广东省广州市天河中学2017高考数学一轮复习 正弦定理与余弦定理02基础知识检测 文
高考理科数学一轮复习(教学指导)正弦定理和余弦定理
第6讲 正弦定理和余弦定理一、知识梳理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径) a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos_B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C变形形式a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R，sin C ＝c2R；a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ； a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形解的判断 A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解(1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin_B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2； (4)cosA ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B ．二、教材衍化1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC ＝( ) A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6解析：选C.因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝23π.2．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________． 解析：因为23sin 60°＝4sin B ，所以sin B ＝1，所以B ＝90°，所以AB ＝2，所以S △ABC ＝12×2×23＝2 3.答案：2 3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A ；已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )(4)在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错； (2)在△ABC 中角与角的正弦关系弄错； (3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解 C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得b sin B ＝csin C ，所以sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.所以角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ，B 的关系为________；若sin A >sin B ，则A ，B 的关系为________．解析：sin A ＝sin B ⇔a ＝b ⇔A ＝B ； sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B . 答案：A ＝B A >B3．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形利用正、余弦定理求解三角形(多维探究) 角度一 求边长(一题多解)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.(1)求边长a ；(2)求AB 边上的高CD 的长．【解】 (1)由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3.(2)法一：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由三角形的面积公式得 12ab sin ∠ACB ＝12c ×CD ， 所以CD ＝ab sin ∠ACB c ＝3×5×327＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.法二：由(1)知a ＝3，b ＝5，c ＝7， 由正弦定理得3sin A ＝7sin ∠ACB ＝7sin 120°，即sin A ＝3314，在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin A ＝5×3314＝15314，即AB 边上的高CD ＝15314.角度二 求角度(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B－sin C )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .【解】 (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故 sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．1．(2020·安徽安庆二模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于 ( )A.32 B ．43C. 2D ． 3解析：选D.由b sin 2A ＝a sin B ，及正弦定理得2sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，得cos A ＝12.又c ＝2b ，所以由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4b 2－4b 2×12＝3b 2，得ab ＝ 3.故选D.2．(2020·河南郑州一模)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2＋c 2－3bc ＝a 2，bc ＝3a 2，则角C 的大小是( )A.π6或2π3 B ．π3C.2π3D ．π6解析：选A.由b 2＋c 2－3bc ＝a 2，得b 2＋c 2－a 2＝3bc ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc2bc ＝32，则A ＝π6， 由bc ＝3a 2，得sin B sin C ＝3sin 2A ＝3×14＝34，即4sin(π－C －A )sin C ＝3，即4sin(C ＋A )sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6sin C ＝3， 即4⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C sin C ＝23sin 2C ＋2sin C cos C ＝3，即3(1－cos 2C )＋sin 2C ＝3－3cos 2C ＋sin 2C ＝3，则－ 3 cos 2C ＋sin 2C ＝0， 则3cos 2C ＝sin 2C ，则tan 2C ＝3， 即2C ＝π3或4π3，即C ＝π6或2π3，故选A.判断三角形的形状(典例迁移)(2020·重庆六校联考)在△ABC 中，cos 2 B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解析】 已知等式变形得cos B ＋1＝a c ＋1，即cos B ＝ac ①.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，代入①得a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．【答案】 A【迁移探究1】 (变条件)将“cos 2B 2＝a ＋c 2c ”改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，试判断△ABC 的形状．解：因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 所以cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin B ＝sin A ， 所以A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．【迁移探究2】 (变条件)将“cos 2B 2＝a ＋c 2c ”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解：因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(2020·河南洛阳一模)在△ABC 中，已知2a cos B ＝c, sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形解析：选B.将已知等式2a cos B ＝c 利用正弦定理化简得2sin A cos B ＝sin C ， 因为sin C ＝sin ()A ＋B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝sin(A －B )＝0， 因为A 与B 都为△ABC 的内角， 所以A －B ＝0，即A ＝B .因为sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，所以sin A sin B (2－cos C )＝12(1－cos C )＋12＝1－12cos C ，所以－12[]cos ()A ＋B －cos （A －B ）(2－cosC )＝1－12cos C ，所以－12(－cos C －1)(2－cos C )＝1－12cos C ，即(cos C ＋1)(2－cos C )＝2－cos C ，整理得cos 2C －2cos C ＝0，即cos C (cos C －2)＝0，所以cos C ＝0或cos C ＝2(舍去)，所以C ＝90°，则△ABC 为等腰直角三角形，故选B.与三角形面积有关的问题(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C 2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围． 【解】 (1)由题设及正弦定理得 sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sinB ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°， 所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32.求解三角形面积问题的基本思维(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值，余弦值)，一般结合题意求这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积； (3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．1．(2020·福建厦门一模)在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，则△ABC 的面积等于( )A.14 B ．12C.32D ．154解析：选D.在△ABC 中，cos B ＝14，b ＝2，sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ；由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝a 2＋4a 2－2a ·2a ·14＝4a 2＝4，解得a ＝1，可得c ＝2，所以△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ＝12×1×2×1－⎝⎛⎭⎫142＝154.故选D.2．(2020·陕西汉中一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3b sin A ＝a ·(2－cos B )．(1)求角B 的大小；(2)D 为边AB 上一点，且满足CD ＝2，AC ＝4，锐角三角形△ACD 的面积为15，求BC 的长．解：(1)由正弦定理得3sin B sin A ＝sin A (2－cos B )， 因为A ∈(0，π)，则sin A >0，所以3sin B ＝2－cos B ， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝2， 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1， 因为B ∈(0，π)， 所以B ＋π6＝π2，解得B ＝π3.(2)由题意，可得S △ACD ＝12CD ·CA sin ∠ACD＝12×2×4sin ∠ACD ＝15， 解得sin ∠ACD ＝154. 又因为△ACD 为锐角三角形， 所以cos ∠ACD ＝1－sin 2∠ACD ＝14，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos ∠ACD ＝42＋22－2×2×4×14＝16，所以AD ＝4，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin A ＝ADsin ∠ACD， 则sin A ＝CD AD ·sin ∠ACD ＝158，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin A ＝ACsin B， 所以BC ＝AC sin Asin B＝ 5.三角形中最值问题一、求角的三角函数的最值若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________． 【解析】 由sin A ＋2sin B ＝2sin C ，结合正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3a 2＋2b 28ab －24≥6－24( 3 a ＝ 2 b 时取等号)，故cos C 的最小值是6－24. 【答案】6－24在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac . (1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值． 【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22，又因为0<B <π，所以B ＝π4.(2)由(1)知A ＋C ＝3π4，所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎫A －π4. 因为0<A <3π4，所以当A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1.此类问题主要考查余弦定理、三角形内角和定理、辅助角公式以及三角函数的最值和基本不等式；解此类问题的关键是熟练地运用余弦定理、两角差的正余弦公式以及辅助角公式．二、求边的最值(1)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________． (2)如图，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，AB ＝BC ＝1，AC ＝CD ，AC ⊥CD ，当∠ABC 变化时，BD 的最大值为________．【解析】 (1)因为BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3sin 60°，所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，因此AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋4sin A ＝5sin A ＋3cos A ＝27sin(A ＋φ)，因为φ∈(0，2π)，A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以AB ＋2BC 的最大值为27. (2)设∠ACB ＝θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，则∠ABC ＝π－2θ，∠DCB ＝θ＋π2，由余弦定理可知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ，即AC ＝DC ＝2＋2cos 2θ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，由余弦定理知，BD 2＝BC 2＋DC 2－2BC ·DC cos ∠DCB ，即BD 2＝4cos 2θ＋1－2×1×2cos θ·cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝22sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＋3.由0<θ<π2，可得π4<2θ＋π4<5π4，则()BD 2max ＝22＋3，此时θ＝π8，因此(BD )max ＝2＋1. 【答案】 (1)27 (2)2＋1边的最值一般通过三角形中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解．有时也可利用均值不等式求解．三、求三角形面积的最值在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b ，若△ABC的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为________．【解析】 在△ABC 中，2c cos B ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sin C cos B ＝2sin A ＋sinB ．又A ＝π－(B ＋C )，所以sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，得2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12，又0<C <π，所以C ＝23π.由S＝3c ＝12ab sin C ＝12ab ×32，得c ＝ab4.由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，所以⎝⎛⎭⎫ab 42≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48.【答案】 48利用三角函数的有关公式，结合三角形的面积公式及正、余弦定理，将问题转化为边或角的关系，利用函数或不等式是解决此类问题的一种常规方法．[基础题组练]1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12 B ．π6C.π4D ．π3解析：选B.因为在△ABC 中，A －B ＝π2，所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ，所以cos B ＝3sin B ，所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以C ＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B. 2．(2020·江西上饶一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 的值是( )A.43 B ．34C ．－43D ．－34解析：选C.因为S ＝12ab sin C ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，所以由2S ＝(a ＋b )2－c 2，可得ab sin C ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2－2ab ·cos C )， 整理得sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，所以（sin C －2cos C ）2sin 2C ＋cos 2C ＝4，sin 2C ＋4cos 2C －4sin C cos C sin 2C ＋cos 2C ＝4，化简得3tan 2C ＋4tan C ＝0，因为C ∈(0，π)， 所以tan C ＝－43，故选C.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A .又sin(B ＋C )＝sin A 且sin A ≠0，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，故选B.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2 B ． 3 C.32D ．2解析：选C.因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°，所以由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2，所以由正弦定理得S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A.在△ABC 中，∠A ＝60°.因为2sin B ＝3sin C ，故由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，所以b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cosA ＝7，所以a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且有a ＝1，3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，则A ＝________．解析：由3sin A cos C ＋(3sin C ＋b )cos A ＝0，得3sin A cos C ＋3sin C cos A ＝－b cos A ，所以3sin (A ＋C )＝－b cos A ，即3sin B ＝－b cos A ，又a sin A ＝b sin B ，所以3cos A ＝－b sin B ＝－a sin A ，从而sin A cos A ＝－13⇒tan A ＝－33，又因为0<A <π，所以A ＝5π6. 答案：5π67．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3.法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c －b 2＝0，a 2＝72bc ，b >c ，则bc＝________．解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B2＝0.因为sin C ＝sin(A＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B 2－cos A sin B ＝0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b >c ，所以bc＝2.答案：29．(2020·河南郑州一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长． 解：(1)因为△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ，sin B ＝b 24S ，所以4×⎝⎛⎭⎫12ac sin B ×sin B ＝b 2，所以ac ＝b22sin 2B， 所以由正弦定理可得sin A sin C ＝sin 2B 2sin 2B ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，sin A sin C ＝12，所以cos B ＝－cos(A ＋C )＝sin A sin C －cos A cos C ＝12－34＝－14，因为b ＝15，所以ac ＝b 22sin 2B ＝b 22（1－cos 2B ）＝（15）22×⎝⎛⎭⎫1－116＝8，所以由余弦定理可得15＝a 2＋c 2＋12ac ＝(a ＋c )2－32ac ＝()a ＋c 2－12，解得a ＋c ＝33，所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cosB ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积． 解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ．由正弦定理，得2sin C cos B ＝sin B cos A＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈()0，π，所以B ＝π3.(2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C＝12×6×27×217＝6 3. [综合题组练]1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B ，b ＝4，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．4 3B ．2 3C ．2D ． 3解析：选A.因为在△ABC 中，2a －c b ＝cos Ccos B ，所以(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A ，所以cos B ＝12，即B ＝π3，由余弦定理可得16＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤16，当且仅当a ＝c 时取等号，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤4 3.故选A.2．(2020·江西抚州二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ，b ＋c ＝3，则a 的最小值为( )A ．1B ． 3C ．2D ．3解析：选B.在△ABC 中，因为3a cos A ＝b cos C ＋c cos B ， 所以3sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， 即3sin A cos A ＝sin A ，又A ∈(0，π)，所以sin A ≠0，所以cos A ＝13.因为b ＋c ＝3，所以两边平方可得b 2＋c 2＋2bc ＝9，由b 2＋c 2≥2bc ，可得9≥2bc ＋2bc ＝4bc ，解得bc ≤94，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a 2＝b 2＋c 2－23bc ＝(b ＋c )2－8bc 3≥9－83×94＝3，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以a 的最小值为 3.故选B.3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos B ＝13，b ＝4，S △ABC ＝42，则△ABC 的周长为________．解析：由cos B ＝13，得sin B ＝223，由三角形面积公式可得12ac sin B ＝12ac ·223＝42，则ac ＝12①，由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，可得16＝a 2＋c 2－2×12×13，则a 2＋c 2＝24②，联立①②可得a ＝c ＝23，所以△ABC 的周长为43＋4.答案：43＋44．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc .若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．解析：在△ABC 中，因为(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ， 所以a 2＋b 2－c 2ab(a cos B ＋b cos A )＝c ，由正、余弦定理可得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，所以2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，即2cos C sin C ＝sin C ，又sin C ≠0，所以cos C ＝12，因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3，B ＝2π3－A ，所以由正弦定理a sin A ＝b sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝c 32，可得a ＝c sin A32，b ＝c sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A 32，因为a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A 32＝2，整理得c ＝3sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝332sin A ＋32cos A ＝1sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6，因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，可得 sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1，所以c ＝1sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈[1，2)． 答案：[1，2)5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6. (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝ 3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，A ＝60°. (1)若△ABC 的面积为33，a ＝13，求b －c ； (2)若△ABC 是锐角三角形，求sin B sin C 的取值范围． 解：(1)由S △ABC ＝33，得12bc sin A ＝33，即12bc sin 60°＝33，得bc ＝12.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－bc ＝13， 所以(b －c )2＝13－bc ＝1，所以b －c ＝1或b －c ＝－1. (2)因为A ＝60°，所以B ＋C ＝120°，所以C ＝120°－B . 所以sin B sin C ＝sin B sin(120°－B )＝sin B ⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B ＝34sin 2B ＋1－cos 2B 4＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2B －12cos 2B ＋12＝12sin ()2B －30°＋14. 因为△ABC 是锐角三角形，所以C ＝120°－B <90°，得B >30°， 所以30°<B <90°，则30°<2B －30°<150°， 所以12<sin(2B －30°)≤1，14<12sin(2B －30°)≤12，所以12<12sin(2B －30°)＋14≤34，所以sin B sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，34.。
高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理教学案
第七节正弦定理和余弦定理[知识能否忆起]1．正弦定理2．余弦定理3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝2 3.2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．75°解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定解析：选B ∵a sin A ＝bsin B， ∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b ＝2. 答案：25．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°， 整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3.因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534.答案：1534(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sinAb sin A <a <ba ≥ba >b解的个一解两解一解一解典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A ＝3a cos B.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵a sin A ＝bsin B， ∴sin A ＝a sin Bb ＝3·si nπ33＝12.∴A ＝π6.由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．以题试法1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得，sin 2A sinB ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即 sinB (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sinB ＝ 2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典题导入[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12，∵0<A <180°，∴A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝34.又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝12.∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．由题悟法依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．以题试法2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72.(1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2A2，cos 2A ，∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3.又∵m ·n ＝72，∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．典题导入[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sinA sin C －sinB －sinC ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.由题悟法1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．以题试法3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2A －cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ，则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝bc＝2，即b ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝332.1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cosπ3＝3⇒a ＝ 3. 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb，则C ＝( ) A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2cb 和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC 是钝角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C ＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：2 2 69．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4.答案：410．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sinB .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝22，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r|·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A＝2×7×714＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tanA ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74.1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·n ＋12＋n 2－n ＋222n n ＋1，化简得7n2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．解析：因为4sin2A ＋B2－cos 2C ＝72， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334， ∴bc ＝3，①∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝12，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.答案：12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2a，∴a 2＝a 2＋b 2－c 2，∴b 2＝c 2，∴b ＝c .3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，且0<C <π，所以sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C－1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或26， 所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝35.21 由正弦定理asin A ＝bsin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，所以310ac ＝3，ac ＝10.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.。
2017届高三数学一轮复习课件：3-7 正弦定理和余弦定理
第二十四页，编辑于星期六：点 五十七分。
[规律方法] 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)求三角形的面积。对于面积公式 S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是 已知哪一个角就使用含哪个角的公式。 (2)已知三角形的面积解三角形。与面积有关的问题，一般要利用正弦定理 或余弦定理进行边和角的互化。
答案：C
第二十九页，编辑于星期六：点 五十七分。
2．(2016·北京东城模拟)在锐角△ABC 中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝3 3， 则 BC＝( )
A．5
B. 13或 37
C. 37
D. 13
解析：由 S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×3×4×sin∠BAC＝3 3，得 sin∠
第十七页，编辑于星期六：点 五十七分。
【微练 1】(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c。已知 bcosC＋ccosB＝2b，则ab＝__________。
(2)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c。已知 b－c＝14a,2sinB ＝3sinC，则 cosA 的值为__________。
第三章
集合与常用逻辑用语
第一页，编辑于星期六：点 五十七分。
第七节 正弦定理和余弦定理
微知识 小题练 微考点 大课堂 微考场 新提升
第二页，编辑于星期六：点 五十七分。
微知识 小题练
教材回扣 基础自测
第三页，编辑于星期六：点 五十七分。
一、知识清单
微知识❶ 正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
A 为锐角
A 为钝角 或直角
图形
关系式 a＜bsinA a＝bsinA
广东省高三数学 第6章第1节 正弦定理和余弦定理复习课件 文
高考展望
①掌握正弦定理、余弦 定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题． ②能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法 解决一些与测量和几何 计算有关的实际问题．
解三角形可以看成是三角恒等变换的延续和 应用，用到三角恒等变换的基本方法，同时它是 对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应 用．由于近年高考命题强调以能力立意，加强对 知识综合性和应用性的考查，故三角形问题常常 与其他数学知识相联系，既考查解三角形的知识 与方法，又考查运用三角公式进行恒等变换的技 能及三角函数的应用意识．预计2012年的高考， 一是在小题里考查三角形内的数值关系问题，二 是以解答题形式考查三角形中正、余弦定理和三 角恒等变形、向量等知识的综合运用，三是利用 解三角形解决测量长度、高度、角度等实际问题.
由 A B C ， 有 sin B C 2sinBcosC， 展 开 得 sinB cosC cosB sinC 0， 即 sin B C 0.
因 为 B、 C 为 三 角 形 ABC的 内 角 ， 则 B C ， 所 以 B C 0， 即 B C . 故 可 得 ABC为 等 腰 三 角 形 ．
2
32
由 余 弦 定 理 得 a2 b2 2abcos 7， 3
即 a2 b2 ab 7.
②
由 ② 变 形 得 a b2 3ab 7.
③
将 ① 代 入 ③ 得 a b 2 25， 故 a b 5.
方法2：前同方法1.
联立①②得a2
b2
ab
7
a2
b2
13，
ab 6
2
2
得 4 cos2 C cos 2C 7 ，
2
2
所 以 4 1 cos C 2 cos 2 C 1 7 ，
高考数学正弦定理和余弦定理知识点复习资料
考纲要求
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
考纲研读
会解四种基本类型的斜三角形问题.
(1)已知两角和任一边，求其余两边和一角：可先求出第三角，再利用正弦定理求出其余两边;
(2)已知两边及一边的对角，求其余两角和一边(可能无解或一解或两解)：可先利用正弦定理求出另一边的对角，再求出其余边角;
(3)已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(有唯一解)：可先利用余弦定理求出第三边，再求出其余两角;
(4)已知三边，求三角：可利用余弦定理求出三内角.。
2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形课件 理
(2)由余弦定理得 AC2＝BC2＋AB2－2AB· BCcos B，即( 7)2＝22 ＋AB2－2×2AB· cos 60°，即 AB2－2AB－3＝0，得 AB＝3，故 3 3 BC 边上的高是 ABsin 60°＝ 2 .
5 3 3 答案 (1)7 (2) 2
考点二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 【例2】 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin C Nhomakorabeacsin A
1 1 1 abc 1 2.S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋ 2 2 2 4R 2 c)· r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线
解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB＝20 海里，∠CAB＝ BC AB 30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得 ＝ ，解得 sin 30° sin 45° BC＝10 2(海里).
答案 10 2
4.(2016· 淮安质检)已知△ABC 中，内角 A，B，C 所对边长分别 π 为 a，b，c，若 A＝ 3 ，b＝2acos B，c＝1，则△ABC 的面积等 于________.
3 4 解析 (1)∵cos A＝5，0＜A＜π，∴sin A＝5，又 B＝45°， ∴sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B) 7 2 b c ＝sin Acos B＋cos Asin B＝ 10 ，由正弦定理得sin B＝sin C， 1 5 b 即 ＝ ，∴b＝7. sin 45° 7 2 10
解
设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获(在 D 点)
高考数学一轮总复习 4.6 正弦定理、余弦定理精品课件 理 新人教版
1-sin2 A
1
10 2
3
27
= .因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=
.
答案
答案
(dá àn)
第十二页，共27页。
探究(tànjiū)
突破
方法提炼
(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量
关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.
)
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
关闭
依据题设条件的特点,边化角选用正弦定理,有 sin Bcos C+cos Bsin C=sin2A,
则 sin(B+C)=sin2A,由三角形内角和及互补角的意义,得 sin(B+C)=sin2A=1,关闭
A A=π ,选 A
所以
2
考点(kǎo diǎn)一
diǎn)三
第二十二页，共27页。
探究
(tànjiū)突
破
解:(1)由已知及正弦定理得
sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①
又 A=π-(B+C),故
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②
由①②和 C∈(0,π)得 sin B=cos B,
1
2
(1)S= ah(h 表示边 a 上的高).
1
2
1
2
(2)S= bcsin A= absin C
=
1
acsin
2
1
2
B .
(3)S= r(a+b+c)(r 为△ABC 内切圆半径).
高考数学一轮复习考点知识专题讲解30---正弦定理、余弦定理
所以 CD＝3＋ 3， 又∠ACD＝180°－150°＝30°，
1
1
1 3（ 3＋1）
所以 S△ACD＝2AC·CD·sin ∠ACD＝2×2 3×(3＋ 3)×2＝
又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝12＋36－2×2 3×6cos 150°＝84，所以 AB＝ 84＝2 21.
(2)在△ACD 中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
CD
AC
由正弦定理得sin ∠CAD＝sin ∠ADC，
(2)设 a＝2，c＝3，求 b 和 sin (2A－B)的值． ab
[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理sin A＝sin B，
可得 b sin A＝a sin B， π
又由 b sin A＝a cos (B－6)， π
得 a sin B＝a cos (B－6)， π
即 sin B＝cos (B－6)，
所以 CD＝ 7，所以 AD＝ 3， 1
所以 S△ABD＝2×4× 3×sin ∠DAB＝ 3.
(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边 或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公 式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可
C.
①求 A；
②若 2a＋b＝2c，求 sin C.
(1)A [∵a sin A－b sin B＝4c sin C，
∴由正弦定理得 a2－b2＝4c2，即 a2＝4c2＋b2.
b2＋c2－a2 b2＋c2－（4c2＋b2） －3c2 1 b
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正弦定理和余弦定理02
基础热身
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75° B．60° C．45° D．30°
2．在△ABC 中，若2sin A sin B <cos(B －A )，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形
3．在△ABC 中，下列关系式①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2
＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sin C 一定成立的有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，且B 是A 与C 的等差中项，则sin A ＝________.
能力提升
5．在△ABC 中，a ＝3＋1，b ＝3－1，c ＝10，则C ＝( ) A ．150° B．120° C ．60° D．30°
6．在△ABC 中，B ＝π
3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )
A. 2
B. 3
C. 5
D. 6
7．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2
)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )
A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝( )
A.32
B.12
C.
33 D.13
9．已知△ABC 三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2－c 2
＝ab ，则C ＝________.
10．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a2－b2＝3bc，sin C ＝23sin B，则A＝________.
11．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sin C)，n＝(3 a＋c，sin B－sin A)，若m∥n，则角B的大小为________．
12．(13分)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cos C
＝1
4
.
(1)求△ABC的周长；
(2)求cos(A－C)的值．
难点突破
13．(12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足c sin A＝a cos C.
(1)求角C的大小；
(2)求3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．
答案解析
【基础热身】
1．B [解析] S ＝12BC ·CA ·sin C ⇒33＝12×4×3×sin C ⇒sin C ＝3
2
，注意到其是锐角
三角形，故C ＝60°.
2．B [解析] 依题意，sin A sin B <cos A cos B ，所以cos(A ＋B )>0,0<A ＋B <π
2
，△ABC 的形
状是钝角三角形．
3．C [解析] 由正、余弦定理知①③一定成立，对于②，由正弦定理知sin A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )，显然成立．对于④，由正弦定理得sin B ＝sin C cos A ＋sin A cos C ，则b ＝c sin A ＋a sin C 不一定成立．
4.12 [解析] 由已知B ＝60°，由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝32×3＝12
. 【能力提升】
5．B [解析] 用余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab
＝
3＋
2
＋3－
2
－10
2
3＋
3－
＝－
12
. ∴C ＝120°.故选B.
6．D [解析] a ＋c ＝2b ，根据余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a ＋c 2－2ac －b 22ac ，即1
2
＝
3b 2
－12
12
，解得b ＝ 6. 7．D [解析] ∵(a 2
＋c 2
－b 2
)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝3
2
，即cos B ·tan B ＝sin B
＝
3
2
. ∴在锐角△ABC 中，角B 的值为π
3
.
8．C [解析] 将正弦定理代入已知等式，得 (3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C ， ∴3sin B cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )＝sin B ，
∵B 为三角形内角，∴sin B ≠0，∴cos A ＝3
3
.故选C.
9.π3 [解析] 由条件得c 2＝a 2＋b 2－ab ，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ＝a 2＋b 2
－ab ，
∴cos C ＝12，C ＝π
3
.
10．30° [解析] 由sin C ＝23sin B 得c ＝23b ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
＝
b 2＋
c 2－b 2＋3bc 2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝C －3b 2b ＝23b －3b 2b ＝3
2
，所以A ＝30°.
11．150° [解析] 由m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，由正弦定理
有(a ＋b )(b －a )＝c (3a ＋c )，即a 2
＋c 2
－b 2
＝－3ac ，再由余弦定理得cos B ＝－
32
，
∴B ＝150°.
12．[解答] (1)∵c 2＝a 2＋b 2
－2ab cos C ＝1＋4－4×14
＝4，
∴c ＝2，
∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2
C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，
∴sin A ＝a sin C c ＝15
42＝15
8
.
∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2
A ＝
1－⎝
⎛⎭⎪⎫1582＝7
8
. ∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝11
16
.
【难点突破】
13．[解答] (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .
又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π
4
.
(2)由(1)知，B ＝3π
4－A ，于是
3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A )
＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6.
因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π6取最大
值2.
综上所述，3sin A －cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.。