第七节 Stokes 公式 环流量与旋度
= ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
三、物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) = X ( x, y, z )i + Y ( x, y, z ) j + Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz
环流量 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫∫ r ⋅ dS
C Σ
= ∫∫
Σ
i ∂ ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ⋅ dS ∂z Z
旋度的定义: 2. 旋度的定义:
i ∂ 称向量 ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ 为向量场的旋度 (rotA) . ∂z Z
j ∂ ∂y Y k ∂ ∂z Z
i ∂ 旋度 rotA = ∂x X
C C
称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 .
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X r = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
i ∂ = ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ∂z Z
利用stokes公式, 利用stokes公式, 有 stokes公式
2 2 L
y + z = 2与柱面x + y = 1的交线,
2 2
若从z轴的正向看, L取逆时针方向。
2、Γ 为柱面 的交线, 与平面 y = z 的交线
轴正向看为顺时针, 从 z轴正向看为顺时针 计算
例3.Γ 为柱面 轴正向看为顺时针, 轴正向看为顺时针 计算
与平面 y = z 的交线,从 z 的交线 从
Σ Σ
= 3 ∫∫ 1 + 1 + 1dxdy
Dxy
y
1 Dxy 如图
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
3 = 2
o
Dxy
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表z , Y = x, Z = y
x
0
D xy
1
1
根据stokes公式, 根据stokes公式, 有 stokes公式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ = ∫∫ ds ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z
Z(x, y, z) 在包含曲面 Σ在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 有一阶连续偏导数, 则有公式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
斯托克斯公式
向量场 A 产生的旋度 场穿过 S 的通量
令 S 收缩到点 M ( x,y,z ), 则 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z )
1 故有 lim ∫ Ad l = (rot A⋅ n0 ) ( x, y,z) S →0 S L
环量对面积的变化率最大， 的同向时， 环量对面积的变化率最大， 当 n0 与 rotA 的同向时， 最大值 rotA .
rotA = 模：环量对面积变化率的最大值
方向： 环量对面积变化最快的方向 方向：
若rotA ≡ 0, 则对于空间中任一闭曲线 L,
∫ Ad l
曲线积分与路径无关. 曲线积分与路径无关
L
≡0
斯托克斯公式的又一种形式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫[( ∂y − ∂z ) cosα + ( ∂z − ∂x ) cos β + ( ∂x − ∂y ) cosγ ]dS Σ
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
的方向选取! 旋度的物理意义： 旋度的物理意义： 注意 S 与 L 的方向选取!
∫ Adl = ∫∫ rot A⋅ n d S
0 L S
为向量场 A 沿 L的环量 1 1 由此得 ∫ Adl = S ∫∫ rot A⋅ n0 d S SL S 由中值定理， 由中值定理，得 1 ∫ A d l = (rot A ⋅ n0 ) (ξ ,η ,ζ ) S L
说明
应用: 应用
转化 相应的简单曲 曲线积分 面上的曲面积分
对象： 对象：空间曲线的第二类曲线积分∫ Xdx +Ydy + Zdz L
曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计 曲 积 ∫ zdx + xdy + ydz , 算 线 分
Γ
其中Γ 是平面x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则 z
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
Dxy
x+ y= 1 2
4 =− ∫∫ ( x + y + z )dS 3 Σ
3 (∵ 在Σ上x + y + z = ) 2
9 4 3 =− ⋅ ∫∫ dS = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D xy
练习
1、计算 ∫ − y dx + xdy + z dz ,L 是平面
另一种形式
cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z ds = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
其中n = {cosα,cos β ,cosγ }
若记
A = ( X , Y , Z ),
∂ Z ∂Y ∂ X ∂ Z ∂Y ∂ X r =( − , − , − ) ∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y
其中
或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ At ds
Σ
(rotA)n = rotA ⋅ n ∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − ) cosα + ( − ) cos β + ( − ) cosγ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
At = A ⋅ n = X cos λ + Y cos µ + Z cosν
公式： 第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 公式（斯托克斯公式） 公式 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 物理意义： 小结
一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
为分段光滑的空间有向闭曲线, 定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ是以 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与Σ 的侧符合右手规则, 函数 X (x, y, z) , Y(x, y, z) , 的侧符合右手规则,
i
解:
S
I = ∫∫ − zdzdx − ydxdy
S
z
平面方程为： 平面方程为：
Γ
S
平面 S 的法向量
n = (0,1, −1)
z=y
法方向的方向余弦为
o x
2
y
因此
I = ∫∫ (− z ⋅ cos β − y cos γ ) d S
S
= ∫∫
S
1 ( y − z) d S = 0 2
n
∑
右手法则
Γ是有向曲面 Σ 的
Γ
正向边界曲线
证明
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
思路
曲面积分 1 二重积分 2
曲线积分
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
Γ
y 2 dx + z 2 dy + x 2 dz , 其 中 Γ 是 球 面
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 ∫∫ rot A ⋅ nds 化成曲
∑
线积分,并计算积分值, 分别如下: 线积分,并计算积分值,其中 A ,∑ 及n 分别如下: A = y 2 i + xy j + xz k ,∑ 为上半个球面 的上侧, 的单位法向量. z = 1 − x 2 − y 2 的上侧, n 是∑ 的单位法向量. 五、求向量场 A = ( x − z )i + ( x 3 + yz ) j − 3 xy 2 k 沿闭曲 线Γ 为圆 周 z = 2 − x 2 + y 2 , z = 0 时针方向) (从 z 轴 正向看Γ 依逆 时针方向)的环流量 . 设 具有二阶连续偏导数, 六、 u = u( x , y , z ) 具有二阶连续偏导数,求rot ( gradu) .
三、物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x, y, z ) = X ( x, y, z )i + Y ( x, y, z ) j + Z ( x, y, z )k 则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫ Xdx + Ydy + Zdz
环流量 Γ = ∫ A ⋅ ds = ∫∫ r ⋅ dS
C Σ
= ∫∫
Σ
i ∂ ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ⋅ dS ∂z Z
旋度的定义: 2. 旋度的定义:
i ∂ 称向量 ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ 为向量场的旋度 (rotA) . ∂z Z
j ∂ ∂y Y k ∂ ∂z Z
i ∂ 旋度 rotA = ∂x X
C C
称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量 .
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X r = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
i ∂ = ∂x X
j ∂ ∂y Y
k ∂ ∂z Z
利用stokes公式, 利用stokes公式, 有 stokes公式
2 2 L
y + z = 2与柱面x + y = 1的交线,
2 2
若从z轴的正向看, L取逆时针方向。
2、Γ 为柱面 的交线, 与平面 y = z 的交线
轴正向看为顺时针, 从 z轴正向看为顺时针 计算
例3.Γ 为柱面 轴正向看为顺时针, 轴正向看为顺时针 计算
与平面 y = z 的交线,从 z 的交线 从
Σ Σ
= 3 ∫∫ 1 + 1 + 1dxdy
Dxy
y
1 Dxy 如图
∫
Γ
zdx + xdy + ydz
3 = 2
o
Dxy
1
x
例 2 计算曲线积分
∫Γ ( y
2
− z )dx + ( z − x )dy + ( x − y )dz
2 2 2 2 2
3 截立方体: 其中Γ 是平面 x + y + z = 截立方体:0 ≤ x ≤ 1, 2 0 ≤ y ≤ 1,0 ≤ z ≤ 1的表面所得的截痕,若从 ox 的表z , Y = x, Z = y
x
0
D xy
1
1
根据stokes公式, 根据stokes公式, 有 stokes公式
dydz dzdx dxdy ∂ ∂ ∂ ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz = ∫∫ ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ = ∫∫ ds ∂x ∂y ∂z Σ X Y Z
Z(x, y, z) 在包含曲面 Σ在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 有一阶连续偏导数, 则有公式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫( ∂y − ∂z )dydz + ( ∂z − ∂x )dzdx + ( ∂x − ∂y )dxdy Σ
= ∫ Xdx +Ydy + Zdz
Γ
斯托克斯公式
向量场 A 产生的旋度 场穿过 S 的通量
令 S 收缩到点 M ( x,y,z ), 则 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z )
1 故有 lim ∫ Ad l = (rot A⋅ n0 ) ( x, y,z) S →0 S L
环量对面积的变化率最大， 的同向时， 环量对面积的变化率最大， 当 n0 与 rotA 的同向时， 最大值 rotA .
rotA = 模：环量对面积变化率的最大值
方向： 环量对面积变化最快的方向 方向：
若rotA ≡ 0, 则对于空间中任一闭曲线 L,
∫ Ad l
曲线积分与路径无关. 曲线积分与路径无关
L
≡0
斯托克斯公式的又一种形式
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X ∫∫[( ∂y − ∂z ) cosα + ( ∂z − ∂x ) cos β + ( ∂x − ∂y ) cosγ ]dS Σ
∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − )i + ( − ) j + ( − )k. ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
的方向选取! 旋度的物理意义： 旋度的物理意义： 注意 S 与 L 的方向选取!
∫ Adl = ∫∫ rot A⋅ n d S
0 L S
为向量场 A 沿 L的环量 1 1 由此得 ∫ Adl = S ∫∫ rot A⋅ n0 d S SL S 由中值定理， 由中值定理，得 1 ∫ A d l = (rot A ⋅ n0 ) (ξ ,η ,ζ ) S L
说明
应用: 应用
转化 相应的简单曲 曲线积分 面上的曲面积分
对象： 对象：空间曲线的第二类曲线积分∫ Xdx +Ydy + Zdz L
曲线L复杂时，
注意：是封闭曲线
曲线的方向与曲面的侧成右手系
二、简单的应用
例 1 计 曲 积 ∫ zdx + xdy + ydz , 算 线 分
Γ
其中Γ 是平面x + y + z = 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的 向 之 符 右 规 . 法 量 间 合 手 则 z
x+ y= 3 2
∴ I = ∫∫
Σ
Dxy
x+ y= 1 2
4 =− ∫∫ ( x + y + z )dS 3 Σ
3 (∵ 在Σ上x + y + z = ) 2
9 4 3 =− ⋅ ∫∫ dS = −2 3 ∫∫ 3dxdy = − . 3 2Σ 2 D xy
练习
1、计算 ∫ − y dx + xdy + z dz ,L 是平面
另一种形式
cosα cos β cosγ ∂ ∂ ∂ ∫∫ ∂x ∂y ∂z ds = ∫Γ Xdx +Ydy + Zdz Σ X Y Z
其中n = {cosα,cos β ,cosγ }
若记
A = ( X , Y , Z ),
∂ Z ∂Y ∂ X ∂ Z ∂Y ∂ X r =( − , − , − ) ∂ y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂ y
其中
或∫∫ (rotA)n dS = ∫Γ At ds
Σ
(rotA)n = rotA ⋅ n ∂Z ∂Y ∂X ∂Z ∂Y ∂X = ( − ) cosα + ( − ) cos β + ( − ) cosγ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
At = A ⋅ n = X cos λ + Y cos µ + Z cosν
公式： 第七节 Stokes 公式： 环流量与旋度
• • • • Stokes公式（斯托克斯公式） 公式（斯托克斯公式） 公式 简单的应用 物理意义：环流量与旋度 物理意义： 小结
一、斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯(stokes)公式 (stokes)
为分段光滑的空间有向闭曲线, 定理 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线,Σ是以 为边界的分片光滑的有向曲面, Γ为边界的分片光滑的有向曲面, Γ的正向与Σ 的侧符合右手规则, 函数 X (x, y, z) , Y(x, y, z) , 的侧符合右手规则,
i
解:
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3chapter4(7)Stokes公式及环量与旋度
即du( x , y, z ) = Pdx + Qdy + Rdz ,
且 u( x , y, z ) = ∫( x
x
0
( x , y, z )
0 , y0 , z0 )
Pdx + Qdy + Rdz
y z
0 0
= ∫x P ( x , y0 , z0 )dx + ∫y Q ( x , y, z0 )dy + ∫z R( x , y, z )dz .
1 2 dS = 1 dS = ∫∫ ∫∫ 2Σ 2 2 Σ
1 π 2 2 R = R . = π 2 2 2 2
注意: 注意 x
2
z y
o
1 2 2 2 (R + R ) = R. (1) 截面圆的半径为 2 2 (2) 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说， 选用两种类型的曲面积分都可以，就本题来说， 积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜. 积分号下出现常数，故选对面积的曲面积分为宜
(3) 积分曲面∑是选平面还是选球面被平面割下的那一 积分曲面∑ 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜. 部分，从理论上讲，都是可以的，以计算简单为宜
R Q Q P P R cos Q ∫∫ β + cos α + cos γ dS = 0 y z z x x y Σ + Σ′
Solution. 如图所示 x z v 1 1 取Σ为 + = 1的上侧, n = ,0, 的上侧 a b a b z
cos α = cos γ =
b a2 + b a
, cos β = 0, 2
x a
b o
a
y
斯托克斯公式——换流量与旋度
在Ω内处处有
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
机动 目录 上页
∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
∂Q ∂ R = , ∂z ∂ y
∂ R ∂ P ∂ P ∂Q = = , ∂ y ∂x ∂x ∂z j
∂ ∂y
在Ω内处处有 i
k
∂ ∂z
rot ( P , Q , R ) =
∂ ∂x
=0
P
Q
R
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3. 场论中的三个重要概念 设 u = u ( x, y , z ) , A = ( P , Q , R ) , ∇ = ( 梯度: 散度:
τ = (cos λ , cos μ , cosν )
∂R − ∂x
∫∫Σ [ (
∂R ∂y
∂Q − ∂z
)cosα + (
Γ
∂P ∂z
)cos β + (
∂Q ∂x
∂P − ∂y
)cos γ ]d S
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= ∫ ( P cos λ + Q cos μ + R cosν ) d s
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∑
d yd z d zd x d xd y
∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z
P cos α
∂ ∂x
Q cos β
∂ ∂y ∂ ∂z
R cos γ dS R
= ∫∫
∑
P
Q
机动
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结束
2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 设 P, Q, R 在Ω内具有一阶连续偏导数, 则
∫Γ P d x + Q d y + R d z 在Ω内与路径无关
1
o
1 y
∫∫Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
第七节：斯托克斯公式
（3）若 是 xoy 面上的平面区域 D， 则
z 0, cos cos 0, cos 1
0 Pdx Qdy x P 0 y Q 1 Q P dS ( ) dxdy z y D x R
dydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdz x y z P Q R cos Pdx Qdy Rdz x P cos y Q cos dS z R
Pdx Qdy Rdz
该等式称为斯托克斯公式
R Q P R ( )dydz ( )dzdx ( Q P )dxdy z z x x y y
（1）在公式中， 的侧向与 的方向要符合右手规则 （2）为帮助记忆，引入如下行列式记号
P 由格林公式 P[ x , y , f ( x , y )]dx (0 )dxdy y D xy C
C
( Py Pz z y )dxdy
D xy
P ( x , y , z )dx ( Py Pz z y )dxdy
D xy
在 xoy 面上的投影区域记为 Dxy
相应地， 在 xoy 面上的投影为 C C 的方向为逆时针方向。
x
0 C
y
Dxy
（1） 取上侧。 首先，可以证明 P ( x , y , z )dx P[ x , y , f ( x , y )]dx 因为若 ( x , y ) C , ( x , y , z ) 是 上对应的点， 则必有 P ( x , y , z ) P[ x , y , f ( x , y )] 且对于 上的一个小弧段 ds 它在 xoy 面上的投影记为 ds 则 ds C , ds 和 ds 在 x 轴上的投影 完全一样，都为 d x 所以上面等式两边的被积表达 式相等。
87斯托克斯公式与旋度汇总
Pdx Qdy Rdz
R Q P R Q P rotF ( )i ( ) j ( )k y z z x x y
旋度
设 r x2 y2 z 2 , 则 2 div (grad r ) r ; rot(grad r ) 0 . x y z 提示: grad r , , r r r x 2 2 x r x ( y) r y ( ) r r 2 x2 , 3 3 2 y x r r r r r ( z ) r2 z2 三式相加即得 div (grad r ) z r r3 i j k
3 2 A ( x z ) i ( x yz ) j 3 xy k 沿闭曲 五、求向量场
2 2 z 2 x y ,z0 为圆 线 周 (从 z 轴 正向看 依逆 时针方向)的环流量 .
六、 设
u u( x , y , z )
具有二阶连续偏导数,求
rot ( gradu )
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
G
G
G
一维单连通
二维单连通
一维单连通
二维不连通
一维不连通
二维单连通
三、空间定向曲线积分与路径无关的充要条件
定理 设 G 是空间的一个一维单连通区域, F ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k C ( 则 F ( x , y , z ) 沿 G 内定向曲线的积分与路径无关的 rot F 0 充分且必要条件是
斯托克斯公式 环流量与旋度
向前进 , 在左手边.
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:
d yd z d zd x d xd y Pd x Qd y Rd z x y z P Q R
, , x y z
,
则
grad u u , u , u 梯度: x y z
散度:
u
P Q R div A x y z A
i
旋度: rot A
x
j
y
k
z
A
P
Q
R
o
1
1 y
d yd z d zd x d xd y
x y z
x
Dx y
z
x
y
利用对称性
3 d y d z d z d x d x d y 3 d x d y Dx y 2
例2. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
n (cos , cos , cos ) (cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
P d x Q d y R d z
d yd z d zd x d xd y
第七节 斯托克斯公式与旋度
第七节 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
一、斯托克斯(stokes)公式 二、物理意义 -- 环流量与旋度 三、空间定向曲线积分与路径无关条件
一、斯托克斯(stokes)公式
1、定向曲面∑的正向边界曲线： 设定向曲面∑ 的边界曲线为，规定 的正向 如下：当人站立于定向曲面的一侧上，并沿 行走时，邻近处的 始终位于他的左方. 带有正向的边界曲线 称作定向曲面 的正向边界 曲线，记作 + .
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是xoy面的平面闭区域,且R(x,y,z)=0
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
z
例 1 计算 zdx xdy ydz , 其中 是平面 x y z 1 被 三坐标面所截成的三角形的 整个边界,取逆时针方向.
称为向量场 F 沿曲线 按所取方向的环流量 .
环流量
F dr Pdx Qdy Rdz
F dr
i x P
j y Q
k dS z R
P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R( x , y , z ) k i j k 称向量 x y z P Q R R Q P R Q P ( )i ( ) j ( )k . y z z x x y 为F在点( x , y, z )处的旋度(rotation), 记为rotF .
设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成 的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域;
如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于 G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
D11_7斯托克斯公式
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其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个
边界, 方向如图所示.
z
解: 记三角形域为, 取上侧, 则
d ydz dzdx dxd y
x
y
z
z
x
y
o
1y
1
x
Dxy
d y d z d z d x d x d y 3
dxd y 3
第七节
第十一章
斯托克斯公式
*环流量与旋度
一、斯托克斯公式 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 *三、环流量与旋度
*四、向量微分算子
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一、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一
利用对称性Dx y
2
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内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
作业
cos
x
P
cos
y
Q
cos
z
dS
R
习题11-7（P245） 提高题：1
x
y
z P d x Q d y R d z
P
Q
R
或用第一类曲面积分表示:
cos cos cos
环流量与旋度
i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S
8
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结束
*四、向量微分算子
定义向量微分算子:
x i y j z k 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子.
i
j
k
于是得斯托克斯公式的向量形式 :
或
rot A n d S A d s (rot A) n d S A d s
①
定义:
P d x Q d y R d z A d s 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环流量. 向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
A
P Q R x y z
div A
k
i x A P
j
y
z
rot A
Q
R
高斯公式与斯托克斯公式可写成:
A d v An d S ( A ) n d S A d s
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曲线 的单位切向量为
则斯托克斯公式可写为
(cos , cos , cos )
( P cos Q cos R cos ) d s
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令 A ( P, Q, R) , 引进一个向量
记作
rot A
x y z P Q R
个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
9-7斯托克斯公式旋度
2
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos
x
3 x y z
2 2
dS
2
x y
3 2
z x
x y
2
D xy
x y 1 2
4
( x 3
y z ) dS
( 在 上 x y z 9
3 2
)
4 3
3
dS 2 3 3dxdy . 2
D xy
2
8
三、物理意义---环流量与旋度 1. 环流量
第七节 斯托克斯(stokes)公式
一、斯托克斯(stokes)公式 二、简单的应用 三、物理意义---环流量与旋度
1
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,
是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则,
函数 P ( x , y , z ) ,Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包含曲面 在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
At A n P cos Q cos R cos
环流量 rotA d S
At ds
14
Stokes公式的物理解释:
向量场 A 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A 的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的 正向与 的侧符合右手法则)
A t ds 或 ( rotA)n dS At ds
其中 ( rot A ) n rot A n ( R y Q z ) cos ( P z R x ) cos ( Q x P y ) cos