高二数学人教A版必修5课件：第二章 数列 本章整合
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最新-高中数学 第二章 数列(整合与提升)课件 新人教A版必修5 精品
(5)构造法：
一、知识要点
4.常见的求和方法
(1)公式法：等差数列、等比数列
(2)Sn法：an
S1 , Sn
n 1 Sn1, n 2
(3)错位相减法：型如{anbn}的数列求和,其中{an}为等差 数列, {bn} 为等比数列.
如：求Sn x 2 x2 3 x3 nxn
一、知识要点 4.常见的求和方法 (1)公式法： (2)Sn法： (3)错位相减求和法： (4)裂项求和法：
一、知识要点
数列
等差数列
等比数列
定义
an- an-1=d (n∈N*，且n≥2)
an=qan-1 (n∈N*，且n≥2)
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1
前n项和 公式
Sn
n(a1 2
an )或
Sn
na1
n(n 1) d 2
Sn
na1 a1 (1
qn
1 q
（q 1） ) a1 anq
(5)分组求和法：
二、巩固练习
(08天津)在数列{an }中, a1 1, a2 2,且an1 (1 q)an qan1 (n 2, q 0).
(1) 设bn an1 an (n N * ),证明{bn }是等比数列. (2) 求数列{an }的通项公式 (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值;并证明：对任意的 n∈N*，an是an+3与an+6的等差中项．
1 q
)
(q
1)
a1+an= a2+an-1=…； a1+a2n-1=2an；
a1an= a2an-1=…； a1a2n-1=(an)2；
【新学案】高二数学人教A版必修5(浙江专用)课件第二章 数列 本章整合
专题一
专题二
专题三
(1)证明:因为 Sn=4an-3(n=1,2,…), 则 Sn-1=4an-1-3(n=2,3,…), 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1, 整理,得
an an3,令 n=1,得 a1=4a1-3,解得 a1=1. 所以{an}是首项为 1,公比为 的等比数列.
4 3
专题一
专题二
专题三
(2)解:由(1)得 an=
4 n -1 , 3 4 n -1 . 3
由 bn+1=an+bn(n=1,2,…),得 bn+1-bn=
则 bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
4 n-1 1- 3 4 n -1 =2+ -1,(n≥2). 4 =3× 3 1 -3
本章整合
定义:按一定顺序排列的一列数 表示法:列表法、图象法和通项公式法 通项公式:第 n 项a n 与序号 n 之间的关系等式a n = f(n) 分类:有穷数列和无穷数列,还可以分成递增数列、递减数列、常数数列和摆动数列 前 n 项和:Sn = a1 + a 2 + … + a n 递推公式:关于数列的通项或前 n 项和的等式 图象:数列的图象是一群孤立的点 定义:数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 判断方法:定义法,证明a n+1 -a n = 常数 数列 等差数列 通项公式:a n = a1 + (n-1)d 前 n 项和公式:Sn =
1-q 1-q
递推公式:a n+1 = a n q 应用:在物理、化学、生物、经济、天文、历法等方面均有应用
专题一
2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章数列本章小结 课件(共70张PPT)
2. 通项公式与递推公式
通项公式:
用正整数 n 表示数列的第 n 项 an. an+1-an=f(n) 型, 求通项公式:
n 依次取正整数, 等式累加.
递推公式:
数列的任一项用它的前一项或前两项推出.
F1=1, 如: F2=1,
(斐波拉契数列)
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3).
3. 前 n 项和
例6. 已知 {an} 是一个公差大于 0 的等差数列, 且
满足 a3a6=55, a2+a7=16.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 若数列 {an} 和数列 {bn} 满足等式:
an
=
b1 2
+
b2 22
+
b3 23
++
bn 2n
,
求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
解: (2) 由(1)得
5. 等差中项 a, A, b 成等差, A 是 a, b 的等差中项.
2an = an-k + an+k, m+n = p+q am+an = ap+aq.
6. 等差数列前 n 项和
(关于 n 的二次函数) Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, … 成等差数列.
7. 等比数列 定义:
a2=a1·q, a3=a2·q, a4=a3·q, …, an+1=an·q. 通项公式:
+
b3 23
++
bn 2n
,
求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
解: (2) 由(1)得
①
于是得 an-1=
新课标人教A版高中数学必修五第二章第二节《等差数列》课件
叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
通常用字母 d 表示。
定义的符号表示是：an - an-1=d(n≥2,n∈N)
判断下列数列是否为等差数列？若是，则公差是多少？若不是，
说明理由？
(1). 6，4，2，0,-2,-4…
(2). a，a，a，a，…
(3). 0，1，0，1，…
(4). 1，2，3，4，…
则an pn q.
结论: 等差数列的通项公式是关于n的一次形式，
反之亦成立。
1. 在直角坐标系中，画出通项公式为an ＝
2n-1 的数列的图像，这个图像有什么特点？
2. 在同一坐标系中，画出y=2x-1的图像，
你发现了什么？据此说一说等差数列 =
+ 的图象与一次函数y = x + b 的 图 象
a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d
……
由此得到
an=a1+（n-1）d , n∈N+,
例1 等差数列{an}中
①已知a1 =2，d=3，n=10，求 an
②已知d = - 0.5，a7 =8，求 a1
③已知a1 = 12，a6 = 27，求 d
④已知a1 = 3，an = 21，d = 2，求n
作
业
必做：同步练习册 基础巩固
选做：同步练习册 能力提升
第二章 数列
2.2 等差数列
• 学习目标：
• 1、掌握等差数列的概念
• 2、理解等差数列通项公式的推导过程，能运用通项公式
解 决 一些简单的问题。
• 3、了解等差数列的函数特征
等差数列的定义
视察下面数列，思考这些数列有什么共同特点？
高中数学 第二章 数列本章回顾课件 新人教A版必修5
＝2009，∴S＝20209.
完整版ppt
6
【例2】 已知函数f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)， 数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0. (1)用an表示an＋1； (2)求证：{an－1}是等比数列．
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7
【解】 (1)∵f(x)＝(x－1)2，g(x)＝4(x－1)， ∴f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)． 又(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0， ∴4(an＋1－an)(an－1)＋(an－1)2＝0， ∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0. ∵a1＝2，∴an≠1， ∴4an＋1－3an－1＝0，∴an＋1＝34an＋14.
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16
【解】 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0. ∴an＋2－an＋1＝an＋1－an. ∴{an}是等差数列． 又a1＝8，a4＝a1＋3d＝2，∴d＝－2. ∴an＝10－2n.
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17
(2)∵an＝10－2n，∴当n≤5时，an≥0， 当n>5时，an<0. ∴当n≤5时， Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an ＝8＋102－2n·n ＝－n2＋9n. 当n>5时，
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11
解法2：由等差数列的性质，得a2＋a7＝a3＋a6， ∴aa33a＋6＝a65＝5，16. 由韦达定理，知a3，a6是方程x2－16x＋55＝0的根，解方程得x＝ 5，或x＝11. 设公差为d，则由a6＝a3＋3d，得d＝a6－3 a3. ∵d>0，∴a3＝5，a6＝11，d＝11－3 5＝2，a1＝a3－2d＝5－4＝1. 故an＝2n－1.
高中数学第二章数列章末归纳整合课件a必修5a高二必修5数学课件
章末归纳(guīnà)整合
12/9/2021
第一页，共三十九页。
12/9/2021
第二页，共三十九页。
整体(zhěngtǐ)思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、运算的 思想，整体思想的灵活运用通常能将问题由多方向简化，使问题变得 明朗(mínglǎng)，简捷．
12/9/2021
第三页，共三十九页。
【例1】 某等差数列的前四项之和为－4，最后(zuìhòu)四项之和 为36，所有项之和为36，则此数列共有______项．
【解析】记该等差数列为{an}，其前 n 项和为 Sn，由题意 可得 a1＋a2＋a3＋a4＝－4，an＋an－1＋an－2＋an－3＝36，两式相 加结合等差数列的性质可得 4(a1＋an)＝32，解得 a1＋an＝8，∴ Sn＝na12＋an＝4n＝36，解得 n＝9.故答案为 9.
log3an－log3an－1＝n－1，
12/9/2021
第十九页，共三十九页。
以上各式相加得 log3an－log3a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn2－1， log3an＝nn2－1，当 n＝1 时也成立． ∴Sn＝log3a9nn＝n2－2 5n(n∈N*)． ∴b1＝S1＝－2. 当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝n－3，当 n＝1 时也成立． ∴数列{bn}的通项公式 bn＝n－3(n∈N*)．
12/9/2021
第二十五页，共三十九页。
3．(2017年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望(yuǎn wànɡ)巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
12/9/2021
第一页，共三十九页。
12/9/2021
第二页，共三十九页。
整体(zhěngtǐ)思想
整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、运算的 思想，整体思想的灵活运用通常能将问题由多方向简化，使问题变得 明朗(mínglǎng)，简捷．
12/9/2021
第三页，共三十九页。
【例1】 某等差数列的前四项之和为－4，最后(zuìhòu)四项之和 为36，所有项之和为36，则此数列共有______项．
【解析】记该等差数列为{an}，其前 n 项和为 Sn，由题意 可得 a1＋a2＋a3＋a4＝－4，an＋an－1＋an－2＋an－3＝36，两式相 加结合等差数列的性质可得 4(a1＋an)＝32，解得 a1＋an＝8，∴ Sn＝na12＋an＝4n＝36，解得 n＝9.故答案为 9.
log3an－log3an－1＝n－1，
12/9/2021
第十九页，共三十九页。
以上各式相加得 log3an－log3a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝nn2－1， log3an＝nn2－1，当 n＝1 时也成立． ∴Sn＝log3a9nn＝n2－2 5n(n∈N*)． ∴b1＝S1＝－2. 当 n≥2 时，bn＝Sn－Sn－1＝n－3，当 n＝1 时也成立． ∴数列{bn}的通项公式 bn＝n－3(n∈N*)．
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第二十五页，共三十九页。
3．(2017年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问
题：“远望(yuǎn wànɡ)巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问
尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下
一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
新人教A版高中数学第2章数列课件必修5
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列
(Leonardo Fibonacci，公元 1170～,13,21，….这个数列从第三项开始，每一项都等于前两
项为：an＝
1 1＋ 5[( 2
2019/7/17
最新中小学教学课件
6
thank
you!
2019/7/17
最新中小学教学课件
7
数与叶子旋转圈数的比称为叶序比，多数的叶序比呈 数的比，真让我们惊叹于这世界的奥妙无穷．
新课标导学
数学
必修5 ·人教A版
第二章
数列
“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列
(Leonardo Fibonacci，公元 1170～,13,21，….这个数列从第三项开始，每一项都等于前两
项为：an＝
1 1＋ 5[( 2
2019/7/17
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数与叶子旋转圈数的比称为叶序比，多数的叶序比呈 数的比，真让我们惊叹于这世界的奥妙无穷．
【同步测控】高二数学人教A版必修5课件第二章 数列 本章整合
专题一
专题二
专题三
【应用 3】 已知数列{an}中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公 式. 分析:由于本例给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求 解, 解:由 an+1-an=3n-n, 得 an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), … a3-a2=32-2,a2-a1=3-1. 当 n≥2 时,以上 n-1 个等式两端分别相加,得
������-1.
而 n=1 时,a1=1 也适合上式. ∴ 数列 {an}的通项公式为 an= ������ − ������-1,n∈N*.
专题一
专题二
专题三
3.已知递推关系求通项公式 (一)累加法 对于由形如 an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式, (1)当 f(n)=d 为常数时,{an}为等差数列,则 an=a1+(n-1)d; (2)当 f(n)为关于 n 的函数时,用累加法. 方法如下,由 an+1-an=f(n)得 当 n≥2 时,an-an-1=f(n-1), an-1-an-2=f(n-2), … a3-a2=f(2), a2-a1=f上 n-1 个等式累加得 an-a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1),
������ -1
∴ an=a1+ ∑ f(k),
������ =1
为了书写方便,也可以用横式来写 : ∵ 当 n≥2 时,an-an-1=f(n-1), ∴ an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+a1.
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数阵中的数是按一定的规律排成若干行和列,比较多见的是排成等差 数列或等比数列,它重点考查等差数列、等比数列的相关知识,有时也会出 现其他类型的数列.解决此类问题的关键是找出其中的规律,这就要求考生 具有较强的观察分析、归纳猜想的能力以及对数列知识融合迁移的能力. 下面具体讨论一下它的几种题型.
知识网络
答案:n2+n-1
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专题探究
专题一
专题二
专题三
【应用 7】 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为 1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.
根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数从左到右依次是
.
答案:16
,
1 30
,
1 60
,
1 60
,
1 30
,
1 6
知识网络
∴(n+1)an+1-nan=0,即������������������+������ 1 = ������+������ 1,∴n≥2 时,���������������������-���1 = ���������-���1, ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12·…·������������21·a1=���������-���1 ·������������--21·…·12·1=1������.
(3)所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,…的通项,这恰好是“五点 法”作三角函数的图象的值,从而有 an=3sin���2���π或 an=3cos������2-1π(n∈N*).
专题一
专题二
专题三
知识网络
专题探究
2.利用 an 与 Sn 的关系求通项
an 与前 n 项和 Sn 关系式有两种形式:一种是 Sn 与 n 的关系式,记为
1.观察归纳法 观察归纳法就是观察数列的特征,找出各项共同的构成规律,横向看各 项之间的关系,纵向看各项与项数 n 的内在联系,从而归纳出数列的通项公 式.
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
【应用 1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式.
(1)1,1,57
,
7 15
,
391,…;
(2)2,22,222,2 222,…;
①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
【应用 3】 已知数列{an}中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公 式.
=f(n-1)·…·f(1)·a1.
专题一
专题二
专题三
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【应用 4】 设{an}是首项为 1 的正项数列,且 (n+1)���������2��� +1-n���������2��� +an+1an=0(n=1,2,3,…),求通项公式 an.
解:已知等式可化为
(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.∵an>0(n∈N*),
������-1,n∈N*.
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专题一
专题二
专题三
3.已知递推关系求通项公式 (一)累加法 对于由形如 an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式, (1)当 f(n)=d 为常数时,{an}为等差数列,则 an=a1+(n-1)d; (2)当 f(n)为关于 n 的函数时,用累加法. 方法如下,由 an+1-an=f(n)得
an+1+p=k(an+p),即构造等比数列{an+p},通过求 an+p 求出 an.
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
专题二 以数阵为背景的数列问题
所谓数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称 之为数表.
数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、 十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常 解题中最常见的是前两种.
显然 a1=1 也适合上式, ∴{an}的通项公式为 an=12×3n-������(���2���-1) − 12.
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专题一
专题二
专题三
(二)累乘法 对 (1)于 当由f(n形)为 如常 ������������������+数 ������1=时f(,n即)型������������������的 +������ 1=递q推 (其公中式q求是通不项为公0式的. 常数),此时数列为等比 数列,an=a1·qn-1. (2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由������������������+������ 1=f(n)得 n≥2 时,���������������������-���1=f(n-1), ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12 … ������������21·a1
本章整合
-1-
知识网络
专题探究
专题一
专题二
专题三
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专题探究
专题一 数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围 绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与 规律,而且有利于求数列的前 n 项和.求数列的通项公式是数列的核心问题 之一,下面介绍几种常用的求法.
解:(1)由 an=1+������������������-���1���-1两边取倒数得���1��������� − ������1������-1=1,
∴数列
1 ������������
是首
项为
1 ������1
=
12,公差为
1
的等差数列.
∴1
������������
=
12+(n-1)=n-12
同理可得,a21+a22+…+a29=9a25,…,a91+a92+…+a99=9a95.
又每一列都成等差数列, 则 a15+a25+…+a95=9(������152+������95) = 9(22������55)=9a55, 则此数阵中所有数之和
S=(a11+a12+…+a19)+(a21+a22+…+a29)+…+(a91+a92+…+a99)=9(a15+a25+…+ a95)=9(9a55)=81a55=81×5=405.
专题二
专题三
(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) =3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1], 即 an-a1=3(11--33������-1) − ������(���2���-1). 又∵a1=1,∴an=12×3n-������(���2���-1) − 12.
(3)3,0,-3,0,3,….
解:(1)数列即11
,
3 3
,
5 7
,
7 15
,
391,…,由于分子是等差数列{2n-1}的各项,分母
是数列{2n-1}的各项,故 an=22������������--11(n∈N*).
(2)所求数列的通项可以转化为数列 9,99,999,9 999,…的通项,即数列 {10n-1},易知 an=29(10n-1)(n∈N*).
答案:405
专题一
专题二
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专题三 数学思想方法的应用
1.函数思想 数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于 理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前 n 项和 Sn 的最值时,常转化为求关于 n 的二次函数的最值,或用数形结合或 利用函数图象来求值.
分析:由于本例给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求
解,
解:由 an+1-an=3n-n, 得 an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), … a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.
当 n≥2 时,以上 n-1 个等式两端分别相加,得
专题一
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专题三
【应用 8】 给定 81 个数排成数阵如图所示,若每一行、每一列都构成
等差数列,且正中间一个数 a55=5,则此数阵中所有数之和为
.
a11 a12 … a19
a21
a22
…
a29
…
…
…
…
a91
a92
…
a99
解析:由于每一行都成等差数列,
则 a11+a12+…+a19=9(������112+������19) = 9(22������15)=9a15.
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(三)构造法 构造法就是将数列的递推公式适当变形后,运用整体代换的方法转化 为等差(比)数列,再求出数列的通项公式.
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答案:n2+n-1
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【应用 7】 德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形
(单位分数是分子为 1、分母为正整数的分数)称为莱布尼兹三角形.
根据前 5 行的规律,写出第 6 行的数从左到右依次是
.
答案:16
,
1 30
,
1 60
,
1 60
,
1 30
,
1 6
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∴(n+1)an+1-nan=0,即������������������+������ 1 = ������+������ 1,∴n≥2 时,���������������������-���1 = ���������-���1, ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12·…·������������21·a1=���������-���1 ·������������--21·…·12·1=1������.
(3)所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,…的通项,这恰好是“五点 法”作三角函数的图象的值,从而有 an=3sin���2���π或 an=3cos������2-1π(n∈N*).
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2.利用 an 与 Sn 的关系求通项
an 与前 n 项和 Sn 关系式有两种形式:一种是 Sn 与 n 的关系式,记为
1.观察归纳法 观察归纳法就是观察数列的特征,找出各项共同的构成规律,横向看各 项之间的关系,纵向看各项与项数 n 的内在联系,从而归纳出数列的通项公 式.
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【应用 1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公式.
(1)1,1,57
,
7 15
,
391,…;
(2)2,22,222,2 222,…;
①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.
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【应用 3】 已知数列{an}中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列{an}的通项公 式.
=f(n-1)·…·f(1)·a1.
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【应用 4】 设{an}是首项为 1 的正项数列,且 (n+1)���������2��� +1-n���������2��� +an+1an=0(n=1,2,3,…),求通项公式 an.
解:已知等式可化为
(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.∵an>0(n∈N*),
������-1,n∈N*.
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3.已知递推关系求通项公式 (一)累加法 对于由形如 an+1-an=f(n)型的递推公式求通项公式, (1)当 f(n)=d 为常数时,{an}为等差数列,则 an=a1+(n-1)d; (2)当 f(n)为关于 n 的函数时,用累加法. 方法如下,由 an+1-an=f(n)得
an+1+p=k(an+p),即构造等比数列{an+p},通过求 an+p 求出 an.
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专题二 以数阵为背景的数列问题
所谓数阵是指将某些数按一定的规律排成若干行和列,形成图表,也称 之为数表.
数阵不仅有正方形、三角形,还有长方形、圆、多边形、星形、花瓣形、 十字形,甚至几种图形的组合,变幻多样、对称性强,很能吸引人.在我们平常 解题中最常见的是前两种.
显然 a1=1 也适合上式, ∴{an}的通项公式为 an=12×3n-������(���2���-1) − 12.
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(二)累乘法 对 (1)于 当由f(n形)为 如常 ������������������+数 ������1=时f(,n即)型������������������的 +������ 1=递q推 (其公中式q求是通不项为公0式的. 常数),此时数列为等比 数列,an=a1·qn-1. (2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法. 由������������������+������ 1=f(n)得 n≥2 时,���������������������-���1=f(n-1), ∴an=���������������������-���1 ·������������������������--12 … ������������21·a1
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专题一 数列通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围 绕数列的通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化趋势与 规律,而且有利于求数列的前 n 项和.求数列的通项公式是数列的核心问题 之一,下面介绍几种常用的求法.
解:(1)由 an=1+������������������-���1���-1两边取倒数得���1��������� − ������1������-1=1,
∴数列
1 ������������
是首
项为
1 ������1
=
12,公差为
1
的等差数列.
∴1
������������
=
12+(n-1)=n-12
同理可得,a21+a22+…+a29=9a25,…,a91+a92+…+a99=9a95.
又每一列都成等差数列, 则 a15+a25+…+a95=9(������152+������95) = 9(22������55)=9a55, 则此数阵中所有数之和
S=(a11+a12+…+a19)+(a21+a22+…+a29)+…+(a91+a92+…+a99)=9(a15+a25+…+ a95)=9(9a55)=81a55=81×5=405.
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(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1) =3n-1+3n-2+…+3-[(n-1)+(n-2)+…+1], 即 an-a1=3(11--33������-1) − ������(���2���-1). 又∵a1=1,∴an=12×3n-������(���2���-1) − 12.
(3)3,0,-3,0,3,….
解:(1)数列即11
,
3 3
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5 7
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7 15
,
391,…,由于分子是等差数列{2n-1}的各项,分母
是数列{2n-1}的各项,故 an=22������������--11(n∈N*).
(2)所求数列的通项可以转化为数列 9,99,999,9 999,…的通项,即数列 {10n-1},易知 an=29(10n-1)(n∈N*).
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专题三 数学思想方法的应用
1.函数思想 数列是特殊的函数,用函数的观点认识数列和处理数列问题,既有利于 理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决问题,比如求等差数列前 n 项和 Sn 的最值时,常转化为求关于 n 的二次函数的最值,或用数形结合或 利用函数图象来求值.
分析:由于本例给出了数列{an}中连续两项的差,故可考虑用累加法求
解,
解:由 an+1-an=3n-n, 得 an-an-1=3n-1-(n-1), an-1-an-2=3n-2-(n-2), … a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.
当 n≥2 时,以上 n-1 个等式两端分别相加,得
专题一
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【应用 8】 给定 81 个数排成数阵如图所示,若每一行、每一列都构成
等差数列,且正中间一个数 a55=5,则此数阵中所有数之和为
.
a11 a12 … a19
a21
a22
…
a29
…
…
…
…
a91
a92
…
a99
解析:由于每一行都成等差数列,
则 a11+a12+…+a19=9(������112+������19) = 9(22������15)=9a15.
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(三)构造法 构造法就是将数列的递推公式适当变形后,运用整体代换的方法转化 为等差(比)数列,再求出数列的通项公式.