10.7_斯托克斯公式__环流量与旋度
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10.7 斯托克斯公式
四、向量微分算子
(1) 设 u u ( x, y, z ),
u
u x u i y
则
u j z
k
grad u
(2) A P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k , 则
A
P Q R x y z
S
dy dz dz dx dx dy x y z y z x
z
n
y
3 1,1,1 1,1,1 dS 3 S
o
x
3 a
2
6
二. 环流量与环流量密度
设向量场A x , y , z P x , y , z i Q x , y , z j R x , y , z k 则沿场A中某一封闭的有向曲线 C 上的曲线积分 C A ds C Pdx Qdy Rdz 称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量 .
环流量:
环流量是刻画向量场绕闭曲线的旋转趋势大小的量 . 旋转程度不但与位置有关, 而且与旋转轴的方向有关.
环量密度:
当 S 很小时,向量场A沿 C 的环量 H 与小曲面 S 的面积之比
C
n
MS
的极限值表征了向量场 A在点M处 绕方向n旋转趋势的大小 .
斯托克斯公式 环量与旋度
一、斯托克斯公式
二、环流量与旋度 三、向量微分算子
四、空间曲线积分与路径无关的条件
一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
斯托克斯公式——换流量与旋度
在Ω内处处有
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
机动 目录 上页
∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
10-7斯托克斯公式 环流量和旋度
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
斯托克斯公式环流量与旋度
返回
则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z d xd y z Dx y y z y P P f y cos d S y z
或用第一类曲面积分表示:
定理1
目录
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返回
结束
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 z 个边界, 方向如图所示. 1 解: 记三角形域为 , 取上侧,则
O
d yd z d zd x d xd y
x y z
Pd x Qd y Rd z
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R cos cos cos d S Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
1
1 y
x
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z d xd y z Dx y y z y P P f y cos d S y z
或用第一类曲面积分表示:
定理1
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结束
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整 z 个边界, 方向如图所示. 1 解: 记三角形域为 , 取上侧,则
O
d yd z d zd x d xd y
x y z
Pd x Qd y Rd z
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R cos cos cos d S Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕 注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
1
1 y
x
Dx y
z
x
y
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
10-7 斯托克斯公式环流量与旋度要点
一、斯托克斯( Stokes )公式定理1. 右手法则(斯托克斯公式)证:情形1(利用格林公式) ∂P∂P=-⎰⎰[+fy]cosγdS∑∂y∂z情形2 证毕注意:⎰⎰∑dydzdzdxdxdy∂∂∂∂x∂y∂zPQRcosαcosβcosλ∂∂∂dS⎰⎰∂x∂y∂z∑PQR例1.解:利用对称性=3⎰⎰dxdyDxy 例2.解:*二、空间曲线积分与路径无关的条件定理2. ⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=0Γ⎰Pdx+Qdy+Rdzdu=Pdx+Qdy+Rdz证:(4)⇒(1)(1)⇒(2)(2)⇒(3)(x,y,z)Pdx+Qdy+Rdz(x0,y0,z0)u(x,y,z)=⎰∂u∂x=P(x,y,z)du=Pdx+Qdy+Rdz(3)⇒(4)证毕例3.解:P=y+z,Q=z+x,R=x+y三、环流量与旋度n=(cosα,cosβ,cosγ)τ=(cosλ,cosμ,cosν)记作rotA⎰⎰∑(rotA)ndS=⎰ΓAτds定义: 环流量旋度旋度的力学意义:=2ω(此即“旋度”一词的来源)斯托克斯公式①的物理意义:注意∑与Γ的方向形成右手系!例4.解:例5.解:*四、向量微分算子=gradu=divA=rotA内容小结1. 斯托克斯公式2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件∂Q∂R∂R∂P∂P∂Q==,=,∂y∂x∂z∂y∂x∂zrot(P,Q,R)==03. 场论中的三个重要概念梯度:散度:旋度:2r0提示:思考与练习作业。
高等数学10.7斯托克斯公式
x
D xy
小结:
一 . Gauss 公式 :
P Q R x y z d v P d y d z Q d z d x R d x d y
P cos Q cos R cos d S
如果 div v 0 则称 v 为无源场,(管形场).
v 为无源场
P Q R 0 x y z
任意闭曲面 上通量
v dS 0 .
二 . Stokes 公式 :
R Q P R Q P y z d y d z z x d z d x x y d x d y
z x y
1 3
d S
Dx y
2 1 zx
2 zy
dx dy
xy
3dxdy
Dx y
2
3
z 2x 2 y 1
D
的面积为 1
例2. I
y
2
z d x z x d y x y d z
分片光滑的有向曲面, 法向量为 n ___ z 的全部边界, 分段光 滑的有向闭曲线 ___
的侧与的 正向符合右手法则,
n
即 : 右手握住 n , 拇指与n同方向, 与四指同方向.
o x
y
记
则
v P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R( x , y , z) i j k v , , x y z x y z P Q R
D xy
小结:
一 . Gauss 公式 :
P Q R x y z d v P d y d z Q d z d x R d x d y
P cos Q cos R cos d S
如果 div v 0 则称 v 为无源场,(管形场).
v 为无源场
P Q R 0 x y z
任意闭曲面 上通量
v dS 0 .
二 . Stokes 公式 :
R Q P R Q P y z d y d z z x d z d x x y d x d y
z x y
1 3
d S
Dx y
2 1 zx
2 zy
dx dy
xy
3dxdy
Dx y
2
3
z 2x 2 y 1
D
的面积为 1
例2. I
y
2
z d x z x d y x y d z
分片光滑的有向曲面, 法向量为 n ___ z 的全部边界, 分段光 滑的有向闭曲线 ___
的侧与的 正向符合右手法则,
n
即 : 右手握住 n , 拇指与n同方向, 与四指同方向.
o x
y
记
则
v P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R( x , y , z) i j k v , , x y z x y z P Q R
斯托克斯公式环流量与旋度
环流量与旋度的关系式
斯托克斯公式
∮F·dr=∫(curlF)·dS，其中∮表示线积分符 号，∫表示面积分符号，dS表示微分面积。
VS
解释
斯托克斯公式表明，矢量场中封闭曲线上 的线积分等于该曲线所围成的面积上旋度 的面积分。即，矢量场穿过封闭曲线的线 段数等于矢量场在围成该曲线的各点处的 旋转程度在面积上的积分。
证明过程
利用数学归纳法证明斯托克斯公式的正确性，通过逐 步推导和归纳，最终得出结论。
结论
斯托克斯公式可以通过数学归纳法证明，证明了其在 数学上的严谨性和正确性。
05 斯托克斯公式的扩展与推 广
适用于非牛顿流体的推广
总结词
斯托克斯公式在非牛顿流体中的推广主要考虑了流体的非线性性质，包括剪切稀化和弹 性等特性。
基于电动力学公式的推导
电动力学公式
01
描述电磁场对带电粒子的作用电动力学公式分析流体微团在
磁场中受到的作用力，从而推导出斯托克斯公式。
结论
03
斯托克斯公式可以通过电动力学公式推导得出，适用于分析粘
性流体在磁场中的运动。
基于数学归纳法的证明
数学归纳法
一种证明数学命题的方法，通过递推关系证明无限序 列的结论。
物理意义
斯托克斯公式揭示了流体的动量守恒和角动量守恒两个基本物理规律，是流体力学中的基本方程之一 。
解释
通过斯托克斯公式，我们可以理解流体在粘性力作用下的运动行为，包括旋涡的形成、流体绕过障碍 物的流动以及流体内部的剪切力等。
02 环流量与旋度的关系
环流量的定义与计算
环流量定义
环流量是矢量场中封闭曲线上的线积 分，表示矢量场中穿过封闭曲线的矢 量线段数。
详细描述
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
O
n
C
y
W
ydx zdy xdz
dydz dzdx dxdy x y z y z x dydz dzdx dxdy
Σ
A x
18
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
W
: 平面x y z 1
ydx zdy xdz
23
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
二、物理意义---环流量与旋度
circulation
1.环流量的定义
rotation
设向量场 A( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
其中函数P, Q, R均连续, Γ为A的定义域内的一条分 段光滑的空间有向闭曲线, 为Γ在点(x, y, z)处的单 位切向量, 则曲线积分 A ds Pdx Qdy Rdz
i x P j y Q
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
dS (dydz , dzdx, dxdy )
k R Q P R Q P , , z y z z x x y R
22
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
小结: 一般来讲, 当具备下列两方面的条件时, 用斯托克斯公式计算较方便. (1) 从积分曲线看, 若Γ为一平面和一曲面
的交线, 这时可考虑将曲线积分化为曲面积分. 由于斯托克斯公式与空间曲线Γ上所张的曲面 Σ的形状无关, 因此可取Σ为以Γ为边界的平面 区域Σ, 而在平面区域上的曲面积分的计算一 般较简单. 注意: 由Γ的正向确定Σ的正侧时, 必 须符合右手规则. (2) 从被积函数看, 当P, Q, R比较简单.
17
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
例 求力 F ( y , z , x ) 沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成 三角形的整个边界, 从z轴正向看去沿顺时针方向.
解 法三 按斯托克斯公式, 有 设三角形区域为 , 方向向上,
z
B
( P cos Q cos R cos )ds
其中
Σ的单位法向量为 n cos i cos j cos k Γ的单位切向量为 cos i cos j cos k
11
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,
Γ的正向
{ P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}的三个分量在包含
曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,
则有斯托克斯公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
W
ydx zdy xdz
x
y
1 3
y
1 3
z
dS z
x
1 3
A x
O
y
1
C
y
dS O
1 n D xy (1 , 1 , 1) 3
x y yz x 11
xy 3d1xd
1 ( 3)dS 3
3
D xy
3 3 dxdy . 2
利 用 对 称 性
ydx zdy xdz
Γ
Γ
AB ydx zdy xdz 3 3 xdz 3 (1 z )dz . 2
3
1
A x
O
C
y
AB
0
16
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
cos cos cos 例 求力 F ( y , z , x ) 沿有向闭曲线 所作的功 , dS dx Qd y R+ dz P为平面 其中 xy+ z= 1 被三个坐标面所截成 x y z . 三角形的整个边界, 从z轴正向看去沿顺时针方向 P Q R z 解 法二 利用斯托克斯公式 n B 设三角形区域为 , 方向向上, 则
称为向量场 A 沿有向闭曲线 Γ 的环流量.
26
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
利用Stokes公式,
i j k dS 环流量 A ds x y z P Q R A ( P , Q, R) ds (dx , dy , dz )
所在的曲面方程为 x y z 0,
R 取上侧, 其单位法向量为 x 1 1 1 , , (cos , cos , cos ), 3 3 3 按斯托克斯公式,
O
Γ
y
14
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
1 1 1 (cos , cos , cos ) , , 3 3 3
13
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
例 计算曲线积分
x 2 y 2 z 2 R2 , 若从x轴正向看过去, 其中 为曲线 z x yz0 为取逆时针方向. n 解 设为 所围的圆盘,
Γ ( y 1)dx ( z 2)dy ( x 3)dz ,
例 计算曲线积分
2 2 2 2 2 2 ( y z ) d x ( z x ) d y ( x y )dz 3 其中是平面x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕, 若从Ox z n 轴的正向看去, 取逆时针方向. (0,0,1) 3 解 取Σ为平面 x y z 2 (0,1,0) 的上侧被Γ所围成的部分. O y (1,0,0) 1 y (1,1,1) 则n x 3 1 3 x y 2 1 Σ在xOy面上的投影为Dxy. Dxy
3 2
O
1
x
3 4 (因为在上x y z ) ( x y z ) d S 2 3 9 4 3 3dxdy 6 dxdy . 2 3D 2 D
xy
xy
dS 3dxdy
21
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
( y 2 z 2 )d x ( 2 z 2 x 2 )d y ( 3 x 2 y 2 )dz cos cos cos | x| | y | 1的交线 , 其中 是平面 x y z 2 与柱面 dS P d x Q d y R d z 从z 轴正向看去 , 为逆时针方向 . y x z P 所围部分的上侧 Q R , 解 记 为平面 x y z 2 上 D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 y
计算 I
数学考研题
I
x y2 z2
1 3
2 3
dS y z 2z 2 x 2 3 x 2 y 2
1 3
1 3
1
O
D
1
x
(4 x 2 y 3 z )dS
对称性
2
( x y 6)dxd y 12
D
D
Σ :z 2 x y dS 3dxdy dxdy 24 .
Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系.
在Stokes公式的条件中, 应注意两点:
(1) 曲面Σ是定向曲面, 其边界 Σ 是定向曲 线, Σ 的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则; (2) 被积函数P, Q, R在包含曲面Σ在内的 一个空间区域内 具有一阶连续偏导数.
3
Pdx Qdy Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
Pdx Qdy Rdz
R Q Q P P R cos cos dS cos y z z x x y
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面
积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的
推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向
边界曲线上的线积分联系了起来.
2
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理10.11 设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为分段光滑的空间有向闭曲线,
与Σ的正侧符合右手法则, 若向量函数 F ( x , y, z )
其中 cos , cos , cos 是Σ指定一侧的法向量方向 余弦.
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
4
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Γ的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则: 当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时,
拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同. 称Γ
记为 Σ . 是有向曲面Σ的正向边界曲线,
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
5
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P [( ) cos ( ) cos ( ) cos ]dS y z z x x y
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯 Stokes,G.G. (1819–1903) 英国数学家、物理学家
n
C
y
W
ydx zdy xdz
dydz dzdx dxdy x y z y z x dydz dzdx dxdy
Σ
A x
18
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
W
: 平面x y z 1
ydx zdy xdz
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
二、物理意义---环流量与旋度
circulation
1.环流量的定义
rotation
设向量场 A( x, y, z ) P ( x, y, z )i Q( x, y, z ) j R( x, y, z )k
其中函数P, Q, R均连续, Γ为A的定义域内的一条分 段光滑的空间有向闭曲线, 为Γ在点(x, y, z)处的单 位切向量, 则曲线积分 A ds Pdx Qdy Rdz
i x P j y Q
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
dS (dydz , dzdx, dxdy )
k R Q P R Q P , , z y z z x x y R
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
小结: 一般来讲, 当具备下列两方面的条件时, 用斯托克斯公式计算较方便. (1) 从积分曲线看, 若Γ为一平面和一曲面
的交线, 这时可考虑将曲线积分化为曲面积分. 由于斯托克斯公式与空间曲线Γ上所张的曲面 Σ的形状无关, 因此可取Σ为以Γ为边界的平面 区域Σ, 而在平面区域上的曲面积分的计算一 般较简单. 注意: 由Γ的正向确定Σ的正侧时, 必 须符合右手规则. (2) 从被积函数看, 当P, Q, R比较简单.
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
例 求力 F ( y , z , x ) 沿有向闭曲线 所作的功, 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成 三角形的整个边界, 从z轴正向看去沿顺时针方向.
解 法三 按斯托克斯公式, 有 设三角形区域为 , 方向向上,
z
B
( P cos Q cos R cos )ds
其中
Σ的单位法向量为 n cos i cos j cos k Γ的单位切向量为 cos i cos j cos k
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面,
Γ的正向
{ P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z )}的三个分量在包含
曲面Σ在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,
则有斯托克斯公式
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
W
ydx zdy xdz
x
y
1 3
y
1 3
z
dS z
x
1 3
A x
O
y
1
C
y
dS O
1 n D xy (1 , 1 , 1) 3
x y yz x 11
xy 3d1xd
1 ( 3)dS 3
3
D xy
3 3 dxdy . 2
利 用 对 称 性
ydx zdy xdz
Γ
Γ
AB ydx zdy xdz 3 3 xdz 3 (1 z )dz . 2
3
1
A x
O
C
y
AB
0
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
cos cos cos 例 求力 F ( y , z , x ) 沿有向闭曲线 所作的功 , dS dx Qd y R+ dz P为平面 其中 xy+ z= 1 被三个坐标面所截成 x y z . 三角形的整个边界, 从z轴正向看去沿顺时针方向 P Q R z 解 法二 利用斯托克斯公式 n B 设三角形区域为 , 方向向上, 则
称为向量场 A 沿有向闭曲线 Γ 的环流量.
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
利用Stokes公式,
i j k dS 环流量 A ds x y z P Q R A ( P , Q, R) ds (dx , dy , dz )
所在的曲面方程为 x y z 0,
R 取上侧, 其单位法向量为 x 1 1 1 , , (cos , cos , cos ), 3 3 3 按斯托克斯公式,
O
Γ
y
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
1 1 1 (cos , cos , cos ) , , 3 3 3
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
例 计算曲线积分
x 2 y 2 z 2 R2 , 若从x轴正向看过去, 其中 为曲线 z x yz0 为取逆时针方向. n 解 设为 所围的圆盘,
Γ ( y 1)dx ( z 2)dy ( x 3)dz ,
例 计算曲线积分
2 2 2 2 2 2 ( y z ) d x ( z x ) d y ( x y )dz 3 其中是平面x y z 截立方体: 0 x 1, 2 0 y 1, 0 z 1的表面所得的截痕, 若从Ox z n 轴的正向看去, 取逆时针方向. (0,0,1) 3 解 取Σ为平面 x y z 2 (0,1,0) 的上侧被Γ所围成的部分. O y (1,0,0) 1 y (1,1,1) 则n x 3 1 3 x y 2 1 Σ在xOy面上的投影为Dxy. Dxy
3 2
O
1
x
3 4 (因为在上x y z ) ( x y z ) d S 2 3 9 4 3 3dxdy 6 dxdy . 2 3D 2 D
xy
xy
dS 3dxdy
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10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
( y 2 z 2 )d x ( 2 z 2 x 2 )d y ( 3 x 2 y 2 )dz cos cos cos | x| | y | 1的交线 , 其中 是平面 x y z 2 与柱面 dS P d x Q d y R d z 从z 轴正向看去 , 为逆时针方向 . y x z P 所围部分的上侧 Q R , 解 记 为平面 x y z 2 上 D为 在 xOy 面上的投影. 由斯托克斯公式 y
计算 I
数学考研题
I
x y2 z2
1 3
2 3
dS y z 2z 2 x 2 3 x 2 y 2
1 3
1 3
1
O
D
1
x
(4 x 2 y 3 z )dS
对称性
2
( x y 6)dxd y 12
D
D
Σ :z 2 x y dS 3dxdy dxdy 24 .
Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其 边界曲线上的曲线积分之间的关系.
在Stokes公式的条件中, 应注意两点:
(1) 曲面Σ是定向曲面, 其边界 Σ 是定向曲 线, Σ 的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则; (2) 被积函数P, Q, R在包含曲面Σ在内的 一个空间区域内 具有一阶连续偏导数.
3
Pdx Qdy Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
Pdx Qdy Rdz
R Q Q P P R cos cos dS cos y z z x x y
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面
积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的
推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向
边界曲线上的线积分联系了起来.
2
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理10.11 设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为分段光滑的空间有向闭曲线,
与Σ的正侧符合右手法则, 若向量函数 F ( x , y, z )
其中 cos , cos , cos 是Σ指定一侧的法向量方向 余弦.
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
4
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
Γ的正向与Σ的正侧法向量符合右手法则: 当右手除拇指外的四指依Γ 的绕行方向时,
拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同. 称Γ
记为 Σ . 是有向曲面Σ的正向边界曲线,
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
5
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式的又一种形式
R Q P R Q P [( ) cos ( ) cos ( ) cos ]dS y z z x x y
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯 Stokes,G.G. (1819–1903) 英国数学家、物理学家