第6章 狭义相对论
第六章狭义相对论
′ = αλν αµσTνσ 二阶张量： Tλµ
对称张量： Tµν = Tνµ ，有10个独立分量（四维） 例如三维空间中对称张量：电四极矩张量Qij；转动惯量 张量I；材料力学中的应力张量 ；Maxwell应力张量；电 磁场动量流密度张量Tij等等。
Tµν = −Tνµ 只有6个独立分量,因为 Tµ µ＝0 反对称张量：
三阶张量有43=64个分量：Tµνλ
三阶全反对称张量：Tµνλ ，若对每两个脚标都是反对称的 称之为三阶全反对称张量。即有二个及二个以上脚标相同 时矩阵元为零，共40个0元素，24个非零元素。 24个非零元素中只有4个独立元素T234,T314，T412 和 T123. 它们可用一个4维矢量表示。
A′ µ = α µν A ν
同意味着求和。
约定脚标希腊字母从1取到4，英文字母从1取到3，脚标相 这种约定求和的脚标如上式中ν称为“哑标”，对不参加求和 的脚标，如上式中的μ称为“自由脚标”。 等式两边的自由脚标必须对应。 由于哑标只表示对该脚标从1到4求和的一个约定，所以哑 脚标的字母可以更换，如上式中 A′ µ = α µν A ν = α任意一个二阶张量总可以分解为一个二阶对称张量和一个 二阶反对称张量之和”。 证明：设Tµ σ 为任意一个二阶张量，
Tµ σ = Tµ σ + Tσµ 2 + Tµ σ − Tσµ 2 = Sµ σ + Aµ σ
式中 S µ σ = S σµ 是对称张量，
A µ σ = − A σ µ 是反对称张量，证毕。
三维空间中反对称张量是两矢量叉乘出来的，又叫赝矢 r r r r r r r r r r r υ = ω× r，L = r × F ， J = r × p 量。例如 B = ∇ × A ， r r r r B, ω, L, J 构成三维空间的二阶反对称张量，因只有三个独 立分量故可用一矢量表示，叫赝矢量。 在坐标变换时不能当矢量处理，否则会出错。 在四维空间二阶反对称张量有六个独立分量，比空间维数 多2，不能用4-矢量表示。 坐标变换时必须还物理量的本来面目。 顺便指出:在正交变换下,对称张量保持为对称;反对称张量 保持为反对称。
第6章 狭义相对论简介
v
A B
闪光 同时 到达A 、B镜子； 小兰看到： 闪光 先 到达A镜子， 后 达到B镜子； 小红看到： 由此可见：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
闪 电
闪 电
先 发 生
v
若小红看到：两束闪电(闪光) 同时 击中车头和车尾； 车头 ，后击中_______ 则小兰看到：闪电先击中_______ 车尾 ； 所以：不同地点的“同时”是相对性（与惯性系有关）
◆相对惯性系做匀速直线运动的另一个参考系也是惯性系。
2、推论： ◆推论1： 通过任何力学实验，都不可能 证明惯性系是处于绝对静止还是 在做绝对匀速直线运动状态。
◆推论2：
任何惯性参考系都是平权的。
二、经典时空观、伽利略速度变换
1、经典时空观： （绝对时空观） 长度L 是 时间和空间彼此独立、互不关联， 时间t 是 且不受物质或运动的影响。 质量m 是 同时性是 2、伽利略速度变换： 绝对的 绝对的 绝对的 绝对的
若地面上小红观察到A、B两地有两个事件同时发生，对于 坐在火箭中沿A、B连线飞行的小兰来说，哪个事件先发生？
A事件先发生
A B
v
二、时间的相对性 (动钟变慢）
u t0
u
u
t
思考：小红测得的时间t 和小兰测得的时间t0 相等吗？
(不相等，t ＞ t0）
狭义相对论的时间变换公式 发生在同一地点的参考系内 所测量的时间 t 称为固有时
v人地 v人车 v车地
3、狭义相对论产生的背景：
v人车
v车地
光速问题
三、狭义相对论的两个基本假设：
（爱因斯坦相对性原理） 1、第一条假设： 在任何惯性系参考系中，物理规律（包括力学和电磁学） 都是一样的。
相对论包括狭义相对论和广义相对论
相对论的时空观念与人们固有的时空观念差别极 大，很难被普通人所理解。人们都称赞爱因斯坦伟大， 但又弄不懂这伟大的内容，人们想起了英国诗人波谱歌 颂牛顿的诗句:
Nature and Nature's laws lay hid in night: 自然与自然规律隐藏在黑暗之中
God said, Let Newton be! 上帝说,“让牛顿来吧”, And all was light. 于是一切化为光明。
y y
以甲车为参考系：
乙车的速度：v乙甲= 10米/秒
O z
甲车 乙车
v乙地= v甲地+v乙甲
v甲地t z
O
x
x
1. 伽利略变换 坐标变换分量式:
x x ut y y z z t t
S系(建立在地面上)和S 系(建立 在甲车上)的坐标轴相互平行, 且S 系 相对于S系沿 +x 方向以速率u(= v甲地) 运动，当 O 和O 重合时，设t = t = 0。 令vx= v乙地，v′x=v乙甲 y y
和“绝对空间”。 《自然哲学的数学
原理》 那么，相对论是如何提出的呢?
二、你也可能提出相对论
甲、乙两列火车从同一地点出发沿相同方向作匀速直线运动， 甲车相对于地面速度 20米/秒，乙车相对于地面速度 30米/ 秒，乙车相对于甲车的速度为多少？ 以地面为参考系： 甲车的速度：v甲地= 20米/秒， 乙车的速度：v乙地= 30米/秒
速度变换分量式：
vx v x u v y v y v z v z
O z
甲车
乙车
v甲地t O z
x
x
vx= u + v'x —伽利略变换
加速度变换式：
大学物理曲晓波-第6章 狭义相对论
x
x u t 1 u2 /c2
洛 仑
y
y
兹 z z
逆 变 换
t
t
ux c2
1 u2 /c2
洛伦兹逆变换只是把洛伦兹变换中的u→ - u，x与x’，
y与y’，z与z’交换位置。
说明：
①洛伦兹变换表示同一事件在不同惯性系中时空坐标的变换关系。 规定每个惯性系使用对该系统为静止的时钟和尺进行量度。
在所有惯性系中，物理定律的表达形式都相同。这就是爱因 斯坦相对性原理，即相对性原理。
此原理说明所有惯性系对于描述物理规律都是等价的，不存 在特殊的惯性系。可以看出，爱因斯坦相对性原理是力学相对 性原理的推广。
由此可得出，在任何惯性系中进行物理实验，其结果都是一 样的，运动的描述只有相对意义，而绝对静止的参考系是不存 在的。因此不论设计力学实验，还是电磁学实验，去寻找某惯 性系的绝对速度是没有意义的。
S 系v 中 x d d x t,v y d d y t,v z d d z t
v
x
vx 1
u
uvx c2
速 度 变 换
v
y
vy
1 u2 /c2
1
uvx c2
v
z
vz
1 u2 /c2
1
uvx c2
vx
v
x
1
u
u v x c2
速 度 逆 变 换
v
y
v
y
1 u2 /c2Biblioteka 1u v x c2
vz
v
z
1 u2 /c2
1
u v x c2
讨论：
①当u,v（vx,vy,vz)远小于光速ｃ时，相对论速度变换式退化
大学物理第6章 狭义相对论
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干涉仪转90°引起时间差的变化为
L1 L2 u 2 t t c c2
由干涉理论，时间差的变化引起的移动条纹数
L1 L2 u 2 N c2 L1 L2 22m, u 3 104 m s, 589nm 对于 c( t t )
u u
x x＋ ct y y z z t t ＋ c x
29
或写成
x ut x 1 u 2 / c 2 y y z z u t x c2 t 1 u 2 / c 2
1983年国际规定：真空中的光速为物理常数 c 299 792 458 ms 1 1m是光在真空中1/299792458秒内所经过的 距离。 7
二、光速不变原理的实验验证 1、Michelson-Morlay 实验（1881–1887） 当时认为光在“以太”（ether）中以速度c 传播。 设“以太”相对太阳静止。
以太拖曳假说也不对!
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爱因斯坦对麦克尔逊－莫雷实验的评价： ―还在学生时代，我就在想这个问题了。 我知道迈克耳逊实验的奇怪结果。我很快得 出结论：如果我们承认麦克尔逊的零结果是 事实，那么地球相对以太运动的想法就是错 误的。这是引导我走向狭义相对论的最早的 想法。”
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三、光速不变原理的数学表达 设S 系相对S系作匀速直线运动
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3、恒星的光行差（J.Bradley，1727） 观察恒星时，望远镜必须倾斜。
恒星
uΔt u 3 104 tg 8 cΔt c 3 10
光行差角： 20.5
ct
ut
如果“以太”被地球拖曳， 光到地球附近要附加速度u，观 u 地球公转 察恒星时望远镜不必倾斜。
第6章狭义相对论基础
设相对S’系静止有一光脉冲仪
Mo
d
发射光信号与接受光信号时间差 o
t' 2d
X’
c
发射与接受在同一地点
t ' 称之为固有时或本征时,常用 o
在S系中观察,光脉冲仪以 u 向右运动
光脉冲走的是一个三角形的两边,每边长为
d 2 ( ut )2 2
Su Y
t 2 2 d 2 ( ut )2
由洛仑兹逆变换
t
t
u c2
x
1
u2 c2
t
1
u2 c2
x 0
t
1
>1
1
u2 c2
t
原时最短
长度缩短
对运动长度的测量问题。 怎么测？ 同时测。
S S
u
l0
原长：棒静止时测得的它的长度 也称静长
棒静止在 S 系中， l0 静长
S
事件1：测棒的左端 事件2：测棒的右端
1
u2 c2
同时性的相对性
x2 x1 t2 t1
5) 时序，因果关系
x2 x1 t2 t1
6) 由洛仑兹变换看时间膨胀 长度缩短
时间膨胀 研究的问题是： 在某系中，同一地点先后发生的两个事件的时间 间隔(同一只钟测量) ，与另一系中，两个地点发 生的两个事件的时间间隔(两只钟分别测量)的关系。
零结果
c
1
u2 c2
1
u2 c2
b 2
否定以太存在 否定伽利略变换
M2
cu
a2 a1 M1
1 b1
C2 u2
b 1
第6章 狭义相对论
v
ɑ΄ θ ɑ=π-θ
ɑ v
太阳
地球
第六章 狭义相对论
v
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（4）菲索流水实验
第六章 狭义相对论
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1 1 4klun 2 t 2l 2 c c c ku ku n n
由该时间差对应的光程差，即可算出牵引系数k。 此值与菲涅尔1818年推出的结果一致
1 k 1 2 n
对空气 k 5.8 104 ，表明空气几乎带不动以太。 因此，地球表面以太被带动的假说站不住脚。
第六章 狭义相对论 11
参考系 质点的位置及其运动与否，只有相对于事先选定的 视为不动的物体才有明确的意义。我们称所选取的物体 为参考物，与参考物固连的空间为参考空间。参考空间 和与之固连的钟的组合称为参考系。 坐标系 参考系选定后，为了定量的描述质点相对于参考系 的位置，还必须在参考系上建立坐标系。常用的坐标系 有直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。例如直角坐标系 中的一个空间点用该点的三个空间坐标表示， P≡(x,y,z)。
∑
y
P≡(x,y,z) x
z
O
第六章 狭义相对论
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相对性和不变性 从两个互有相对运动的参考系对同一事物的观测 结果不同，或对同一物理量测量结果不同，称事物或 物理量的相对性。 如果任何两个有相对运动的参考系中的观察者对 于某一一物理量测量结果总是一样的，或对于某一物 理定律的表述形式完全一样，，称这个物理量或物理 规律具有不变性。
第六章 狭义相对论 6
§1 狭义相对论的实验基础 1. 相对论产生的历史背景 （1）古代宇宙观 毕达哥拉斯宇宙模型
＊
亚里士多德宇宙模型
＊ ＊
＊
＊
狭义相对论
坐标位置无关,时间间隔与时空位置无关.
2.间隔不变性:
事件p1和p2：在 ：(x1, y1, z1,t1), (x2 , y2 , z2 ,t2 )
: (x1, y1, z1,t1), (x2, y2 , z2 ,t2)
两朵小乌云: 迈克耳逊——莫雷“以太漂移”实验
黑体辐射实验
狭义相对论 量子力学
近代物理学的两大 支柱，逐步建立了 新的物理理论。
强调:
近代物理不是对经典理论的补充，是全新的理论。
近代物理不是对经典理论的简单否定。
§6.1相对论的实验基础
一.伽利略的相对性原理
1.伽利略变换:
设以v相对于运动,t=0时,两坐标系原点重合
2.光速不变原理:真空中的光速在任意惯性系中沿各
个方向均为c,与光源运动无关.
• 说明： • ⑴它否定了经典速度公式，即否定伽利略变换。 • ⑵光的速度大小与参照系无关，但方向在不同参照系中
可以不同。 • ⑶光速数值不变，则不同参照系中时间、空间、尺度关系
不同。
狭义相对论原理与经典时空的不同:
'
按照二事件间隔将相对论时空划分为三个区域. (1)类时区域(类时间隔):
s2 0,即c2t2 x2
x 2
二事件可用小于光速的信号联系,信号速度 u
c
t
(2)类空区域： s2 0,即c2t2 x2 ,u c，这种讯号不存在
(3)类光区域：s2 0, u c
类空
类时 类空
类时
系中静止。 • 在以太中静止的物体为绝对静止，相对以太运动的物体为
绝对运动。
二.相对论实验基础:
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第一篇力学第6章狭义相对论第6章狭义相对论Special Relativity第1节伽利略变换第2节狭义相对论基本原理第3节洛仑兹变换第4节洛仑兹速度变换第5节时间的相对性和长度的相对性第6节狭义相对论动力学简介第1节伽利略变换任意t 时刻vt x x -='y y ='zz ='tt ='oxyy'vo'S ´xx ´vty 'Sv u u x x -='zz y y uu uu ='='aa='坐标变换速度变换( 经典的速度叠加原理)(v 恒定)Galilean Transformations设t 0= t 0=0 时, S 与S '重合,'再求导1F F,m m F ma F m a ''=='''=⇒=故经典力学认为：一切惯性系中的力学规律都是相同的——力学相对性原理(伽利略相对性原理)2oxyy'vo'S ´xx ´vty 'S(v 恒定)vt x x -='y y ='z z ='t t ='伽利略变换反映了牛顿力学的时空观伽利略变换的另一形式为x x v t∆∆∆'=-y y ∆∆'=z z ∆∆'=t t ∆∆'=时间间隔的测量与参照系无关对于空间中任意两点间的距离,在两个参考系中的测量值分别是222()()()S x y z ∆∆∆∆=++222()()()S x y z ∆∆∆∆''''=++222()()()x y z ∆∆∆'=++222()()()x y z ∆∆∆=++0t t ∆∆'==S S∆∆'∴=空间间隔的测量与参照系无关3牛顿的时空观：时间的量度和空间的量度都与参考系无关，时间和空间无关，时间、空间与物质的运动无关。
牛顿认为：―绝对空间，就其本性而言，与外界任何事物无关，而永远是相同的和不动的。
”―绝对的、真正的和数学的时间自己流逝着，并由于它的本性而均匀地、与任一外界对象无关地流逝着”。
4不必修改电磁理论,将伽利略相对性原理限制于低速领域,另找一个新的能使电磁规律符合的变换。
从而推广伽利略相对性原理。
(如：迈克耳逊—莫雷实验)19世纪末, 大量实验表明,光速(电磁规律)不服从伽利略变换！矛盾如何解决？ 伽利略相对性原理不是普遍原理,不必推广到高速领域,因而电磁规律可以不符合伽利略相对性原理及变换；伽利略相对性原理是普遍原理,应修改电磁理论使之符合伽利略相对性原理及变换；选择有三:狭义相对论新的时空观第2节狭义相对论基本原理Basic Postulates of Special Relativity 1. 伽利略变换在高速领域不成立52. 两个基本原理(1)爱因斯坦相对性原理物理规律对所有惯性系都是一样的, 不存在任何一个特殊的惯性系。
(2)光速不变原理在任何惯性系中测量，光在真空中传播的速率都相等。
121458792299-⋅±=sm . c ）（1964-1966年,欧洲核子中心的实验直接验证了光速不变的原理：以0.99975c 的高速飞行的介子,在飞行中辐射光子,得到光子的实验室速度数值仍然是c .π6设有如下思想实验y 'y xx 'A 'B 'MvO在S' 系中观察光到达A '和光到达B '这两事件不会同时发生！！光到达A '和光到达B '这两事件同时发生。
在S 系中观察可见，两物理事件是否同时发生,不是绝对的,而是依赖于参考系的选择,即必须相对于某参考系而言，因而是相对的。
对不同参考系, 同样两事件之间的时间间隔不同。
即：时间度量是相对的, 这就是同时性的相对性。
由光速不变原理得出的结论之一：同时性的相对性7洛仑兹时空坐标变换y y 'v o o 'x 'x且有t = t '= 0，x = x '= 0设S 系看x '=0点，S'系看x =0点，代入以上方程组可得x '= a (x -vt )（1）t '= a (t + hx )（2）设S '系相对S 系沿X 轴以速度v 运动,x '=ax + bt + e t '= ct + dx + ft xv =t x v ''=-第3节洛仑兹变换Lorentz Transformations8设t = t '=0 时,在o =o '点发出一光信号,则在两个参考系中测得的光到达某时空点走过的距离满足x 2+y 2+z 2=c 2t 2x '2+y '2+z '2=c 2t '2y =y 'c 2t 2-x 2=c 2t '2-x '2结合(1)、(2)两式可得211()a v c=-2cv h -=z =z '21()x vt x v c-'=-故y y ='z z ='22vt xc t v -'=洛仑兹坐标变换x' = a （x -vt ）（1）t' = a （t + hx ）（2）)(t ,z ,y ,x )(t ,z ,y ,x ''''()vt x x -='γ2v t t x c γ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭yy ='zz ='vt x x -='yy ='zz ='tt ='当v <<c 时:——伽利略变换令：vcβ=211γβ=-d d d d ()x x vt t t'=-v u u -='绝对相对牵引21()x vt x v c-'=-y y ='zz ='221()v t xc t v c-'=-讨论1︒伽利略变换只是洛仑兹变换在低速情况下的一个近似。
3︒c 是一切实物运动速度的极限。
()t v x x '+'=γy y '=z z '=2()v t t x cγ''=+4︒从S' 系→S 系的变换2︒相对论中时空测量不可分离。
时间、空间和物质的运动三者密不可分。
结论:21()x vt x v c-'=-y y ='zz ='221()v t x c t v c-'=-例1.S '系相对S 系沿轴做匀速运动, 在S 系中观察到两个事件同时发生在x 轴上, 距离是1m , 在S '系中观察到这两个事件之间的距离是2m 。
求: 在S'系中这两个事件的时间间隔。
解: 根据洛仑兹变换有21x x x ∆'''=-2121221[()()]1/x x v t t v c=----21t t t ∆'''=-21212221[()()]1/v t t x x c v c=----由题意知210t t -=211x x -=212x x ''-=代入得22121/v c =-222/1/v c t v c∆-'=-3t ∆'∴=-95.7710s-≈-⨯第4节洛仑兹速度变换Lorentz Velocity Transformations1. 洛仑兹速度变换式()x x vt γ'=-2()v t t x cγ'=-S 系d d x x u t =d d x x u t ''='S'系d d y y u t =d d z z u t=d d y y u t ''='d d zz u t ''='d d x x u t ''='d d d d 21x vt v x t-=-21x x u v v u -=-d d d d x t t t '='d d d d x t t t''=21x x xu vu v u -'=-21x x x u vu v u c -'=-d d d d d d y y y t u t t t '''==''同理：221()1y y xu v u v c u c'=--221()1z zxu v u v c u c '=--d d d d d d z z z t u t t t '''==''洛仑兹速度变换(1)若v <<c ，则x x u u v '=-y y u u '=zz u u '=v u u -='加利略速度变换(2)若一束光沿S 系的x 轴传播u x =c u y =0 u z =0S'系看:1x x x u v u v u -'=-0=='y y u u 0=='z z u u u'= c 1c v v -=-c =光速不变讨论从S'系变换S 系的速度221()1z z x u v u v c u c'=-'+221()1y y x u v u v c u c '=-'+21x x x u v u v u c '+='+从S 系变换S'系的速度21x x xu v u v u c -'=-221()1y y x u c u v v u c '=--221()1z z x u v u v c u c'=--例2.在地面测到两个飞船分别以0.9c 和–0.9c 的速度向相反方向飞行, 求其中一飞船看另一飞船的速度是多少？甲乙xy x 'y'o'0.9c-0.9c 解：设S 系静止在乙飞船上S' 系静止在地面上S'系相对S 系的速度甲船相对S' 系的速度甲船相对S 系（乙船）的速度21x x xu v u v u c'+='+< c 0='=u u 0='=u u u =0.994475c 0.90.910.90.9c c +=+⨯0.994475c =0.9x u c'=v = 0.9c例3.在太阳系中观察一束星光垂直射向地面,速率c , 而地球以速率v 垂直光线运动, 求地面上测量这束星光的速度大小方向？o x y y'o'解: 设太阳系为S 系, 地球S'系vu x =0，u y =c ，u z =0在S'系看星光的速度21x x x u v u v u c-'=-221()1y yxu v u v c u c '=--221()1z z x u v u v c u c '=--22x y u u u '''=+120.6x u tg α-''''==α在S 系看星光的速度u'u v -=x'21()v c c =-0=c =例4.从高能加速器中发射出两个运动方向相反的粒子A 和粒子B , 这两个粒子相对实验室的速率都是0.9c ，求粒子B 相对于粒子A 的速度。