材料力学课件-扭转弯曲
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材料力学第四版课件 第三章 扭转
2
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
例1：图示空心圆轴外径D=100mm,内径 图示空心圆轴外径D=100mm,内径 d=80mm, M1=6kN·m, M2=4kN·m, 材料的切变 =6kN· 模量 G=80GPa. （1） 试画轴的扭矩图； 试画轴的扭矩图； （2） 求轴的最大切应力,并指出其位置. 求轴的最大切应力,并指出其位置.
平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 平面假设：圆轴扭转后各横截面仍保持为平面， 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。 各横截面如同刚性平面仅绕轴线作相对转动。
横截面上无σ 1）横截面上无σ 2）横截面上只有τ
F O1 a d dφ d1 dx O2
dd1 ρdφ γ ρ ≈ tanγ ρ = = ad dx
4
πd
3 0
(
)
16T ∴d0 ≥ 3 = 76.3mm 4 π (1−α )[τ ]
取 d0 = 76.3mm、 、 (3)比较空心轴与实心轴的重量 比较空心轴与实心轴的重量 积之比： 二者重量之比等于横截面 积之比：
π (d − di ) 4 = 0.395 β= 2 4 πd
2 0 2
可见空心轴比实心轴的重量轻 可见空心轴比实心轴的重量轻
任一点处的切应变 切应变与到 距圆心为 ρ 任一点处的切应变与到 成正比。 圆心的距离ρ成正比。
2. 物理方面
dφ γρ = ρ dx
dφ τ ρ = Gρ dx
3. 静力学方面
dφ 2 T = ∫ ρτ ρ dA = G ∫ ρ dA dx A A
Ip = ∫ ρ dA 称为极惯性矩
2 A
ρ
dA
MB
1
MC
MA
2 2
A
3
MD
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条
3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS
材料力学_ 组合变形_：扭转与弯曲的组合_
M2 T2 W
M 2 0.75T 2 W
式中W为杆的抗弯截面系数.M,T分别为危险截面的弯矩和扭 矩. 以上两式只适用于弯扭组合变形下的圆截面杆.
例题4 空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构,受力如图.AB杆的外
径 D=140mm,内外径之比α= d/D=0.8,材料的许用应力[] =
160MPa.试用第三强度理论校核AB杆的强度
A
C
D
F1
F2
解:将F2向AB杆的轴线简化得
400
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
400
F2 1kN Me 0.4kN m
AB为弯扭组合变形
B
A
C
D
F1
固定端截面是危险截面 F2
Mmax 0.8F1 0.4F2 0.8kN m
Tmax 0.4kN m
400
400
r3
Mm2 ax Tm2ax
W
d 38.5mm
W πd 3
32
d 44.83mm
MeC F=3F2
T=1kN·m + 1kN·m
+
例题6 F1=0.5kN,F2=1kN,[]=160MPa.
（1）用第三强度理论计算 AB 的直径 （2）若AB杆的直径 d = 40mm,并在B端加一水平力
F3 = 20kN,校核AB杆的强度.
400
400
B
对于许用拉压应力相等的塑性材
料制成的杆,这两点的危险程度是相同 的.可取任意点C1 来研究.
C1 点处于平面应力状态, 点的单元体如图示
该
C1
A截面
C3
C4
C2
C1
C3
T
C4
材料力学-第4章 扭转 ppt课件
dA
T
O
dA
23
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
A dA T
代入：
G
G
d dx
得到：
G d 2dA T dx A
记： IP －2dA称为圆截面的极惯性矩
A
则：圆轴扭转角的变化率 d T
dx GIP
圆截面切应力
采用右手螺旋法则，如果用四指表示扭矩的转向， 拇指的指向与截面的外法线n的方向相同时，该扭矩为 正；反之，规定扭矩为负
正扭矩
负扭矩
——保证了无论从哪一段计算，扭矩的大小和符号 都相同
12
材料力学－第4章 扭转
扭力偶矩计算与扭矩
讨论：如图受扭圆轴，m-m截面上扭矩为多少？
Me
m
2M e
m m
T Me
17
材料力学－第4章 扭转
圆轴扭转横截面上的应力
几何变形：
1. 横截面绕圆轴的轴线转动
？
主要
2. 圆轴中段的横截面缩小 几何变形特征
有剪切应变 rz 次要
3. 圆轴的长度略有增长
有轴向应变 z 次要
– 变形后，横截面仍保持为平面，其形状和大小均不
改变，半径仍为直线
– 变形后，相邻横截面的间距保持不变，相邻横截面 绕圆轴轴线转动一定的角度
外力偶矩的计算
• 工程中的传动轴，通常给出传动轴所传递的功率和转 速，而不直接给出外力偶矩的数值
• 设外力偶矩为Me，传动轴的功率为P，角速度为w，则
有（理论力学）
Me
P
w
外力偶矩Me 单位：N·m (牛顿·米) 功率为P 单位：J (焦耳)
材料力学扭转(共56张PPT)
例题： ：空心轴和实心轴材料相同，面积相同, α= 0.5。试比较空心轴和实心轴的强度和刚度情况。
解： 1〕确定两轴尺寸关系
面积相同 (1)校核空心轴及实心轴的强度〔不考虑键槽的影响〕；
扭转角单位：弧度〔rad〕 在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。
D1 d1
D d 2 2可G、I见P扭—在矩—载计抗荷算扭相1、2刚同符度的号。条规件定下和，扭空矩2心图轴绘的制重量仅为实2心轴的31% 。
1、扭转杆件的内力〔截面法〕
m
m
左段：
mx 0, T m 0
T m
右段：
m x
0,
mT 0
T m
m
Tx
T
m
x
内力偶矩——扭矩 T
2、扭矩的符号规定：按右手螺旋法那么判断。
+
T
T
-
3、内力图〔扭矩图〕
扭矩图作法：同轴力图：
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮 2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、 12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
二、 扭转杆的变形计算
1、扭转变形：〔相对扭转角〕
d T
dx GI P
扭转变形与内力计算式
d T dx
GIP
T dx
L GIP
1) 扭矩不变的等直轴
Tl GI p
扭转角单位：弧度〔rad〕 GIP——抗扭刚度。
2)各段扭矩为不同值的阶梯轴
Tili GI pi
3)变截面轴
T (x) dx l GI p (x)
2)、设计截面尺寸:
T
Ip
材料力学——第三章 扭转
33
材 料 力 学
表明： 当薄壁圆筒扭转时，其横截面和包含轴线的纵向截
面上都没有正应力； 横截面上便只有切于截面的切应力；
34
材 料 力 学
4、切应力分布规律假设
因为筒壁的厚度很小，可以认为沿筒壁厚度切应力均匀分布；
35
材 料 力 学
5、薄壁圆筒的扭转切应力
T
rm
2 rm t T
m1
m4
15.9(kN m)
A
P2 m2 m3 9.549 4.78 (kN m) n P4 m4 9.549 6.37 (kN m) n
17
B
C
D
材 料 力 学
2、求扭矩
m2
T1 m2 0
T1 4.78kN m
T2 m2 m3 0
材 料 力 学
三、切应变
纯剪切单元体的相对两侧面 发生微小的相对错动， a
´
c
´
b
d
t
使原来互相垂直的两个棱边 的夹角改变了一个微量γ；
圆筒两端的相对扭转角为υ，圆筒 的长度为L，则切应变为
L r
r L
39
材 料 力 学
四、剪切虎克定律：
当剪应力不超过材料的剪切比例
齿轮轴
9
材 料 力 学
§3-2、外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
一.外力偶矩的计算 ——直接计算
M=Fd
10
材 料 力 学
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 计算：力偶矩M
电机每秒输入功： 外力偶作功：
W P 1000(N.m)
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§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
[例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
A
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
XA A
YA
P
B
RB
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
Fs
无变化FsxFra bibliotekFs<0 M
x
x
x
Fs1 C
Fs>0
斜直线
M x x
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
M M x M x
Fs2 Fs1–Fs2=P
x
C
x
增函数 降函数
折向与P反向
与 m 同
M
M1 x
M2 M 2 M1 m
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作 用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为 弯曲。以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
受力特点：外力垂直于杆轴线,力偶作
用于轴线所在平面内。 变形特点：杆轴线由直变弯。
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。 ②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
杆件受到大小相等,方向相反且作用平 面垂直于杆件轴线的力偶作用, 杆件的横截 面绕轴线产生相对转动。
受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横 截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴 扭转。
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
1.外力偶矩
直接计算
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
按输入功率和转速计算
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
③固定端 3个约束，0个自由度。
如：游泳池的跳水板支座，
木桩下端的支座等。 4. 梁的三种基本形式 ①简支梁
XA
YA
MA
M — 集中力偶
q(x) — 分布力 ②悬臂梁
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
③外伸梁 q — 均布力 P — 集中力
5. 静定梁与超静定梁
材料力学
袭良贵主编 北航出版社
目录
第3章
扭 转
第3 章 扭 转
§3.0 §3.1 §3.2 §3.3 §3.4 扭转的概念和实例 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 薄壁圆筒的扭转 圆轴扭转时的应力 圆轴扭转时的变形
§3.0 扭转的概念和实例
汽车传动轴
汽车方向盘
§3.0 扭转的概念和实例 扭转受力特点 及变形特点:
YO Fs(x)
x
Fs(x)
②写出内力方程
P
Q( x ) YO P
x
M ( x) x –PL
M ( x ) YO x M O P( x L )
③根据方程画内力图
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
Fs 解：①写出内力方程 L Fs(x) x Fs(x) M ( x)
Fs( x) qx
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功： 外力偶作功完成：
W P 1000(N m) n W M e 2 60
P
P
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
MT = Me
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
M ( x)
3q0 L2 27
x
q0 x 2 2 M ( x) (L x ) 6L
③根据方程画内力图
二、剪力、弯矩与外力间的关系 外 力 无外力段
q=0
均布载荷段
q>0 q<0
集中力
F C
集中力偶
m C
Fs Fs 图 特 征 M 图 特 征
水平直线
Fs Fs
斜直线
Fs
自左向右突变
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.2 薄壁圆筒的扭转
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
①剪力Fs: 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。 Fs(+) Fs(+) Fs(–) 左上右下为正 Fs(–)
②弯矩M：使微段梁产生下弯趋势的为正弯矩；反之为负弯矩。 M ( +) M(+) 下弯为正
M(–)
M(–)
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
1. 内力方程：内力与横截面位置坐标（x）间的函数关系式。
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
第4章
弯
曲
第4章 弯曲
§4.1 弯曲的概念及梁的计算简图 §4.2 梁和剪力及弯矩，剪力图与弯矩图 §4.3 梁的正应力和强度计算 §4.4 梁的切应力和强度计算 §4.5 提高梁弯曲强度的措施 §4.6 梁的变形和刚度计算
Fs Fs(x ) M M ( x)
剪力方程 弯矩方程
2. 剪力图和弯矩图： 剪力图 弯矩图
Fs Fs(x ) 的图线表示
M M ( x) 的图线表示
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
[例3] 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。 MO
L
P 解：①求支反力 M ( x)
YO P ; MO PL
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§6.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
§3.4 圆轴扭转时的变形和刚度计算
P(l a) l
XA A YA
m
P
B RB
m x Fs C M Fs M C
mC 0 , M YA x
∴ 弯曲构件内力 剪力Fs 弯矩M 1. 弯矩：M 构件受弯时，横
YA
P
截面上位于轴线所在平面内的内
力偶矩，矩心为横截面形心.
RB
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
2. 剪力：Fs 受弯时横截面上过截面形心且平行于截面的内力。 3.内力的正负规定:
1 M ( x ) qx2 2
②根据方程画内力图
M ( x)
– FsL
x
qL2 2
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
q0 解：①求支反力
L
RA
q0 L2 6
RB Fs(x)
3 L 3
q0L q0L RA ; RB 6 3
②内力方程
q0 L2 3
x
Q( x )
q0 2 (L 3x2) 6L
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
[例1]贮液罐如图示，钢罐内装有0.8m深的液体。贮液罐的 计算简图如下。
q — 均布力
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
一、剪力与弯矩 a P B l
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§6.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.1 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
§3.2 薄壁圆筒的扭转