第四章、第五章

合集下载

线性代数学习指导第四章线性空间

线性代数学习指导第四章线性空间

第五章 线性空间一、内容提要⒈ 线性空间定义1 设V 是一个非空集合,P 是一个数域. 若在V 中定义的加法和数乘运算对集合V 封闭,且加法与数乘运算满足线性运算的八条运算规则, 则称集合V 为数域P 上的线性空间.线性空间又称为向量空间, 线性空间的元素亦称为向量.设V 是数域P 上的线性空间, W 是V 的非空子集, 若W 对于V 的加法和数乘运算也构成数域P 上的线性空间, 则称W 为线性空间V 的一个线性子空间, 简称子空间. ⒉ 基、维数和坐标定义2 若线性空间V 中有n 个线性无关向量,而没有更多数目的线性无关的向量,则称V 是n 维线性空间,称V 中n 个线性无关的向量为V 的一组基,n 称为V 的维数,记作dim V = n .注 向量组12,,,n ααα是V 的一组基⇔12,,,n ααα是V 中的n 个线性无关向量且V中的任一向量α可由12,,,n ααα线性表示.向量组12,,,s ααα生成的空间L (12,,,s ααα)的一组基就是12,,,s ααα的一个极大无关组, 其维数就是向量组12,,,s ααα的秩.定义3 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, α 为V 中的任一向量, 若1122n n x x x αααα=+++则称数12,,,n x x x 为向量α 在基12,,,n ααα下的坐标, 记作 12(,,,)n x x x .向量的坐标可写成行的形式也可写成列的形式,但在利用坐标进行运算时,则要以运算式的具体情况来确定坐标的形式.定义4 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 且(12,,,n βββ)=(12,,,n ααα)C (1)称C 为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵,(1)式称为由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的基变换公式.定理1 设12,,,n ααα和12,,,n βββ是n 维线性空间V 的两组基, 由基12,,,nααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C = n n ij c ⨯)( ,即(12,,,n βββ)=(12,,,n ααα)C若向量α 在这两组基下的坐标分别为 ()n x x x ,,,21 与 ()n y y y ,,,21 , 则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n y y y C x x x 2121 ⒊ 线性空间同构定义5 设V 与W 都是数域P 上的线性空间,如果由V 到W 有一个双射(一一对应)σ, 且σ具有如下性质:,,(1) ()()()(2) ()()V k Pk k αβσαβσασβσασα∀∈∈+=+= 则称线性空间V 与W 同构,并称σ为由V 到W 的同构映射.注 数域P 上任意两个有限维线性空间同构的充要条件是它们的维数相同.定理2 设线性空间V 与W 同构,σ是由线性空间V 到W 的同构映射, 则V 中向量12,,,s ααα线性相关的充要条件是它们的像12(),(),,()s σασασα线性相关.⒋ 向量的内积、长度、距离、夹角定义6 设V 是实数域R 上的线性空间, 如果在V 上定义了一个二元实函数, 称为内积, 记作(,)αβ, 且它具有以下性质: ,αβγ,是V 中任意向量,k 是任意实数(1) (,)(,)(2) (,)(,)(3) (,)(,)(,)k k αββααβαβαβγαγβγ==+=+ (4) (,)0,ααα≥=当且仅当θ时,(α,α)= 0这个定义了内积的线性空间V 称为欧几里得空间,简称欧氏空间.当n R 的向量为列向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=. 当n R 的向量为行向量时,上述内积可记为乘积形式 (,)T αβαβ=., , ,V αααα设是欧氏空间中任一向量称非负实数()为向量的长度或模,α记作 即,ααα=()向量αα是单位向量, 将非零向量α化为单位向量称为将向量α单位化.βα-称为向量α 与β的距离,记作(,)d αβ, 即(,)d αβ=αβ-.柯西-布捏柯夫斯基不等式: (,)αβαβ≤⋅ , 当且仅当α 与β 线性相关时, 等号成立.定义7 设α,β 为欧氏空间V 中的非零向量, 定义α ,β 的夹角ω为(),arccosαβωαβ=⋅ ( 0 ≤ ω ≤ π)若(,)αβ= 0, 则称α与β正交(或垂直), 记作βα⊥ .5.向量组的正交化一组两两正交的非零向量组称为正交向量组. 正交向量组一定线性无关. 定义8 设12,,,n ααα是n 维线性空间V 的一组基, 若12,,,n ααα两两正交且都为单位向量, 则称它为V 的一个标准正交基.向量组12,,,n ααα是n 维欧氏空间V 中的一组标准正交基的充要条件是()01ij i ji j αα≠⎧=⎨=⎩,,, ,1,2,,i j n =.任何一组线性无关的向量组12,,,m ααα都可用Schmidt(施密特)正交化方法化为正交向量组12,,,m βββ, 且12,,,m βββ与12,,,m ααα等价.取 11αβ=, ()()1222111βαβαβββ=-,,,()()()()()()121121112211,,,,,,i i i i i i i i i βαβαβαβαβββββββββ----=----(i = 3 , 4 , …, m )将向量组1β ,2β ,… ,m β 中的每个向量单位化, 令iii ββη=(i = 1 , 2 , … , m ) 则得到一个与原向量组12,,,m ααα等价的标准正交向量组1η,2η,… ,m η.6. 正交矩阵定义9 设Q 为n 阶实矩阵, 若TQ Q = E , 则称Q 为正交矩阵. 正交矩阵的性质:(1)若Q 为正交阵,则 Q = 1 或-1 ;(2)若Q 为正交阵,则Q 可逆,且 1-Q=T Q ;(3)若P ,Q 都是n 阶正交矩阵,则P Q 也是n 阶正交矩阵;(4)n 阶实矩阵Q 为正交矩阵的充要条件是Q 的列(行)向量组是n R 的标准正交基.二、重点难点1. 判定集合是否构成线性空间.2. 线性空间的基、维数, 向量在基下的坐标等概念以及过渡矩阵、基变换与坐标变换公式.3. 欧式空间以及内积的概念和运算性质, 用内积运算进行证明.4. 用施密特正交化方法将线性无关的向量组正交化.5. 正交矩阵的概念及其性质.三、 学习要求1. 了解线性空间、子空间的概念, 理解向量空间的基和维数, 会求向量关于基的坐标,熟悉坐标变换公式.2. 了解线性空间同构的概念.3. 了解向量的内积、长度、距离、夹角、正交等概念, 掌握内积运算的性质.4. 理解标准正交基的概念, 掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法.5. 掌握正交矩阵的概念及其性质.四、典型题分析例1 全体n 维实向量集合V , 对于通常的向量加法和如下定义的数乘运算,,k V k R ααα=∈∈其中是否构成实数域上的线性空间.解 设,, k l R α∈是集合V 中的非零向量.因为()2k l k l ααααααα+=+=+=而,所以()k l k l ααα+≠+, 故此集合不构成实数域上的线性空间.注 检验集合是否构成线性空间的方法:如果所定义的加法和数乘运算是通常意义下的加法和数乘运算, 则它们满足线性运算的八条运算规则, 因此只需检验集合对运算的封闭性. 如果所定义的加法和数乘运算不是通常意义下的加法数乘运算, 则不仅要检验集合对运算的封闭性, 还要仔细检验加法和数乘运算是否满足八条线性运算规律. 例2 求向量空间(){1212,,,0,,1,2,,,n n i V x x x x x x x R i n =+++=∈=}2n ≥的基和维数.分析 先找出向量空间V 的一组基, 即找出一组线性无关的向量, 使得V 中任一向量可由这组向量线性表示.解 在向量空间V 中取1n -个向量1(1,1,0,0,,0)α=-, 2(1,0,1,0,,0)α=-,,1(1,0,0,,0,1)n α-=-, 显然121,,,n ααα-线性无关.对V 中任一向量12(,,,)n x x x α=, 以121,,,,n αααα-为行构造矩阵A ,则1123110010101001ni i nA x x x x x =--===-∑, 从而121,,,,n αααα-线性相关, 又因为121,,,n ααα-线性无关, 所以α可由121,,,n ααα-线性表示.故121,,,n ααα-是V 的基, V 的维数是1n -.注 这个向量空间V 就是齐次线性方程组120n x x x +++=的解空间, V 的一组基就是齐次线性方程组的一个基础解系. 例3 设12,,,n t t t 是互不相同的实数,证明向量组21(1,,,,),1,2,,n i i i i t t t i n α-==是n 维向量空间n R 中的一组基. 并求出向量()12,,,n b b b β=在这组基下的坐标.分析 12,,,n ααα是n 维向量空间n R 中的n 个向量, 只需证明12,,,n ααα线性无关即可.证 令21111121222221111n n n n nnn t t t t t t A t t t ααα---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 因为12,,,n t t t 是互不相同的实数,所以()121111121110n T ji i j nn n n nt t t A A tt ttt≤<≤---===-≠∏⇒12,,,n ααα线性无关.所以12,,,n ααα是n 个线性无关的n 维向量, 构成n 维向量空间n R 中的一组基. 设β在基12,,,n ααα下的坐标为()12,,,n x x x , 则有1122n n x x x βααα=+++⇒β=()()121212,,,,,,n n n x x x x x x A ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.因为A 可逆, 所以()112,,,n x x x A β-=. 故β在基12,,,n ααα下的坐标为1A β-.例4 设3R 中的向量α在基1231032,1,2111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下的坐标为123x x x ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,在基123,,βββ下的坐标为123y y y ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭, 且11232123132y x x x y x x y x x =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ (1)123123,,,,;βββααα求由基到基的过渡矩阵(2)求基123,,βββ. 解 (1)由题有111232123233(,,)(,,)x y x y x y ααααβββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112323111(,,)110102x x x βββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123111(,,)(,,)110102αααβββ--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭(*),所以123123,,,,C βββααα由基到基的过渡矩阵=111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 由(*)式得123(,,)βββ=123(,,)ααα1111110102---⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭123(,,)ααα=221231110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭111431342--⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭,故1231114,3,1342βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例 5 设,a b 是欧氏空间中的任意向量, 证明平行四边形法则(对角线的平方和等于四边的平方和).证 设,a b 是平行四边形的两条邻边, 则a b a b +-和为两条对角线. 因为22(,)(,)a b a b a b a b a b a b ++-=+++--(,)2(,)(,)(,)2(,)(,)a a a b b b a a a b b b =+++-+ 222()a b =+.所以平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和.例 6 1212,,,,(,)0i j ααββαβ=设线性无关线性无关且满足, 1,2,1,2.i j ==证明:1212,,,ααββ线性无关.证 设有数1212,,,,k k λλ使得112211220k k ααλβλβ+++= (*) 上式两边分别与12,αα做内积, 由(,)0i j αβ=,1,2,1,2.i j ==得111221112222(,)(,)0(,)(,)0k k k k αααααααα+=⎧⎨+=⎩ (**) 由柯西-布捏柯夫斯基不等式及12,αα线性无关得112121122211222(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)αααααααααααααα=->.故方程组(**)只有零解120k k ==, 将其代入(*), 由已知12,ββ线性无关, 得120λλ==. 于是得1212,,,ααββ线性无关.例7 将R 3的一组基1231100,1,1101ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )利用施密持正交化方法将其正交化取1110,1βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 1222111111/2(,)1101 (,)2011/2βαβαβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,132333*********/22/3(,)(,)11/21012/323/2(,)(,)111/22/3βαβαβαββββββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 123,,βββ则是正交向量组.(2 ) 将123,,βββ单位化11122233322, 62, 3, 3T T Tβββββββββ====3121231236320, 26, 3 263βββηηηβββ⎡⎤⎡-⎡⎢⎥⎢⎢∴======⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦,则123,,ηηη为R 3的一组标准正交基.例8 设m+n 阶矩阵P O A R Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中P , Q 分别是m , n 阶矩阵, O 为零矩阵.证明: 若A 为正交矩阵, 则P 和Q 也是正交矩阵且R 为零矩阵. 分析 用正交矩阵的定义证 证 由题知TT TTT P R A OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 因A 为正交矩阵, 所以 TT T T T mT TT T T n E P O P R P P R R R Q A A E R Q OQ Q R Q Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 上式最后一个等号两边比较得 T n Q Q E Q =⇒为n 阶正交矩阵.T R Q O =且Q 可逆⇒R O =.T T m P P R R E +=且R O =T m P P E ⇒=⇒P 是m 阶正交矩阵.五、习题解析习题5. 11. 判断全体n 阶实对称矩阵按矩阵的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间.答 是.因为是通常意义的矩阵加法与数乘, 所以只需检验集合对加法与数乘运算的封闭性. 由n 阶实对称矩阵的性质知,n 阶实对称矩阵加n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵,数乘n 阶实对称矩阵仍然是n 阶实对称矩阵, 所以集合对矩阵加法与数乘运算封闭, 构成实数域上的线性空间.2.全体正实数R +, 其加法与数乘定义为 ,,k a b ab k a a a b R k R+⊕==∈∈其中 判断R +按上面定义的加法与数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 是. 设,R λμ∈.因为,a b R a b ab R ++∀∈⇒⊕=∈,,R a R a a R λλλ++∀∈∈⇒=∈,所以R +对定义的加法与数乘运算封闭. 下面一一验证八条线性运算规律 (1) a b ab ba b a ⊕===⊕;(2)()()()()()a b c ab c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕====⊕⊕;(3) R +中存在零元素1, ∀a R +∈, 有11a a a ⊕=⋅=;(4) 对R +中任一元素a ,存在负元素1n a R -∈, 使111a a aa --⊕==; (5)11a a a ==; (6)()()a a a a a λμμλμλμλλμ⎛⎫==== ⎪⎝⎭;(7) ()a a a a a a a a λμμμλλλμλμ++===⊕=⊕;()(8)()().a b ab ab a b a b a b λλλλλλλλλ⊕====⊕=⊕所以R +对定义的加法与数乘构成实数域上的线性空间. 3. 全体实n 阶矩阵,其加法定义为A B AB BA ⊕=-按上述加法与通常矩阵的数乘是否构成实数域上的线性空间. 答 否.,()A B AB BA B A BA AB AB BA ⊕=-⊕=-=--A B B A ∴⊕⊕与不一定相等.故定义的加法不满足加法的交换律即运算规则(1), 全体实n 阶矩阵按定义的加法与数乘不构成实数域上的线性空间.4.在22P ⨯中,{}2222/0,,W A A A P W P ⨯⨯==∈判断是否是的子空间. 答 否.121123123345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例如和的行列式都为零,但的行列式不为零, 也就是说集合对加法不封闭.习题1.讨论22P ⨯中1234111111,,,111111a a A A A A a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的线性相关性.解 设11223344x A x A x A x A O +++=,即123412341234123400ax x x x x ax x x x x ax x x x x ax +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ . 由系数行列式3111111(3)(1)111111a a a a a a=+- 知, 3 1 , , a a ≠-≠且时方程组只有零解这组向量线性无关; 3 1 , , a a =-=或 时方程组有非零解这组向量线性相关. 2.在4R 中,求向量1234ααααα在基,,,下的坐标.其中1234010011001111ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2111,=,=,=,3010解 设11223344x x x x ααααα=+++由()1234100110010111ααααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭2111301010001010000010100010⎛⎫⎪ ⎪−−−−→⎪- ⎪⎝⎭初等行变换 得13ααα=-. 故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为 ( 1, 0 , - 1 , 0 ).2212342347P ααααα⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭110-11-1103.在中求在基=,=,=,=下的坐标.11100000 解 设11223344x x x x ααααα=+++则有123412341234123402030040007x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪--+=⎪⎨+++=⎪⎪+++=-⎩.由101121000711103010011110040010211007000130-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换 得12347112130ααααα=-+-+.故向量1234ααααα在基,,,下的坐标为(-7,11,-21,30). 4.已知3R 的两组基(Ⅰ): 123111ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11=,=0,=0-11(Ⅱ):123121βββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23=,=3,=443(1) 求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵;(2) 已知向量123123,,,,,αααααβββ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为0求在基下的坐标-1;(3) 已知向量123123,,,,,βββββααα⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭1在基下的坐标为-1求在基下的坐标2;(4) 求在两组基下坐标互为相反数的向量γ.解(1)设C 是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵, 由 ()()321321,,,,αααβββ= C即123111234100143111C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 知基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为1111123234100234010111143101C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)首先计算得11322201013122C -⎛⎫-- ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 于是α 在基321,,βββ 下的坐标为131200112C -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭.(3)β 在基321,,ααα 下的坐标为171123C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.(4) 设γ在基321,,βββ 下的坐标为123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 据题意有234010101⎛⎫ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123y y y -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 解此方程组可得123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=043k k ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭,为任意常数.231430,7k k k k γββ-⎛⎫⎪∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭为任意常数.5.已知P [x ]4的两组基(Ⅰ):2321234()1()()1()1f x x x x f x x x f x x f x =+++=-+=-=,,,(Ⅱ):2323321234()()1()1()1g x x x x x x x x x x x x x =++=++=++=++,g ,g ,g (1) 求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵; (2) 求在两组基下有相同坐标的多项式f (x ).解 ( 1 ) 设C 是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵, 由 ()()12341234,,,,,,g g g g f f f f =C有23230111101*********(1,,,)(1,,)1101110011101000x x x x x x C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,. 10110111100011101110101101000011 1100110100100112100111000011113⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−−→⎪⎪-⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换 1110001101121113C ⎛⎫ ⎪-⎪∴= ⎪- ⎪---⎝⎭. (2)设多项式f (x )在基(Ⅰ)下的坐标为1234(,,,)T x x x x .据题意有111222333444 ()x x x x x x C C E x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0 (*)因为01101101100111111001101021021021112C E ---==--==------所以方程组(*)只有零解,则f (x )在基(Ⅰ)下的坐标为(0,0,0,0)T,所以f (x ) = 0习题证明线性方程组1234512345123453642022353056860x x x x x x x x x x x x x x x +--+=⎧⎪+--+=⎨⎪--+-=⎩ 的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.证明 设线性方程组为AX = 0, 对系数矩阵施以初等行变换.316421568622353043751568600000A -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭初等行变换()2()3R A R A =∴=线性方程组的解空间的维数是5-.实系数多项式空间3[]R x 的维数也是3, 所以此线性方程组的解空间与实系数多项式空间3[]R x 同构.习题1. 求向量()1,1,2,3α=- 的长度. 解 22221(1)2315α=+-++.2. 求向量()()1,1,0,12,0,1,3αβ=-=与向量之间的距离.解 (,)d αβ=2222(12)(10)(01)(13)7αβ-=-+--+-+-. 3.求下列向量之间的夹角(1) ()()10431211αβ==--,,,,,,, (2) ()()12233151αβ==,,,,,,,(3)()()1,1,1,2311,0αβ==-,,, 解(1)(),1(1)02413(1)0,,2a παββ=⨯-+⨯+⨯+⨯-=∴=.(2)(),1321253118αβ=⨯+⨯+⨯+⨯=,22222222122318,31516,αβ+++=+++=,4618πβ∴==.(3)(),13111(1)203αβ=⨯+⨯+⨯-+⨯=,11147α=+++, 911011β=+++=,77αβ∴=.3. 设αβγ,,为n 维欧氏空间中的向量,证明: (,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+. 证明 因为22(,)αβαγγβαγγβαγγβ-=-+-=-+--+-22(,)(,)(,)(,)(,)2(,)(,)2αγαγαγγβγβαγγβγβαγαγαγγβγβγβαγαγγβγβ=--+--+--+--=--+--+--≤-+-⋅-+-所以22()αβαγγβ-≤-+-, 从而(,)(,)(,)d d d αβαγγβ≤+.习题1. 在4R 中,求一个单位向量使它与向量组()()()1,1,1,11,1,1,11,1,1,1321--=--=--=ααα,, 正交.解 设向量1234123(,,,)x x x x αααα=与向量,,正交, 则有 112342123431234(0(,0(,)0x x x x x x x x x x x x αααααα=+--=⎧⎧⎪⎪=--+=⎨⎨⎪⎪=-+-=⎩⎩,)0)0即 (*). 齐次线性方程组(*)的一个解为 12341x x x x ====.取*1111(1,1,1,1), ,,,2222ααα=将向量单位化所得向量=()即为所求.2. 将3R 的一组基1231,2,1111ααα ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化为标准正交基.解 (1 )正交化, 取11111βα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ , 12221111311(,)111211221(,)11111131113βαβαβββ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 132********1122113121020(1)()1(,)(,)2333100121(,)(,)3()()()11333123βαβαβαββββββ⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎛⎫⎪-⨯+⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪=--=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭(2 ) 将123,,βββ单位化***123362,,036236βββ⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝则*1β,*2β,*3β为R 3的一组基标准正交基. 3.求齐次线性方程组123451235300x x x x x x x x x +-+-=⎧⎨+-+=⎩ 的解空间的一组标准正交基.分析 因齐次线性方程组的一个基础解系就是其解空间的一组基,所以只需求出一个基础解系再将其标准正交化即可.解 对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为行最简阶梯形矩阵11113111011110100014---⎛⎫⎛⎫−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭可得齐次线性方程组的一个基础解系123100,,010004001ηηη ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由施密特正交化方法, 取11221331211/21/311/21/3111,,011/3223004001βηβηββηββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===+==-+= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,将123,,βββ单位化得单位正交向量组***12311/21/311/21/33,,011/326213004001βββ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍然是齐次线性方程组的解,所以*1β,*2β,*3β是解空间的一组标准正交基.3. 设1α,2α ,… ,n α 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, A 是n 阶正交矩阵,证明: 1αA ,2αA ,… ,n A α 也是n R 中的一组标准正交基.证明 因为n ααα,,,21 是n 维实列向量空间n R 中的一组标准正交基, 所以⎩⎨⎧=≠==j i j i j T i j i 10),(αααα (,1,2,,)i j n =. 又因为A 是n 阶正交矩阵, 所以T A A E =. 则⎩⎨⎧=≠====j i j i A A A A A A j T i j T T i j T i j i10)()()(),(αααααααα (,1,2,,)i j n = 故n A A A ααα,,,21 也是n R 中的一组标准正交基. 5.设123,,ααα是3维欧氏空间V 的一组标准正交基, 证明112321233123111(22),(22),(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的一组标准正交基. 证明 由题知()()1231232211,,,,2123122βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭因为是一组标准正交基,且的行向量组是单位正交向量组.()1232211,,2123122ααα⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭所以和都是正交矩阵.()123,,.βββ从而也是正交矩阵123,,βββ所以是单位正交向量组, 构成V 的一组标准正交基.习题五 (A)一、填空题1.当k 满足 时,()()()31211,2,1,2,3,,3,,3k k R ααα===为的一组基. 解 三个三维向量为3R 的一组基的充要条件是123,,0ααα≠, 即26k k ≠≠且. 2.由向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为 .解 向量()1,2,3α=所生成的子空间的维数为向量组α的秩, 故答案为1.3.()()()()3123,,1,3,5,6,3,2,3,1,0R αααα====中的向量371在基下的坐标为 . 解 根据定义, 求解方程组就可得答案.设所求坐标为123(,,)x x x , 据题意有112233x x x αααα=++. 为了便于计算, 取下列增广矩阵进行运算 ()3213613100154,,133701082025100133αααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行变换,所以123(,,)x x x = (33,-82,154).4. ()()()3123123,,2,1,3,1,0,1,2,5,1R εεεααα=-=-=---中的基到基的过渡矩阵为 . 解 因为123123212(,,)(,,)105311αααεεε---⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 所以过渡矩阵为212105311---⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.5. 正交矩阵A 的行列式为 . 解 21T A A E A =⇒=⇒A =1±.6.已知5元线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为3, 则该方程组的解空间的维数为 . 解 5元线性方程组AX = 0的解集合的极大无关组(基础解系)含5 – 3 =2 个向量, 故解空间的维数为2.()()()()412342,1,1,1,2,1,,,3,2,1,,4,3,2,11,a a a R a αααα====≠7.已知不是的基且a 则满足 .解 四个四维向量不是4R 的一组基的充要条件是1234,,,0αααα=, 则12a =或1. 故答案为12a =. 二、单项选择题1.下列向量集合按向量的加法与数乘不构成实数域上的线性空间的是( ). (A ) (){}R x x x x V n n ∈=,,0,,0,111 (B ) (){}R x x x x x x x V i n n ∈=+++=,0,,,21212 (C ) (){}R x x x x x x x V i n n∈=+++=,1,,,21213(D) (){}411,0,,0,0V x x R =∈解 (C ) 选项的集合对向量的加法不封闭, 故选(C ).2.331,23P A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在中由生成的子空间的维数为( ). (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解 向量组A =123⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭生成的子空间的维数是向量组A 的秩, 故选(A ). 331231223311223311223123123123123,,( )() ,, ()2,23,3() ,,2 () ,2322,355R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααααααα++-+++++++++-++-3.已知是的基,则下列向量组是的基.解 因 ( B )选项1223311231012,23,3=(,,) 220033ααααααααα⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭中(), 又因123101,,220033ααα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭线性无关且可逆, 所以1223312,23,3αααααα+++线性无关.故选(B ).33123122313122331122313122313,, () ,, () 2,2,2() ,, () 2,2,2R R A B C D ααααααααααααααααααααααααααα++++++------4.已知是的基,则下列向量组()不是的基. 解 因122313 ()()()0αααααα-+---=, 所以( C )选项中向量组线性相关, 故选(C ). 5.n 元齐次线性方程组AX = 0的系数矩阵的秩为r , 该方程组的解空间的维数为s, 则( ).(A) s=r (B) s=n-r (C) s>r (D) s<r 选(B )6. 已知A, B 为同阶正交矩阵, 则下列( )是正交矩阵. (A) A+B (B) A-B (C) AB (D) kA (k 为数) 解 A, B 为同阶正交矩阵()T T T T AB AB ABB A AA E ⇒=== 故选(C ).7. 线性空间中,两组基之间的过渡矩阵( ).(A) 一定不可逆 (B) 一定可逆 (C) 不一定可逆 (D) 是正交矩阵 选(B )(B)1.已知4R 的两组基 (Ⅰ): 1234, αααα,,(Ⅱ):11234223433444,βααααβαααβααβα=+++=++=+=,, ( 1 )求由基(Ⅱ)到(Ⅰ)的过渡矩阵; ( 2 )求在两组基下有相同坐标的向量.解 (1)设C 是由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵, 已知1234123410001100(,,,)(,,,)11101111ββββαααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基(Ⅱ)到基(Ⅰ)的过渡矩阵为11000110001100011C -⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭. (2)设在两组基下有相同坐标的向量为α, 又设α在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下的坐标均为),,,(4321x x x x , 由坐标变换公式可得11223344x x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ , 即 1234()x x E C x x ⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0 (*) 齐次线性方程(*)的一个基础解系为(0,0,0,1)η=, 通解为(0,0,0,) ()X k k R *=∈. 故在基(Ⅰ)和基(Ⅱ)下有相同坐标的全体向量为12344000 ()k k k R αααααα=+++=∈.312312313123122323133123123123123123,, ,, ,, (1),, ,, ,, ;(3) 2 ,,R R αααβββββαααββααββααββββββαααααααβββ+=+++=++=+=+-2.已知是 的基,向量组满足证明 是的基;(2)求由基 到基的过渡矩阵求向量 在基 下的坐标.解 ( 1 ) 由题有123123110101(,,)011(,,)110101111βββααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⇒123123001(,,)(,,)100111222βββααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因 0011001112220≠,所以123,, βββ线性无关. 故123,,βββ是3个线性无关向量,构成3 R 的基. (2 ) 因为123123010(,,)(,,)-1-12100αααβββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以从123123,,,,βββααα基到基的过渡矩阵为010-1-12100⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭(3) 123123123101012,,2,,-1-12211001αααααααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=+-== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1232,,-51βββ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()所以1232,,5.1αβββ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为412341234123412341234123412002100,,,,0012002121001100,,,,003500121,,2 2R ααααββββααααββββααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=++-3.设的两组基,与=,,且由基,到基,的过渡矩阵为()求基,;()求向量1234,,ββββ在基,下的坐标.解 (1) 因为12341234,,,,ααααββββ由基,到基,的过渡矩阵为C = 2100110000350012⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭, 所以112341234(,,,)(,,,)12001-10013002100-120010000012002-5000100210-13037C ααααββββ-=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以123413001000,,,00010037αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2 )11234123412341111 2(,,,)(,,,)1122C αααααααααββββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭123401(,,,)127ββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12341234012,,,12-7αααααββββ⎛⎫ ⎪ ⎪∴=++- ⎪ ⎪⎝⎭向量在基下的坐标为.222123324. ()1,()12,()123[]()6914f x x x f x x x f x x x P x f x x x =++=++=++=++证明是线性空间的一组基,并求在这组基下的坐标.证明 设112233()()()0t f x t f x t f x ++=,则有222123(1)(12)(123)0t x x t x x t x x ++++++++= 即123123123011120*11210230123t t t t t t t t t ++=⎧⎪++==-≠⎨⎪++=⎩()因为系数行列式所以方程组(*)只有零解. 故123(),(),()f x f x f x 线性无关, 构成3[]P x 线性空间的一组基. 设112233()()()()f x y f x y f x y f x =++ 则有1231123212336129223143y y y y y y y y y y y y ++=⎧⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++=⇒=⎨ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪++=⎝⎭⎩⎝⎭所以()f x 123(),(),()f x f x f x 在基下的坐标为(1, 2, 3). 5.当a 、b 、c 为何值时,矩阵A = 020010a bc ⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是正交阵.解 要使矩阵A 为正交阵,应有 T AA E = 001002200100100010001a b a c bc ⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪⇒=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222101002201001000102a ac acbc ⎛⎫++ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪++⎪⎭⇒2221120 21a ac b c ⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩①121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩;②121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩;③121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩;④121212a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 6.设 α 是n 维非零列向量, E 为n 阶单位阵, 证明:T T E A αααα)(/2-=为正交矩阵. 证明 因为α 是n 维非零列向量, T αα所以是非零实数.又22TTT T T T T A E E A αααααααα⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,所以22 T T T T T A A AA E E αααααααα⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2224444()()T T T T T TTTTTE E Eαααααααααααααααααααα=-+=-+=故A 为正交矩阵.7.设TE A αα2-=, 其中12,,,Tn a a a α=(), 若 ααT = 1. 证明A 为正交阵.证明 因为A E E E A TTTTTTT=-=-=-=αααααα2)(2)2(,所以A 为对称阵.又(2)(2)T T T A A E E αααα=--244()T T T E E αααααα=-+=, 所以A 为正交阵.8. , , , 0.A B n A B A B =-+=设均为阶正交矩阵且证明证明 因为, ,A B n 均为阶正交矩阵 所以0T A A =≠且T T T T T T TA AB E A B B B A B B A BB A B B A B+=+=+=+⋅=+⋅=⋅+()()0200T A B A B A A B A B ⇒-⋅+=⇒⋅+=⇒+=.。

《中华人民共和国监察法》全文

《中华人民共和国监察法》全文

《中华人民共和国监察法》全文中华人民共和国监察法(2018年3月20日第十三届全国人民代表大会第一次会议通过)目录第一章总则第二章监察机关及其职责第三章监察范围和管辖第四章监察权限第五章监察程序第六章反腐败国际合作第七章对监察机关和监察人员的监督第八章法律责任第九章附则第一章总则第一条为了深化国家监察体制改革,加强对所有行使公权力的公职人员的监督,实现国家监察全面覆盖,深入开展反腐败工作,推进国家治理体系和治理能力现代化,根据宪法,制定本法。

第二条坚持中国共产党对国家监察工作的领导,以马克思列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论、“三个代表”重要思想、科学发展观、习近平新时代中国特色社会主义思想为指导,构建集中统一、权威高效的中国特色国家监察体制。

第三条各级监察委员会是行使国家监察职能的专责机关,依照本法对所有行使公权力的公职人员(以下称公职人员)进行监察,调查职务违法和职务犯罪,开展廉政建设和反腐败工作,维护宪法和法律的尊严。

第四条监察委员会依照法律规定独立行使监察权,不受行政机关、社会团体和个人的干涉。

监察机关办理职务违法和职务犯罪案件,应当与审判机关、检察机关、执法部门互相配合,互相制约。

监察机关在工作中需要协助的,有关机关和单位应当根据监察机关的要求依法予以协助。

第五条国家监察工作严格遵照宪法和法律,以事实为根据,以法律为准绳;在适用法律上一律平等,保障当事人的合法权益;权责对等,严格监督;惩戒与教育相结合,宽严相济。

第六条国家监察工作坚持标本兼治、综合治理,强化监督问责,严厉惩治腐败;深化改革、健全法治,有效制约和监督权力;加强法治教育和道德教育,弘扬中华优秀传统文化,构建不敢腐、不能腐、不想腐的长效机制。

第二章监察机关及其职责第七条中华人民共和国国家监察委员会是最高监察机关。

省、自治区、直辖市、自治州、县、自治县、市、市辖区设立监察委员会。

第八条国家监察委员会由全国人民代表大会产生,负责全国监察工作。

骆驼祥子每章八字概括标题

骆驼祥子每章八字概括标题

骆驼祥子每章八字概括标题第一章祥子攒钱买车成车夫;
第二章第一次拉车被抓当差;
第三章卖骆驼去找刘四爷;
第四章骆驼祥子,初识虎妞;
第五章祥子在曹宅拉包月。

第六章老车夫老马和小马;
第七章第二次打击;
第八章祥子再次走投无路;
第九章虎妞意图嫁给祥子
第十章虎妞和刘四爷吵翻了。

第十一章虎妞“下嫁”祥子;
第十二章祥子还想去拉车;
第十三章虎妞掏钱帮祥子买车;
第十四章虎妞怀孕,祥子病倒;
第十五章第三次打击,虎妞假怀孕。

第十六章小福子和祥子初识;
第十七章祥子变了;
第十八章最后的希望,虎妞怀孕;
第十九章第四次打击,虎妞离世;
第二十章行尸走肉,被迫妥协生活。

第二十一章打架生事,路遇刘四爷;
第二十二章告别过去,小福子失踪;第二十三章精神崩溃,沉迷坏事;第二十四章自私步行终成末路鬼。

中华人民共和国反恐怖主义法PPT课件

中华人民共和国反恐怖主义法PPT课件

第三章
安全防范
第十七条 各级人民政府和有关部门应当组织开展反恐怖主义 宣传教育,提高公民的反恐怖主义意识。 教育、人力资源行政主管部门和学校、有关职业培训机构应当 将恐怖活动预防、应急知识纳入教育、教学、培训的内容。
新闻、广播、电视、文化、宗教、互联网等有关单位,应当有 针对性地面向社会进行反恐怖主义宣传教育。
第十一条 对在中华人民共和国领域外对中华人民共和国国家、 公民或者机构实施的恐怖活动犯罪,或者实施的中华人民共 和国缔结、参加的国际条约所规定的恐怖活动犯罪,中华人 民共和国行使刑事管辖权,依法追究刑事责任。
第二章
恐怖活动组织和人员的认定
第十二条 国家反恐怖主义工作领导机构根据本法第三条的规 定,认定恐怖活动组织和人员,由国家反恐怖主义工作领导 机构的办事机构予以公告。 第十三条 国务院公安部门、国家安全部门、外交部门和省级 反恐怖主义工作领导机构对于需要认定恐怖活动组织和人员 的,应当向国家反恐怖主义工作领导机构提出申请。 第十四条 金融机构和特定非金融机构对国家反恐怖主义工作 领导机构的办事机构公告的恐怖活动组织和人员的资金或者 其他资产,应当立即予以冻结,并按照规定及时向国务院公 安部门、国家安全部门和反洗钱行政主管部门报告。
第四条 国家将反恐怖主义纳入国家安全战略,综合施策,标 本兼治,加强反恐怖主义的能力建设,运用政治、经济、法 律、文化、教育、外交、军事等手段,开展反恐怖主义工作。 国家反对一切形式的以歪曲宗教教义或者其他方法煽动仇恨、 煽动歧视、鼓吹暴力等极端主义,消除恐怖主义的思想基础。 第五条 反恐怖主义工作坚持专门工作与群众路线相结合,防 范为主、惩防结合和先发制敌、保持主动的原则。
中华人民共和国反恐怖主义法
XXXXX XXXXX

排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1

排队论第三部分-第四章 排队模型,第五章 MG1, 第六章 G1 M 1

第四章 排队模型两类排队模型:1. Markov 排队模型2. 非Markov 排队模型Markov 排队模型:4-0 Little 定理1961 年 J.D.Little 证明 1974 年 S.Slidhan 一般性证明定理 : 在极限平稳状态下,排队系统内顾客平均数L 系 和 顾客在系统内平均逗留时间W 系 之间的关系,不管到达流的分布如何,也不管服务规则如何,均有以下关系:为到达流的强度系系λλ14.-=L W证明:设 X(t) ---- t 时刻前到达的瞬时顾客数, Y(t)--- t 时刻前离开的瞬时顾客数.Y(t)在稳定后,流入与流出的顾客数应相等, 则在t 时刻留在系统内的顾客数为:Z(t)=X(t)-Y(t)在足够长的时间T 来考虑有:队队系系系系同理可以证明所以有逗留时间系统内每个顾客的平均时间的总和所有顾客在系统内逗留时间个顾客在系统内的逗留第其中的小面积的总和高度为长度为阴影部分的面积W L W L W Tt t i t t Tt T t T T dtt Z T L iiii i iiii i T.:.:...,:.11]1*[1][1)(10λλλλλ==--=--=⨯====∑∑∑∑⎰4-1 M/M/1/0 (单通道损失制)服务员数:n=1 队长:m=0M -- 到达流为Poisson,流强λM -- 服务时间服从指数分布:)0()(>=⋅-t e t f t μμ 状态为系统内顾客数,I={0,1}"0"表示服务员闲,其概率为:P 0(t);"1"表示服务员忙,其概率为:P 1(t); 状态转换图:Fokker-Plank k 方程:可得:)0(1)0(:341)()(24)()()(14)()()(1010011100==-=+-+-=-+-=∙∙P P t P t P t P t P t P t P t P t P 初始条件λμμλ联立求解4-1与4-3得:λμλλμλμμλλμλλλμλλμμμμλμλμλμλ+=∞+=∞∞→==+-+=-=+++=-++-=-+-=+----+-∙∙)(,)()0(,1)0(0)(1)()(44)()()()(1[)()(1010)(01)(000000P P t P P t e t P t P e t P t P t P t P t P t P tt定义:系统负载能力:μλρ=指标:(1) ρμλμ+=+===110P Q 请求服务的顾客数被服务顾客数 (2) 绝对通过能力:ρλμλλμλ+=+===1Q A 数单位时间被服务的顾客(3) 损失概率(即顾客来时,系统服务员忙,顾客离去)ρρμλλμλμ+=+=+-=-==1111Q P P 损例一:一条电话线,呼叫率为:0.8次/分(λ=0.8),每次平均通话时间为:τ=1.5分。

第四章 燃气燃烧方法

第四章 燃气燃烧方法
燃烧热量40%以热辐射散发, 也叫燃气红外线辐射板。
天然气和空气在多孔陶瓷板上 燃烧时的温度变化曲线
L0为小孔式火道长度
第三节 完全预混式燃烧
2、冷却法防止回火
•冷却火孔以降低火孔出口的火焰传播速度,从而防止回火。
第四节 燃烧过程的强化与完善
一、两个热强度
1. 面积热强度:指燃烧室(或火道)单位面积上在单位时间内
通常碳粒来不及在高温区烧完,随气流流入火焰尾部低温区,燃 烧由扩散区转为动力区(温度低造成),此后,碳粒的燃烧可能完全中 断,未燃尽的碳粒冷却后便形成碳黑,沉积在加热表面或管壁上。
五、火焰辐射
◆ 燃气火焰辐射有两种情况:
①、不发光的透明火焰的辐射,主要为高温气体的辐射,如 CO2、H2O。
②、黄色、光亮而不透明的光焰辐射,其中火焰内的游离碳 粒子产生的固体辐射占很大比例。气体辐射仅在窄波段进 行,辐射能力弱,而发光固体颗粒辐射具有连续发射光谱 能力,辐射能力强。
四、紊流预混火焰的稳定
◆ 采用人工的稳焰方法,出发点仍为改变气流速度以及改 变传播速度。
◆常用方法:在喷口处设置一个点火源。
1. 连续作用的人工点火装置,如炽热物体,辅助火焰。如图 1 2.使炽热的燃烧产物流回火焰根部形成点火源,如采用火焰稳定器:圆棒、
V型棒、锥体、平盘、鼓形盘等。如图2
图1 用辅助火焰作点火源 1—燃烧器火孔;2—小孔;3—环形缝隙
② 火焰焰面为圆锥形,焰面以内为燃 气,焰面以外为空气,焰面处α=1,燃 烧产物浓度最大。 ③ 火焰长度与气流速度成正比,对同 一种燃气和同一燃烧器,气流速度越大, 火焰越长。 ④ 燃气流量一定时,火焰长度与气流 速度无关,仅与气体的扩散系数成反比。 扩散系数越大,火焰越短。(扩散系数即

天然药物化学 第四章 醌类化合物(3) 第五章 黄酮类化合物(1)

天然药物化学 第四章 醌类化合物(3) 第五章 黄酮类化合物(1)
(三)醌类化合物的1HNMR
2、芳环质子 、
8.06
H O O
8.07
H H
7.73 H
6.67
O
O
1,4-萘醌 萘醌
9,10-蒽醌 蒽醌
四、醌类化合物的结构鉴定
(三)醌类化合物的1HNMR 3、取代基质子 、 (1)甲氧基:一般在 呈现单峰。 )甲氧基:一般在δ3.8-4.2,呈现单峰。 呈现单峰 甲基在δ2.7-2.8, (2)芳香甲基:一般在 )芳香甲基:一般在δ2.1-2.5,α-甲基在 , 甲基在 , 为单峰或宽单峰(甲基邻位有芳香质子)。 为单峰或宽单峰(甲基邻位有芳香质子)。 ( 3) 羟甲基 ( -CH2OH) : CH2 的化学位移一般在 ) 羟甲基( ) δ4.4-4.7,呈单峰;羟基吸收一般在δ4.0-6.0。 ,呈单峰;羟基吸收一般在 。
8 7 6 5
1 O
2 3
γ-pyrone)
O 4
一、概述
位上接一苯环, 而2位上接一苯环,则成为黄酮 位上接一苯环 则成为黄酮(flavone) 苯基色原酮(2-benzochromone) 或2-苯基色原酮 苯基色原酮
8 7 6 5
1 O
2 3
O 4
一、概述
狭义
广义
2、定义 、
以前,黄酮类化合物 以前,黄酮类化合物(flavonoids)主要是指基本母 主要是指基本母 苯基色原酮(2-phenyl-chromone)类化合物, 类化合物, 核2-苯基色原酮 苯基色原酮 类化合物 现在则是泛指两个苯环(A (A现在则是泛指两个苯环(A-与B-环)通过中央三碳 2' 链相互联结而成的一系列化合物。 链相互联结而成的一系列化合物。 1 8
OMe

刑事和解的法条规定有哪些

刑事和解的法条规定有哪些

刑事和解的法条规定有哪些(一)因民间纠纷引起,涉嫌刑法分则第四章、第五章规定的犯罪案件,可能判处三年有期徒刑以下刑罚的;(二)除渎职犯罪以外的可能判处七年有期徒刑以下刑罚的过失犯罪案件。

犯罪嫌疑人、被告人在五年以内曾经故意犯罪的,不适用本章规定的程序。

刑事和解是在刑事诉讼过程当中的制度,因此关于刑事和解的法条规定大部分也是被规定在《刑事诉讼法》及相关司法解释当中的。

了解了刑事和解法条规定的内容,我们才能知道法律对这个制度是如何规定的,才能在实践中进行运用。

下面,小编提供刑事和解法条的内容,帮助你了解相关知识。

▲《刑事诉讼法》第二百七十七条下列公诉案件,犯罪嫌疑人、被告人真诚悔罪,通过向被害人赔偿损失、赔礼道歉等方式获得被害人谅解,被害人自愿和解的,双方当事人可以和解:(一)因民间纠纷引起,涉嫌刑法分则第四章、第五章规定的犯罪案件,可能判处三年有期徒刑以下刑罚的;(二)除渎职犯罪以外的可能判处七年有期徒刑以下刑罚的过失犯罪案件。

犯罪嫌疑人、被告人在五年以内曾经故意犯罪的,不适用本章规定的程序。

第二百七十八条双方当事人和解的,公安机关、人民检察院、人民法院应当听取当事人和其他有关人员的意见,对和解的自愿性、合法性进行审查,并主持制作和解协议书。

第二百七十九条对于达成和解协议的案件,公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。

人民检察院可以向人民法院提出从宽处罚的建议;对于犯罪情节轻微,不需要判处刑罚的,可以作出不起诉的决定。

人民法院可以依法对被告人从宽处罚。

▲《刑事诉讼规则》第一百四十四条犯罪嫌疑人涉嫌的罪行较轻,且没有其他重大犯罪嫌疑,具有以下情形之一的,可以作出不批准逮捕的决定或者不予逮捕:(一)属于预备犯、中止犯,或者防卫过当、避险过当的;(二)主观恶性较小的初犯,共同犯罪中的从犯、胁从犯,犯罪后自首、有立功表现或者积极退赃、赔偿损失、确有悔罪表现的;(三)过失犯罪的犯罪嫌疑人,犯罪后有悔罪表现,有效控制损失或者积极赔偿损失的;(四)犯罪嫌疑人与被害人双方根据刑事诉讼法的有关规定达成和解协议,经审查,认为和解系自愿、合法且已经履行或者提供担保的;(五)犯罪嫌疑人系已满十四周岁未满十八周岁的未成年人或者在校学生,本人有悔罪表现,其家庭、学校或者所在社区、居民委员会、村民委员会具备监护、帮教条件的;(六)年满七十五周岁以上的老年人。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
效用完全是消费者的一种主观心理感受 。 满足程度高,效用大; 满足程度低,效用小。 消费者行为理论实 际上是一种心理分 析。
对效用的理解——《最好吃的东西》
免子和猫争论,世界上什么东西最好吃。免子说,“世界上萝
卜最好吃。萝卜又甜又脆又解渴,我一想起萝卜就要流口水。”
猫不同意,说,“世界上最好吃的东西是老鼠。老鼠的肉非常
分为可变和固定技术系数。 可变技术系数:生产一定量产品
所需的各种要素的配合比例可变, 表明要素之间可以相互替代。
固定技术系数:生产一定量产品
生产同样产量,可 采用劳动密集型( 多用劳动少用资本 ),也可采用资本 密集型(多用资本 少用劳动)。
一人一台缝纫机 一个萝卜一个坑
只存在唯一一种要素配合比例,即 要素之间不可替代,要素投入必须 按同一比例增减。
4、总效用TU与边际效用MU的关系
当MU > 0, TU↑ ;
当MU < 0, TU↓ ; 当MU = 0, TU最高点,总 效应达到最大 。 处于↑ 、↓的拐点 总效用以固定增加时,边 际效用不变 Q MU MU P’
TU
P TU
Q
5、边际效用递减规律
(Law of Diminishing Marginal Utility)
简单的——两种商品均衡条件
M: 消费者的收入 Px: X商品的价格 Py: Y商品的价格 Qx: X商品的数量 Qy:Y商品的数量
MUx:X商品的边际效用 MUy :Y商品的边际效用 MUm :每一元钱的边际效用
“消费者均衡”实例与数学推导见课本P93——P97
“边际效用递减”应用一:需求曲线向右下方倾 斜
嫩,嚼起来又酥又松,味道美极了!”
免子和猫争论不休、相持不下,跑去请猴子评理。 猴子听了,不由得大笑起来:“瞧你们这两个傻瓜蛋,连这点
儿常识都不懂!世界上最好吃的东西是什么?是桃子!桃子不 但美味可口,而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。”
免子和猫听了,全都直摇头。那么,世界上到底什么东西最好
几天过去了,四处仍旧是白茫茫一片。长工饿了就吃几口饼,地主 饿了却只有看着金子发呆。地主舍不得用金子去换饼,长工也不愿 白白地把饼送给地主。 又几天过去了,大水悄悄退走了。长工高兴地爬到树下,地主却静 静地躺着,永远留在大树上了。
说明效用因时因地而异。
2、两种效用理论
基数效用(cardinal utility): 效用的大小可以用基数(1,2,3,……)来表示,可 以计量并加总求和。 基数效用论采用的是边际效用分析法。
的应用或转化形态。
Q f L, K


边际收益递减规律原因
生产中,可变要素与不变要素之间
在数量上都存在一个最佳配合比例。
即最佳技术系 数
开始时,由于可变要素投入量小于最佳配合比例所需数
量,随着可变要素投入量的逐渐增加,越来越接近最佳 配合比例。 边际产量是呈递增的趋势。
当达到最佳配合比例后,再增加可变要素的投入,可变
需要有相关政策来纠正市场机制的不足。
消费行为本身既是个人决策又是社会决策问题
2、保护与干预消费者的政策
确保商品的质量 正确的消费宣传 限制或者禁止不正确的消费 对提供某些劳务的人的素质进行必要限制 限制价格政策
保护
建立消费者协会等组织,保护消费者利益
消费外在化,是指消费对社会所产生的种种影 干预
Y I1 I2 I3 I4
X
离原点越近的无 差异曲线代表的 满足程度越低, 效用越低; 否则越高,因为 高位的无差异曲 线的商品组合量 大。
3、消费可能线(预算线 budget line)
消费可能线:在消费者收 入与商品价格既定的条件 下,消费者所能购买到的 X、Y两种商品数量最大组 合的线。
2、无差异曲线的特征
(1)无差异曲线是一条向右 下方倾斜的线。
表明为实现同样的满足程 度,增加一种商品的消费 ,必须减少另一种商品的 消费。
(2)无差异曲线凸向原点 (3)在同一个平面上可以有 无数条无差异曲线。
同一条曲线代表相同的效 用,不同的曲线代表不同 的效用。
(4)无差异曲线不能相交
同一平面图上可以有无数条平行的无差异曲线
二、一种生产要素的连续合理投入
1、边际收益、边际报酬递减规律: 技术和其他要素投入不变,连续增加一种要素投入, 当投入量小于某一特定数值时,边际产量递增; 当投入量连续增加并超过某一特定值时,边际产量递 减。
边际报酬递减规律是短期生产的一条基本规律, 是消费者选择理论中边际效用递减法则在生产理论中
(第五章) (第六章) (第七章)
一、生产要素L、K、N、E的投入与产量Q的关系 二、一种生产要素L的连续合理投入 三、两种生产要素L、K的连续同比例增加投入 四、两种生产要素L、K的最适组合
一、生产函数
1、生产四要素: 劳动 L、 资本 K、 土地 N 、 企业家才能 E 2、生产函数 产量Q与生产要素L、K、N、E等投入存在着一定依存关系。 Q = f(L、K、N、E)--- 生产函数 其中N是固定的,E难以估算,所 以简化为:Q = f(L、K)
上 升 , 消 费 可 能 性 线 向
Y
左下方平行移动。
下降, 消费可能性线向
右上方平行移动。
ห้องสมุดไป่ตู้
X
思考:如果X商品价格上涨,Y商品价格和收入均不变, 消费可能线如何变动?
4、序数效用论消费者均衡的条件
(1)把钱花光,买到商品的最大数量。 (2)追求最大的满足。
把无差异曲线与消费可能
线合在一个图上;
O
M
三、公共物品和消费政策
1、消费理论的缺陷。 是以单个消费者为中心的。只要消费者具有完全的消费 自由,通过市场交易行为就可以实现效用最大化。 但消费者没有完全的消费自由 (1)国防、立法、交通之类的公共物品; (2)消费者不是完全理性的; (3)消费者的消费行为要受到许多社会因素的影响, 如生产者的广告。
6、基数效用论消费者均衡的条件:
消费者均衡的假设前提 消费者的偏好(嗜好)既定 消费者的收入既定 商品的价格既定
消费者均衡的条件: (1)把全部收入用完。 (2)每一元钱都花在刀口上,每一 元钱用在不同商品上的边际效用 相等。
效用最大化原则 指在收入既定 的情况下, 消费者实现效 用最大化的均衡 购买行为。
Y
在收入既定的情况下,消
费可能线必定与无数条无差 异曲线中的一条相切; 在这个切点上,就实现了 消费者均衡——效用最大化
E X
无差异曲线与消费可能线相切时, 商品的组合(M,N), 是消费者在既定支出水平上(AB) 所能实现的最大化效用(I2) 如果I与AB两条曲线相 交(C,D), 则是以较多的钱实现较 低的满足程度, I1<I2,浪费了。 I3>I2,但无法实现。 Y B C N E D I1 A I3 I2 X
例证:【土地报酬递减规律】 在1958年大跃进中,不少地方盲目推行水稻密 植,结果引起减产。
边际报酬递减规律的3阶段
总产量要经历一个逐渐上升加快 增长趋缓 最 大不变绝对下降的过程。
第 四 章 消费者行为理论
两种方法分析: 一、基数效用论——边际效用分析法 二、序数效用论——无差异曲线分析法
一、基数效用论——边际效用分析法
效用 萨缪尔森提出:幸福= ——— 欲望 欲望是指一种缺乏的感觉与求得满足的愿望。是心理感受。
1、效用U(Utility):消费者从商品消费中得到 的满足程度。
序数效用(ordinal utility):
效用作为一种心理现象无法计量,也不能加总求和,只 能表示出满足程度的高低与顺序,效用只能用序数(第 一,第二,第三,……)来表示。 序数效用论采用的是无差异曲线分析法。
3、总效用TU与边际效用MU
总效用TU (Total Utility):指人们从商品的消费中得
价格P 与 需求量呈反方向变动; 边际效用递减,量增,愿意出价 递减。 价格不反 D(MU) 映一件商 品的总效 用,而是 反映它的 边际效用 。 Q
200多年前,亚当• 斯密在《国富论》 中提出Paradox of value 价值悖论 :
P
许多生活必需品(水
)的“市场”价值很低; 许多奢侈品(钻石) “使用”价值很小,但 市场价格很高,经常可 以交换到大量的其他物 品。
消费可能线上的每一点, X、Y两种商品组合不同, 但支出相等。 A点,全部买X,无法买Y; B点,全部买Y,无法买X。 B Y商品(衣服)
0
A X商品(食品)
消费可能线的平行移动
价格不变 收入减少,消费可能性线向左下方平行移动。 收入增加,消费可能性线向右上方平行移动。 收入不变,两种商品的价 格按相同的比例:
“边际效用递减”应用二:消费者剩余
消费者剩余:消费者愿意对某物品所支付的价格与他 实际支付的价格的差额。 p
5
D
4 3 2 1 o
1
2
3
4
5
Q
二、序数效用论——无差异曲线分析法
1、无差异曲线(indifference curves) :用来表示X,Y
两种商品不同组合,却给消费者带来效用完全相同的一条曲线。
生产要素的边际产量就是呈递减趋势。
边际报酬递减规律存在的条件:
第一,以技术水平不变为前提;
第二,以其它生产要素投入不变为前提; 第三,并非一增加投入这种生产要素就会出现边际报 酬递减规律,只是投入超过一定量时才会出现; 第四,所增加的生产要素在每个单位上的性质都是相 同的,先投入和后投入的在技术上没有区别,只是投 入总量的变化引起了收益的变化。
柯布-道格拉斯生产函数(C-
A为规模参数,A>0, a表示劳动贡献在总产中所占
相关文档
最新文档