谐振电路和品质因数

压或电容两端的电压比外加电压还大， 电感两端的电压或电容两端的电压比外加电压还大，是外 加电压的Q倍 加电压的 倍
3.RLC串联揩振电路中的能量转换 串联揩振电路中的能量转换
RLC谐振电路达到谐振时： 谐振电路达到谐振时： 谐振电路达到谐振时
Q值的普遍含义 值的普遍含义
1）有功功率 ）
2 L E π 1 1 π 1 2 2 2 cos 2 ω0t WE = CU = C 2QE cos ω0t = C 2 2 2 2 C R 2
1 1 E WB = Li 2 = L 2 cos 2 ω0t 2 2 R
2
(
)
2
E2 W = WB + WE = L 2 R
2
1）谐振曲线 ）
2
E = R
1 ω ω0 1+ Q2 ω ω 0 I max
2 2 0
2
=
=
ω ω 1 + Q2 ωω 0
2
当ω = ω0时 I = I max
当ω > ω0或ω < ω0时 I < I max
当 ω ω0 一定时
Q→大
I →小
8
Q值越大，曲线越尖锐，回路的选择性越好 值越大，曲线越尖锐， 值越大
通频带的宽度反比于回路的品质因数。回路的品质因数越大， 通频带的宽度反比于回路的品质因数。回路的品质因数越大， 通频带越窄，回路的选择性越好。 通频带越窄，回路的选择性越好。
5.并联谐振电路 并联谐振电路
C
R1
~ Y1 =
1 R1 + jX1
~ Y2 =
1 R1 + jX2
~ ~ ~ Y = Y1 + Y2
8
§8.6 谐振电路和品质因数
1.RLC串联电路的谐振和谐振条件 串联电路的谐振和谐振条件
R L
C
设e = 2 E cos ωt ~ ~ ~ ~ Z = Z R + Z L + ZC
1 = R + j ωL + jω j ωC 1 = R + ωL ωC
~
1 Z = R + ωL ωC
2）通频带 ）
a和b两点都是功率为最大值的一半的点，a和b点称为半功率点。 和 两点都是功率为最大值的一半的点 两点都是功率为最大值的一半的点， 和 点称为半功率点 点称为半功率点。 两个半功率点所对应的频率ω 之间的频率范围△ 两个半功率点所对应的频率ω1和ω2之间的频率范围△ω= ω2- ω1 称为谐振电路的通频带
任何时刻贮藏在电容中的电场能和贮藏在电感中的磁场能的总和是 恒定的，不随时间变化的。 恒定的，不随时间变化的。但电容内的电场能与电感中的磁场能不停 地相互转换，在电容器和电感器之间振荡着。 地相互转换，在电容器和电感器之间振荡着。
E2 = L 2 sin 2 ω0t R
4）品质因数Q的普遍定义 ）品质因数 的普遍定义 WE + WB I 2L L 1 Q = 2π = 2π 2 = 2π WR I RT0 R T0
2 2
= Ze jφ
φ = tg 1
ωL R
1 ωC
8
1 =0时 当 ωL ωC
Z = Z min = R φ=0 E I = = I max 电路中电流达到最大值且电流与电 R 压同位相， 压同位相，电路处于谐振状态 1 ω0 = 谐振条件 LC
2.RLC串联电路谐振时电路上电压分配 串联电路谐振时电路上电压分配
2 Ph = IU cos φ = I max E = I max R
电路的平均功率（有功功率） 电路的平均功率（有功功率）总是等于电阻上消耗的功率
2）瞬时功率 ）
设e = Em cos ωt
i = I m cos ωt
则U R = Em cos ωt
2 Pe = ie = 2 EI max cos 2 ω t = 2 I max R cos 2 ω t 电源的瞬时功率： 电源的瞬时功率：
2 ω2 ω0 = (ω + ω0 )(ω ω0 ) ≈ 2ω(ω ω0 ) I max I= 2 2Q(ω ω0 ) 1+ ω0
8
2Q(ω ω0 ) 当 = ±1时 ω0
ω0 ω1 = ω0 2Q
ω0 ω2 = ω0 + 2Q
1 I= I max 2
ω0 ω = ω2 ω1 = Q
R1 R2 X1 X2 = 2 R + X 2 + R2 + X 2 j R2 + X 2 + R2 + X 2 1 2 2 1 2 2 1 1
8
L
R2
~
①谐振条件
X1 X2 + 2 =0 2 2 2 R1 + X 1 R2 + X 2
当R1 << X 1 R2 << X 2
⑤电流矢量图
r IC
r I min
r E
r IL
8
6.例题 例题
在如图所示的电路中，电源的频率是确定的，电感L的值固定 的值固定， 例9.6-1 在如图所示的电路中，电源的频率是确定的，电感 的值固定， 电容C的值和电阻 的值都是可以调的，设电感的电阻很小，可以忽略， 的值和电阻R的值都是可以调的 电容 的值和电阻 的值都是可以调的，设电感的电阻很小，可以忽略， 求通过电阻R的电流 的电流。 求通过电阻 的电流。
L
1 R j ~ Cω 解： Z = j ωL + 1 R j Cω
~e
jωL ω2 RCL + R = 1 + jωCR ~ ~ E (1 + jωCR ) ~ E I = ~= jωL ω 2 LCR + R Z 1 R j ~ E ~ ~ Cω 1 IR = I = 1 R jωL ω2 RCL + R R j
②谐振频率
X 1 + X 2= 0
关联电路若能发生谐振，其中一条支路若是电感性，则另一条支路 关联电路若能发生谐振，其中一条支路若是电感性， 必定是电容性
1 X1 = Cω0
Ymin =
X 2 = Lω0
ω0 =
1 LC
③谐振时的导纳 总电流
R1 R + 2 2 2 ≈ R1 + R2 R12 + X 12 R2 + X 2 X 12
电阻上的瞬时功率： 电阻上的瞬时功率：PR
2 = iU R = 2 I max E cos 2 ω t = 2 I max R cos 2 ω t
Pe = PR
电源的瞬时功率等于电阻上的瞬时功率，电容和电感不与 电源的瞬时功率等于电阻上的瞬时功率， 电源交换能量。 电源交换能量。
8
3）电容和电感中的储能 ）
r UL
RLC串联电路达到谐振时： U R = I max R = E 串联电路达到谐振时： 串联电路达到谐振时
品质因数
E L = UC R C
r UR
r I
U L = I max X L = I max Lω0 =
r UC
1 L 令Q = — 品质因数 R C U L = U C = QE — 电压谐振
C
R
Cω
当ω2 LC = 1时
1 1 jωL + R jωL + R 1 ~ 2 2 = ωL 当ω2 LC = 时 Z = 1 1 R 2 ωL + j R 1+ j 2 Lω 2 2 ωL jarctg 1 2 R R + ω2 L2 e = ωL 4 R 1 2 jarctg 2 ωL ω2 L2 + R e 4
品质因数为谐振电路贮藏的能量与一个周期内电路消耗的能量之比 的2π倍 倍
8
L ω0 1 Lω0 Q = 2π = = 电路Q值与元件 值一致。 值与元件Q值一致 电路 值与元件 值一致。 R 2π CRω0 R
4.谐振曲线 谐振曲线
通频带
I= E 1 R 2 + Lω Cω
I max ω ω0 1+ Q2 ω ω 0
~ E ~ IR = jωL
与R无关，构成恒流回路
= ωLe
2 ωL R j arctg arctg R 2 ωL
2ωL π R 2 ωL = 2arctg arctg φ = arctg R 2 ωL 2 R
当R = 0时
π = 2
当R = ∞时
π = 2
8
思考题： 思考题：P510 8.12 8.14 8.16 作业： 作业：P515
R1 + R2 = 2 X2
8
φ=0
I min = EYmin
④品质因数
E ( R1 + R2 ) RC = E = 2 L X1
IC =
E R12 + X 12
≈
Lω0 E = ECω0 = I min = QI min — 电流谐振 X1 R
Lω0 1 1 L Q= = = R RCω0 R C