环流与旋度
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旋度的量纲
旋度的量纲1. 介绍在物理学中，旋度是描述矢量场旋转程度的物理量。
它是一个矢量，用于表示矢量场的环流或涡旋性质。
旋度的量纲是一个非常重要的概念，它可以帮助我们理解旋度的物理意义和在各种领域中的应用。
本文将介绍旋度的定义、性质以及与量纲相关的内容，并探讨旋度的量纲在不同物理量中的具体应用。
2. 旋度的定义与性质旋度的定义可以通过矢量微积分中的旋度运算符进行。
对于一个三维矢量场A，旋度运算符可以表示为：∇ × **A** = (∂A₃/∂y - ∂A₂/∂z) **i** + (∂A₁/∂z - ∂A₃/∂x) **j** + (∂A₂/∂x - ∂A₁/∂y) **k**其中，∇指代梯度运算符，∂/∂x、∂/∂y和∂/∂z分别表示对坐标x、y、z的偏导数，i、j和k是单位矢量。
旋度描述了矢量场在某一点处的旋转程度和旋转方向。
如果旋度为零，表示矢量场是无旋的，其环流沿任何封闭路径都等于零；如果旋度非零，表示矢量场具有旋转特性。
旋度的物理意义在于它可以描述流体力学、电磁场等领域中的涡旋行为。
例如，在流体力学中，涡旋是流体流动中产生的旋涡，旋度可以量化涡旋的强度和方向。
3. 旋度的量纲旋度的量纲可以通过对旋度运算符中各个分量进行分析来确定。
根据上述定义的旋度运算符：∇ × **A** = (∂A₃/∂y - ∂A₂/∂z) **i** + (∂A₁/∂z - ∂A₃/∂x) **j** + (∂A₂/∂x - ∂A₁/∂y) **k**我们可以得到每个分量的量纲：•(∂A₃/∂y - ∂A₂/∂z)的量纲为[A]/[L]•(∂A₁/∂z - ∂A₃/∂x)的量纲为[A]/[L]•(∂A₂/∂x - ∂A₁/∂y)的量纲为[A]/[L]其中，[A]表示矢量场A的量纲，[L]表示长度的量纲。
因此，旋度的量纲为[A]/[L]。
4. 旋度量纲的应用旋度量纲的应用广泛存在于各个物理领域中。
下面以两个具体的例子来说明旋度量纲的应用。
2.4矢量场的环量及旋度分析
2) 在圆柱坐标系下：
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
F (r ) lim
s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
S
( A) dS
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该 矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明： 由旋度的定义
S 0
c
lim
c
Α dl S
ˆn rot A e
c
A d l ( A) dS
)
c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路
1 (er e ez ) r r z 1 (rFr ) 1 F Fz F (r ) r r r z
3) 在球面坐标系下： 1 1 (er e e ( ) ) r r r sin
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
F (r ) lim
s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
S
( A) dS
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该 矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
斯托克斯定理的证明： 由旋度的定义
S 0
c
lim
c
Α dl S
ˆn rot A e
c
A d l ( A) dS
)
c1
A dl ( A) dS1 A dl ( A ) dS2
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路
10-7斯托克斯公式,环流量与旋度
其中
(rA o )n trA o n t
( R Q )c o (s P R )c o (s Q P )cos
y z
z x
x y
A t A n P c Q c o R o c so s
环 流 r A o d S 量 t A tds
Stokes公式的物理解释:
五 、 求 向 量 场 A ( x z )i ( x 3 yz ) j 3 xy 2 k 沿 闭 曲 线 为圆 周 z 2 x 2 y 2 , z 0 ( 从 z 轴 正 向 看 依逆 时 针 方 向 ) 的 环 流 量 .
六 、设 u u ( x , y , z ) 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 , 求 rot ( gradu ) .
则沿A场中某一封闭的有C向 上曲 的线 曲线积分
CAds CPdxQdyRokes公式, 有
i jk
环流 量 C A dsx
y
dS z
P QR
2. 旋度的定义: i jk
称向 量 为向量场 (ro的 A )t. 旋度 x y z
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过所张的曲面的通量.( 的正 向与的侧符合右手法则)
四、小结
斯托克斯公式
cos cos cos
dydz dzdx dxdy
x
y
z
dS
x
y
z
PQR
PQ R
PdQ x d R y d zrA o n d t S A tds
斯托克斯公式成立的条件
由于 的法向量的三弦 个都 方为 向正 余， 再由对称性知：
dyddzzdxdxdy3 d
D xy
y
Dxy如图
《环流量与旋度》课件
2.2 示例分析
水流环流量的实际应用包括水力发电和水资源管理。风力发电机叶片的环流量分析可以提高 风能利用效率。
三、旋度
3.1 定义和计算方法
旋度是流体流动的旋转性质。通过旋度的计算 公式，可以描述流体流动的强度和方向。
3.2 示例分析
旋度在天气学中的应用可以帮助预测气旋、龙 卷风等天气现象。在流体力学中，旋度可用于 分析湍流等复杂流动。
四、比较与总结
1
异同点分析
环流量和旋度都描述流体运动性质，但环流量强调流体的循环运动，而旋度描述 流体的旋转性质。
2
应用差异
环流量在水力学、风力学等领域有着广泛应用，而旋度在气象学、流体力学等领 域具有重要意义。
五、结论
基本物理量的重要性
环流量和旋度作为基本物理量，对于研究流体力 学和相关学科具有重要意义。
未来和旋度的计算方 法，探索更多领域中的应用。
六、参考文献
1. 张三, "环流量与旋度的原理与应用", 中国物理学报, 2020, 42(2): 123-135
2. 李四, "环流量和旋度在气象学中的应用研究", 天气科学研究, 2018, 36(4): 256-267
3. 王五, "环流量与旋度的计算方法研究进展", 流体力学进展, 2019, 54(3): 189202
《环流量与旋度》PPT课 件
环流量与旋度是物理学中重要的概念。本课件将介绍环流量和旋度的定义、 计算方法以及在不同领域的应用。
一、引言
环流量和旋度是描述流体运动性质的重要物理量。它们在天气学、流体力学等领域有着广泛的应用。
二、环流量
2.1 定义和计算方法
环流量是流体横截面上的循环运动量。根据横截面积的环流量计算公式，可以准确计算流体 环流量。
水流环流量的实际应用包括水力发电和水资源管理。风力发电机叶片的环流量分析可以提高 风能利用效率。
三、旋度
3.1 定义和计算方法
旋度是流体流动的旋转性质。通过旋度的计算 公式，可以描述流体流动的强度和方向。
3.2 示例分析
旋度在天气学中的应用可以帮助预测气旋、龙 卷风等天气现象。在流体力学中，旋度可用于 分析湍流等复杂流动。
四、比较与总结
1
异同点分析
环流量和旋度都描述流体运动性质，但环流量强调流体的循环运动，而旋度描述 流体的旋转性质。
2
应用差异
环流量在水力学、风力学等领域有着广泛应用，而旋度在气象学、流体力学等领 域具有重要意义。
五、结论
基本物理量的重要性
环流量和旋度作为基本物理量，对于研究流体力 学和相关学科具有重要意义。
未来和旋度的计算方 法，探索更多领域中的应用。
六、参考文献
1. 张三, "环流量与旋度的原理与应用", 中国物理学报, 2020, 42(2): 123-135
2. 李四, "环流量和旋度在气象学中的应用研究", 天气科学研究, 2018, 36(4): 256-267
3. 王五, "环流量与旋度的计算方法研究进展", 流体力学进展, 2019, 54(3): 189202
《环流量与旋度》PPT课 件
环流量与旋度是物理学中重要的概念。本课件将介绍环流量和旋度的定义、 计算方法以及在不同领域的应用。
一、引言
环流量和旋度是描述流体运动性质的重要物理量。它们在天气学、流体力学等领域有着广泛的应用。
二、环流量
2.1 定义和计算方法
环流量是流体横截面上的循环运动量。根据横截面积的环流量计算公式，可以准确计算流体 环流量。
第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
从定义出发给出旋度公式的推导
从定义出发给出旋度公式的推导一班 唐浩月 131 旋度的概念由于矢量场在点M 出的环流密度与面元∆S 的法线方向n e 有关，因此，在矢量场中，一个给定点M 处延不同方向，它的环流密度值一般是不同的。
在某一个确定方向上，环流面密度可能取很大的值。
为了描述这个问题，引入了旋度的概念。
矢量场F 在点M 处的旋度是一个矢量，记为rotF,它的方向沿着使得环流密度去的最大值的面元法线方向，大小等于该环流密度最大值，即max 01lim c S rot F n F dl S →→→∆→=∆⎰ 2 公式推导若在场A （M ）中的一点M 处存在这样的一个向量，其方向为A ，在点M 处环量密度最大的方向，其模等于环量密度的最大值，则称此向量为A （M ）在M 的旋度，记为rot A 。
我们首先推导环量密度的计算公式。
建立直角坐标系，设((,,),(,,),(,,))A P x y z Q x y z R x y z =为区域上的3G R ⊆上的(1)C 类函数，(cos ,cos ,cos )n e αβγ=， 由环量密度的定义以及Stokes 公式的向量形式可知：11lim lim (*)nc S M S M S dT AdS A e dS dS S S →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰利用积分中值定理可知：(*)[(*)],()n n M S A e dS A e S M S ∆∇=∇∆∈∆⎰⎰由于(*)*n A e ∇在M 处连续，从而 11lim lim (*)n c S M S M SdT AdS A e dS dS SS →∆→∆→∆==∇∆∆⎰⎰⎰ 或 ()cos ()cos ()cos dT R Q P R Q P dS y z z x xyδδδδδδαβγδδδδδδ=-+-+- 上面两公式就是环量密度的计算公式。
从而可知：*cos n dT A e dSϕ=∇ 其中为向量与的夹角，因而当，即取于向量同向时，环量密度最大，为。
2.4 旋度
0 记作： rot A ( ) n n max
旋度是由矢量场 A( M ) 派生出来的一个矢量场, 也称 旋度场.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
14
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
旋度的意义
旋度用于反映矢量场的漩涡源的分布情况
方向：漩涡面方向 大小：漩涡强度
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
9
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
A dl l ( ydx xdy)
2 2 2 2
解： 由于在曲线上z=0，所以dz=0．
0 R sind (2 R cos ) 0 (2 R cos )d ( R sin )
环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡特性。
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
6
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
流速场
均匀直线流动 非均匀直线流动
水流沿平行于水管 轴线方向流动
流体做涡旋运动
=0，无旋涡运动
2014年3月20日星期四
0，有产生旋涡的源
华北科技学院基础部 7
《场论初步》
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
4
《场论初步》
§2.4
矢量场的环量及旋度
l A dl l P dx Q dy R dz
环量的性质： 环量是数量.
l
A
S
A
P Γ>0，场有沿着C旋转的量，旋 涡场，有旋涡源正向穿过曲面S. （a） （S的法向与C成右手螺旋关系）. Γ<0，场有沿着C反向旋转的量，有旋涡源反向穿过S.
《环流量与旋度》课件
05
CHAPTER
环流量与旋度的物理意义
环流量的物理意义
01Biblioteka 0203描述流体在封闭曲线上 的流动特性
反映流体在空间中流动 的总体效果
是流体运动的一个重要 参数，对于研究和解决 流体运动问题具有重要
意义
旋度的物理意义
表示向量场中某点附近的旋转程 度
反映向量场中某点附近的旋转特 性和流动趋势
是描述向量场的一个重要参数， 对于研究和解决流体动力学问题
旋度的计算方法
微分法
定义
通过微分运算来计算旋度，利用向量场中点的变化率来定义旋度。
公式
$nabla times vec{F} = lim_{Delta rightarrow 0} frac{Delta vec{S}}{Delta V}$，其中 $Delta vec{S}$是曲面上的面积向量，$Delta V$是体积增量。
《环流量与旋度》ppt课件
目录
CONTENTS
• 环流量与旋度概述 • 环流量的计算方法 • 旋度的计算方法 • 环流量与旋度的应用 • 环流量与旋度的物理意义
01
CHAPTER
环流量与旋度概述
环流量的定义与性质
定义
环流量是矢量场中封闭曲线上矢 量所围成的面积分。
性质
环流量与路径无关，只与起点和 终点的位置有关；环流量是矢量 场的一个重要物理量，反映了矢 量场中某区域的通量分布情况。
电磁场涡旋
在研究电磁波的传播和辐射问题时 ，需要用到电场和磁场的涡旋，它 们与磁场和电场的旋度有关。
在量子力学中的应用
量子旋度
在量子力学中，旋度被用来描述微观粒子的自旋角动量，对 于理解量子力学的各种现象，如自旋、角动量等具有重要意 义。
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圆柱面坐标系 e e 1 F F F 球面坐标系
ez z Fz
er 1 F 2 r sin r Fr
re rF
r sin e r sin F
旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零
3、Stokes定理 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
F dl F dS
C S
方向相反大小
相等结果抵消
n
Stokes定理是闭合曲线积 分与曲面积分之间的一个变换
S
关系式，也在电磁理论中有广
泛的应用。
曲面的剖分 图 1.5.5 曲面的划分
C
4、散度和旋度的区别
F 0, F 0
F 0. F 0
F 0, F 0
F 0, F 0
1.6 无旋场与无散场
1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。
2、矢量场的旋度（ F ） 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的
宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢
量场的旋度。 （1）环流面密度 过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限
1 rot n F lim S 0 S
1.5 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量
源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为
零。
例如：流速场
如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即：
无旋场部分 无散场部分
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1、拉普拉斯运算 • 标量拉普拉斯运算 2u
2 概念： (u) u
2
—— 拉普拉斯算符
计算公式： 直角坐标系
2 2 2 u u u 2u 2 2 2 x y z
2
1 u 1 2u 2u 圆柱坐标系 u ( ) 2 2 2 z
量场 在 S 表面的外法线 en 方向上 的偏导数。
n
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V
( )dV
2
S
( ) dS
以上两式称为标量第一格林定理。
基于上式还可获得下列两式：
V
( )dV
2 2
S
dS
2
如：
( F ) 2 F
2
2. 格林定理 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏 导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式。
S
,
V
en
V ( )dV S n dS
2
为标 式中S 为包围V 的闭合曲面，
物理意义：旋涡源密度矢量。 性质：
rot n F n F
旋度的计算公式:
Fz Fy Fx Fz Fy Fx 直角坐标系 F ex y z e y z x ez x y ex e y ez x y z Fx Fy Fz
F 0 F 0
F u
(u ) 0
2u 0
（4）有散、有旋场
这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 F (r ) Fl (r ) FC (r ) u(r ) A(r )
2、矢量场按源的分类
（1）无旋场
仅有散度源而无旋度源的矢量场， F 0 性质： F dl 0，线积分与路径无关，是保守场。 C无旋场可以用标来自场的梯度表示为 F u
F (u ) 0
例如：静电场
E 0 E
（2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即
性质： F dS 0
S
F 0
无散场可以表示为另一个矢量场的旋度
F A
F ( A) 0
例如，恒定磁场
B 0 B A
（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）
如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场
的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。
1.8 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理:
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分
布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可 表示为
1 F (r ) 式中： u (r ) dV V 4 r r 1 F (r ) A(r ) dV 4 V r r
2 1 u 1 u 1 u 球坐标系 2u 2 (r 2 ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
• 矢量拉普拉斯运算 F 2 概念： F (F ) ( F ) 2 2 直角坐标系中： F ex Fx ey 2 Fy ez 2 Fz 2 即 ( F )i 2 Fi (i x, y, z ) 2 注意：对于非直角分量， ( F )i 2 Fi
V ( )dV S ( n n )dS 上两式称为标量第二格林定理。
2 2
格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。
因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上
场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，
标量场的梯度 的旋度恒为零
C 0 (Cf ) f C ) f F f F ( fF ( F G ) F G ) G F F G ( F G ( F ) 0 (u ) 0
C
B( x, y, z ) dl 0 I 0 J ( x, y, z ) dS
S
上式建立了磁场的环流与电流的关系。
环流的概念
矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C
的线积分，即
C
F ( x, y, z ) dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 磁场的旋涡源。
亥姆霍兹定理说明：在无界空间区 域，矢量场可由其散度及旋度确定。
F (r ) u (r ) A(r )
C
F dl
n
S
F
M
称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。
特点：其值与点M 处的方向n有关。
C
（2）矢量场的旋度 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面
密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法
线方向，即
F en [rot n F ]Max
ez z Fz
er 1 F 2 r sin r Fr
re rF
r sin e r sin F
旋度的有关公式： 矢量场的旋度 的散度恒为零
3、Stokes定理 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环 流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
F dl F dS
C S
方向相反大小
相等结果抵消
n
Stokes定理是闭合曲线积 分与曲面积分之间的一个变换
S
关系式，也在电磁理论中有广
泛的应用。
曲面的剖分 图 1.5.5 曲面的划分
C
4、散度和旋度的区别
F 0, F 0
F 0. F 0
F 0, F 0
F 0, F 0
1.6 无旋场与无散场
1、矢量场的源 散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度； 旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。
2、矢量场的旋度（ F ） 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的
宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢
量场的旋度。 （1）环流面密度 过点M 作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线 方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限
1 rot n F lim S 0 S
1.5 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量
源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭 合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为
零。
例如：流速场
如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电 流成正比，即：
无旋场部分 无散场部分
1.7 拉普拉斯运算与格林定理
1、拉普拉斯运算 • 标量拉普拉斯运算 2u
2 概念： (u) u
2
—— 拉普拉斯算符
计算公式： 直角坐标系
2 2 2 u u u 2u 2 2 2 x y z
2
1 u 1 2u 2u 圆柱坐标系 u ( ) 2 2 2 z
量场 在 S 表面的外法线 en 方向上 的偏导数。
n
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V
( )dV
2
S
( ) dS
以上两式称为标量第一格林定理。
基于上式还可获得下列两式：
V
( )dV
2 2
S
dS
2
如：
( F ) 2 F
2
2. 格林定理 设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏 导数，那么，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式。
S
,
V
en
V ( )dV S n dS
2
为标 式中S 为包围V 的闭合曲面，
物理意义：旋涡源密度矢量。 性质：
rot n F n F
旋度的计算公式:
Fz Fy Fx Fz Fy Fx 直角坐标系 F ex y z e y z x ez x y ex e y ez x y z Fx Fy Fz
F 0 F 0
F u
(u ) 0
2u 0
（4）有散、有旋场
这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分 F (r ) Fl (r ) FC (r ) u(r ) A(r )
2、矢量场按源的分类
（1）无旋场
仅有散度源而无旋度源的矢量场， F 0 性质： F dl 0，线积分与路径无关，是保守场。 C无旋场可以用标来自场的梯度表示为 F u
F (u ) 0
例如：静电场
E 0 E
（2）无散场 仅有旋度源而无散度源的矢量场，即
性质： F dS 0
S
F 0
无散场可以表示为另一个矢量场的旋度
F A
F ( A) 0
例如，恒定磁场
B 0 B A
（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）
如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场
的分布。 格林定理广泛地用于电磁理论。
1.8 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理:
若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分
布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可 表示为
1 F (r ) 式中： u (r ) dV V 4 r r 1 F (r ) A(r ) dV 4 V r r
2 1 u 1 u 1 u 球坐标系 2u 2 (r 2 ) 2 (sin ) 2 2 r r r r sin r sin 2
• 矢量拉普拉斯运算 F 2 概念： F (F ) ( F ) 2 2 直角坐标系中： F ex Fx ey 2 Fy ez 2 Fz 2 即 ( F )i 2 Fi (i x, y, z ) 2 注意：对于非直角分量， ( F )i 2 Fi
V ( )dV S ( n n )dS 上两式称为标量第二格林定理。
2 2
格林定理说明了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。
因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上
场的求解问题。 此外，格林定理反映了两种标量场之间满足的关系。因此，
标量场的梯度 的旋度恒为零
C 0 (Cf ) f C ) f F f F ( fF ( F G ) F G ) G F F G ( F G ( F ) 0 (u ) 0
C
B( x, y, z ) dl 0 I 0 J ( x, y, z ) dS
S
上式建立了磁场的环流与电流的关系。
环流的概念
矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线C
的线积分，即
C
F ( x, y, z ) dl
如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无 旋场，又称为保守场。 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为 有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是 磁场的旋涡源。
亥姆霍兹定理说明：在无界空间区 域，矢量场可由其散度及旋度确定。
F (r ) u (r ) A(r )
C
F dl
n
S
F
M
称为矢量场在点M 处沿方向n的环流面密度。
特点：其值与点M 处的方向n有关。
C
（2）矢量场的旋度 概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面
密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法
线方向，即
F en [rot n F ]Max