文科必选(导数及其应用)
数学论文导数及应用
数学论文导数及应用导数作为微积分知识的一个重要组成部分，在人们的生活中占据着举足轻重的地位。
接下来店铺为你整理了数学论文导数及应用，一起来看看吧。
数学论文导数及应用篇一【摘要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。
因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数(解析式、值域、最(极)值、单调区间等)问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数;新课程;应用导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。
必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。
选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。
在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。
显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
(一)利用导数解决函数问题利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最(极)值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为(0，d)，又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。
常耀师---导数的应用(文科)学生
导数的应用题型1：导数与单调性例1、()f x 的导函数()y f x '=的图象如右图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）【练习1】 曲线x x y ln 22-= 的单调减区间是( )A.]1,0(;B.),1[+∞;C.]1,(-∞及]1,0( ;D. )0,1[-及]1,0(; 【练习2】函数()cos f x x x =的导函数'()f x 在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）例2、已知321()53f x x x ax =++-，（１）若()f x 的单调递减区间是(3,1)-， 求a 的取值范围； （２）若()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，求a 的取值范围【练习3】若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k【练习4】求满足条件的a 的范围：（1）使ax x y +=sin 为R 上增函数； （2）使a ax x y ++=3为R 上的增函数； （3）使5)(23-+-=x x ax x f 为R 上的增函数。
例3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 _个例4、求函数2()xf x x e =⋅的极值。
【练习1】已知函数()ln ()a f x x x a R x=++∈（1）求函数()f x 的单调区间与极值点；（2）若对21[,2]a e e∀∈，函数()f x 满足对[1,]x e ∀∈都有()f x m <成立，求实数m 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）。
题型4：导数与最值★例5、设函数3()(0)f x ax bx c a =++≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直，导函数()f x '的最小值为－12. （Ⅰ）求,,a b c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在上[1,3]-的最大值和最小值.★★【练习1】已知()()2,ln 23+-+==x ax x x g x x x f(Ⅰ)求函数()x f 的单调区间; (Ⅱ)求函数()x f 在[]()02,>+t t t 上的最小值; (Ⅲ)对一切的()+∞∈,0x ,()()22'+≤x g x f 恒成立,求实数a 的取值范围.例6．求证下列不等式 （1）)1(2)1ln(222x xx x xx +-<+<-),0(∞+∈x （2）πxx 2sin >)2,0(π∈x（3）x x x x -<-tan sin )2,0(π∈x题型6：综合提高1、已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-。
专题导数及其应用(解答题)(原卷版)(文科专用)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++． （1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。
导数及其应用(小题)
)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－3＝0
【解析】 ∵f(1)＝－2，∴点(1，－2)在函数的图像上．
1－lnx
1－ln1
∴f′(x)＝ x2 ，∴f′(1)＝ 12 ＝1，∴切线方程是 y－(－2)＝1·(x－1)，即 x－y－3＝0.
故选 D.
(2)已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4，则曲线 f(x)过点 A(2，－2)的切 线方程为________．
【解析】 设切点坐标为(x0，x03－4x20＋5x0－4)， ∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为 y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)． 又切线过点(x0，x03－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)． 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2 或 x0＝1. ∴经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0，或 y＋2＝0.
(2)函数 f(x)＝excosx 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( )
π A.4
B．0
3π C. 4
D．1
【解析】 f′(x)＝excosx－exsinx，所以 f′(0)＝e0cos0－e0sin0＝1，所以倾斜 角 α＝4π.故选 A.
【典例 2】 (求切线方程)
(1)函数 f(x)＝lnx－x 2x的图像在点(1，－2)处的切线方程为(
(3)求曲线 f(x，y)＝0 在(x0，y0)处的切线方程得： ①对 f(x，y)＝0 两边同时对 x 求导(y2 按 x 的复合函数对待)； ②解出 y′＝g(x，y)； ③将(x0，y0)代入上式得斜率； ④点斜式写出方程．
导数及其应用(文)
【课堂小结】
【练习与巩固】 1、(2015· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数； 2 (2)证明：当 a>0 时，f(x)≥2a＋aln . a
人生若没有一段想起来就热泪盈眶的奋斗史，那这一生就算白活了。
热点二 利用导数研究函数的性质 【例 2】(2015· 重庆卷)已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－处取得极值． (1)确定 a 的值； (2)若 g(x)＝f(x)ex，讨论 g(x)的单调性．
【变式训练】2．(2015· 大连市双基测试)已知函数 f(x)＝x－eax(a>0)． (1)求函数 f(x)的单调区间； 1 2 (2)求函数 f(x)在 a，a上的最大值．
山东省北镇中学高三年级总复习数学学案
课题：§1.5 导数及其应用
时间：2015 年 12 月 3 日 课型:复习课 设计：孔祥国 审核：王建娥 【考情分析】 高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义． (2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明函数的单调性等． (3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式等的综合题．从形式上看，考 查试题有选择题、填空题、解答题，有时三种题型会同时出现． 【整体呈现】 1．(2015· 全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝ax3＋x＋1 的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则 a＝ ________. 2．(2015· 天津卷)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x)的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________． 3．(2015· 全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)． (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a－2 )若函数 f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围．
高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用(选择题、填空题)
高考数学总复习真题分类专题03 导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线y =f(x)在某个点(x 0,f(x 0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f′(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.3．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e(1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)e x f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．4．【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．5．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ；()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C.故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=， 当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．9．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(ee )x xf x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点， 即21a -⨯=-，解得12a =.故选C. 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.10．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x 【解析】∵y ′=2x+1，∴在点（0,0）处切线的斜率为k =20+1=2，则所求的切线方程为y =2x .【名师点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知的曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.【名师点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题. 13．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x =+>切于004(,)x x x +， 由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．16．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.17．【2018年高考江苏】若函数f(x)=2x 3−ax 2+1(a ∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[−1,1]上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3a x =， 因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =. 从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f = ()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=-故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤， 故实数a 的取值范围为1[1,]2-．【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．19．【2017年高考山东理数】若函数e ()x f x （e 2.71828=L 是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -= ③3()f x x = ④2()2f x x =+ 【答案】①④ 【解析】①e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有性质； ②e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有性质；③3e ()e x x f x x =⋅，令3()e x g x x =⋅，则322()e 3e e (3)x x x g x x x x x '=⋅+⋅=+，当3x >-时，()0g x '>，当3x <-时，()0g x '<，3e ()e x x f x x =⋅在(,3)-∞-上单调递减，在(3,)-+∞上单调递增，故3()f x x =不具有性质；④2e ()e (2)x x f x x =+，令2()e (2)x g x x =+，则22()e (2)2e e [(1)1]0x x x g x x x x '=++=++>，则2e ()e (2)x x f x x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有性质．【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．M M ∴∴M M。
高考数学最新真题专题解析—导数及其应用(新高考卷)
高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ， 此时切线方程为 y =−xe ． 【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。
专题04导数及其应用选择填空题(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）专题04导数及其应用选择填空题1．【2022年全国甲卷文科08】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=（）A．−1B．−12C．12D．1【答案】B【解析】因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f(1)=−2，f′(1)=0，而f′(x)=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f′(x)=−2x+2x2，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f′(2)=−1+12=−12．故选：B.2．【2021年全国乙卷文科12】设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2【答案】D若a=b，则f(x)=a(x−a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.依题意，x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a2.真题汇总当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a2.综上所述，ab>a2成立.故选：D3．【2019年新课标3文科07】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1【答案】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．4．【2019年新课标2文科10】曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝0【答案】解：由y＝2sin x+cos x，得y′＝2cos x﹣sin x，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故选：C．5．【2019年新课标1文科05】函数f（x）=sinx+x在[﹣π，π]的图象大致为（）cosx+x2A．B．C．D．【答案】解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0，因此排除B，C；故选：D．6．【2018年新课标1文科06】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．7．【2018年新课标2文科03】函数f（x）=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：函数f（﹣x）=e −x−e x(−x)2=−e x−e−xx2=−f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e−1e＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．8．【2018年新课标3文科09】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】解：函数过定点（0，2），排除A ，B ． 函数的导数f ′（x ）＝﹣4x 3+2x ＝﹣2x （2x 2﹣1）， 由f ′（x ）＞0得2x （2x 2﹣1）＜0， 得x ＜−√22或0＜x ＜√22，此时函数单调递增， 由f ′（x ）＜0得2x （2x 2﹣1）＞0， 得x ＞√22或−√22＜x ＜0，此时函数单调递减，排除C ，也可以利用f （1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A ，B ， 故选：D ．9．【2017年新课标1文科08】函数y =sin2x1−cosx 的部分图象大致为（ ）A ．B．C．D．【答案】解：函数y=sin2x1−cosx，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=π3时，f（π3）=√321−12=√3，排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．10．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】解：∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．11．【2017年新课标2文科08】函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【答案】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．12．【2017年新课标3文科07】函数y＝1+x+sinx的部分图象大致为（）x2A．B．C．D．【答案】解：函数y＝1+x+sinxx2，可知：f（x）＝x+sinxx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+sinxx2的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．13．【2017年新课标3文科12】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．−12B．13C．12D．1【答案】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+1e x−1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1+1e x−1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+1e x−1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+1e x−1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+1e x−1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+1）的图象有两个交点，矛盾；e x−1③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，且y＝a（e x﹣1+1e x−1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+1）的图象的最低点为B（1，2a），e x−1由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a=1，符合条件；2，综上所述，a=12故选：C．14．【2016年新课标1文科09】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．15．【2016年新课标1文科12】若函数f（x）＝x−1sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范3围是（）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]【答案】解：函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 的导数为f ′（x ）＝1−23cos2x +a cos x ，由题意可得f ′（x ）≥0恒成立， 即为1−23cos2x +a cos x ≥0， 即有53−43cos 2x +a cos x ≥0，设t ＝cos x （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 当t ＝0时，不等式显然成立； 当0＜t ≤1时，3a ≥4t −5t ，由4t −5t 在（0，1]递增，可得t ＝1时，取得最大值﹣1， 可得3a ≥﹣1，即a ≥−13； 当﹣1≤t ＜0时，3a ≤4t −5t ，由4t −5t 在[﹣1，0）递增，可得t ＝﹣1时，取得最小值1， 可得3a ≤1，即a ≤13．综上可得a 的范围是[−13，13]．另解：设t ＝cos x （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 由题意可得5﹣4+3a ≥0，且5﹣4﹣3a ≥0， 解得a 的范围是[−13，13]． 故选：C ．16．【2014年新课标1文科12】已知函数f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【答案】解：∵f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1，∴f ′（x ）＝3ax 2﹣6x ＝3x （ax ﹣2），f （0）＝1； ①当a ＝0时，f （x ）＝﹣3x 2+1有两个零点，不成立；②当a ＞0时，f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a ＜0时，f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=2a时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（2a ）=8a2−3•4a2+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．17．【2014年新课标2文科03】函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】解：函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2，由f′（x0）＝0，得x0＝0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x＝x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．18．【2014年新课标2文科11】若函数f（x）＝kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【答案】解：f′（x）＝k−1x，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥1x，而y=1x在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．19．【2013年新课标1文科09】函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cos x＞0，sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．20．【2013年新课标2文科11】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【答案】解：A 、对于三次函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，A ：由于当x →﹣∞时，y →﹣∞，当x →+∞时，y →+∞， 故∃x 0∈R ，f （x 0）＝0，故A 正确；B 、∵f （−2a 3−x ）+f （x ）＝（−2a 3−x ）3+a （−2a3−x ）2+b （−2a3−x ）+c +x 3+ax 2+bx +c =4a 327−2ab 3+2c ，f （−a3）＝（−a3）3+a （−a3）2+b （−a3）+c =2a 327−ab 3+c ，∵f （−2a 3−x ）+f （x ）＝2f （−a3），∴点P （−a3，f （−a3））为对称中心，故B 正确． C 、若取a ＝﹣1，b ＝﹣1，c ＝0，则f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ， 对于f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，∵f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＞0得x ∈（﹣∞，−13）∪（1，+∞） 由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＜0得x ∈（−13，1）∴函数f （x ）的单调增区间为：（﹣∞，−13），（1，+∞），减区间为：（−13，1），故1是f （x ）的极小值点，但f （x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误； D ：若x 0是f （x ）的极值点，根据导数的意义，则f ′（x 0 ）＝0，故D 正确． 由于该题选择错误的，故选：C ．21．【2020年全国1卷文科15】曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】y =2x【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=lnx+x+1,y′=1x+1，y′|x=x0=1x0+1=2,x0=1,y0=2，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x.故答案为：y=2x.22．【2020年全国3卷文科15】设函数f(x)=e xx+a ．若f′(1)=e4，则a=_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：f′(x)=e x(x+a)−e x(x+a)2=e x(x+a−1)(x+a)2，则：f′(1)=e1×(1+a−1)(1+a)2=ae(a+1)2，据此可得：ae(a+1)2=e4，整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.故答案为：1.23．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．24．【2018年新课标2文科13】曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝2lnx，∴y′=2x，当x＝1时，y′＝2∴曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．25．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为．【答案】解：曲线y＝x2+1x ，可得y′＝2x−1x2，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．26．【2016年新课标3文科16】已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．【答案】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，则f′（x）＝e x﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．27．【2015年新课标1文科14】已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【答案】解：函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．28．【2015年新课标2文科16】已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．，【答案】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+1x曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a 2﹣8a ＝0， 解得a ＝8． 故答案为：8．1．已知函数f (x )=a e x +b (a,b ∈R )在点(0,f (0))处的切线方程为y =3x +2，则2a +b =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】D 【解析】由f (x )=a e x +b ，则f ′(x )=a e x ，所以{f (0)=2=a +b,f ′(0)=3=a,解得：a =3，b =−1，所以2a +b =5 .故选：D.2．已知函数f (x )=−xln2−x 3，则不等式f (3−x 2)>f (2x −5)的解集为（ ） A ．(−4,2)B ．(−2,2)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−∞,−4)∪(2,+∞)【答案】D 【解析】f(x)的定义域为(−∞,+∞)，因为f ′(x)=−ln2−3x 2 <0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，所以不等式f (3−x 2)>f (2x −5)等价于3−x 2<2x −5，解得x <−4或x >2， 所以不等式f (3−x 2)>f (2x −5)的解集为(−∞,−4)∪(2,+∞). 故选：D3．已知x 0是函数f(x)=13x −2sin x cos x 的一个极值点，则tan 2x 0的值是（ ）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D 【解析】f ′(x)=13−2cos 2x,∴cos 2x 0=16∴2cos 2x 0−1=16， ∴cos 2x 0=712，∴sin 2x 0=1−cos 2x 0=512，模拟好题∴tan2x0=sin2x0cos2x0=57故选：D4．已知函数f(x)=e x−e2lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（）A．e x+2y−e=0B．e x−2y+e=0C．e x−2y−e=0D．e x+2y+e=0【答案】B【解析】∵f′(x)=e x−e2x ，∴f′(1)=e−e2=e2.又f(1)=e1−e2×ln1=e，切点为(1,e)所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f′(1)=e2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=e2(x−1)，即e x−2y+e=0.故选：B.5．已知函数g(x)=lnx+34x −14x−1，f(x)=x2−2tx+4，若对任意的x1∈(0,2)存在x2∈[1,2]，使g(x1)≥f(x2)，则实数t的取值范围是（）A．[2,178]B．[178,+∞)C．[114,+∞)D．[3√22,+∞)【答案】B【解析】因为对任意的x1∈(0,2)存在x2∈[1,2]，使g(x1)≥f(x2)成立，即g(x)min≥f(x)min，由函数g(x)=lnx+34x −14x−1，可得g′(x)=1x−34x2−14=−(x−1)(x−3)4x2,0<x<2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当x=1时，函数g(x)取得最小值，最小值为g(1)=−12，又由函数f(x)=x2−2tx+4=(x−t)2+4−t2,x∈[1,2]，当t<1时，函数f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)min=f(1)=5−2t，即5−2t≤−12，解得t≥114，不成立，舍去；当1≤t ≤2时，函数f (x )在[1,t]上单调递减，[t,2]上单调递增，f (x )min =f (t )=4−t 2，即4−t 2≤−12，解得t ≥3√22或t ≤−3√22，不成立，舍去；当t >2时，函数f (x )在[1,2]上单调递减，f (x )min =f (2)=8−4t ， 即8−4t ≤−12，解得t ≥178，综上可得，实数t 的取值范围是[178,+∞). 故选：B.6．设直线x =t 与函数f(x)=2x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于点M,N ，则|MN |的最小值为（ ） A ．12+ln2B ．3ln2−1C ．e2−1D ．12【答案】A 【解析】由题意M(t,2t 2)，N(t,lnt)，所以|MN |=|2t 2−lnt |，令ℎ(t)=2t 2−lnt ，则ℎ′(t)=4t −1t=4t 2−1t ，当0<t <12时，ℎ′(t)<0，当t >12时，ℎ′(t)>0，所以ℎ(t)min =ℎ(12)=12+ln2， 即|MN|的最小值为12+ln2， 故选：A.7．已知函数f (x )=e x +ax 2+2ax 在x ∈(0,+∞)上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(12,+∞)B ．(−e 2,−12)C ．(−1,0)D ．(−∞,−12)【答案】D 【解析】解：∵f(x)=e x +ax 2+2ax ， ∴f ′(x)=e x +2ax +2a ，若函数f(x)在x ∈(0,+∞)上有最小值， 即f(x)在(0,+∞)先递减再递增， 即f ′(x)在(0,+∞)先小于0，再大于0， 令f ′(x)<0，得e x <−2a(x +1)， 令g(x)=e x ，ℎ(x)=−2a(x +1)，只需ℎ(x)的斜率−2a 大于过(−1,0)的g(x)的切线的斜率即可，设切点是(x 0，e x 0)，则切线方程是：y −e x 0=e x 0(x −a)， 将(−1,0)代入切线方程得：x 0=0， 故切点是(0,1)，切线的斜率是1，只需−2a >1即可，解得a <−12，即a ∈(−∞,−12)， 故选：D ．8．已知函数f(x)为定义在R 上的增函数，且对∀x ∈R,f(x)+f(−x)=1，若不等式f(ax)+f(−lnx)≥1对∀x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,e ] B ．(−∞,e ]C ．(0,1e]D ．[1e,+∞)【答案】D 【解析】∵∀x ∈R ，f(x)+f(−x)=1，∴f(−lnx)=1−f(lnx)， ∵不等式f(ax)+f(−lnx)≥1对∀x ∈(0,+∞)恒成立， ∴f(ax)≥f(lnx)对∀x ∈(0,+∞)恒成立，∵函数f(x)为定义在R 上的增函数，∴ax ≥lnx ，化为：a ≥lnx x，令g(x)=lnx x,x ∈(0,+∞)，则g ′(x)=1−lnx x 2，x ∈(0,e)时，g ′(x)>0，此时函数g(x)单调递增；x ∈(e,+∞)时，g ′(x)<0，此时函数g(x)单调递减. ∴x =e 时，函数g(x)取得极大值. g(x)max =g(e )=1e .∴a ≥1e.则实数a 的取值范围是[1e,+∞).故选：D.9．已知函数f (x )=−e x +ax −e 2有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,e 2) B ．(0,e ) C ．(e ,+∞) D ．(e 2,+∞)【答案】D 【解析】f′(x)=−e x+a，当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，此时f(x)至多一个零点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)=0，则x=lna，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(lna，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(x)有两个零点，所以f(lna)=alna−a−e2>0，令g(a)=alna−a−e2,a>0，则g′(a)=lna，令g′(a)<0解得0<a<1，令g′(a)>0，解得a>1，所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，且当0<a<1时，g(a)<0，g(1)=−1−e2<0，g(e2)=0，所以a>e2.故选：D.10．已知x∈(0,π2)，且ax<sinx<bx恒成立，则b−a的最小值为（）A．1B．π2C．π2−1D．1−2π【答案】D 【解析】由ax<sinx，x∈(0,π2)得：a<sinxx；令f(x)=sinxx (0<x<π2)，∴f′(x)=xcosx−sinxx2，令g(x)=xcosx−sinx(0<x<π2)，则g′(x)=−xsinx<0，∴g(x)在(0,π2)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，则f′(x)<0，∴f(x)在(0,π2)上单调递减，∴f(x)>f(π2)=2π，∴a≤2π；令ℎ(x)=sinx−bx(0<x<π2)，则ℎ′(x)=cosx−b，∵0<x<π2，∴0<cosx<1；当b≤0时，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，不合题意；当b≥1时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(0,π2)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，满足题意；当0<b<1时，∃x0∈(0,π2)，使得ℎ′(x0)=0，又ℎ′(x)在(0,π2)上单调递减，∴当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x )在(0,x 0)上单调递增，则ℎ(x )>ℎ(0)=0，不合题意； 综上所述：b ≥1；∴(b −a )min =b min −a max =1−2π.故选：D.11．若曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线与曲线y =lnx 在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为（ ） A ．(e ,1) B ．(1,0) C ．(2,ln2)D ．(12,−ln2)【答案】D 【解析】y =−√x +1的导数为y ′=2√x+1，所以曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线的斜率为k 1=−12. 因为曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线与曲线y=ln x 在点P 处的切线垂直， 所以曲线y=ln x 在点P 处的切线的斜率k 2=2.而y=ln x 的导数y ′=1x ，所以切点的横坐标为12，所以切点P(12,−ln2). 故选：D12．定义：设函数f (x )的定义域为D ，如果[m,n ]⊆D ，使得f (x )在[m,n ]上的值域为[m,n ]，则称函数f (x )在[m,n ]上为“等域函数”，若定义域为[1e ,e 2]的函数g (x )=a x （a >0，a ≠1）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（ ） A ．[2e2,1e )B ．[2e2,1e]C ．[e 2e 2,e 1e )D ．[e 2e 2,e 1e ]【答案】C 【解析】当0<a <1时，函数g(x)=a x 在[1e ,e 2]上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m ，n ∈[1e,e 2]（m <n ）使得{a m =n a n =m ，所以{m ln a =ln nn ln a =ln m ，消去lna ，得mlnm =nlnn ，令k(x)=xlnx ，则k ′(x)=lnx +1，当x ∈[1e ,e 2]时，k ′(x)≥0，所以k(x)在[1e ,e 2]上是单调增函数，所以符合条件的m ，n 不存在.当a>1时，函数g(x)=a x在[1e,e2]上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，n∈[1e ,e2]（m<n）使得a m=m，a n=n，即方程a x=x在[1e,e2]上有两个不等实根，即lna=lnxx 在[1e,e2]上有两个不等实根，设函数ℎ(x)=lnxx （1e≤x≤e2），则ℎ′(x)=1−lnxx2，当1e≤x<e时，ℎ′(x)>0；当e<x≤e2时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[1e,e)上单调递增，在(e,e2]上单调递减，所以ℎ(x)在x=e处取得极大值，也是最大值，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e ，又ℎ(1e)=−e，ℎ(e2)=2e2，故2e2≤lna<1e，即e2e2≤a<e1e.故选：C.【点睛】解题的关键是讨论g(x)的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.13．已知x1>x2>0，若不等式e2x1−e2x2x1−x2>m e x1+x2恒成立，则m的取值范围为（）A．(−∞,2)B．(−∞,2]C．(−∞,0)D．(−∞,0]【答案】B【解析】解：因为x1>x2>0，不等式e2x1−e2x2x1−x2>m e x1+x2恒成立，等价于e x1−x2−e x2−x1−m(x1−x2)>0恒成立，令t=x1−x2>0，则不等式转化为e t−e−t−mt>0恒成立，令f(t)=e t−e−t−mt(t>0)，则f′(t)=e t+e−t−m，显然e t+e−t≥2√e t⋅e−t=2，当且仅当e t=e−t，即t=0时取等号，所以当m≤2时f′(t)>0，即f(t)在(0,+∞)上单调递增，所以f(t)>f(0)=0，符合题意；当m>2时，令g(t)=f′(t)=e t+e−t−m，则g′(t)=e t−e−t>0，故f′(t)在(0,+∞)上单调递增，所以存在t0∈(0,+∞)满足f′(t0)=0，且当0<t<t0时f′(t)<0，当t>t0时f′(t)>0，所以f (t )在(0,t 0)上单调递减，此时f (t )<f (0)=0，与题意矛盾，综上可得m ∈(−∞,2]； 故选：B14．已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在(0,π2)上恒有f (x )sinx<f ′(x )cosx成立，则下列不等式成立的（ ）A ．√2f (π6)>f (π4)B ．f (−π3)<√3f (−π6)C ．√3f (−π4)<√2f (−π3)D ．√22f (π3)<√3f (π4)【答案】B 【解析】 构造函数F (x )=f (x )sin x，由f (x )在(0,π2)上恒有f(x )sinx<f ′(x )cosx成立，即f ′(x )sin x −f (x )cos x >0,∴F ′(x )=f ′(x )sin x−f (x )cos x(sinx)2>0,∴F (x )在(0,π2)上为增函数，又由F (−x )=f (−x )sin (−x )=−f (x )−sin x=F (x ),∴F (x )为偶函数，∵π6<π4,∴F (π6)<F (π4),∴f(π6)sin π6<f(π4)sin π4,∴√2f (π6)<f (π4)，故A 错误.∵偶函数F (x )在(0,π2)上为增函数，∴F (x )在(−π2,0)上为减函数，∵−π3<−π6,∴F (−π3)>F (−π6),∴f (−π3)sin (−π3)>f (−π6)sin (−π6),∴−f (−π3)>−√3f (−π6), ∴f (−π3)<√3f (−π6)，故B 正确；F (−π4)<F (−π3),∴f(−π4)sin (−π4)<f(π3)sin (−π)，∴−√3f (−π4)<−√2f (−π3),∴√3f (−π4)>√2f (−π3)，故C 错误；∵π3>π4，∴F (π3)>F (π4),∴f(π3)sin π3>f(π4)sin π4,∴√2f (π3)>√3f (π4)，故D 错误.故选：B15．已知f ′(x )是定义在R 上的函数f (x )的导数，且f (x )−f ′(x )<0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．e 3f (−2)>f (1) B ．f (−2)<e 3f (1) C ．e f (1)<f (2) D ．f (1)<e f (2)【答案】C 【解析】 设g (x )=f (x )ex，则g ′(x )=f ′(x )−f (x )ex.因为f (x )−f ′(x )<0，所以g ′(x )>0，则g (x )在R 上单调递增. 因为−2<1，所以g (−2)<g (1)，即f (−2)e−2<f (1)e，所以3f (−2)<f (1)，则A 错误；因为f (−2)，f (1)的大小不能确定，所以f (−2)，e 3f (1)的大小不能确定，则B 错误； 因为1<2，所以g (1)<g (2)，则f (1)e<f (2)e2，所以e f (1)<f (2)，则C 正确；因为f (1)，f (2)的大小不能确定，所以f (1)，e f (2)不能确定，则D 错误. 故选:C16．曲线y =x 3+lnx 在x =1处的切线方程为 _____________ . 【答案】4x −y −3=0 【解析】解：y ′=3x 2+1x ， 当x =1时，y ′=4,y =1，所以曲线y =x 3+lnx 在x =1处的切线方程为y −1=4(x −1)， 即4x −y −3=0. 故答案为：4x −y −3=0.17．已知函数f (x )=2e −x ，则曲线y =f (x )在点(−2,f (−2))（e ≈2.71828⋅⋅⋅）处的切线方程为______. 【答案】2e 2x +y +2e 2=0 【解析】f ′(x)=−2e −x ，f ′(−2)=−2e 2，f(−2)=2e 2，所以所求切线方程为y −2e 2=−2e 2(x +2)，即2e 2x +y +2e 2=0. 故答案为：2e 2x +y +2e 2=0.18．若直线l 与曲线y =x 2和x 2+y 2=49都相切，则l 的斜率为______．【答案】±2√2 【解析】设y =x 2的切点为(m,m 2)，f ′(x )=2x ，故f ′(m )=2m ， 则切线方程为：y −m 2=2m (x −m )，即2mx −y −m 2=0 圆心到圆的距离为23，即2√1+4m 2=23，解得：m 2=2或−29（舍去）所以m =±√2，则l 的斜率为2m =±2√2 故答案为：±2√2 19．已知函数f (x )=e x +e xe a，g (x )=x −e ae x ，若存在实数x 0，使f (x 0)−g (x 0)=3成立，则实数a =______．【答案】0 【解析】令f(x)−g(x)=e x +e xe a −x +e ae x =e x−a +e a−x +e x −x ，令ℎ(x)=e x −x ，则ℎ′(x)=e x −1， 由ℎ′(x)>0⇒x >0，ℎ′(x)<0⇒x <0，所以函数ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)min =ℎ(0)=1，所以e x−a +e a−x ≥2， 当且仅当e x−a =e a−x 即x =a 时等号成立，即f(x)−g(x)≥3，当且仅当等号同时成立时，等号成立， 故x =a =0，即a =0. 故答案为：0.20．已知函数f(x)=x 2+2x e x −1，则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为_____________. 【答案】2x −y −1=0 【解析】由已知f ′(x)=2x +2e x +2x e x ，f ′(0)=2，又f(0)=−1， 所以切线方程为y +1=2x ，即2x −y −1=0． 故答案为：2x −y −1=0．21．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：f(x)={xlnx,0<x ≤12f(x −1),x >1 ，若方程f (x )=kx −12在（0，2]上恰有三个根，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(1−ln2,12) 【解析】方程f (x )=kx −12在（0，2]上恰有三个根，即直线y =kx −12与函数y =f (x )的图像有三个交点， 当0<x ≤1时，f (x )=xlnx ，则f ′(x)=lnx +1， 当0<x <1e时，f ′(x)<0；当1e<x ≤1时，f ′(x )>0，所以f （x ）在（0，1e）上单调递减，f （x ）在（1e，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f （x ）在（0，2]上的图像如下：由于直线l ；y =kx −12过定点A （0，−12）.如图连接A ，B （1，0）两点作直线l 1：y =12x −12，过点A 作f (x )=xlnx (0<x ≤1)的切线l 2，设切点P （x 0，y 0），其中y 0=x 0lnx 0，f ′(x)=lnx +1，则斜率k l 2=lnx 0+1 切线l 2:y −x 0lnx 0=(lnx 0+1)(x −x 0)过点A （0，−12）.则−12−x 0lnx 0=(lnx 0+1)(0−x 0)，即x 0=12，则k l 2=ln 12+1=1−ln2， 当直线l:y =kx −12绕点A （0，−12）在l 1与l 2之间旋转时.直线l:y =kx −12与函数y =f (x )在[-1，2]上的图像有三个交点，故k ∈(1−ln2,12) 故答案为：(1−ln2,12)22．若曲线y =e x 过点(−2,0)的切线恒在函数f(x)=a e x −x 2+(1e−3)x +2e −1的图象的上方，则实数a的取值范围是__________． 【答案】(−∞,−e 2) 【解析】设曲线y =e x 过点(−2,0)的切线的切点为(x 0,y 0)，则切线的斜率k =e x 0=y 0−0x 0−(−2)=e x 0x 0+2， 所以x 0=−1，k =1e，切线方程为y =1e(x +2)，所以1e(x +2)>a e x −x 2+(1e−3)x +2e−1恒成立，所以a <x 2+3x+1ex恒成立， 令g(x)=x 2+3x+1ex，则g ′(x)=−(x−1)(x+2)ex因为当x <−2，g ′(x)<0，x >−2，g ′(x)>0，所以x=−2为g(x)的极小值点，又因为x→+∞时，g(x)→0+，g(−2)=−e2<0所以gmin(x)=g(−2)=−e2，所以a<−e2.故答案为：(−∞,−e2).23．若直线y=kx+m是曲线y=ln(x−1)的切线，也是曲线y=e x−3的切线，则k=__________.【答案】1或1e【解析】设y=kx+m与y=e x−3和y=ln(x−1)的切点分别为(x1,e x1−3)、(x2,ln(x2−1))；由导数的几何意义可得k=e x1−3=1x2−1，即y=e x1−3⋅x+(1−x1)e x1−3,y=1x2−1x+ln(x2−1)−x2x2−1，∴{e x1−3=1x2−1(1−x1)e x1−3=ln(x2−1)−x2x2−1，∴{x1−3=−ln(x2−1)(1−x1)⋅1x2−1=ln(x2−1)−x2x2−1=3−x1−x2x2−1=2−x1−1x2−1∴2−x1x2−1=2−x1当x2=2时，k=1，当x1=2时，k=1e∴k=1或1e.故答案为：1或1e.24．若存在实数a>0，使得函数f(x)=alnx+x与g(x)=2x2−2x−b的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，则实数b的最大值为_________．【答案】−1.【解析】设函数f(x)=alnx+x的切点为(x1,y1)，函数g(x)=2x2−2x−b的切点为(x2,y2)分别对函数进行求导，f′(x)=ax+1，g′(x)=4x−2由相同切线的斜率为2，得g′(x2)=4x2−2=2⇒x2=1,g(1)=−b故切线方程为y=2x−2−bf′(x1)=ax1+1=2⇒a=x1,f(x1)=x1lnx1+x1故函数f(x)=alnx+x的切点为(x1,x1lnx1+x1).把切点(x 1,x 1lnx 1+x 1)代入y =2x −2−b 中得x 1lnx 1+x 1=2x 1−2−b ⇒b =−x 1lnx 1+x 1−2令ℎ(x)=−xlnx +x −2，ℎ′(x)=−lnx −1+1=−lnx 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减 故ℎ(x)≤ℎ(1)=−1 故实数b 的最大值为−1 故答案为：−1.25．已知函数f (x )={xe x +1e ,x ≤0,x 2−2x,x >0,则方程f (x )=0的根___________. 【答案】−1或2##2或-1 【解析】当x ≤0时，f (x )=xe x +1e ，所以f ′(x )=e x +xe x =(x +1)e x ， 令f ′(x )=0，得x =−1， 当x <−1时，f ′(x )<0， 当−1<x ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增， 所以f(x)min =f (−1)=0，故当x ≤0时，f (x )=0有唯一根−1， 当x >0时，f (x )=x 2−2x ， 令f (x )=0，解得x =0（舍去）或2， 故当x >0时，f (x )=0的根为2， 综上，f (x )=0根为−1或2. 故答案为：−1或2.。
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第三章 导数及其应用3．1变化率与导数主要内容与思想方法 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图像直观地理解导数的几何意义． 一、选择题（1）在函数变化率的定义中，自变量的增量x ∆满足 （ ） （A ） 0x ∆< （B ）0x ∆> （C ）0x ∆= （D ）0x ∆≠（2）已知函数2()1y f x x ==+，则在2x =，0.1x ∆=时，y ∆的值为 （ ） （A ）0.40 （B ）0.41 （C ）0.43 （D ）0.44 （3）函数()f x 在x a =处可导，则()()limh af h f a h a→--等于 （ ）（A ）()f a ' （B ）()f h （C ）()f a （D ）()f h '（4）若000()(3)lim 12x f x f x x x ∆→-+∆=∆，则0()f x '等于 （ ）（A ）32 （B ）23 （C ）32- （D ）23-二、填空题（5）对于函数21y x =+，当3x =，0.1x ∆=时，yx∆=∆． （6）已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim1x f f x x→--=-，则(1)f '=．（7）已知曲线21y x =-上两点，(2, 3)A ，(2,3)B x y +∆+∆，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为；当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率是． 三、解答题（8）设函数2()1f x x =-，求：（1）当自变量x 由1-变到 1.1-时，自变量的增量x ∆； （2）当自变量x 由1-变到 1.1-时，函数的增量y ∆； （3）当自变量x 由1-变到 1.1-时，函数的变化率．（9）已知曲线11y x =-上两点1(2,)2A -，1(2,)2B x y +∆-+∆，当1x ∆=时，求割线AB 的斜率．主要内容与思想方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 一、选择题（1）已知函数1()f x x =，则(2)f '等于 （ ） （A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）14-（2）曲线1y x=在点(1, 1)A 处的切线方程是 ( )（A ）20x y +-= （B ）20x y --= （C ）20x y ++= （D ）20x y -+= （3）曲线n y x =在2x =处的导数为12，则n 等于 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）曲线2122y x =-在点3(1,)2-处切线的倾斜角为 （ ） （A ）30 （B ）45 （C ）135 （D ）45-二、填空题（5）设32()391f x x x x =--+，则不等式()0f x '<的解集为．（6）曲线1y x =7(4,)4-处切线的倾斜角为θ，则tan θ=． （7）曲线2y x =在点P 处切线斜率为1，则点P 的坐标为． 三、解答题（8）确定a 、b 的值，使曲线2()f x x ax b =++与直线2y x =相切于点(2, 4)．（9）已知曲线1y =．（Ⅰ）求曲线在点(9, 7)P 处的切线方程；（Ⅱ）若曲线上点Q 处的切线与直线230x y +-=垂直，求点Q 的坐标．主要内容与思想方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 一、选择题（1）函数sin y x =-的导数为 （ ） （A ）cos x （B ）cos x - （C ）sin x （D ）sin x - （2）函数cos y x =在6x π=处的切线的斜率为 （ ）（A ）2 （B ）2- （C ）12- （D ）12（3）下列结论正确的个数为 （ ）①ln 2y =，则12y '=②21y x =，则32|27x y ='=- ③2x y =，则2ln 2xy '=④2log y x =，则1ln 2y x '=（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（4）设32()(23)(5)f x x x =--，则()f x '等于 （ ） （A ）4210306x x x -- （B ）212x （C ）42630x x - （D ）446x x - 二、填空题（5）设函数32()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a =． （6）设2()sin f x x x =，则()4f π'=．（7）过原点作曲线xy e =的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为． 三、解答题（8）求下列函数的导数： ①2sin 2cos y x x x =+②221xy x =-（9）当常数k 为何值时，直线y x =才能与曲线2y x k =+相切？请求出切点．主要内容与思想方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；能够结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 一、选择题（1）函数32()f x x ax bx c =+++，其中a 、b 、c 为实数，当230a b -<时，()f x 是 （ ）（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）常数 （D ）既不是增函数也不是减函数 （2）函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则 （ ） （A ）0a < （B ）0a ≤ （C ）1a < （D ）1a ≤（3）函数cos sin y x x x =-在下列哪个区间内是增函数 （ ） （A ）3(,)22ππ（B ）(,2)ππ （C ）35(,)22ππ（D ）(2, 3)ππ （4）对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有 （ ） （A ）(0)(2)2(1)f f f +<（B ）(0)(2)2(1)f f f +≤ （C ）(0)(2)2(1)f f f +≥（D ）(0)(2)2(1)f f f +> 二、填空题 （5）函数2y x x=+的单调递增区间为，单调递减区间为． （6）函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是． （7）函数ln y x x =的单调递增区间为． 三、解答题（8）求函数2()32ln f x x x =-的单调区间．（9）若函数32()5f x ax x x =-+-在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．主要内容与思想方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；能够结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 一、选择题（1）下列结论中，正确的是 （ ） （A ）导数为零的点一定是极值点（B ）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极大值 （C ）如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么0()f x 是极小值 （D ）如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么0()f x 是极大值（2）函数23()2f x x x =--的极值情况是 （ ） （A ）有极大值，没有极小值 （B ）有极小值没有极大值 （C ）既无极大值也无极小值 （D ）既有极大值又有极小值（3）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D) 4个（4）对于函数32()3f x x x =-，给出命题： ①()f x 是增函数，无极值；②()f x 是减函数，无极值；③()f x 的递增区间为(,0)-∞，(2,)+∞，递减区间为(0, 2)；④(0)0f =是极大值，(2)4f =-是极小值．其中正确的命题有 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 二、填空题（5）函数3()6f x x x m =-+的极大值为，极小值为．（6）函数32()33(2)3f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围 是．（7）函数21()(1)f x x x -=-，当x =时，函数取得极大值，极大值为；当x =时，函数取得极小值，极小值为． 三、解答题（8）求函数32()395f x x x x =--+的极值．（9）若定义在R 上的函数32()6f x x ax x =--+在区间（0，1）内单调递减．① 求实数a 的取值范围； ② 若1a =，求函数()f x 的极值．3．3 导数在研究函数中的应用（3）主要内容与思想方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；能够结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 一、选择题（1）函数32()23125f x x x x =--+在[0,3]上的最大值和最小值分别是 （ ） （A ）12，-15 （B ）-4，-15 （C ）12，-4 （D ）5，-15（2）已知函数2()23f x x x =--+在区间[, 2]a 上的最大值为154，则a 等于 （ ） （A ）32- （B ）12 （C ）12- （D ）12或32-（3）函数()2cos f x x x =-在(,)-∞+∞上 （ ） （A ）是减函数 （B ）是增函数 （C ）有最大值 （D ）有最小值（4）函数xy x e -=⋅，[0,4]x ∈的最小值为 （ ） （A ）0 （B ）1e （C ）44e （D ）22e二、填空题（5）函数32()26f x x x m =-+（m 为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为．（6）函数()f x =68x -≤≤时的最大值为；最小值为． （7）函数()sin cos f x x x =+在[,]22x ππ∈-时的最大、最小值分别是．（8）求函数44()ln f x x x =-，1[,]x e e∈--的最值．（9）已知函数32()6f x ax ax b =-+，问是否存在实数a ，b 使()f x 在[1, 2]-上取得最大值3，最小值29-，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．3．3 导数在研究函数中的应用（4）主要内容与思想方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；能够结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 一、选择题（1）使函数32()31f x x x =-+单调递减的区间是 （ ） （A ）(2,)+∞ （B ）(,2)-∞ （C ）(,0)-∞ （D ）(0,2)（2）函数3221()343f x x ax a x =---在(3,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）0a ≥ （B ）1a ≥ （C ）3a ≤-或1a ≥ （D ）31a -≤≤（3）函数3()31f x x x =-+在闭区间[3,0]-上的最大值、最小值分别是 （ ） （A ）1，-1 （B ）1，-17 （C ）3，-17 （D ）9，-19 （4）函数32334y x x x =++-在R 上的极值点个数为 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）3个（5）函数32()692f x x x x =-++的单调增区间是，单调减区间是． （6）函数3()69f x x x =-+的极大值为，极小值为．（7）若函数32()1f x ax bx x =+++在1x =±处有极值，则a =，b =． 三、解答题（8）已知函数32()39f x x x x a =-+++． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[2, 2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．（9）设函数32()23(1)68f x x a x ax =-+++，其中a R ∈． （Ⅰ）若()f x 在3x =处取得极值，求常数a 的值； （Ⅱ）若()f x 在(,0)-∞上为增函数，求a 的取值范围．3．4 生活中的优化问题举例主要内容与思想方法体会导数在解决实际问题中的作用，尤其是利润最大、用料最省、效率最高等优化问题． 一、选择题（1）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 的函数关系为218s t =，则2t =时，此木块在水平方向的瞬时速度为 （ ） （A ）2 （B ）1 （C ）12 （D ）14（2）要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则其高为 （ ）（A cm （B ）100 cm （C ）20 cm （D ）203cm（3）用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 （ ） （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12（4）函数3()33f x x bx b =-+在（0，1）内有极小值，则 （ ） （A ）01b << （B ）1b < （C ）0b > （D ）12b <二、填空题（5）要做一个底面为长方形的带盖子的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边之比为1:2，则它的长为，宽为，高为时，可使表面积最小．（6）用总长为14.8米的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5米，则当高为米时，容器的容积最大．（7）函数24(2)y x x =-在[2,2]x ∈-上的最大值为，最小值为．三、解答题（8）某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本（单位：元）为50000200R x =+． 则该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入—成本）（9）设1x ，2x 是函数322()32a b f x x x a x =+-（0a >）的两个极值点，且12||||2x x +=，求实数a 的取值范围．全章检测题一、选择题（1）设函数()f x 在(,)-∞+∞上可导，且恒有()0f x '>，则下列结论正确的是（ ） （A ）()f x 在R 上单调递减 （B ）()f x 在R 上是常数 （C ）()f x 在R 上不单调 （D ）()f x 在R 上单调递增（2）下列命题正确的是 （ ） （A ）极大值比极小值大 （B ）极小值不一定比极大值小 （C ）极大值比极小值小 （D ）极小值不大于极大值（3）设2()(2)f x x x =-，则()f x 的单调增区间是 （ ） （A ）4(0,)3 （B ）4(,)3+∞ （C ）(,0)-∞ （D ）(,0)-∞，4(,)3+∞ （4）曲线361y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 （ ） （A ）34y x =- （B ）32y x =-+ （C ）43y x =-+ （D ）45y x =- （5）已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标为（ ） （A ）(2,3)- （B ）(2,3)-- （C ）(1,4)-- （D ）(1,3)-（6）设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，(3)0g -=，且当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是 （ ）（A ）(3, 0)(3, )-+∞ （B ）(3, 0)(0, 3)- （C ）(, 3)(3, )-∞-+∞ （D ）(, 3)(0, 3)-∞- 二、填空题（7）已知物体的运动方程是321393s t t t =-+，当t =时，加速度为10． （8）设2xy x e =⋅，则y '=．（9）设2(1)(1)y x x =-+，则y 的单调增区间是，单调减区间是，y 的极大值是，极小值是．（10）函数32241y x x x =+-+在[3,1]-上的最大值等于．三、解答题（11）已知32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围．（12）在曲线323610y x x x =++-的切线中，求斜率最小的切线方程．（13）已知函数32()f x x ax bx c =+++，曲线)(x f y =在点1x =处的切线为l ：310x y -+=，若23x =时，()y f x =有极值． (I) 求a 、b 、c 的值；(II) 求()y f x =在[-3,1]上的最大值和最小值．（14）已知函数322()3(1) 1 (0)f x kx k x k k =-+-+>．（1）若)(x f 的单调减区间为（0，4），求k 的值；（2）当1>x 时，求证：xx 132->． 第三章 导数及其应用（答案）3．1变化率与导数一、选择题DBAD二、填空题(5) 6.1 (6) 1- (7) 5；4.1三、解答题(8) （1）—0.1； （2）0.21； （3）—2.1(9) 16- 3．2（1）导数的运算一、选择题DACB二、填空题（5）{}|13x x -<<; （6） 516-; （7） 11(,)24三、解答题（8）a = —2 b =4 （9）（Ⅰ） 3120x y -+=; （Ⅱ）(4, 5)3．2（2）导数的运算一、选择题BCDA二、填空题（5）103； （6）2432+； （7）1)e （，；e 三、解答题（8）①2(22)sin cos y x x x x '=-+； ②2222(1)(1)x y x +'=- （9）14k =11(, )223．3 导数在研究函数中的应用（1）一、选择题ABBC二、填空题（5）(,-∞，)+∞； (,0)，． （6）[3,)-+∞； （7） 1(,)e +∞三、解答题（8）递增区间为()3+∞；递减区间为(0,3． （9）13a ≥ 3．3 导数在研究函数中的应用（2）一、选择题BDAB二、填空题（5）m +m - （6）2a >或1a <-（7）0，0；2，4．三、解答题（8）1x =-时，10y =极大；3x =时，22y =-极小．（9） ①1a ≥；②13x =-时，极大值为5627y =；1x =时，极小值5y =． 3．3 导数在研究函数中的应用（3）一、选择题DCBA二、填空题（5）37-； （6）10， 6 （7）1-三、解答题（8）最大值为44e -；最小值为1．（9）2a =，3b =或2a =-，29b =-． 3．3 导数在研究函数中的应用（4）一、选择题c DCA二、填空题（5）(,1),(3,)-∞+∞ ；(1,3)（6）9+9-（7）13-；0 三、解答题（8）（Ⅰ）单增区间(1,3)- 单减区间(,1),(3,)-∞-+∞（Ⅱ）7-（9）（Ⅰ）3a =； （Ⅱ）0a ≥3．4 生活中的优化问题举例一、选择题CABA二、填空题（5）6，3，4； （6）1；（7）0，64-三、解答题（8）200x =，max 315y =； （9）01a <≤全章检测题一、选择题DBABCD二、填空题（7）8； （8）2(2)x x x e +； （9）1(,),(1,)3-∞-+∞，1(,1)3-，3227，0 （10）9三、解答题（11）3a ≤-； （12） 3110x y --=（13）(I) 2,4,5a b c ==-=； (II) max min 1113,3y y ==（14）（1）1k =； （2）提示：构造新函数证明．。