【材料力学课件】05-扭转

又 L11 + L22 = 510 ， 故 L11 = 298 mm 。
28
x
m h h
16 t L22 d 22 ≥ π[τ ]
13 13
19
t d1 1 A L1 1 B L L2 2 C d2 2
16 t L d11 ≥ π[τ ]
轴的体积
13 13
16 t L22 d 22 ≥ π[τ ]
13 13
V = A11L11 + A22L22
23 23 16tL 22 33 π 22 π 16tL22 2 2 V = [d11 (L L22 ) + d 22 L22 ] = L22 (L L22 ) + 4 4 π[τ ] π[τ ]
( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 ) d d 22 T = rτ dA = G r 22 dA = G r dA dx dx A A A A A A
∫
∫
∫
d T = GI PP dx
d T = dx GI PP
重要公式
Tr τ = IP P
13
重要公式
Tr τ = IP P
切应力在 切应力在 横截面上 分布规律
∫
∫
d 2 d 2
∫
π 2 π 2
∫
23
y
垂直方向合力为
Q
Tr cosθ r dr dθ Qyy = τ yydA = I A P A A P A
∫
∫
Qy Qx
3 3
x
=
T Td r 22dr cosθ dθ = I PP 00 24I PP 0 0
d 2 d 2
∫
π 2 π 2
∫
T
总合力为
2Td 33 4 2T = Q = Q 22+ Qy22 = x x y 24 I PP 3πd
切应变与相对转角之间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
切应力与相对转角之间的关系
力学关系 ( 切应力对轴的合力矩即截面上的扭矩 )
相对转角表达式及切应力表达式
11
切应力公式推导
几何关系 ( 平截面假设 )
R r d γ (( r )) γ A A′ dx dx
d 是前后两个端面的相对转角。
γ 是外表面沿轴线方向上的切应变。 是外表面沿轴线方向上的切应变。
13 13
3 33 22 L11 = 1 L 5
20
F
例 若密圈螺旋弹簧的平均半径 R 远大于簧丝 直径 d，且簧丝倾角小于 5，当轴向压力为 F ，且簧丝倾角小于 5，当轴向压力为
d
时，求簧丝中的最大切应力。 忽略簧丝曲率和倾角 α 的影响，簧丝中 的扭矩
α
F
T = RF
T R FS S
4
背 景 材 料
5
本 章 基 本 要 求
理解导出受扭圆轴横截面上切应力公式的方法。 掌握圆轴扭转时横截面上的切应力分布规律，并 能熟练地进行圆轴扭转的强度和刚度的计算。 能进行简单的扭转超静定问题的分析计算。 了解非圆截面杆件和薄壁杆件扭转时最大切应力 和变形的计算。
6
5.1 圆轴扭转的应力与强度
第五章 扭转

1
Chapter Five
Torsion
2
背景材料 本章基本要求 5.1 圆轴扭转的应力与强度 5.2 圆轴扭转的变形与刚度 5.3 圆轴扭转的超静定问题 圆轴扭转的超静定问题 5.4 非圆截面轴扭转的应力 本章作业 本章内容小结
4 6 7 26 35 39 53 54
3
背 景 材 料
直径的确定必须 满足强度条件。
在 AB 段中，A 截面的扭矩最大。
TA = t L A
τ A max = A max
TA tL A = 33 ≤ [τ ] WPP A πd11 16 A
16 t L d11 ≥ π[τ ]
13 13
在 BC 段中，B 截面的扭矩最大。
TB = t L22 B TB t L22 B τ B max = = 33 ≤ [τ ] B max WPPB πd 22 16 B
只需对右半段进行计算。
11 = 22
TL11 TL22 = GI PP11 GI PP22
α 22 = d 22 D = 0.76
[τ ] 33 T22 ≤ D π (1 α 244 ) = 1.15 kN m 2 16
许用转矩 [m] = 1.15 kN m 。
4 L11 I PP11 1 α114 = = = 1.41 4 4 L22 I PP22 1 α 22
π 16t = 4 π[τ ]
23 23
[L (L L ) + L ]
23 23 2 2 53 53 2 2
dV 22 33 5 22 33 = C L + L22 = 0 要使轴的体积为最小，应有 dL22 3 3 L22 = L 5
32 32
d 22 ≥
3 16 t L 5 π[τ ]
8(P11D11 + P22D22 ) d ≥ 33 π[τ ]
分析与讨论
轴径如何设计更为合理？ 设计本题中的轴径还应考虑什么因素？
18
t d1 1 A L1 1 B L L2 2 C d2 2
例 图中结构由两段等截面圆轴构 成。圆轴总长度为 L ，全长上作用 着均布力偶矩 t 。材料许用切应力 为 [τ ]。要使圆轴重量为最轻，确 ]。要使圆轴重量为最轻，确 定两段轴的长度 L1 和 L2 ，以及直 1 2 径 d1 和 d2 。 1 2
25
5.2 圆轴扭转的变形与刚度
L
圆轴扭转的刚度用两端面的 圆轴扭转的刚度用两端面的 相对转角来表示。
d T = dx GI PP
T d = dx GI PP
L L
( x ) = ( 0) + ∫
T dx GI PP 0 0
x x
= ∫ T ( x) dx 重要公式
0 0
扭矩和极惯 性矩是常数
D = 60 m2 =3kNm 2 =3kNm D1 1
空心轴
WPP11 =
1 3 π D113(1 α 44 ) = WPP 16
16 WPP D11 = = 65.74 mm 4 4 π (1 α )
3 3
取 D11 为 66 mm 。 两者重量比
G11 D1122 = 22 (1 α 22 ) = 0.61 G D
5
6
3
2
3
5
6
9
5.1.2 圆轴扭转的平截面假设 圆轴扭转的平截面假设
圆轴横截面在扭转时始终保持是平面。 圆轴横截面在扭转时始终保持是平面。 圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。 圆轴横截面上的半径在扭转时始终保持是直线。
10
5.1.3 圆轴扭转时横截面上的应力 圆轴扭转时横截面上的应力 推导思路 几何关系 ( 平截面假设 )
G IP ( x ) P
= TL
GIP P
注意 式中 的单位是弧度。
26
T ( x) dx 重要公式 = 0 G IP ( x) 0 P
∫
L L
= TL
GIP P
单位长度相对转角
θ=
T GI PP
GIp：抗扭刚度 ( torsion stiffness ) p：抗扭刚度 刚度条件
max ≤ [ ] max θ max ≤ [θ ] max
T FR 16 FR τ TTmax = = 33 = max WPP π d 16 π d 33
剪力所引起的切应力可认为是平均分布 剪力所引起的切应力可认为是平均分布 在断面上
16 FR 4 F 16 FR d τ max = + 22 = 1+ 3 max 3 3 3 πd πd π d 4R
对 O 点取矩
Td 33 Qxx = 24I PP Td 33 Qyy = 24I PP
Q rC = C
T 4
rC = C
3π d T = 4Q 16 2
24
分析与讨论
该区域是如何平衡的？ 前端面上应力是如何 分布的 ？ 顶面上有应力吗 ？
顶面上应力是如何分布的 ？ 顶面上应力是如何分布的 顶面上的应力合力是怎样的？ 前后端面上的应力合力是怎样的？ 前后端面上的应力合力是怎样的？ 试对上述各部份合力进行定量计算。
22
y
例 设圆轴横截面上的扭矩为 T ， 试求其 1/4 截面上内力系的合力的 大小、方向及作用点。 水平方向和竖直方向分量为
T x
Tr τ xx = τ (r ) sinθ = sinθ I PP
τ yy = τ (r ) cosθ = T r cosθ
水平方向合力为
Tr I PP
Tr T Td 33 sinθ r dr dθ = r 22dr sinθ dθ = Qxx = τ xxdA = I PP I PP 00 24I PP A 0 A A 0 A
注意 式中，m、 Pkk 和 n 的单位是固定的。 式中，m、
7
动脑又动笔 动脑又动笔
画出以下结构的扭矩图（单位：kNm）。 kNm
3
5
2
6
T x
3 kNm kNm 8 kNm kNm 6 kNm kNm
8
分析与讨论
从轴的扭转强度考虑，哪一种布置最合理？（单位：kNm） kNm
3
5
2
6
5
6
2
3
2
在外表面处的切应变 在离轴心 r 处的切应变 物理关系 ( Hooke 定律 )
AA′ Rd γ = tanγ = = dx dx
d γ (r ) = r dx d τ ( r ) = Gγ ( r ) = Gr dx