高效求解整数线性规划问题的分支算法_高培旺

另一方面 , 整数线性规 划的最优 解常常 位于整 数值目 标 函数超平面上 。 注意 到这一点 , 人 们把目 标函数作 为一个 参 数 , 令其从线性规划松弛问题的最优值处离散变化 , 然后提出 了一些直接或隐数算法 [ 8 -9] 用于在目标函数超平面上搜 寻求 解 。 然而 , 这些方法在计算 凸多面 体的极 顶点时也 许需要 非 常复杂的枢轴计算 。
本文把上述两种 思想结合 起来 , 提出了 目标函 数超平 面 上的分支算法 。 在这个算法中 , 对于给定的目标函数整数值 ,
首先利用线性规划松弛 问题的 最优单 纯形表 确定变量 的上 、 下界 , 然后将变量 的上 、下界条件加入约束条件中对相应的 目 标函数超平面进行切割 , 最后 应用分 支定界 算法中 的分支 方 法来搜寻目标函数超平面上的可行解 。 如果目标函数超平 面 上不存在可行解 , 则目标函数超平面移动一个单位 , 继续上 述 计算过程 。 应用该算法求解计算了一些经典的数值例子并 与 经典的分支定界算法进行了比较 , 结果表明 , 该算法的计算 效 率比经典的分支定界算法要高得多 。
Abstract:Inordertoimprovethecomputationalefficiency, abranchalgorithm forgeneralintegerlinearprogramming problemsontheobjectivefunctionhyperplaneshiftswaspresented.First, foragivenintegervalueoftheobjectivefunction, thelowerandupperboundsofthevariablesweredeterminedbytheoptimum simplextableauofthelinearprogramming relaxationproblem.Thentheconditionsontheboundswereaddedtotheconstraintsascutstotheassociatedobjectivefunction hyperplane.Finally, abranchprocedureofthebranch-and-boundalgorithm wasappliedtofindingafeasiblesolutiononthe objectivefunctionhyperplane.Thecomputationaltestonsomeclassicalnumericalexamplesshowsthat, comparedwiththe classicalbranch-and-boundprinciple, thealgorithmgreatlydecreasesthenumberofbranchesandthenumberofiterationsin computation, andtherefore, isofpracticalvalue.
1 目标函数超平面上变量上 、下界的确定
考虑如下形式的整数线性规划问题 : maxf=cTx s.t.Ax≤ b x≥ 0, x∈ Z 这里 , A =(aij)是一个 m×n阶的整数矩阵 , b, c是 相应维数 的整数列向量 。与 ILP相应的线性规划 松弛问题 , 本文用 RILP 表示 。 假设通过应用单纯形 算法 [ 10] , 获得了 RILP的一 个基 本 最优解 :xB＊ =b＊, xN＊ =0, 相应的最优值为 f＊, 这里 , xB＊ 和 xN＊ 分别是最优基变量和非 基变 量 。令 cN＊ 表 示与非 基变 量 对应的缩减费用 , 则目标函数和约束条件可表示为 :
摘 要 :为了提高求解一般整数线性 规划问 题的效 率 , 提 出了一 种基于 目标函 数超平面 移动的 分支算 法 。 对于 给定的目标函数整数值 , 首先利用线性规划 松弛问 题的最 优单纯 形表确 定变量的 上 、下界 , 然后将 变量的 上 、下界条 件加入约束条件中对相应的目标函数超平面进行切割 , 最后应用分支定界 算法中的分 支方法来 搜寻目标函 数超平面 上的可行解 。 通过对一些经典的数值例子的求 解计算 并与经 典的分支 定界算 法进行 比较 , 结果表 明 , 该算法 减少了 分支数和单纯形迭代数 , 具有较大的实用 价值 。
第 30卷第 4期 2010年 4月
计算机应用 JournalofComputerApplications
Vol.30 No.4 Apr.2 010
文章编号 :1001 -9081(2010)04 -1019 -03
高效求解整数线性规划问题的分支算法
高培旺
(广西财经学院 数学与统计系 , 南宁 530003) (pwgao@)
Key words: linearprogramming; integerprogramming; objective function hyperplane; simplex method; branch algorithm
0 引言
整数线 性规划 (IntegerLinearProgramming, ILP)在电子 、 控制和决策等许多 领域中 有着 广泛的 应用 [ 1-3] 。 然 而 , 整 数 线性规划问题是 NP-难 的 , 因此 , 找到一种高 效且方便的 算法 对于整数线性规划的 应用是非常有意义的 。
寻在 Sf上 的可行解 。为了使搜寻求解 过程在有限 次分支后 完 成 , 本文 假定 RILP的可行域与 Sf的截 (交 )集是有限的 。
(ILP-f) maxcTx
Ax≤ b cTx≤ f
s.t.xB＊i≤ xI BU＊i(f), 满足 :xI BU＊i(f)<+∞, i=1, … , m xB＊i≥ xI BL＊i(f), 满足 :xI BL＊i(f)>0, i=1, …, m x≥ 0, x∈ Z
显然 , 如果在 Sf上存 在 ILP的可 行解 , 它 肯定 是 (ILP-f) 的一个最优解 。接 下来 , 应用分支定界算法中的分支方法来 搜
表达式 (5)。
证毕 。
如果某个变量 xB＊i不 存在式 (4)所表示 的上界 估计 , 则
置 xI BU＊i(f)=+∞;若变量 xB＊i不存在式 (5)所表示的下界估
计 , 则置 xI BL＊i(f)=0。如果变量 xB＊i存在式 (4)所表示的上界 估计或式 (5)所表示的下界 估计 , 将其加 入 ILP的 约束条 件
收稿日期 :2009 -09 -09;修回日期 :2009 -12 -22。 基金项目 :广西自然科学基金资助项目 (桂科自 0728260)。 作者简介 :高培旺 (1964 -), 男 , 湖南宁远人 , 教授, 博士 , 主要研究方向 :最优化理论 。
1 02 0
计算机 应用
止。
接下来 , 对给定的 f的整数值 , 可以确定变量 xB＊i(i= 1, … , m)在相应的目标函数超平面 Sf上取值的一个上 、下界 , 分 别用 xI BU＊i(f)和 xI BL＊i(f)表示 。
定理 1 对给定的 f的整数值 , 令 Δf=f＊ -f, 令 αij表示 矩 阵 -B＊ -1 N＊ 的第 i行 、第 j列 元素 , 对任意 i∈ {1, … , m},
取
pL i
= min 1 ≤j≤n
{cαN＊ijj
cN＊ j >0
}, pU i
=1m≤aj≤xn {cαNi ＊jj cN＊j > 0 },
如果对所有 j=1, … , n, 有 cN＊j>0或 cN＊j= 0但 αij< 0, 则
变量 xB＊i(i=1, … , m)有一个上界估计 :
xI BU＊ i(f) =[ b＊ i +pU iΔf]
cN＊j =0但 αij >0时 , αij-pU icN＊j≤ 0显然成立 。因此 , 如果对
所有 j=1, … , n, 有 cN＊j>0或 cN＊j=0但 αij<0, 则由式 (6)
可得 :
xB＊ i≤ b＊ i +pU iΔf 注意到 xB＊i在 ILP的可行解中取 整数值 , 由 上式即 得变 量 xB＊i的上界表达式 (4)。类似地 , 可以证明变量 xB＊i的下界
第 30卷
(ILP) f=f＊ -cT N＊ xN＊ xB＊ = b＊ -B＊ -1N＊ xN＊ xB＊ ≥ 0, xN＊ ≥ 0 其中 , B＊ 和 N＊ 分别是最优基矩阵和非基矩阵 。
(1) (2) (3)
如果 RILP的基本最优解是整数向量 , 则它也是 ILP的最
优解 , 否则 , ILP的最优值肯定小于或等于 f＊。为此 , 令目 标函 数 f作为一个参数从 最优值 f＊ 处向下变化来生成一系列目标
函数超平面 , 用 Sf表 示 。显然 , 如果 ILP有可行解的话 , 其可行 解常位于整数值目标 函数超 平面 上 。本算 法就 是令参 数 f从
大到小取满足 f≤ [ f＊ ] (这里 , [·] 表示取小于或等于变量的
最大整数 )的离散整数值 , 然后依 次在 相应的 目标 函数超 平
面上搜寻求解 。按照这种方式 , 一旦在某个目标函数超平面 Sf 中找到 ILP的一个可行解 , 它也是 ILP的一个最 优解 , 算 法终
(4)
如果对 所有 j= 1, … , n, 有 cN＊j>0或 cN＊j =0但 αij>
0, 则变量 xB＊i(i= 1, … , m)有一个下界估计 :
xI BL＊ i(f) =〈max(b＊ i +pL iΔf, 0)〉
(5)
这里 , 〈·〉表示大于或等于 · 的最小整数 。
证明 对给定的 f的整数值和任意 i∈ {1, … , m}, 将式
(1)×(-pU i)+式 (2)的第 i个等式条件 , 有 :
n
∑ xB＊ i-pU iΔf=b＊ i + (αij-pU icN＊ j)xN＊ j j=1