斯托克斯公式环流量与旋度
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
1
一、 斯托克斯(Stokes)公式
双侧曲面的侧与其边界曲线的方向
设 为双侧曲面, 为其边界曲线,
则 在
的取侧定和的侧的,取方一向代之表间法满向足量右n,手法则n .
若右手大拇指指向n 的方向,
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0
(2)
对G内任一分段光滑曲线 ,
PdxQd y Rdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
一点, 设其方程为
: z f (x, y), (x, y) Dx y
O
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
x
有向曲线C是在xOy平面上的 投影.
n
Dxy C y
3
分析 :
只证
P z
dzdx P dxdy y
Pdx
P z
cos
dS
C P( x, y, z( x, y))dx
则四指所指的方向就是 的
S
方向.
2
简介
定理1. 设分片光滑曲面 的边界 是分段光滑闭曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在曲面 (包括边界)
上具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 z
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
PQ R
或用第一类曲面积分表示:
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
d S P d x Q d y R d z
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取 S 为平面 x y z 3 2
z
n
S
的上侧被 所围成的部分.Βιβλιοθήκη 则 n 1 {1,1,1}
o
y
x
3
12
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
x y3
Dxy
2
3
I
S
x
y2 z2
3
y z2 x2
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
同理可证
Qd
y
Q x
d
xd
y
Q z
d
yd
z
Rd
x
R d y
yd
z
Rd zd x
x
三式相加, 即得斯托克斯公式. 7 定理1
注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
Stokes 公式 表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
8
定理1
3
x y1
2
dS
z
x2 y2
4 3
S
(
x
y z)dS
(在S上x y z 3) 2
4 3
3 2
S
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
13
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R 在G内
P( x(t ),
y(t), z(x(t),
y(t)))xt
dt
C P(x, y, z(x, y))d x
z
Dx
y
P(x, y
y,
z(
x,
y))
d
(利用格林公式)
xd y
O
Dx y
P P z y z y
d x d y
x
(
P y
P y
dxdy
cos
1,
1
f
2 x
f
2 y
cos
fy ,
1
f
2 x
f
2 y
fy
cos cos
P P y z
fy
d x dy
6
因此
P
P
P d x z d z d x y d x d y
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
P z
f y )dxdy
定理1
n
Dxy C y
5
而
P z
dzdx
P y
dxdy
P z
cos
dS
P y
dxdy
P z
cos cos
cos
dS
P y
dxdy
P cos
z
cos
dxdy
y2 xy xz
O x
2y
0
11
公式其他形式
例 3 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
dxd y 3
利用对称性Dx y
2
10
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
Γ
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x y z dS
P z
cos cos
cos
dS
P[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy y
(
P y
P z
z y
)dxdy
4
设 C 的参数方程为: x x(t), y y(t), t .
则
P x, y, zd x
P(x, y, z(x, y))dx
R
9
定理1
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个边界, 方向如图所示.
z 1
解: 记三角形域为 , 取上侧,则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
O
1
1y
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
1
一、 斯托克斯(Stokes)公式
双侧曲面的侧与其边界曲线的方向
设 为双侧曲面, 为其边界曲线,
则 在
的取侧定和的侧的,取方一向代之表间法满向足量右n,手法则n .
若右手大拇指指向n 的方向,
具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价:
(1) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0
(2)
对G内任一分段光滑曲线 ,
PdxQd y Rdz
与路径无关
(3) 在G内存在某一函数 u, 使 d u P d x Q d y R d z
一点, 设其方程为
: z f (x, y), (x, y) Dx y
O
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
x
有向曲线C是在xOy平面上的 投影.
n
Dxy C y
3
分析 :
只证
P z
dzdx P dxdy y
Pdx
P z
cos
dS
C P( x, y, z( x, y))dx
则四指所指的方向就是 的
S
方向.
2
简介
定理1. 设分片光滑曲面 的边界 是分段光滑闭曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在曲面 (包括边界)
上具有连续一阶偏导数, 则有
P d x Q d y R d z (斯托克斯公式)
证: 情形1. 与平行 z 轴的直线只交于 z
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d ydz dzdx dxd y
x
y
z P d x Q d y R d z
PQ R
或用第一类曲面积分表示:
cos
x
P
cos
y Q
cos
z
d S P d x Q d y R d z
轴的正向看去,取逆时针方向.
解 取 S 为平面 x y z 3 2
z
n
S
的上侧被 所围成的部分.Βιβλιοθήκη 则 n 1 {1,1,1}
o
y
x
3
12
即 cos cos cos 1 ,
3
1
1
1
x y3
Dxy
2
3
I
S
x
y2 z2
3
y z2 x2
通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,
在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立.
同理可证
Qd
y
Q x
d
xd
y
Q z
d
yd
z
Rd
x
R d y
yd
z
Rd zd x
x
三式相加, 即得斯托克斯公式. 7 定理1
注意: 如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
Stokes 公式 表达了有向曲面上的曲面积分 与其边界曲线上的曲线积分之间的关系.
8
定理1
3
x y1
2
dS
z
x2 y2
4 3
S
(
x
y z)dS
(在S上x y z 3) 2
4 3
3 2
S
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
13
*二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 函数 P,Q, R 在G内
P( x(t ),
y(t), z(x(t),
y(t)))xt
dt
C P(x, y, z(x, y))d x
z
Dx
y
P(x, y
y,
z(
x,
y))
d
(利用格林公式)
xd y
O
Dx y
P P z y z y
d x d y
x
(
P y
P y
dxdy
cos
1,
1
f
2 x
f
2 y
cos
fy ,
1
f
2 x
f
2 y
fy
cos cos
P P y z
fy
d x dy
6
因此
P
P
P d x z d z d x y d x d y
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
P z
f y )dxdy
定理1
n
Dxy C y
5
而
P z
dzdx
P y
dxdy
P z
cos
dS
P y
dxdy
P z
cos cos
cos
dS
P y
dxdy
P cos
z
cos
dxdy
y2 xy xz
O x
2y
0
11
公式其他形式
例 3 计算曲线积分
( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy ( x2 y2 )dz
其中是平面 x y z 3截立方体:0 x 1, 2
0 y 1,0 z 1的表面所得的截痕,若从 ox
dxd y 3
利用对称性Dx y
2
10
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线, 从 z
解: 设 为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
z
Γ
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I
x y z dS
P z
cos cos
cos
dS
P[ x, y, z( x, y)]dxdy
Dxy y
(
P y
P z
z y
)dxdy
4
设 C 的参数方程为: x x(t), y y(t), t .
则
P x, y, zd x
P(x, y, z(x, y))dx
R
9
定理1
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
其中 为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个边界, 方向如图所示.
z 1
解: 记三角形域为 , 取上侧,则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
O
1
1y
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
合集下载
9-7 斯托克斯公式 环流量与旋度.
上侧的单位法向量为
(cos , cos , cos ) ( 1 , 1 , 1 ) 3 3 3 cos cos cos dS I x y z 2 y x2 z 2 x2 x2 y 2
4 4 3 9 ( x y z)dS dS 2 3 3dxdy 2 3 32 D
按斯托克斯公式 有
dydz dzdx dxdy zdx xdy ydz x y z z x y
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy 3 2
D yz Dzx Dxy D yz Dzx Dxy
§9.7 斯托克斯公式
一、斯托克斯公式
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铃
一、斯托克斯公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线 是以为边界的分 片光滑的有向曲面 的正向与的侧符合右手规则 函数 P(xyz)、Q(xyz)、R(xyz)在曲面(连同边界)上具有一阶连 续偏导数则有 R Q )dydz ( P R )dzdx ( Q P )dxdy ( y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
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铃
n
z
o x
Dx y
y C
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其中为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形的整个边 界 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则 解 设为平面xyz1被三个坐标面所截成的三角形
8_2_4 斯托克斯公式 环流量与旋度 高等数学 微积分 考研数学
轴正向看为顺时针, 计算 I y2 d x xy d y xz d z .
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧,
则其法线方向余弦
cos 0 , cos
1, 2
cos
1 2
z
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
o x
2y
I
x y
y2 xy
z
dS 1 (y z)dS 0 2
内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
Page 10
2. 场论中的三个重要概念
设 u u (x, y, z),
A
(P,
Q,
R),
x
,
y
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
d ydz dzdx P d x Q d y R d z
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
Page 3
例1. 利用斯托克斯公式计算积分
zdx xd y ydz
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于
柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
10-7斯托克斯公式 环流量和旋度
P P P[ x , y , f ( x , y )] fy y y z
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
P P dzdx dxdy y z P[ x , y , f ( x , y )]dxdy , D y
xy
1
D 由分段光滑的曲线 L 围 设闭区域
D 上具有一阶连 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在
3 其中 是平面 x y z 截立方体:0 x 1 , 2 0 y 1 ,0 z 1 的表面所得的截痕,若从 ox
轴的正向看去,取逆时针方向.
3 解 取Σ 为平面 x y z 2 的上侧被 所围成的部分. 1 则 n {1,1,1} 3
z
n
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
斯托克斯公式
n
右手法则
正向边界曲线
z
是有向曲面 的
n
证明
如图
z 轴的直线 设 Σ 与平行于
续偏导数, 则有
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy x y D 其中 L 是D 的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
(1)
根椐格林公式
Dxy
P[ x , y , f ( x , y )]dxdy P[ x , y , f ( x , y )]dx c y
相交不多于一点 , 并Σ 取 上侧,有向曲线 C 为Σ 的正 向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域D xy .
x
:z
f ( x, y )
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
10.7_斯托克斯公式__环流量与旋度
W ydx zdy xdz
x
y
1 3
y
1 3
dS z
x
1 3
A x
O
y
1
C
y
z
1 n D xy (1 , 1 , 1) 3
x y yz 1 x 1
x 3d1xdy
d OS
1 (3)dS 3
3
D xy
3 3 dxdy . 2
ydx zdy xdz
B
z
O
n
C
y
dydz dzdx dxdy
Σ
3 dxdy
Σ
A x
一投
二代
三定号
化 为 ( 3) dxdy 二 Dxy 重 1 3 积 分 3 .
2
y 1
x y1
D xy
1
x
O
2
19
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
斯托克斯公式是微积分基本公式在曲面
积分情形下的推广, 也是格林公式在空间的
推广, 它将定向曲面上的面积分与曲面的定向
边界曲线上的线积分联系了起来.
2
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理10.11 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,
Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向闭曲面, Γ的正向 与Σ的正侧符合右手法则, 若向量函数 F ( x , y , z )
3
Pdx Qdy Rdz
10.7 斯托克斯公式 环流量与旋度
即有
Pdx Qdy Rdz
9.5 斯托克斯公式 环流量 旋度
i jk
解
rot A
x
y
z
(0, 0 , 1)
2y 3x z2
n 为
I cos d S
8
18
*三、汉密尔顿算子
定义向量微分算子:
x
i
y
j
z
k
它又称为▽(Nabla)算子, 或汉密尔顿(Hamilton)算子.
(1) 设 u u( x, y, z), 则
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
x
y
z
d S P d x Q d y R d z
PQR
4
例1 利用斯托克斯公式计算积分
其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整
个 边界, 方向如图所示.
z
解 记三角形域为, 取上侧, 则
xyz
rrr
23
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
i jk
x
y
z
PQR
rot A n d S A d s
或
(rot A)n d S A d s ①
定义 P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量。向量 rotA称为向量场A的
,
u y
,
u z
u
散度:
div A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
高数之斯托克斯公式、环流量、旋度
Dxy
= − ∫∫
∂ {P[ x, y, f ( x, y )]}dxdy y ∂ Dxy
C
Γ
Green v ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx = v ∫ P( x, y, z )dx ．
其余部分证明，自己看书．
5
v ∫
或
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z P Q R cos α ∂ ∂x P cos β ∂ ∂y Q cos γ ∂ dS ∂z R
（ 1′ ）
v ∫
G
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
（ 1′′ ）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 为有向曲面 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的单位法向量． 2、若 Σ 是 xOy 面上的一块平面闭区域，则 Stokes 公式就变为 Green 公式，即 Green 公式为 Stokes 公式的特例．
§11.7 斯托克斯(Stokes)公式
*
环流量与旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，了解环流量和旋度的概念及其求法 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容：
一、Stokes 公式
斯托克斯(Stokes)公式是 Green 公式的推广．Green 公式表达了平 面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而 Stokes 公式则把曲面 Σ 上的曲面积分与沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起 来．这个联系可陈述如下：
1 1 ． , cos γ = − 2 2
O x
1
= − ∫∫
∂ {P[ x, y, f ( x, y )]}dxdy y ∂ Dxy
C
Γ
Green v ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx = v ∫ P( x, y, z )dx ．
其余部分证明，自己看书．
5
v ∫
或
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∂x ∂y ∂z P Q R cos α ∂ ∂x P cos β ∂ ∂y Q cos γ ∂ dS ∂z R
（ 1′ ）
v ∫
G
Γ
Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫
Σ
（ 1′′ ）
其中 n = (cos α , cos β , cos γ ) 为有向曲面 Σ 在点 ( x, y, z ) 处的单位法向量． 2、若 Σ 是 xOy 面上的一块平面闭区域，则 Stokes 公式就变为 Green 公式，即 Green 公式为 Stokes 公式的特例．
§11.7 斯托克斯(Stokes)公式
*
环流量与旋度
教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，了解环流量和旋度的概念及其求法 教学重点：斯托克斯公式 教学难点：斯托克斯公式的应用 教学内容：
一、Stokes 公式
斯托克斯(Stokes)公式是 Green 公式的推广．Green 公式表达了平 面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分间的关系， 而 Stokes 公式则把曲面 Σ 上的曲面积分与沿着 Σ 的边界曲线的曲线积分联系起 来．这个联系可陈述如下：
1 1 ． , cos γ = − 2 2
O x
1
11-9 斯托克斯公式 环流量与旋度
第九讲 斯托克斯公式 环流量与旋度
➢对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f (x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
r
r
r
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
z
r
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
r
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
A
o
y
积分
Ads
A
d
r
Pdx
Qdy
Rdz
x
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
➢物理意义
Ads
A
1y
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢定义 设有向量场
r
➢对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功
W
r F
drr
Pdx
Qdy
Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
➢对弧长的空间曲线积分
空间曲线弧的质量 M f ( x, y, z)ds
n
f (x,
y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i )si
Γ：x (t), y (t), z (t), ( t )
f (x, y, z)ds f (t), (t),(t) 2(t) 2(t) 2(t)dt
r
r
r
A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
z
r
P,Q,R均连续,Γ是一分段光滑有向闭曲线,
r
是Γ在点(x,y,z)处的单位切向量,
A
o
y
积分
Ads
A
d
r
Pdx
Qdy
Rdz
x
称为向量场 A沿有向闭曲线Γ的环流量.
➢物理意义
Ads
A
1y
所得的截痕,若从ox轴的正向看去,
x
取逆时针方向.
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
斯托克斯公式 环流量和旋度
一 、斯托克斯公式 二 、环流量与旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
二 环流量与旋度
(一) 环流量 (二) 旋度
➢定义 设有向量场
r
➢对坐标的空间曲线积分
变力沿空间曲线弧作功
W
r F
drr
Pdx
Qdy
Rdz
Γ：x (t), y (t), z (t), (t : )
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz