80°，∠BCD=70°，则∠AED=_________．20．如图中，36B ∠=︒，76C ∠=︒，AD 、AF 分别是ABC 的角平分线和高，DAF ∠=________．21．如图，ABC ∆的面积是2，AD 是BC 边上的中线，13AE AD =，12BF EF =．则DEF ∆的面积为_________．三、解答题22．如图，在ABC ∆中，48,A CE ∠=︒是ACB ∠的平分线， B C D 、、在同一直线上，,40.BEC BFD D ∠=∠∠=︒（1）求BCE ∠的度数；（2）求B 的度数． 23．如图，BM 是ABC 的中线，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，那么ABM 与BCM 的周长的差是多少？24．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线的总条数．25．平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次连接，∠ABC=24°，∠ADC=42°．（1）∠BAD和∠BCD的角平分线交于点M（如图1），求∠AMC的大小．（2）点E在BA的延长线上，∠DAE的平分线和∠BCD平分线交于点N（如图2），求∠ANC．。

直角三角形练习题

直角三角形练习题直角三角形是三角形中最基本的一种形式，由于其特殊性质，我们可以通过使用三角函数来解决各种与直角三角形相关的问题。

本文将提供一些直角三角形的练习题，通过解答这些问题，将更好地理解直角三角形的性质与应用。

1. 给定一个直角三角形，已知两个边长分别为5cm和12cm，求解第三边的长度。

解答：由勾股定理可得，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边长度为c，则有5² + 12² = c²，解得c = √(5² + 12²) =√(25 + 144) = √169 = 13。

因此，第三边的长度为13cm。

2. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为8cm，斜边的长度为17cm，求解另一条直角边的长度。

解答：同样利用勾股定理，设另一直角边的长度为b，则有b² + 8²= 17²，解得b = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15。

因此，另一条直角边的长度为15cm。

3. 已知一个直角三角形的一条直角边的长度为3cm，斜边的长度为7cm，求解第二条直角边的长度。

解答：同样应用勾股定理，设另一直角边的长度为a，则有a² + 3²= 7²，解得a = √(7² - 3²) = √(49 - 9) = √40 = 2√10。

因此，第二条直角边的长度为2√10 cm。

4. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为10cm，第二条直角边的长度为24cm，求解斜边的长度。

解答：应用勾股定理，设斜边的长度为c，则有10² + 24² = c²，解得c = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26。

因此，斜边的长度为26cm。

初二数学直角三角形解题技巧分析

初二数学直角三角形解题技巧分析直角三角形是初中数学中常见的几何形状之一，具有许多特殊的性质和解题方法。

掌握这些解题技巧是我们学习数学的关键之一。

在本文中，我们将详细分析初二数学直角三角形解题技巧，并为大家提供一些实际问题的例子来巩固所学知识。

一、勾股定理的应用勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。

通过勾股定理，我们可以计算出三角形的边长、判断三角形是否为直角三角形等。

以下是一个例子：例题1：已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另一条直角边长。

解析：根据勾股定理，我们可以使用以下公式进行计算：直角边的平方 = 斜边的平方 - 另一直角边的平方。

代入已知条件，我们可以得到：3^2 = 5^2 - 另一直角边的平方。

计算得到另一直角边的平方为16，再开平方可以得到另一直角边的长度为4cm。

二、三角函数的应用在解决一些涉及角度的直角三角形问题时，三角函数是非常有用的工具。

其中，正弦、余弦和正切是我们常用的三个三角函数，它们的比值关系可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

以下是一个例子：例题2：已知直角三角形的斜边长为7cm，一个锐角的正弦值为0.6，求该角度的度数。

解析：根据正弦的定义，正弦值等于直角三角形的对边与斜边之比。

代入已知条件，我们可以得到：对边 / 7 = 0.6。

解方程可得到对边的长度为4.2cm。

然后，我们可以使用三角函数的反函数来计算角度的度数，即 sin^(-1)(0.6) ≈ 36.87°。

因为角度是锐角，所以答案为36.87°。

三、特殊直角三角形的性质在解题过程中，我们还需要注意一些特殊直角三角形的性质，例如30°-60°-90°三角形和45°-45°-90°三角形。

这些特殊的角度关系可以帮助我们快速计算三角形的边长和角度。

以下是两个例子：例题3：已知一个角为60°的30°-60°-90°三角形的斜边长为5cm，求其他两条边的长度。

直角三角形与勾股定理小学生几何运用题

直角三角形与勾股定理小学生几何运用题直角三角形是我们学习几何时经常接触到的一个重要概念，而勾股定理则是解决直角三角形相关问题的重要工具。

在小学生几何运用题中，直角三角形与勾股定理常常被结合起来使用，帮助我们解决实际问题。

本文将通过几个小学生几何运用题来展示直角三角形与勾股定理的应用。

题目一：小明将一块长方形花坛划分成两个直角三角形和一个长方形，如下图所示。

已知长方形花坛的长是10米，宽是6米，求阴影部分的面积。

[图片描述：一个长方形花坛被划分成两个直角三角形和一个长方形。

其中长方形的长是10米，宽是6米。

]解析：根据题目描述，我们可以明确阴影部分由两个直角三角形和一个长方形组成。

首先计算两个直角三角形的面积，再计算长方形的面积，最后将两个直角三角形的面积和长方形的面积相加即可得到阴影部分的面积。

已知长方形的长是10米，宽是6米，因此长方形的面积为10米 ×6米 = 60平方米。

接下来计算直角三角形的面积。

直角三角形的面积计算公式为：面积 = 底边 ×高 ÷ 2。

由于直角三角形的两个直角边正好是长方形的长和宽，所以直角三角形1的底边是10米，高是6米；直角三角形2的底边是6米，高是10米。

根据直角三角形的面积计算公式，直角三角形1的面积为 10米 × 6米 ÷ 2 = 30平方米；直角三角形2的面积为 6米 × 10米 ÷ 2 = 30平方米。

将直角三角形的面积和长方形的面积相加，即可得到阴影部分的面积：30平方米 + 30平方米 + 60平方米 = 120平方米。

所以，阴影部分的面积为120平方米。

题目二：小明在庭院中建造一个矩形花坛，如下图所示。

已知长方形的长是15米，宽是8米，庭院的对角线长度为17米，求长方形花坛的面积。

[图片描述：一个长方形花坛被建在庭院中，庭院的对角线长度为17米，长方形的长是15米，宽是8米。

]解析：根据题目描述，我们可以利用勾股定理来求解长方形花坛的面积。

第19讲中考数学总复习(练习题) 解直角三角形的应用

在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴AB=BC,
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
导航
6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
导航
解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
导航
解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;

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数学学习系列之三角形（五）：直角三角形
知识结构
直角三角形
黄金直角三角形
等腰直角三角形
边
角
线
判定
CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)
两应用：锐 ①斜边上的角中线把Rt△分互成两等腰三角余形；
②等腰Rt△ 斜边上的中线把它分为两个全等的等腰 Rt△。
小边长是
cm
2、如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端的A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=_______km． 3．边长为1的等边三角形的面积是（）
A. B. C.
D.
4、在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm，则△ABC的面积是(
（ON）上，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理
由。（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？
简述理由，并求出面积的最大值。
例2．现有一副直角三角板，如图，固定等腰△ABC，AO⊥BC于点O，另一个直角三角形DEF的直角顶点D与O重合，现让三角板DEF绕点O旋转，保证DF、DE分别交AB、AC于点M、N。 ⑴通过观察或测量AN、BM的长度，你能得到什么结论？ ⑵在旋转过程中，四边形AMON的面积有何变化？试证明你的结论。
处，它到
BB1的中点N的最短路线是（）。
A．8 B．2 C．2
D．2+2
例5．如图14，大江的一侧有A、B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，
长度分别为3千米和1千米，设两条小路相距4千米，现在要在江边建
立一个抽水站，把水送到A、B两厂去，欲使供水管路最短，抽水站
应建在哪里？
针对练习：
1．如图所示，有一个透明的圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底面半径为
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正
方形的面积为13,小正方形的面积是1,直角三角形较长的直角边为a,较
短的直角边为b,则a4+b3的值等于________;
5．如图：有一圆柱，它的高等于，底面直径等于（）
在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食
物，
需要爬行的最短路程大约（）
4．小刘同学为了测量学校教学楼的高度，如图，她先在处测得楼顶的仰角为30°，再向楼的方向直行50米到达处，又测得楼顶的仰角为，请你帮助小刘计算出学校教学楼的高度（小刘的身高忽略不计）．
30° 50米
5．如图,装修师傅装修一间房子，在两墙之间有一个底端在M点的梯子, 当它靠在一侧墙上时,梯子的顶端在A点;当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D点.已知∠AMB=60°，∠DMC=45°，点A到地面的垂直距离为4 米，求两墙之间的距离。
针对练习： 1．直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边上的高，则三边的长
分别为（）。
A．
B．
C． D．
2．如图，将一张矩形纸片如图所示折叠，使顶点落在点．
已知，，则折痕的长为（）。
A.
B.
C.
D.
3．一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，那么，该三角形的面积
等于_________。
)
A、96cm2
B、120cm2
C、160cm2
D、200cm2
5、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此
三角形的周长是（）
A、120
B、121
C、132
D、123
典型例题：例1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝
。
例2．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE 将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_________度．
①若 ∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△; ②若，则△ABC为Rt△;
③若CD=AD=BD，则△ABC为Rt△;
类型一、勾股定理及其应用
基础检测：
1．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）。
A．10
B．2 C．10或2 D．无法确定
2．如图网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形
3cm，高为8cm，
今有一只12cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露
出杯口外的长
度最少为
。
2．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最
长4厘米，最
短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是_________厘米。
3．在直角三角形中，若两直角边满足则斜边长为
。
4．如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它是由
例3．已知：如图17，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点，求证：。
针对练习： 1. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，且AB=AC，BE平分∠ABC交AC于F，过C
作BE的垂线交BE于E.求证：BF=2CE A B C E
F
2. 已知,如图：△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD与∠AFE的大小关系，并证明你的结论. B C F D A E
3. 已知,等腰△OAB中，∠AOB=，等腰△EOF中，∠EOF=，连接AE,BF. 求证：（1）AE=BF;(2)AE⊥BF.
A O E F B C
例6．如图，在△ABC中，90°，，点D在BC上，，．求DC、AC的长．
例7．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
A、10cm
B、12cm
C、19m
D、20cm
6．在直线上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是则。 S2
S3
S4 1 2 3
S1
L
类型二、特殊Rt△的边角关系
基础检测：
1、三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最
⑴求出AC与BC的长度. ⑵若以D,E,C为顶点的三角形是Rt△,试分别求出与的值.
类型三、综合探究基础检测： 1．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是
cm。 2．直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm，且斜边为8cm，则两直角边的长分别为（）。 A．6，10 B．6，2 C．4， D．2，典型例题：例1．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙
6．一艘货轮向正北方向航行，在A处测得灯塔M在北偏西，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西，问该货轮到达灯塔正东方D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（结果可用根号）
7．如图在中,,, 厘米,点P从点A出发沿线路AB—BC作匀速运动，点从AC的中点D 同时出发沿线路DC—CB作匀速运动逐步靠近点P, 设P,Q两点运动的速度分别为1 厘米/秒、厘米/秒（），它们在秒后于BC边上的某一点相遇.
C. 顶角
D. 底角的一半
典型例题：
例1．长、宽、高分别是30m,24m,18m的长方体盒子，盒子内最多能方多长
的棍子
。
例2．若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P到三边的距离
相等，这个距离为
。
例3．直角三角形周长是，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积
为（）。
A．
B．
C．
D．
例4．如图1是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M
ABCD的周长是_________。
3．若直角三角形的两直角边比为3：4，斜边长为20，则此三角形的面积为
。
4．一长2.5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底距墙底端0.7米，
如果梯子的底端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将滑出
米。
5．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）。
A.顶角的2倍
B. 顶角的一半
例3．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使 △ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．
例4．在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2， BC=11，求BD的长。
例5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP 的面积是_________；△BPD的面积是_________。