高三数学第一轮复习——圆的方程
高三数学第一轮复习讲义7.5 圆的方程(无答案)全国通用
§7.5 圆的方程班级 姓名 学号例1：求圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程。
例2：一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。
例3：设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。
（1）当且仅当m 在什么范围内，该方程表示一个圆。
（2）当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。
例4：已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。
【备用题】已知圆x 2+y 2－6x －4y+10=0，直线L 1：y=kx, L 2:3x+2y+4=0, x 在什么范围内取值时，圆 与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时， 求证：|OP|·|OQ|为定值。
【基础训练】1、A=C ≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、不充分不必要条件2、圆x 2+y 2－2x=0和x 2+y 2+4y=0的位置关系是： （ ） A 、相离 B 、外切 C 、相交 D 、内切3、以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为： （ ）A 、(x+5)2+(y －4)2=16B 、(x －5)2+(y+4)2=16C 、(x+5)2+(y －4)2=25D 、(x －5)2+(y+4)2=164、方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E 2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是： A 、D=E B 、E=F C 、E=F D 、D=E 且F ≠05、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y 2=4的内部，则a 的取值范围是 。
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
8.3圆的方程课件高三数学一轮复习
(2) 圆 (x ＋ 2)2 ＋ (y － 12)2 ＝ 4 关 于 直 线 x － y ＋ 8 ＝ 0 对 称 的 圆 的 方 程 为
___(x__－__4_)_2_＋__(_y_－__6_)_2_＝_.4
解析 设对称圆的圆心为(m，n)， 则nmm－－2＋1222－＝n－＋211，2＋8＝0，解得mn＝＝64，，所以所求圆的圆心为(4，6)，
B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r. 因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a. 又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2， 所以a＝1，b＝1.所以r＝2. 所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
5.已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( A)
A.4
B.5
C.6
D.7
解析 由平面几何知识知，当且仅当原点、圆心、点(3，4)共线时， 圆心到原点的距离最小且最小值为 dmin＝ （3－0）2＋（4－0）2－1＝4.
6.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为
程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
一般
(D2＋E2－4F＞0)
圆心坐标：__－__D_2_，__－__E2____ 半径 r＝21 D2＋E2－4F
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|＞r⇔M在__圆__外__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在__圆__上__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|＜r⇔M在__圆__内__，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
高三理科数学一轮总复习第八章 直线和圆的方程
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命题展望
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.
4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；
当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以＝2，解得k＝－，方程为3x＋4y－10＝0.
故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.
【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.
5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.
7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.
10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.
本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.
l的倾斜角为2θ，tan2θ＝ ＝＝.
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
2020高三数学一轮复习(人教版理)：圆 的 方 程
解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|＝|a－－a－4|
2
2
即|a|＝|a－2|，解得 a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝ 2 ＝ 2，所以 2
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选 B。
答案 (1)B
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心 且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ()
答案 48
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 圆的方程 【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则 圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②， 联立①②，解得xy＝ ＝30， ， 所以圆心坐标为(3,0)，半径 r＝ 4－32＋1－02 ＝ 2，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2。
一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析 故选 D。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 D
2．(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y －2＝0 上的圆的方程是( )
解析
设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得|2a|＝4 5
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲
高三数学第一轮复习：圆的方程及直线与圆的位置关系知识精讲【本讲主要内容】圆的方程及直线与圆的位置关系圆的标准方程、圆的一般方程、圆的参数方程、直线和圆的位置关系【知识掌握】 【知识点精析】1. 圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=，方程表示圆心为(),C a b ，半径为r 的圆。
2. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x⑴当0422>-+F E D 时，表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，的圆； ⑵当2240D E F +-=时，表示一个点,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ⑶当0422<-+F E D 时，它不表示任何图形。
3. 圆的标准方程与一般方程的比较：圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：①2x 和2y 的系数相同，都不等于０；②没有xy 这样的二次项。
二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是：①2x 和2y 的系数相等且不为零，即0A C =≠；②没有xy 项，即0B =；③0422>-+F E D ，其中①、②是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。
说明：圆的标准方程和一般方程均含有三个参变量，因此必须有三个独立条件才能确定一个圆；求圆的方程的主要方法为待定系数法。
4. 圆的参数方程：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数，即()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩()*，并且对于t 的每一个允许值，由方程组()*所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么方程组()*就叫做这条曲线的参数方程，联系,x y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。
cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩()θ为参数表示圆心为()a ，b ，半径为r 的圆。
5. 直线与圆的位置关系： ⑴点与圆的位置关系：若圆()()222x a y b r -+-=，那么点()000,P x y 在⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+-⇔<-+-⇔=-+-⇔220202202022020)()()()()()(r b y a x r b y a x r b y a x 圆外圆内圆上⑵直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。
高三数学课件：圆的方程
2
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中 直径式： 直径式 ， 点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端 ， 是圆的一条直径的两个端 。（用向量法证之 用向量法证之） 点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y = r2 −(x −a)2 +b, y = − c +bx− x2 −d ）半圆方程： (5)圆系方程： 圆系方程： 圆系方程 i)过圆 ：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线 过圆C： 过圆 和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为 ： 的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆 1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： 过两圆C 过两圆 ， x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆 2； 该方程不包括圆C 该方程不包括圆 时为一条直线方程， （ λ = −1时为一条直线方程，相交两圆时 为公共弦方程； 为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称 轴方程） 轴方程）
(1+k2)[x1 + x2)2 −4x1x2] （2）代数法：用弦长公式 ）代数法：
的半径为3， 相切， 例4、已知⊙O的半径为 ，直线 l 与⊙O相切， 、已知⊙ 的半径为 相切 相切，并与⊙ 相交的公共弦恰 一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰 的直径， 为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 的直径 求动圆圆心的轨迹方程。 【点评】建立适当的 点评】 坐标系能使求轨迹方 程的过程较简单、 程的过程较简单、所 求方程的形式较“ 求方程的形式较“整 A 齐” .
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课题：圆的方程
教案设计：黄林城 教案审核：高三数学理科备课组 授课时间：2016年3月23日 教学目标：
1．掌握确定圆的几何要素。
2．掌握圆的标准方程和一般方程。
3．掌握点和圆的位置关系及判断方法。
教学重点:掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程和圆的一般方程。
教学难点:根据已知条件,求圆的方程。
教学重难点:围绕圆的几何性质进行合理转化,运用方程思想列出关于参数：r b a 、、(或
F E D 、、)得到方程组,进而求出圆的方程。
教学过程：
一、自学尝试
（一）知识梳理
1．圆的定义
⑴在平面内，到 的距离等于 的点的轨迹叫做圆．
⑵确定一个圆最基本的要素是 和 ．
2．圆的方程
3．点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系
（二）基础自测
1．圆3)2()1(22=+++y x 的圆心为 ；半径为 .
2．圆0114822=+--+y x y x 的圆心为 ；半径为 .
3．方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围为( )
A. 2≤m
B. 2<m
C. 21≤m
D. 2
1<m 4．以(1,0)为圆心，且与直线03=+-y x 相切的圆的方程是（ ）
A ．8)1(22=+-y x
B ．8)1(22=++y x
C ．16)1(22=+-y x
D ．16)1(22=++y x
二、主干讲解
【例1】已知圆经过点)3,2(-A 和)5,2(--B ，且圆心在直线032=--y x 上，求圆的方程．
【例2】若实数x ，y 满足22410x y x +-+=， 求：
（1）y x
的最大值； （2）22x y +的取值范围．
三、局部训练
1.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x
轴所得弦的长为则圆C 的标准方程为 ．
2.已知点),(y x P 是圆1)2(22=++y x 上任意一点.
（1）求P 点到直线01243=++y x 的距离的最大值和最小值；
（2）求y x 2-的最大值和最小值；
（3）求1
2--x y 的最大值和最小值.
四、综合应用
【例3】已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
恰好被面积最小的圆
2:()C x a -+22()y b r -≤及其内部所覆盖．
（1）试求圆C 的方程；
（2）若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同两点,A B ，满足CA CB ⊥，
求直线l 的方程．
五、效果反馈
（一）归纳反思
1.求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式：
①若已知条件与圆心、半径有关，用圆的标准方程；
②若条件涉及过几点，用圆的一般方程．
2.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样可使问题简化．
（二）巩固训练
1.已知圆C 与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上,则圆C 的方程为（ ）
A.（x+1）2+(y-1)2=2
B.（x-1）2+(y+1)2=2
C.（x-1）2+(y-1)2=2
D.（x+1）2+(y+1)2=2
2.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y 轴于M,N 两点,则|MN|等于( )
D.10
3．点(sin ,cos )θθ与圆222x y +=的位置关系是（ ）
A ．点在圆上
B ．点在圆内
C ．点在圆外
D ．无法确定
4.若圆222410x y x y ++-+=上的任意一点关于直线220ax by -+=*(,R )a b ∈的对称点仍在圆上，则12a b
+最小值为（ ）
A ．．．3+．3+
5.已知曲线24:y x C --=，直线l ：6x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上
的Q 使得AP AQ +=0 ，则m 的取值范围为 ．
6.设直线l:y=kx+1被圆C:x 2+y 2
-2x-3=0截得的弦最短,则直线l 的方程为 .
7.写出满足下列条件的圆的方程:
(1)圆心在原点,半径为3；
(2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4)；
(3)以A(2,5),B(0,-1)直径 。