函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法考点一：由函数的概念判断是否构成函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中，能确定y 是x 的函数的是（ ）① A={x x ∈Z}，B={yy ∈Z}，对应法则f ：x →y=3x ; ② A={xx>0,x ∈R}, B={yy ∈R}，对应法则f ：x →2y =3x;③ A=R,B=R, 对应法则f ：x →y=2x ; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有（ ） ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f （x ），则对于直线x=a （a 为常数），以下说法正确的是（ ）A. y=f （x ）图像与直线x=a 必有一个交点B.y=f （x ）图像与直线x=a 没有交点C.y=f （x ）图像与直线x=a 最少有一个交点D.y=f （x ）图像与直线x=a 最多有一个交点变式4.对于函数y ＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f(a)表示当x ＝a 时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个变式5．设集合M ＝{x|0≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．② 考点二：同一函数的判定函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。

例2. 下列哪个函数与y=x 相同（ ） ①. y=x ②.y =③. 2y =④.y=t ⑤.33x y =；⑥.2x y =变式1.下列函数中哪个与函数y = ）A. y =B. y =-C. y =-D. y x = 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）A. 293x y x -=- 与 3y x =+B. 1y 与 1y x =-C. 0y x =（x ≠0） 与 1y =（x ≠0） D. 21y x =+，x ∈Z 与21y x =-，x ∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f考点三：求函数的定义域（1）当f （x ）是整式时，定义域为R ；（2）当f （x ）是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值集合；（3）当f （x ）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值集合；（4）当f （x ）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x 取值集合；（5）当f （x ）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x 取值集合；已学函数的定义域和值域1．一次函数y ax b =+)0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函ky x=)0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}|0y y ≠; 3．二次函数2y ax bx c =++)0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2例3.①函数y =的定义域是（ ）A. {}1,1-B. ( -1 , 1 )C. [ -1 , 1 ]D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) ②函数y ＝x ＋1＋12－x 的定义域是(用区间表示)________．变式1. 求下列函数的定义域 (1)21)(-=x x f ； (2)23)(+=x x f ； (3)xx x f -++=211)(.(4)1x y +=(5)y ＝x ＋1x 2－4；(6)y ＝1|x |－2； (7)y ＝x 2＋x ＋1＋(x －1)0.求复合函数的定义域例5. 已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域变式1. 已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域变式2. 已经函数f （x ）定义域为[ 0 , 4], 求f ()2x 的定义域考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域① 31y x =+ ， x ∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )②246y x x =-+ ，x ∈[)1,5 ( 配方法 ：形如2y ax bx c =++)② 2y x =-( 换元法：形如y ax b =+±)④21x y x =+ ( 分离常数法：形如cx dy ax b+=+ ) ④ 221y x x x =++ ( 判别式法：形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++ )变式1. 求下列函数的值域① 2243y x x =-+② y x =+② 2()234f x x x =++ ④2()234f x x x =++ (12)x -≤≤⑤ y =213x x +- ⑥2224723x x y x x +-=++考点五：求函数的解析式例7 . 已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）变式1. 已知f （x ）= 21x -， 求f （2x ）的解析式变式2. 已知f （x+1）= 233x x ++，求f （x ）的解析式变式3. 已知1)f x =+()f x 的解析式.例8. 若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式 （ 待定系数法 ）变式1. 已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）.变式2.一次函数()f x 满足[()]45f f x x =+，求该函数的解析式.变式3．已知多项式7)(+=ax x f ，222)(b x x x g ++=，且922)()(2++=+x x x g x f .试求a 、b 的值.变式4．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x －1，求f(x)的解析式.变式5．已知二次函数f （x ）＝x 2－bx ＋c 满足f （1＋x ）＝f （1－x ）， 且f （0）＝3，求f （x ）的解析式.变式6.已知函数f （x ）是一次函数，且满足3f （x ＋1）－2f （x －1）＝2x ＋17，求f （x ）.例9. 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）变式1. 已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式变式2. 已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭= 3x ，求函数f （x ）的解析式例10. 设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式. （ 赋值法 / 特殊值法）变式1. 已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.考点六：函数的求值例11. 已经函数f （x ）= 32x x +，求f （2）和f （a ）+f (-a)的值变式1. 已知f （2x ）= 21x x+，求f （2）的值例12. 已知函数()510320x x x x f x ⎧+ ≥⎪⎨-+ <⎪⎩=，求f （1）+f （1-）的值变式1. 已知函数()()2122111f x x x x x x f x ⎧+ , ≤-⎪⎪+ , -<<⎨⎪2-4 , ≥ ⎪⎩= ，求f [f （4-）]的值变式2. 已知函数()1(2)2n f n n fn *⎧1 , (= 1)⎪=⎨1+- , (∈N ) ⎪⎩，求f （5）的值例13 . 设函数()812l ,1]og (1,)(,xf x x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩∈-∞ ∈+∞ ,，求满足f （x ）=12的x 值变式1. 已知函数()11xf x x x x 3⎧⎪=⎨⎪⎩≤- , > , ，若f （x ）=2，求x 的值考点七：映射例1．判断下列对应是否是映射？变式1.下列各组映射是否是同一映射？变式2.判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f （2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f →（3）N A =，}2,1,0{=B ，:3f x x →被除所得的余数 （4）设111X {1,2,3,4},Y {1,,,}234==取倒数x x f →:（5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →:考点八：函数的表示方法：（1）解析法；（2）列表法；（3）图象法例1某种笔记本每个5元，买 x ∈{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例2 国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g 付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x ≤100)的信函应付邮资为（单位：分），试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图像.例3 画出函数y=|x|=00xx xx ≥⎧⎨-<⎩的图象.例4求下列函数的最大值、最小值与值域. ①142+-=x x y ； ③ ]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④ ]5,0[,142∈+-=x x x y函数的单调性与最值增函数与减函数 单调性与单调区间例1 如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数.练习1．函数y=x 2+x+2单调减区间是( )A 、1[,)2-+∞ B 、（-1，+∞） C 、1(,]2-∞- D 、（-∞，+∞） 2．下面说法正确的选项 （ ） A ．函数的单调区间可以是函数的定义域B ．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C ．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D ．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象3．函数f(x)=2x 2－mx+3,当x ∈[2,)-+∞时,增函数,当x ∈(]2,-∞-时,是减函数, 则f （1）等于（ ） A ．－3 B ．13 C ．7 D ．由m 而定的其它常数4.如果函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(,4]-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥－3 B ．a ≤－3 C ．a ≤5 D ．a ≥35. 函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则（ ）A ．21->k B ．21-<k C ．0>b D ．0>b６. 已知函数2122y x x =- 求:(1) 当03x <≤时， 函数的最值; (2) 当35x ≤<时， 函数的最值．函数的奇偶性观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性.2()f x x = ()||1f x x =- 21()f x x =偶函数：奇函数：例1．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x=∈-（2）32()1x xf xx-=-（3）2211(0)2()11(0)2x xg xx x⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩例2．判断下列函数的奇偶性（1）4()f x x=（2）5()f x x=（3）1()f x xx=+（4）21()f xx=例3．已知()f x是奇函数，在（0，+∞）上是增函数．证明：()f x在（－∞，0）上也是增函数．练习1．判断下列函数的奇偶性，并说明理由．①()0,[6,2][2,6]f x x=∈--②()|2||2|f x x x=-++2．设()f x R x 在上是奇函数,当＞0时，()(1)f x x x =-，试问：当x ＜0时，()f x 的表达式是什么？学案（6）反函数（一）（选讲）观图回答：: f A Ba b→ 的意义是什么？1．试求函数231x y x +=-的值域. (提示：利用分离常数法与反解法，在这里我们突出利用反解法)2．反函数的定义：试利用定义填写下表：3.试讨论原函数与其反函数的图象关系：4．试求(1)y=2x+1 (2)y=2x+11()2x ≥-的反函数,并对比有何不同.5．求解反函数的步骤:A BAB例 求下列函数的反函数(1))(13R x x y ∈-= (2)212x y x +=- (3))(13R x x y ∈+= (4))0(1≥+=x x y练习1.已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2.函数2(0)1(0)2x xyxx 的反函数是( )A 、2(0)0x x y x xB 、2(0)0x x yxxC 、1020x x yx x D 、1020x x y x x3.已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A 、))(,(1a fa - B 、()()b b f,1- C 、()()a a f ,1- D 、()()b f b 1,-4.若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、3 5.函数)(c x R x c x b ax y -≠∈++=且的反函数为213+-=x x y ，求a ,b,c 的值6.已知132)(1≥-=-x x x f，，求f(x)学案（7）反函数（二）（选讲）目标：1．了解互为反函数的函数图象间的关系的定理及其证明； 2．会利用互为反函数的函数图象间的关系解决有关问题. 复习：1．反函数的定义：2．互为反函数的两个函数)(x f y =与)(1x fy -=间的关系：3．反函数的求法：一反解、二互换、三标明； 4. 原函数与其反函数的图象关于y=x 对称. 新课：例1．求函数2(0)y x x =<的反函数,并利用对称关系作出其反函数的图象.例2．求函数2385-+=x x y 的值域.例3 已知)(x f =211x - (x ＜-1)，求)31(1--f . 例4若点A(1,2)既在函数)(x f =b ax +的图象上，又在)(x f 的反函数的图象上，求a ,b 的值. 例5若)0(2)1(≥+=+x x x x f ，试求反函数)(1x fy -=.练习：1．求下列函数的反函数： （1）)3(32-≤-=x x y ；（2）y=2x -6x+12(x ≤3); （3）y=2--x (x ≤-2).2. 已知函数y=a x+2的反函数是y=3x+b ，求a ,b 的值.3.函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。