2015年高中数学 1.4计数应用题导学案 苏教版选修2-3
1.4.计数应用题-苏教版选修2-3教案
1.4. 计数应用题-苏教版选修2-3教案1. 教学目标•理解计数的定义；•掌握计数的基本方法；•能够应用所学知识解决实际问题。
2. 教学重点•计数的定义和基本方法。
3. 教学难点•能够应用所学知识解决实际问题。
4. 教学方法•讲授法；•举例法；•讨论法。
5. 教学过程5.1 讲授：计数的定义和基本方法1.计数的定义：计数是人们对事物个数、数量的确定或估算。
2.计数的基本方法：–逐一计数法：将每个事物一个一个地数出来，依次计数，这是最基本的一种计数方法。
适用于数量较少、规律简单的情况。
–集合计数法：将事物分组，先分组计数，再将各组数量相加，得到总的数量。
适用于数量较多、规律比较复杂的情况。
–排列和组合：排列是指从一组不同的事物中按照一定的顺序取出若干个不同的事物的方式数；组合是指从一组不同的事物中任意取出若干个不同的事物的方式数。
排列和组合是计数的重要方法之一，适用于需要考虑顺序或排除重复的计数问题。
5.2 举例：应用计数解决实际问题1.现有4个球员，从中选出3个，有多少种不同的选法？–解：这是一个从4个不同的球员中任选3个的问题，应用组合的计数方法：C(4,3) = 4!/[(4-3)!3!] = 4种。
2.汽车比赛共有10辆车参加，比赛奖励前3名。
如果没有并列，有多少种可能的结果？–解：这是一个排列的问题，第一名、第二名、第三名共有10种选法、9种选法、8种选法，应用排列的计数方法：P(10,3) = 10!/[(10-3)!] = 720种。
5.3 讨论：课堂练习•请同学们分组，通过小组讨论的方式，解决以下计数问题：1.有5个红球、4个蓝球和3个黄球，从中任选3个球，有多少种不同的选法？2.有6个不同的数字（1-6），从中任取其中一个数字，得到该数字的概率是多少？5.4 总结：计数的应用通过本节课的学习，我们掌握了计数的定义和基本方法，能够将所学知识应用于实际问题的解决中。
在日常生活中，大量的问题需要用到计数，如购物结账、数学统计、调查报告等等，相信同学们将所学知识应用到实际生活中，会产生很好的效果。
高中数学第1章计数原理1.4计数应用题教学案苏教版选修23word格式
计数应用题[ 例 1] 3 个女生和 5 个男生排成一排．(1)假如女生必然全排在一起，有多少种不一样样的排法？(2)假如女生必然全分开，有多少种不一样样的排法？(3)假如两端都不可以排女生，有多少种不一样样的排法？(4)假如两端不可以都排女生，有多少种不一样样的排法？(5)假如甲必然排在乙的右边 ( 可以不相邻 ) ，有多少种不一样样的排法？[ 思路点拨 ]本题涉及限制条件，要优先考虑有条件限制的元素或地点，相邻问题可采纳捆绑法，不相邻问题可采纳插空法．[ 精解详析体，这样同5] (1)( 捆绑法 ) 因为个男生合在一起共有3 个女生必然排在一起，所以可先把她们看作一个整6 个元素，排成一排有A6种不一样样排法．对于此中的每一种排法， 3 个女生之间又有A3种不一样样的排法，所以共有A6·A3＝ 4 320种不一样样的排法．(2)(插空法 ) 要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个地点，共有 6 个地点，再把 3 个女生插入这 6 个地点中，只要保证每个地点至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．因为 5 个男生排成一排有A5种不一样样排法，对于此中任意一种排法，从上述6 个地点中选出 3 个来让 3 个女生插入有A36种方法，所以共有A5·A36＝ 14 400 种不一样样的排法．(3)()52 个，有A25种不一样样排法，对于此中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A25· A6＝ 14 400 种不一样样的排法．法二： ( 间接法 )3 个女生和 5 个男生排成一排共有A8种不一样样的排法，从中扣除女生排在首位的A13· A7种排法和女生排在末位的A13· A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，因为两端都是女生有A23· A6种不一样样的排法，所以共有A8－ 2A13· A7＋ A23· A6＝ 14 400种不一样样的排法．法三：( 特别元素优先法) 从中间 6 个地点中优选出 3 个让 3 个女生排入，有A36种不同的排法，对于此中的任意一种排法，其余 5 个地点又都有A5种不一样样的排法，所以共有A36· A5＝ 14 400种不一样样的排法．(4)法一：因为只要求两端不可以都排女生，所以假如首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有A15· A7种不一样样的排法；假如首位排女生，有A13种排法，这时末位就只好排男生，这样可有A13· A15· A6种不一样样的排法．所以共有A15· A7＋ A13· A15· A6＝ 36 000 种不一样样的排法．法二： 3 个女生和 5 个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23· A6种，就能获得两端不都是女生的排法种数．所以共有A8－A23· A6＝ 36000 种不一样样的排法．A8(5)( 序次固定问题 ) 因为 8 人排队，此中两人序次固定，共有A2＝ 20 160种不一样样的排法．[一点通 ](1)摆列问题的限制条件一般表现为：某些元素不可以在某个地点，某个地点只好放某些元素等．要先办理特别元素或先办理特别地点，再去排其余元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的摆列数算出，再从中减去所有不切合条件的摆列数，这类方法也称为“去杂法” ，但必然注意要不重复，不遗漏 ( 去尽 ) ．(2)对于某些特别问题，可采纳相对固定的特别方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，马上相邻元素看作一个整体与其余元素摆列，再进行内部摆列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其余元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．1． ( 四川高考改编) 六个人从左至右排成一行，最左端只好排甲或乙，最右端不可以排甲，则不一样样的排法共有________种．解析：当最左端排甲时，不一样样的排法共有A5种；当最左端排乙时，甲只好排在中间四个地点之一，则不一样样的排法共有C14A4种．故不一样样的排法共有A5＋C14A4＝9×24＝ 216 种．答案： 2162．用 5， 6， 7， 8，9 构成没有重复数字的五位数，此中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________种．解析：切合题意的五位数有A2C13A3＝2×3×3× 2＝ 36.答案： 363．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，假如第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不一样样的排法？解：法一： ( 地点解析法 ) 依第一节课和第六节课的情况进行分类；①第一节课排数学，第六节课排体育，共有A4种排法；②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有A14A4种排法；③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有A14A4种排法；④第一节课不排数学，第六节课不排体育，共有A24A4种排法．由分类加法计数原理，所求的不一样样排法共有A4＋2A14A4＋ A24A4＝ 504( 种 ) ．法二： ( 除掉法 ) 不考虑受限条件下的排法有A6种，此中包含数学课在第六节的排法有 A5种，体育课在第一节的排法有A5种，但上边两种排法中同时含有数学课在第六节，体育课在第一节的情况有A4种．故所求的不一样样排法有A6－ 2A5＋ A4＝ 504( 种 ).[ 例 2] 某龙舟队有 9 名队员，此中 3 人只会划左舷， 4 左舷又会划右舷，现要选派划左舷的 3 人，划右舷的 3 人，共人只会划右舷， 2 人既会划6 人参加竞赛，则不一样样的选派方法有多少种？[ 思路点拨 ]既会划左舷又会划右舷是特别元素，可以从他们的参加情况下手分类讨[ 精解详析 ]选派的3名会划左舷的选手中，没有既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有C3C36种选派方法；选派的 3 名会划左舷的选手中，有一人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C12C23C35种选派方法；选派的 3 名会划左舷的选手中，有两人是既会划左舷又会划右舷的选手时，选派方法有 C13C34种选派方法．故共有 C3C36＋ C12C23C35＋ C13C34＝ 20＋ 60＋ 12＝92 种选派方法．[一点通 ](1)解决简单的分配问题的一般思路是先采纳，后分配．(2)假如涉及的元素有限制条件，则一般以特别元素，特别地点为分类标准．4．将 4 名大学生分派到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇最少一名，则不一样样的分配方案有 ________种． ( 用数字作答 )C24C12C1两步完成：第一步，将 4 名大学生按2，1，1 分成三组，其分法有种； A2第二步，将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有A3种，所以满足条件的分配方案有C24C12C1A2· A3＝ 36 种．答案：365．将 2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生构成，不一样样的安排方案共有________种．解析：先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地，再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地，共有C12C24＝ 12 种安排方案．答案：126．有 9 本不一样样的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在以下条件下，各有多少种分法？(1)甲得 4 本，乙得 3 本，丙得 2 本．(2)一人得 4 本，一人得 3 本，一人得 2 本．解： (1) 分 3 步完成：C49种方法；第 1 步，从 9 本不一样样的书中，任取 4 安分给甲，有第 2 步，从余下的 5 本书中，任取 3 本给乙，有 C35种方法；第3 步，把剩下的书给丙有 C2种方法．所以，共有不一样样的分法为C49· C35· C2＝ 1 260 种．(2)分 2 步完成：第 1步，按 4 本、 3 本、 2 安分成三组有C49· C35· C2种方法；第 2步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A3种方法．所以，共有 C49· C35· C2· A3＝7 560 种.[例 3]从1到9的9个数中取 3 个偶数和 4 个奇数，试问：(1)能构成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中 3 个偶数排在一起的有几个？(3)在 (1) 中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？(4)在 (1) 中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？[ 思路点拨 ]排数问题和站队问题是摆列、组合中的两类典型问题，其解决的思路相似，需考虑特别元素、特别地点、相邻问题、不相邻问题等的办理方法．[ 精解详析](1) 分步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，可有C34种情况；第二步，在 5 个奇数中取 4 个，可有C45种情况；第三步，3 个偶数， 4 个奇数进行摆列，可有A7种情况，所以切合题意的七位数有C34C45A7＝ 100 800(个) ．(2)上述七位数中， 3 个偶数排在一起的有C34C45A5A3＝14 400( 个 ) ．(3) 上述七位数中， 3 个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有C34C45A3A4A2＝ 5 760( 个) ．(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4 个奇数排好，再将 3 个偶数分别插入 5个空，共有C34C45A4A35＝ 28 800( 个 ) ．[ 一点通 ]解决摆列、组合综合问题要依据两个原则：(1)按事情发生的过程进行分步；(2)按元素的性质进行分类．解决时平时从三个门路考虑：①以元素为主考虑，即先满足特别元素的要求，再考虑其余元素；②以地点为主考虑，即先满足特别地点的要求，再考虑其余地点；③先不考虑附带条件，计算出摆列或组合数，再减去不合要求的摆列或组合数．7．将标号为1，2， 3， 4，5， 6 的 6 张卡片放入 3 个不一样样的信封中．若每个信封放2张，此中标号为1， 2 的卡片放入同一信封，则不一样样的方法共有________种．解析：标号1，2 的卡片放入同一封信有C13种方法；其余四封信放入两个信封，每个信封两个有C24A2·A2种方法，共有C24C13· A2· A2＝ 18 种．答案：188．某班班会准备从甲、乙等7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲乙两人最稀有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不可以相邻．那么不一样样的发言序次的种数为________．解析：若甲乙同时参加，则可以先从节余的 5 人中选出 2 人，先排此两人，再将甲乙两人插入此中即可，则共有C25A2A23种不一样样的发言序次；若甲乙两人只有一人参加，则共有 C12C35A4种不一样样的发言序次，综合可得不一样样的发言序次有C25A2A23＋ C12C35A4＝600 种．答案： 6009．某种产品有 5 件不一样样的正品， 4 件不一样样的次品，此刻一件件地进行检测，直到4件次品所有测出为止．若次品恰幸好第 6 次检测时被所有选出，则这样的检测方案有多少种？解：问题相当于从9 件产品中拿出 6 件的一个摆列，第 6 位为次品，前五位有其余3件次品 . 可分三步，先从 4 件产品中留出 1 件次品排第 6 位，有 4 种方法，再从 5 件正品中取2 件，有 C25种方法，再把另3 件次品和拿出的 2 件正品排在前 5 位有 A5种方法，所以检测方案种数为 4× C25· A5＝ 4 800.解决摆列组合问题的常用方法(1)地点解析法：以地点为主，特别( 受限) 的地点优先考虑．有两个以上的拘束条件时，常常是考虑一个条件的同时，也要兼备其余条件．考虑两个条件之间能否有影响．(2)元素解析法：以元素为主，先满足特别 ( 受限 ) 元素的要求，再办理其余元素．有两个以上的拘束条件时，常常是考虑一个元素的同时，也要兼备其余元素．(3)间接法：也叫排异法．直接考虑时情况好多，但其对峙面情况较少，相对来讲比直接解答简捷，可先考虑逆向思虑问题，在此方法中，对峙面要“不重不漏”．(4)插空法：先把无量制的元素排好，此后将不可以相邻的元素插入排好的元素的空中，要注意无量制元素的摆列数及所形成空的个数．此方法合用于含有“不相邻”的问题(5)捆绑法：把要求在一起的“小公司”看作一个整体，与其余元素进行摆列，同时不要忘掉“小公司”内也要摆列．此法比较合适“必然在一起”的问题．课下能力提高( 七 )一、填空题1．甲组有男同学 5 名，女同学 3 名，乙组有 6 名男同学， 2 名女同学，从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不一样样选法有________种．解析：第一类，选出的 1 名女生出自甲组，选法为C15C13C26＝ 225( 种 ) ；第二类， 1 名女生出自乙组，选法为C25C16C12＝ 120( 种 ) ．共有 225＋120＝ 345( 种 ) ．答案：3452．某公司招聘了8 名员工，均匀分配给手下的甲、乙两个部门，此中两名英语翻译人员不可以分在同一个部门，其余三名电脑编程人员也不可以全分在同一个部门，则不一样样的分配方案共有________种．解析：据题意可先将两名英语翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一组 2 人，共有C13种分法，此后再分到两部门去共有 C13A2种方法，第三步只要将其余 3 人分成两组，一组 1 人另一组个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确立，故第三步共有2 人即可，因为是每C13种方法，由分步计数原理得共有2C13A2C13＝ 36( 种 ) 分配方案．答案：363．从 10 种不一样样的作物种子中选出 6 种放入 6 个不一样样的瓶子中展出，假如甲、乙两种种子不可以放入1 号瓶内，那么不一样样的放法共有________种．解析：分步完成：第一步，从甲、乙之外的8 各样子中选 1 种放入 1 号瓶内；第二步，从剩下的9 各样子中选 5 种放入余下的 5 个瓶子内；故不一样样的放法种数为C18A59＝ 120960( 种) ．答案： 120 9604．假如在一周内( 周一至周日 ) 安排三所学校的学生观光某展览馆，每日最多只安排一所学校，要求甲学校连续观光两天，其余学校均只观光一天，那么不一样样的安排方法有________种．解析：先安排甲学校的观光时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：(1，2)，(2，3) ，(3，4) ，(4， 5) ，(5，6) ，(6 ，7) ，任选一种为C16，此后在剩下的 5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学校观光，安排方法有A25种，依据分步计数原理可知共有不一样样的安排方法C16A25＝ 120 种．答案：1205．甲、乙、丙 3 人站到共有7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不划分站的地点，则不一样样的站法种数是________种．解析：依据题意，每级台阶最多站 2 人，所以，分两类：第一类，有 2 人站在同一级台阶，共有C23A27种不一样样的站法；第二类，一级台阶站1 人，共有A37种不一样样的站法．依据分类计数原理，得共有C23A27＋ A37＝ 336 种不一样样的站法．答案： 336二、解答题6．有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不可以同时点亮，依据这三个点亮的二极管的不一样样地点和不一样样颜色来表示不一样样的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解：因为相邻的两个二极管不可以同时点亮，所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两端的 6 个空上，共有C36种亮灯方法．此后分步确立每个二极管发光颜色有2×2× 2＝ 8( 种 ) 方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36× 2× 2× 2＝ 160( 种) ．7．现有 4 个不一样样的球，4 个不一样样的盒子，把球所有放入盒内，(1)共有几种放法？(2)若恰有 1 个空盒，有几种放法？(3)若恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？解： (1)4 4＝256( 种 ) ．(2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不一样样的取法，再把拿出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不一样样的放法．依据分步计数原理，共有 C24A34＝ 144 种不一样样的放法．(3) 恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不一样样的小球只放入 2 个盒子中，有两类放法：第一类， 1个盒子放 3 个小球， 1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有C34种，再放到 2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类， 2 个盒子中各放 2 个小球有 C24C24种放法．故恰有 2 个盒子不放球的放法共有C34A24＋C24C24＝ 84 种．8．已知抛物线y ＝2＋bx＋c的系数、、c是在会集 { －3，－ 2，－ 1， 0，1， 2，ax a b3， 4} 中采纳的3 个不一样样的元素，求坐标原点在抛物线内部的抛物线有多少条？解：由图形特色解析得知，若a>0，张口向上，坐标原点在抛物线内部? f (0)＝ c<0，若 a<0，张口向下，坐标原点在抛物线内部? f (0)＝ c>0；所以对于抛物线y＝ ax2＋bx＋ c 来讲，坐标原在其内部? af (0)＝ ac<0.确立抛物线时，可先定一正一负的 a 和c，再确立b.故满足题设的抛物线共有C13C14A2C16＝ 144 条．。
学案导学备课精选高中数学1.4计数应用题(二)同步练习(含解析)苏教版选修23
§1.4 计数应用题(二)课时目标1.利用排列、组合知识解决综合性的计数应用题.2.提高学生的应用意识和分析解决问题的能力．1．排列数公式：A m n＝________________；组合数公式：C mn ＝A m n A m m＝________________.2．解决计数应用题，可以通过对位置和元素的性质进行分类，对完成事情的步骤进行分步．一、填空题1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，则有______种取法；从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，则有________种取法．2．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作．若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有________种．3．用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成________个没有重复数字的四位数，可以组成________个没有重复数字的四位奇数．4．假设200件产品中有3件次品，现从中任取5件，则其中至少有2件次品的抽法有__________种．(用式子表示)5．有A ，B ，C ，D ，E 共5人并排站在一起，如果A ，B 必须相邻，并在B 在A 的右边，那么不同的排法有______种．6．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为________．(用式子表示)7．现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．8．某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有________种．二、解答题9．从6名运动员中选出4人参加4×100 m 的接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，则共有多少种不同的参赛方法？10．某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的排节目单的方法种数：(1)一个唱歌节目开头，另一个压台；(2)两个唱歌节目不相邻；(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．能力提升11．某晚会已定好节目单，其中小品3个，歌舞2个，相声2个．后来由于情况有变，需加上诗歌朗诵和快板两个节目，但不能改变原先节目的相对顺序，问节目演出的方式可能有多少种？1．解计数应用题，分类标准要统一，防止出现遗漏或重复．2．对同一问题可多角度考虑，深入分析，相互验证，提高解题能力．1．4 计数应用题(二)答案知识梳理1．n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！作业设计1．21 35解析从7个白球中取2个，再取1个黑球有C27×1＝21(种)方法；从7个白球中取3个，有C37＝35(种)方法．2．240解析 先选从事翻译工作的有C 14种方法，再从剩余5人中选3人分别从事其他工作，有A 35种方法．∴共有方案C 14×A 35＝4×5×4×3＝240种． 3．120 724．C 23C 3197＋C 33C 2197 5．24解析 将B 放A 的右边且作为一个元素与C 、D 、E 全排即可，共有A 44＝24(种)排法．6．A 88A 29解析 采用插空法，先排8名学生，共有A 88种方法；再在8名学生形成的9个空中排2位老师，有A 29种排法，∴共有排法：A 88×A 29种． 7．126解析 分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18(种)；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108(种)，所以共有18＋108＝126(种)．8．30解析 方法一 可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30(种)选法．方法二 总共有C 37＝35(种)选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．9．解 分两类：若乙跑第一棒，共有A 35＝60(种)；若乙不跑第一棒，则跑第一棒的选择有C 14种，此时跑第四棒的选择有C 14种，余下的第二、三棒则在剩下的四人中选两人跑，有A 24种，所以有C 14C 14A 24＝192(种)．所以共有192＋60＝252(种)不同的参赛方法．10．解 (1)先排唱歌节目有A 22种排法，再排其他节目有A 66种排法，所以共有A 22·A 66＝1440(种)排法．(2)先排3个舞蹈节目，3个曲艺节目有A 66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目，有A 27种插入方法，所以共有A 66·A 27＝30 240(种)排法．(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A 44种排法，再将3个舞蹈节目插入，共有A 35种插入法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A 22种排法，由分步计数原理，符合要求的排法有：A 44·A 35·A 22＝2 880(种)．11．解 方法一 若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 99种排法；但是原先的节目已经定好顺序，需要消除，故有A 99A 77＝A 29＝72(种)排法．方法二 共有9个元素，9个空，先选2个空，安排朗诵和快板，有A 29种排法；再将剩下的空安排其他元素，由于顺序已定，故只有1种方法，则共有A 29C 77＝72(种)排法．。
苏教版选修(2-3)1.4《计数应用题》word学案
1.4 计数应用题(综合)撰稿：第一组审稿：高二数学组时间：2010/4/20【学习要求】利用排列组合知识，以及两个基本原理解决较综合的计数应用题，逐步掌握解决计数问题的常用方法，提高应用意识和分析解决问题的能力【课前预习】【课堂导学】活动1：高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中选3名男生，2名女生分别担任班长，副班长，学习委员，文娱委员，文娱委员，体育委员，共有多少种不同的选法？活动2：6本不同的书全部送给5人，每人至少一本，有几种不同的送书方法？分析：变式1： 6本不同的书全部送给5人，有几种不同的送书方法？变式2： 5本不同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？变式3： 5本相同的书全部送给6人，每人最多1本，有几种不同的送书方法？活动3：6本不同的书全部送给3人（1）甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?（2）甲、乙、丙每人两本，有多少种分法？【达标检测】1注意区别“恰好”与“至少”从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种？2特殊元素（或位置）优先安排将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种？3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种？4、混合问题，先“组”后“排”对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？5、分清排列、组合、等分的算法区别(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?【课后练习】书P28练习1、2、3、4、5书P29 习题1.4 1～91．补充：已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有的次品为止。
高中数学第一章计数原理1.4计数应用题学案苏教版选修23word格式
计数应用题学习目标 1. 进一步理解和掌握两个计数原理.2.进一步深入理解摆列与组合的看法.3.能综合运用摆列、组合解信心数问题．种类一两个计数原理的应用命题角度 1“类中有步”的计数问题例 1电视台在某节目中取出两个信箱，此中存放着先后两次竞料中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30 封，乙信箱中有20 封，现由主持人抽奖确立好运观众，若先确立一名好运之星，再从两信箱中各确立一名好运伙伴，有________种不一样样的结果．反思与感悟用流程图描述计数问题，类中有步的情况以以下列图：详尽意义以下：从 A到 B 算作一件事的完成，完成这件事有两类方法，在第 1 类方法中有 3 步，在第 2 类方法中有 2 步，每步的方法数以以下列图．所以，完成这件事的方法数为m1m2m3＋ m4m5，“类”与“步”可进一步地理解为：“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标记一件事的完成，“步”缺一不可以．追踪训练1现有4种不一样样颜色，要对以以下列图的四个部分进行着色，要求有公共界限的两部分不可以用同一种颜色，则不一样样的着色方法共有________种．命题角度 2“步中有类”的计数问题例 2 有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不一样样的安排方式共有________种． ( 用数字作答 )反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情况以以下列图：从计数的角度看，由A 到D算作完成一件事，可简单地记为→ .A D完成 A→ D这件事，需要经历三步，即A→ B，B→ C， C→ D.此中 B→ C这步又分为三类，这就是步中有类．此中i (＝ 1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．m i完成 A→ D这件事的方法数为m1( m2＋ m3＋ m4) m5.以上给出了办理步中有类问题的一般方法．追踪训练2 以以下列图，使电路接通，开关不一样样的开闭方式共有________种．种类二有限制条件的摆列问题例 3 3 个女生和 5 个男生排成一排．(1)假如女生必然全排在一起，有多少种不一样样的排法？(2)假如女生必然全分开，有多少种不一样样的排法？(3)假如两端都不可以排女生，有多少种不一样样的排法？(4)假如两端不可以都排女生，有多少种不一样样的排法？(5)假如甲必然排在乙的右边 ( 可以不相邻 ) ，有多少种不一样样的排法？反思与感悟(1) 摆列问题的限制条件一般表现为：某些元素不可以在某个地点，某个地点只好放某些元素等．要先办理特别元素或先办理特别地点，再去排其余元素．当用直接法比较麻烦时，可以用间接法，先不考虑限制条件，把所有的摆列数算出，再从中减去所有不切合条件的摆列数，这类方法也称为“去杂法”，但必然注意要不重复，不遗漏(去尽)．(2)对于某些特别问题，可采纳相对固定的特别方法，如相邻问题，可用“捆绑法”，马上相邻元素看作一个整体与其余元素摆列，再进行内部摆列；不相邻问题，则用“插空法”，即先排其余元素，再将不相邻元素排入形成的空位中．追踪训练3用0到9这10个数字，(1)可以构成多少个没有重复数字的四位数？在这些四位数中，奇数有多少个？(2)可以构成多少个只含有 2 个相同数字的三位数？种类三命题角度摆列与组合的综合应用1不一样样元素的摆列、组合问题例4有 4 张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和 4 张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行．假如取出的 4 张卡片所标的数字之和等于10，则不一样样的排法共有多少种？反思与感悟(1) 解摆列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把切合题意的元素都选出来，再对元素或地点进行摆列．(2)解摆列、组合综合问题时要注意以下几点：①元素能否有序是划分摆列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．②对于有多个限制条件的复杂问题，应仔细解析每个限制条件，此后再考虑是分类还是分步，这是办理摆列、组合综合问题的一般方法．追踪训练4从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？命题角度 2含有相同元素的摆列、组合问题例 5将 10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级中，若各班名额数不小于班级序号数，则共有 ________种不一样样的分配方案．反思与感悟凡“相同小球放入不一样样盒中”的问题，即为“ n 个相同元素有序分成 m组(每组的任务不一样样 ) ”的问题，一般可用“隔板法”求解：(1) 当每组最少含一个元素时，其不一样样分组方式有＝Cmn－ 1种，马上n个元素中间的n－ 1N个空格中加入m－1个“隔板”．(2) 任意分组，可出现某些组含元素为0 个的情况，其不一样样分组方式有N＝Cmn－＋1m－1种，马上n 个相同元素与－1 个相同“隔板”进行排序，在n＋－1 个地点中选－1 个安排m m m“隔板”．追踪训练 5用 2,3,4,5,6,7六个数字，可以构成有重复数字的三位数的个数为________．1．李芳有 4 件不一样样颜色的衬衣， 3 件不一样样花式的裙子，还有两套不一样样款式的连衣裙．“五一”节需选择一套衣饰参加歌舞演出，则李芳有________种不一样样的选择方式．2．包含甲、乙在内的7 个人站成一排，此中甲在乙的左边( 可以不相邻 ) ，有 ________种站法．3．从 0,2,4中取一个数字，从 1,3,5 中取两个数字，构成无重复数字的三位数，则所有不一样样的三位数的个数是___________________________________________________ ．4．某电视台连续播放5 个广告，此中有 3 个不一样样的商业广告和 2 个不一样样的公益宣传广告，要求最后播放的必然是公益宣传广告，且 2 个公益宣传广告不可以连续播放，则不一样样的播放方式有 ________种．5．已知x i∈ { －1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5,6，则满足 x1＋x2＋ x3＋ x4＋ x5＋x6＝2的数组( x1，x ， x ， x，x ， x )的个数为________．234561．解摆列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后办理．2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．3．对于分配问题，解题的要点是要搞清楚事件能否与序次有关，对于均匀分组问题更要注意序次，防备计数的重复或遗漏．答案精析题型研究例 1 28800解析在甲箱或乙箱中抽取好运之星，决定了后边选好运伙伴是不一样样的，故要分两类分别计算： (1) 好运之星在甲箱中抽，先确立好运之星，再在两箱中各确立一名好运伙伴，有30×29×20＝ 17 400( 种 ) 结果；(2) 好运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．所以共有17 400 ＋ 11 400 ＝ 28 800( 种 ) 不一样样结果．追踪训练 1 48解析以以下列图，将原图从上而下的 4 个地域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不可以同色，1与 4 可以同色，所以，要分类议论1,4 同色与不一样样色这两种情况．故不一样样的着色方法种数为 4×3× 2＋4×3×2× 1＝ 48.例 2264解析上午总测试方法有 4×3×2× 1＝ 24( 种) ．我们以、、、、E 挨次代表五个测ABCD试项目．若上午测试 E 的同学下午测试D，则上午测试 A 的同学下午只好测试B、C，确立上午测试 A 的同学后其余两位同学上、下午的测试方法共有 2 种；若上午测试 E 的同学下午测试、、之一，则上午测试、、中任何一个的同学下午都可以测试，安排完A B C A B C D这位同学后其余两位同学的测试方式就确立了，故共有3× 3＝ 9( 种 ) 测试方法，即下午的测试方法共有11 种，依据分步计数原理，总的测试方法共有24×11＝ 264( 种 ) ．追踪训练 221解析依据题意，设 5 个开关挨次为1、2、3、4、5，以以下列图，若电路接通，则开关1、2 与 3、 4、 5 中最稀有 1 个接通，对于开关1、2，共有 2× 2＝ 4( 种) 情况，此中所有断开的有1( 种 ) 情况，则其最稀有 1 个接通的有4－1＝3( 种) 情况，对于开关3、4、 5，共有 2×2× 2＝ 8( 种 ) 情况，此中所有断开的有1( 种 ) 情况，则其最少有 1 个接通的有 8－ 1＝ 7( 种 ) 情况，则电路接通的情况有3× 7＝ 21( 种) ．例 3解(1)( 捆绑法 ) 因为 3 个女生必然排在一起，所以可先把她们看作一个整体，这样同 5个男生合在一起共有 6 个元素，排成一排有A6种不一样样排法．对于此中的每一种排法， 3 个女生之间又有 A3种不一样样的排法，所以共有A6·A3＝ 4 320( 种 ) 不一样样的排法．(2)( 插空法 ) 要保证女生全分开，可先把 5 个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有 4 个空，加上两边两个男生外侧的两个地点，共有 6 个地点，再把 3 个女生插入这 6 个地点中，只要保证每个地点至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．因为 5 个男生排成一排有A5种不一样样的排法，对于此中任意一种排法，从上述 6 个位置中选出 3 个来让 3 个女生插入有 A36种方法，所以共有A5·A63＝ 14 400( 种) 不一样样的排法．(3) 方法一( 特别地点优先法 ) 因为两端不可以排女生，所以两端只好优选 5 个男生中的 2个，有 A25种不一样样排法，对于此中的任意一种排法，其余六位都有A6种排法，所以共有A25·A6＝14 400( 种 ) 不一样样的排法．方法二 ( 间接法 )3 个女生和 5 个男生排成一排共有 A8种不一样样的排法，从中扣除女生排在首位的 A13·A7种排法和女生排在末位的 A13·A7种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位时被扣去一次，在扣除女生排在末位时又被扣去一次，所以还需加一次，因为两端都是女生有A23·A6种不一样样的排法，所以共有A8－ 2A13·A7＋ A23·A6＝ 14 400( 种 )不一样样的排法．方法三( 特别元素优先法) 从中间 6 个地点中优选出 3 个让 3 个女生排入，有A36种不一样样的排法，对于此中的任意一种排法，其余5个地点又都有A5种不一样样的排法，所以共有 A36·A5＝14 400( 种 ) 不一样样的排法．(4) 方法一因为只要求两端不可以都排女生，所以假如首位排了男生，则末位就不再受条件限制了，这样可有只好排男生，这样可有A15·A7种不一样样的排法；假如首位排女生，有A13·A51·A6种不一样样的排法．A13种排法，这时末位就所以共有A15·A7＋ A13·A15·A6＝36 000( 种 ) 不一样样的排法．方法二 3 个女生和 5 个男生排成一排有A8种排法，从中扣去两端都是女生的排法有A23·A6种，就能获得两端不都是女生的排法种数．所以共有A8－ A23·A6＝ 36 000( 种 ) 不同的排法．(5)(序次固定问题) 因为8 人排队，此中两人序次固定，共有A8A2＝ 20 160( 种 ) 不一样样的排法．追踪3解(1) 可以成9A3 ＝ 4 536个四位数．合适意的四位奇数共有A15·A81·A82＝ 2 240(个 ) ．(2)0到 910 个数字构成的三位数共有900 个，分三：第 1 ：三位数字全相同，如 111,222 ，⋯， 999，共 9 个；第 2 ：三位数字全不一样样，共有 9×9×8＝648( 个 ) ，第 3 ：由接法可求出，只含有 2 个相同数字的三位数，共有900－ 9－648＝ 243( 个 ) ．例 4解分三：第一，当取出的 4 卡片分有数字1,2,3,4 ，不一样样的排法有 C12·C21·C21·C21·A4种．第二，当取出的 4 卡片分有数字1,1,4,4 ，不一样样的排法有C2·C2·A4种．第三，当取出的 4 卡片分有数字2,2,3,3 ，不一样样的排法有C2·C2·A4种．故足意的所有不一样样的排法种数C12·C12·C21·C21·A4＋ 2C2·C2·A4＝ 432.追踪 4解(1) 五位数中不含数字0.第 1步，出 5 个数字，共有 C35C24种法．第 2步，排成偶数——先排末位数，有A12种排法，再排其余四位数字，有A4种排法．所以 N1＝C35·C24·A12·A4.(2)五位数中含有数字 0.第 1 步，出 5 个数字，共有 C35·C41种法．第 2 步，排序又可分两小：①末位排0，有 A1·A4种摆列方法；②末位不排0. 末位数有C1种法，而因零不可以排在首位，所以首位有A13种排法，其余 3 个数字有A3种排法．所以 N2＝C35·C4(A111·A4＋A13·A3)．所以切合条件的偶数个数N＝ N1＋N2＝C35C24A12A4＋C35C14(A1A4＋A13A3)＝4 560.例515解析先拿 3 个秀名分配二班 1 个，三班 2 个，原就化将7 个秀名分配到 3 个班中，每个班中最少分配到 1 个．利用“隔板法”可知，共有C26＝ 15( 种 ) 不一样样的分配方案．追踪 5 96解析用接法：六个数字能构成的三位数共6×6× 6＝ 216( 个 ) ，而无重复数字的三位数共有 A36＝6×5× 4＝ 120( 个 ) ．故所求的三位数的个数为216－ 120＝ 96.当堂训练1． 14 2.2 520。
高二数学 教案 1.4 计数应用题学案苏教版_选修2-3
编写：江凤芹审核：黄爱华一、知识要点对排列组合的应用题应掌握以下基本方法与技巧：⑴特殊元素(位置)优先安排；⑵合理分类和准确分步；⑶先选后排原则；⑷相邻问题捆绑处理；⑸不相邻问题插空自理⑹固定顺序问题排除法处理；⑺分排问题直排处理；⑻构造模型；⑼正难则反；⑽等价转化.二、典型例题例1.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是多少？例2.袋中装有10只大小相同的球，其中6只白球，4只红球，逐只抽取，直至抽出所有的红球为止，若经过5次抽取出所有红球，则这样的抽取方法共有多少种？例3.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空座位，共有几种不同的坐法？三、巩固练习1.某外商计划在4上候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 种.2.某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲，乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有 种(以数字作答).3.将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i 个数为(1,2,3,,6)i a i ，若1351,3,5,a a a ， 135a a a 则不同的排列方法有 种(以数字作答).4.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同的买法的种数是 (以数字作答).四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒中，恰有1个空盒的放法种数为 .A B C，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐2.已知集合5,1,2,1,3,4标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 .3.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法(用数字作答).4.某天有政治、语文、数学、物理、美术、体育六门课.如果体育不排在上午一、二、三节，美术不排在上午一、二节，则共有种不同的排法.5.从1，3，5，7，9这五个数字中取两个数字，从0，2，4，6这四个数字中取两个数字.⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵能组成多少个没有重复数字的四位偶数？6.4个不同的红球和6个不同的白球放入袋中，现从袋中取出4个球. ⑴若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？⑵取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球的总分不低于5分，则有多少种不同的取法？7.一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法？8.某城市有7条南北走向的街，5条东西走向的街，如果从城市的一端A走向另一端B(如图)，最短走法有多少种？订正栏：。
高中数学1.4计数应用题导学案苏教版选修2-3
1.4 计数应用题1 •简单计数问题的处理原则解简单计数问题，应遵循三大原则： 先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则•分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理预习交流1你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则.提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素” “特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置. 2. 简单的常见计数问题的解题策略剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除.捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素” 全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列.插空:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有 限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.预习交流2剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？提示：易V 除主要用在有限制条件的计数问题上， 或问题的正面情况较多， 而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上.一、剔除问题四面体的顶点和各棱中点共有 10个点，在其中取 4个不共面的点，不同取法有___________ 种.思路分析：在这10 个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10 个点中取出4个点的组合数C：0减去4个点共面的个数即为所求.答案：141解析：如图，从10个点中任取4个点有do种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C4种；第二类：4 个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有 6 种；第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．综上所述可知：不同的取法共有：C o - （4C6+ 6 + 3）= 141种.从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C1= 12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C- C8 = 12种不同的选法.利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏.二、捆绑问题（相邻问题）从单词"equation ”中选取5个不同的字母排成一列，含有"qu” （其中"qu”相连且顺序不变）的不同排列共有__________________________ 种.思路分析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列. 答案：4803解析：先将“ qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C3种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A4种方法，由于“ qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C34= 480种不同排列.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99=362 880种不同的停车方法.对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．三、插空问题( 不相邻问题)7 人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是_____________________ ．思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．答案：3 600解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A!种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A6种方法，故共有A T A6= 3 600种不同的排法.晚会上有8 个唱歌节目和3 个舞蹈节目，若3 个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．解：先排8个唱歌节目共有A8种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A9种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为A820 321 280.解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．解析：若丙排在10月1日，共有A5• kA= 240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A •kA = 240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A J A2= 48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A6= 1 440种不同的排法，•••符合题意的排法的种数为1 440 —240- 240+ 48 = 1 008.4•有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有c5d种；第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有5C4 + C2C5G)种；第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(c；W+ C5C U cEC；)种.由分类计数原理知，可开出名单共有C5C4+ dc5C!+ CW+ C5C4+ dEcU 185种.5. 7位同学站成一排合影留念，(1) 其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？(2) 甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？(3) 甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)用剔除法：总排有A；种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A：,但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A；种.•甲不站排头，乙不站排尾的排法有A；—2A1+ A5= 3 720种.(2) 用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A5种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A l种，•••甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A5720种.(3) 用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A4种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A3种排法.•••甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A4•A!= 1 440种.1 ．记者要为5 名志愿者和他们帮助过的2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不在两端的排法有_________________________ 种．答案：960解析：5名志愿者先全排有A5种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A TC・A2= 960种不同的排法.2．由1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字且1,3 都不与5相邻的六位偶数有_____________________ 个．答案：1083解析：插空法，先排2,4,6共有A3种方法；若1,3,5都不相邻，则有A1种方法，若1,3相邻，则有AA!种方法；•••共有A3(A1 * 3+ ALA3) = 108种不同的排法.3. _____ 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有种.答案：1 008。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.4 计数应用题》
排列组合问题的几种常见处理策略一、教学目标：1.使学生进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.让学生掌握解决排列组合问题的常用策略;并且能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力；3.让学生学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。
二、教材分析及教材内容的定位：计数应用题是苏教版高中数学教材选修2-3第一章计数原理中第4节内容，是排列组合问题的实际应用，更是两个计数原理的应用。
本小节具有承上启下的作用，理解排列组合和两个计数原理是前面三节内容的要求，本课时要通过实例让学生深化概念的理解，是数学知识发挥实际应用价值的体现。
本课时着重帮助学生体会实际问题划归为计数问题的方法，能总结解决简单实际问题的策略并加以利用。
三、教学重点：排列组合问题常见处理策略的总结和应用四、教学难点：不相邻问题、定序问题、环排问题五、教学方法：通过类比探究，归纳总结等方法，研究计数应用题，培养学生的自主学习能力，发展学生的问题编改能力、抽象表达能力、合情推理能力及逻辑论证能力．六、教学过程：课前预习：1.分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 课堂探究：问题1：现有7人坐成一排，_________________，共有多少种不同的排法？请在题目中的横线，填写你认为合理的条件，然后写出解题过程，并总结此类问题的处理方法。
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1.4 计数应用题
1．简单计数问题的处理原则
解简单计数问题，应遵循三大原则：先特殊后一般的原则；先选后排原则；先分类后分步的原则．分类计数原理和分步计数原理是解决计数应用题的两个基本原理．预习交流1
你对“特殊”“一般”有怎样的理解？试谈谈先特殊后一般的原则．
提示：“特殊”指元素特殊或场所特殊或特殊条件限制；先特殊后一般原则是先考虑“特殊元素”“特殊位置”，再考虑一般元素或一般位置．
2．简单的常见计数问题的解题策略
剔除：对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除．
捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列．
插空：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间．预习交流2
剔除、捆绑、插空主要是为了解决何种计数问题？
提示：剔除主要用在有限制条件的计数问题上，或问题的正面情况较多，而反面情况较少的计数问题上；捆绑主要用在相邻问题上；插空用在不相邻问题上．
一、剔除问题
四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法有__________种．
思路分析：在这10个点中，不共面的不易寻求，而共面的容易找，由10个点中取出4个点的组合数C410减去4个点共面的个数即为所求．
答案：141
解析：如图，从10个点中任取4个点有C410种不同的取法，其中4个点共面的情形可分三类：
第一类：4个点在四面体的同一个面内，有4C46种；
第二类：4个点位于相对的棱上，即一条棱上三点与对棱的中点共面，有6种；
第三类：从6条棱的中点中取4个点时有3种共面．
综上所述可知：不同的取法共有：C410－(4C46＋6＋3)＝141种．
从正方体的6个面中选取3个面，其中2个面不相邻的选法共有多少种？
解：联想一空间模型，注意到“有两个面不相邻”即可从相对平行的平面入手正面构造，即有C16·C12＝12种不同的选法，也可从反面入手剔除8个角上3个相邻平面，即有C36－C18＝12种不同的选法．
利用剔除法要把不满足条件的情况剔除干净或把问题的全部情况考虑清楚，做到不重不漏．
二、捆绑问题(相邻问题)
从单词“equation”中选取5个不同的字母排成一列，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排列共有__________种．
思路分析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个，再进行全排列．答案：480
解析：先将“qu”捆绑成一个元素，再从剩余的6个元素中取3个元素，共有C36种不同的取法，然后对取出的4个元素进行全排列，有A44种方法，由于“qu”顺序不变，根据分步计数原理共有C36·A44＝480种不同排列．
停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有多少种？
解：将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行排列，共有A99＝362 880种不同的停车方法．
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列．
三、插空问题(不相邻问题)
7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是__________．
思路分析：先将除甲、乙两人之外的5人排成一行，再对5个人之间的六个间隙插入甲、乙两人．
答案：3 600
解析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有A55种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入甲、乙两人，有A26种方法，故共有A55·A26＝3 600种不同的排法．
晚会上有8个唱歌节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈节目在节目单中都不相邻，求不同的节目单的种数．
解：先排8个唱歌节目共有A88种不同方法，然后从唱歌节目之间及两端共有9个间隙中选3个，将3个舞蹈节目插入，有A39种方法，由分步计数原理知，不同的节目单的种数为
A88·A39＝20 321 280.
解决不相邻问题常用插空法，要先把不相邻的元素抽出来，剩余的元素进行全排列，然后把抽出来的元素插入全排列时元素之间及两端形成的空隙中，注意两端也是“空隙”．
1．记者要为5名志愿者和他们帮助过的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不在两端的排法有__________种．
答案：960
解析：5名志愿者先全排有A55种，2位老人作为一个元素插空，并且两位老人左右有别，故共有A55·C14·A22＝960种不同的排法．
2．由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字且1,3都不与5相邻的六位偶数有__________个．答案：108
解析：插空法，先排2,4,6共有A33种方法；
若1,3,5都不相邻，则有A33种方法，若1,3相邻，则有A22A33种方法；
∴共有A33(A33＋A22A33)＝108种不同的排法．
3．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的排法有__________种．
答案：1 008
解析：若丙排在10月1日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丁排在10月7日，共有A55·A22＝240种不同的排法，若丙排在1日且丁排在7日，共有A44A22＝48种不同的排法，若不考虑丙丁的条件限制，共有A66·A22＝1 440种不同的排法，
∴符合题意的排法的种数为1 440－240－240＋48＝1 008.
4．有11名外语翻译人员，其中5名是英语译员，4名是日语译员，另外两名英、日都精通，从中找出8人，使他们可以组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另外4人翻译日语，这两个小组能同时工作，问这样的8人名单可开出几张？
解：按英、日语都会的翻译人员的参与情况，分成三类：
第1类，“英、日都会的翻译人员”不参加，有C45C44种；
第2类，“英、日都会的翻译人员”有一人参加，该人可参加英语，也可参加日语，因而有(C12C35C44＋C12C45C34)种；
第3类，“英、日都会的翻译人员”均参加，这时又分三种情况：两人都译英语，两人都译日语，一人译英、一人译日，因而有(C25C44＋C45C24＋C12C35C34)种．
由分类计数原理知，可开出名单共有C45C44＋C12C35C44＋C12C45C34＋C25C44＋C45C24＋C12C35C34＝185种．5．7位同学站成一排合影留念，
(1)其中甲不站排头，乙不站排尾的排法有多少种？
(2)甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有多少种？
(3)甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有多少种？
解：(1)用剔除法：总排有A77种，不符合条件的甲在排头和乙在排尾的排法均为A66，但这两种情况均包含了甲在排头同时乙在排尾的情况共有A55种．
∴甲不站排头，乙不站排尾的排法有A77－2A66＋A55＝3 720种．
(2)用捆绑法：第一步，将甲、乙和丙三人“捆绑”成一个大元素与另外4人的排列为A55种，第二步，“释放”大元素，即甲、乙和丙在捆绑成的大元素内的排法有A33种，∴甲、乙和丙三位同学必须相邻的排法共有A55·A33＝720种．
(3)用插空法：第一步，先排除甲、乙和丙之外的4人的全排列有A44种排法，第二步，把甲、乙和丙三人插入前4人中间及两端形成的5个空隙中，共有A35种排法．∴甲、乙和丙三位同学都不能相邻的排法共有A44·A35＝1 440种．。