代数式的值 整体法
《代数式》提升专题——整体思想求值
《代数式》提升专题——整体思想求值一、方法总述要利用整体思想解题，需要从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何求证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．二、例题探索1．直接代入例1：已知a－b＝－3，求代数式(－a＋b)²－a＋6＋b的值．分析：本题中，我们无需求出a，b的值，将a－b作为一个整体直接代入，需要注意的是－a＋b是其相反数．解答：当a－b＝－3时，原式＝(－a＋b)²－a＋b＋6＝3²＋3＋6＝18变式1：若ab＝－3，a＋b＝－2，则ab－4a＋a－3b＝_______．分析：本题中，同样无需求出a，b的值，先将多项式化简，观察化简结果中的某几项，能否作为一个整体，与所给条件中的某个整体是对应的倍数关系，从而在求解时，将所给条件中的这个整体添上括号和系数，方便求值．解答：当ab＝－3，a＋b＝－2时，原式＝ab－3a－3b＝ab－3(a＋b)＝－3－3×(－2)＝32．部分代入例2：若代数式2a²－3a＋1的值为5，(1)求代数式8＋4a²－6a的值．(2)求代数式－6a²－4＋9a的值．分析：本题中，我们可以把所给条件中的部分项组成一个整体，代入到要求的多项式中，一般来说，要求的多项式中，必然也有部分项可看作整体，是所给条件中部分项整体的倍数关系，同样，求解时，别忘给所给条件的部分项添上括号和系数．解答：(1)由题意得，2a²－3a＝4原式＝8＋2(2a²－3a)＝8＋2×4＝16(2)原式＝－6a²＋9a－4＝－3(2a²－3a)－4＝－3×4－4＝－163．两次代入例3：分析：本题中，显然需要把－3代入这个代数式，但是仅代一次是不够的，我们只能得到关于m，n 的多项式作为整体，因此，需要把3再次代入，观察此时关于m，n的多项式的整体与之前的关系，并求值．解答：当x＝－3时，原式＝－27m－3n＋1＝－5∴－27m－3m＝－6当x＝3时，原式＝27m＋3n＋1＝6＋1＝74．特殊值代入例4：分析：本题中，我们需要思考，到底代哪个特殊值．(1)中，只有a0，则其他项为0，则x取0．(2)中，是求每项的系数的和，因此，x必须保证其任何次幂为1，则x取1．(3)中，x必须保证其奇次幂为－1，偶次幂为1，则x取－1．(4)中，不含奇数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相加，除以2即可．(5)中，不含偶数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相减，除以2即可．解答：三、高阶运用1．拆项重组代入例1：分析：这种类型的题目，显然是无法求出x，y具体的值，因此只能观察要求的代数式与所给的两个整体之间的联系，我们通常将中间同时含字母xy的项拆解，是其中一项与第一项合并后是所给第一个整体的倍数，另一项与最后一项合并后是所给第二个整体的倍数．(1)显然，2xy拆成xy＋xy．(2)显然，0＝xy－xy．(3)看到第一项为2x²，则有一项被拆成2xy，凑出第一个所给整体的2倍．(4)同上．解答：例2：分析：本题中，要求的代数式中含有三次项，而已知条件的多项式是二次的，因此，要降次，我们可以把三次项拆成一次项乘二次项，而把已知条件中除二次项以外的多项式看作是这个二次项的相反项，用来代替要求式子中拆出来的二次项，则整个所求的三次项就达到了降次的目的．解答：思考题。
求代数式值的几种常用方法
求代数式值的几种常用方法王一成求值的方法很多，中考数学中，也经常出现这类习题，假设不掌握一定的方法，一些习题确实不容易解答。
初中阶段，常见的求值方法有哪些呢？一、化简求值例：先化简，再求值：GbVab'-b'Lb-k+bXa-b),其中a ・〈，b--l o解：原式■a'-2ab-b 3-(a 2-b 2)«a 2-2ab-b 2-a 2+b 2三-2ab o原式.-2ab∙-2x7χ(-1)-1。
二、倒数法求值I, 例：X∙一∙4,求-7解： 所以T⅛77的值为专例：a>b 、C 为实数且a+b=5c 2=ab+b-9,求a+b+c 之值。
R 的值。
例: X 2 X 2 -2 ^ l-√3-√2 '-X 1 + x X)÷(^——+ X )的值。
X -1 解由，得X 2-2X 2 三、 例:所以，1—— = 1 — V3 - V2 X那么一W=一百一 √iJC二二•二I ==二一6一出I-X 2 X 3 X 2配方求值a 2+b 3 + 2a-4b÷5-0,求2a04b-3的值。
解: 由 a ' + b' + 2∂ — 4b ÷ 5 ≡ O,得G + 2a + l)÷(b a -4b + 4)«0,即(a + 】＞ + (b- 2)1。
，由非负数的性质得a÷l≡0,b -2-0, 解得a-1, b ・2。
薪以值⅛-2∙'*4bf jcgF+4x2∙3-7四、构造一元二次方程求值解Va+b=5c2=ab+b-9b+(a+∖)=6b(a+1)=C2+9那么b,a+1为t2-6t+c2+9=0两根Va,b为实数Λb,a+1为实数，那么t2-6t+c2+9=0有实根ΛΔ=36-4(C2+9)=-4C⅛0c=0Λa+b+c=5五、整体求值i1,a-3a⅛÷b^|J:a+b-，那么2a-2b-7ab- ----------------------- 。
用整体代入法求代数式的值
《用整体代入法求代数式的值》教学设计课 题：《用整体代入法求代数式的值》［教学目标］1.了解整体思想，并能用整体代入法解决代数式的求值问题；2.能熟练判断条件式与结论式之间的关系，找到合适的变形方法；3.经历一题多解的探究，拓展学生思维，消除学生对代数值求值的畏惧感，增强学习信心。
［教学重难点］重点：能对条件代数式或结论代数式进行变形，从而用整体代入思想解决代数式的求值问题；难点：对代数式特征的判断，能对“非显性”关系的代数式进行构造整体的变形。
突破重难点的方法是：分解知识点，以点对点的方式逐层探究，引导学生一题多解，归纳解题方法，并逐步有成就感地解决问题。
［教学流程］（一）复习引入1.代数式化简求值的步骤：2.练习：（1）当2=a 时，求a a22+的值 （2）当5=+b a 时，求b a ++6的值学生归纳整体代入法定义：整体代入法：将一个代数式作为一个整体，用它的值直接代入另一个代数式参与运算的方法就叫整体代入法。
常见的整体代入类型有：已知一个代数式的值，求另一个代数式的值；已知两个代数式的值求另一个代数式的值；当然也许有已知有三个或更多代数式的值，求另一个代数式的值。
不过只要知道前两类，后面的情况也可用类似方法解决。
（二）例与练【例1】已知,32=+y x 求以下代数式的值： （看系数，找倍数）①y x 27++= ；③y x 427++= ②y x 27--= ；④y x ++217= 归纳：观察条件代数式与结论代数之间的特征，我们发现①式中字母部分与已知条件相等，如果我把这种整体代入类型称为“相等关系”型，那么有哪个乖娃娃能归纳其他几种类型？事实上，以上所有类型还有没有其他什么统一的方法能一眼就能看出结论与条件之间的大小关系？看系数，定倍数 ，提倍数，代入值。
另外，若条件是,32=+xyy x 那么y x xy 27+-的值是 ，这又是何种类型呢？总结:常见的整体代入类型有4中：相等关系型、相反关系型、倍分关系型、倒数关系型。
华东师大版七年级上册3.2整体代入法求代数式的值-教案设计
整体代数法求代数式的值知识与能力：1.会运用整体思想求代数式的值；2.体会、理解、掌握整体思想，增强解决问题的能力；3.提高学生发现、总结、归纳的能力。
过程与方法：在探索问题、发现结论的过程中培养学生的团结合作，分享、共享的习惯以及总结归纳的能力。
情感态度价值观：1.通过例题的计算，引导学生分析猜想的结论，培养学生探索精神和探索能力；2.通过实际问题的例子，让学生感受数学来源于生活，应用于生活。
重点难点：重点：掌握整体代入法求代数式的值的；难点：总结、掌握整体代入法关键。
教学过程：练习：已知x=3，y=4，求代数式2x−y−5 的值同学们，你们会做这道题吗？请动手实践。
（学生上黑板板演，学生自己纠正。
）练习：若代数式x2−4x+6的值为9，求8+21x2- 2x的值是多少？是不是略感困难，通过这节课的学习，你们将轻松解决这个问题。
电影院的电影票一张25元，两张39元，两人以上，每人19元。
独自看电影的小张，在电影院门口碰到了独自看电影的小王，下面他们该如何做，才能既看了电影又经济实惠？（两人合成一整体买电影票）如果我是10个人看电影呢？（引导学生乘以5来完成，从而把两人当成一个整体。
）如果是二十个人看电影呢？（学生即可用两人一个整体来乘以10，也可用10人一个整体来乘以2，那么发现整体是不唯一的，可以根据问题灵活处理。
）而我们最近学的求代数式的值也可以有此思路解决问题的：例1.已知2x-y=2 ，求2x-y-5 的值。
（把已知直接代入求值。
）例2.已知2x-y=2，求4x-2y-5 的值。
（把带求式子变形为(2x−y)−5，代入求值。
）或者（把已知变形为4x−2y=4，直接代入求值。
）例3.已知：2x-y+6=8，求4x−2y−5的值。
（此题需要将已知、求证都变形，才能求出结果）（学生自主完成这些题，并引导学生总结解题方法）直接代入法的解题方法有：方法一：直接代入求值；方法二：把代求的式子变形，代入求值；方法三：把已知变形，直接代入代求式子；方法四：把已知与代求式子都变形，代入求值。
求代数值的一般方法
求代数值的一般方法：1、整体代入法一、什么叫整体代入法：把一个式子看出一个数整体代入的方法叫整体代入法。
二、整体代入法举例1 若代数式4x²-2x+5的值为7，求 4x²-2x+5代数式2x²-x+1的值∴2x²-x+1＋1=2解：由题意，得4x²-2x+5=7，∴∴2x²-x+1＋1=22 已知4x²-3y²=7,3x²+2y²=19，求代数式的值．14x²-2y²解：14x²-2y²=2(7x²-y²)=2[(4x²-3y²)+(3x²+2y²)]=523解方程组3(x+y)+2(x-y)=114(x+y)-3(x-y)=9解：令x+y=a,x-y=b则原方程转换为：{3a+2b=11①{4a-3b=9②∴方程组的解为{x=2 {y=14、教本P43 P44例5及变式（1）、（2）例4 P45例7及变式二、赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想1.a.b.c都是大于-1的的负数，则下列关系式成立的是A.a的平方+b的平方+c的平方大于5B.a+b+c大于0C.-1小于abc小于0D.（abc）的平方大于1A 令a=b=c=-1/2所以a^2+b^2+c^2=3/4＜5 所以A错B 令a=b=c=-1/2a+b+c=-3/2＜0 所以B错C 成立的D 令a=b=c=-1/2(abc)^2=(-1/8)^2=1/64＜1所以D错因为ABD都错所以C对又见P45例8及变式。
三、设参法:一般是在比值中，设比值等于求出每一份的值。
用“设参数法”解方程(七年级）1、例解方程：x:y=3:2y:z=5:4x+y+z=66因为x:y=3:2 y:z=5:4 所以x:y:z=15:10:8 设一份为k，则x=15k y=10k z=8k 15k+10k+8k=66 k=2 x=30 y=20 z=162见教材P43例6四、变换已知（或变换结论）求代数式的值1、举例：若2x+5y+4z=6,3x+y-7z=-4,那么x+y-z的值是多少？2x+5y+4z=6,3x+y-7z=-4y=(6-2x-4z)/5=-4-3x+7z x=3z-2y=2-2zx+y-z=3z-2+2-2z-z=02、已知2xˆ2+xy=10，3yˆ2+2xy=6，试求（5xˆ2-xy+3yˆ2)-(xˆ2-9xy （5xˆ2-xy+3yˆ2)-(xˆ2-9xy-6yˆ2)=5x^2-xy+3y^2-x^2+9xy+6y^2=4x^2+8xy+9y^22xˆ2+xy=10,4x^2+2xy=203yˆ2+2xy=6,9y^2+6xy=184x^2+8xy+9y^2=（4x^2+2xy）+（9y^2+6xy）=20+18=383、见P43例5（2）。
2022-2023学年七年级数学上册讲义(北师大版)第20讲-整体法求代数式的值(学生版)
C．2020
D．2030
9.当 x 2 时代数式 ax2 bx 3 5 的值为 5，当 x 1 时代数式 (2ax2 bx 5)2 的值为______．
10.当 x＝1 时，代数式 ax3+bx+7 的值为 4，则当 x＝﹣1 时，代数式 ax3+bx+7 的值为（ ）
A．4
B．-4
C．10
D．7
变 2 已知 x 2y 4 ，则代数式1 5x 10 y 的值是______．
变 3 若代数式 a2 2a 的值为 2，则代数式1010a2 2020a 2 的值为______．
例 3 若 2x-y＝5，则 7＋4x-2y 的值是______．
例 4 若 2x2 + 4x＝0 ，则1114 x2 2x 的值为______．
例5
如果
x2
x
2
的值为
7，则
1 2
x2
1 2
x
5
的值为______．
变 4 已知 x-3y=2，那么代数式 2-2x+6y 的值是（ ）
A．-2
B．0
C．4
变 5 如果 2x﹣y＝3，那么代数式 4﹣2x+y 的值为（ ）
D．6
A．-1
B．1
C．4
变 6 已知 a b 1004 ，则13 2a 2b ______．
D．11
11.当 x 1 时，关于 x 的代数式 ax3 bx 1的值为 3，则当 x 1 时，代数式 ax3 bx 1值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0
12.当 x 2 时，代数式 ax3 bx 2 的值是 2020，则当 x 2 时，代数式 ax3 bx 2 的值是______．
求代数值的一般方法
求代数值的一般方法：1、整体代入法一、什么叫整体代入法：把一个式子看出一个数整体代入的方法叫整体代入法。
二、整体代入法举例1 若代数式4x²-2x+5的值为7，求 4x²-2x+5代数式2x²-x+1的值∴2x²-x+1＋1=2解：由题意，得4x²-2x+5=7，∴∴2x²-x+1＋1=22 已知4x²-3y²=7,3x²+2y²=19，求代数式的值．14x²-2y²解：14x²-2y²=2(7x²-y²)=2[(4x²-3y²)+(3x²+2y²)]=523解方程组3(x+y)+2(x-y)=114(x+y)-3(x-y)=9解：令x+y=a,x-y=b则原方程转换为：{3a+2b=11①{4a-3b=9②∴方程组的解为{x=2 {y=14、教本P43 P44例5及变式（1）、（2）例4 P45例7及变式二、赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想1.a.b.c都是大于-1的的负数，则下列关系式成立的是A.a的平方+b的平方+c的平方大于5B.a+b+c大于0C.-1小于abc小于0D.（abc）的平方大于1A 令a=b=c=-1/2所以a^2+b^2+c^2=3/4＜5 所以A错B 令a=b=c=-1/2a+b+c=-3/2＜0 所以B错C 成立的D 令a=b=c=-1/2(abc)^2=(-1/8)^2=1/64＜1所以D错因为ABD都错所以C对又见P45例8及变式。
三、设参法:一般是在比值中，设比值等于求出每一份的值。
用“设参数法”解方程(七年级）1、例解方程：x:y=3:2y:z=5:4x+y+z=66因为x:y=3:2 y:z=5:4 所以x:y:z=15:10:8 设一份为k，则x=15k y=10k z=8k 15k+10k+8k=66 k=2 x=30 y=20 z=162见教材P43例6四、变换已知（或变换结论）求代数式的值1、举例：若2x+5y+4z=6,3x+y-7z=-4,那么x+y-z的值是多少？2x+5y+4z=6,3x+y-7z=-4y=(6-2x-4z)/5=-4-3x+7z x=3z-2y=2-2zx+y-z=3z-2+2-2z-z=02、已知2xˆ2+xy=10，3yˆ2+2xy=6，试求（5xˆ2-xy+3yˆ2)-(xˆ2-9xy （5xˆ2-xy+3yˆ2)-(xˆ2-9xy-6yˆ2)=5x^2-xy+3y^2-x^2+9xy+6y^2=4x^2+8xy+9y^22xˆ2+xy=10,4x^2+2xy=203yˆ2+2xy=6,9y^2+6xy=184x^2+8xy+9y^2=（4x^2+2xy）+（9y^2+6xy）=20+18=383、见P43例5（2）。
求代数式的值整体代入法技巧
求代数式的值整体代入法技巧
求代数式的值是数学中的基本问题之一，而整体代入法是一种常用的技巧，可以帮助我们更快速地求出代数式的值。
本文将介绍整体代入法的基本原理和应用方法。
整体代入法的基本原理是将代数式中的变量全部替换为一个具体的数值，然后计算出代数式的值。
这种方法可以避免我们逐个计算每个变量的值，从而节省时间和精力。
例如，假设我们要求解以下代数式的值：
3x^2 + 2xy + y^2，当x=2，y=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x和y分别替换为2和3，得到：
3(2)^2 + 2(2)(3) + (3)^2 = 12 + 12 + 9 = 33
因此，当x=2，y=3时，该代数式的值为33。
除了上述的简单例子，整体代入法还可以应用于更复杂的代数式中。
例如，假设我们要求解以下代数式的值：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1)，当x=3时，该代数式的值为多少？
使用整体代入法，我们可以将x+1替换为4，得到：
(x^2 + 2x + 1)/(x + 1) = (x^2 + 2x + 1)/4
然后，我们将x替换为3，得到：
(3^2 + 2(3) + 1)/4 = 16/4 = 4
因此，当x=3时，该代数式的值为4。
需要注意的是，整体代入法只适用于代数式中的变量都有具体的数值。
如果代数式中的变量没有具体的数值，我们就需要使用其他方法来求解。
整体代入法是一种简单而实用的技巧，可以帮助我们更快速地求解代数式的值。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择是否使用整体代入法，以提高计算效率。