欧拉路径和欧拉回路
欧拉路径——精选推荐
欧拉路径貌似很多博客都喜欢⽤⼀笔画来引⼊欧拉路径，但像您这样的强者时⽆需那些繁琐的东西，我们直接进⼊正题。
定义：图中经过所有边恰好⼀次的路径叫做欧拉路径。
如果起点和终点⼀样，那它就是欧拉回路。
判定：判定当前图中是否存在欧拉路径其实⽐寻找更⿇烦显然，欧拉回路也是欧拉路径，但为了⽅便区分，下⽂判定中的欧拉路径特指起点和终点不同。
判定⽅法：⾸先，当且仅当这张图将有向边视为⽆向边时联通。
1. 有向图欧拉路径：图中恰好存在⼀个点（起点）出度⽐⼊度多1，恰好⼀个点（终点）⼊度⽐出度多1，剩下所有点⼊度等于出度。
2. 有向图欧拉回路：图中所有点⼊度等于出度（任⼀点都可以做起点和终点）。
3. ⽆向图欧拉路径：图中恰好有两个点的度数为奇数（起点和终点），其他所有点的度数为偶数。
4. ⽆向图欧拉回路：图中所有点的度数都为偶数（任⼀点都可以做起点和终点）。
寻找：算法⼀：Fluery 算法。
时间复杂度O(m2)，不常⽤。
算法⼆：Hierholzer 算法。
时间复杂度O(m)，常⽤。
只写 Hierholzer 算法，做法⾮常简单。
1. 从起点开始dfs，标记选了的边不能重复选，这⾥⽤类似Dinic的当前弧优化。
2. 当前点不存在出边时回退，并将当前点⼊栈P。
3. 当dfs结束时倒序输出栈P中的节点即可。
算法导论上似乎有该算法证明。
例题：题⽬保证联通，所以直接判断⼊度和出度即可。
要求字典序最⼩，那么每次都要选能到达的最⼩的点。
可以将边离线下来按v从⼤到⼩排序，然后依次插⼊到链式前向星⾥，这样可以保证每次选到的都是最⼩的。
当前弧优化不加复杂度就假了。
code:#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define int long long#define in read()inline int read(){int p=0,f=1;char c=getchar();while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}while(c>='0'&&c<='9'){p=p*10+c-'0';c=getchar();}return p*f;}const int N=1e5+5;const int M=2e5+5;int n,m;struct edge{int v,nxt;}e[M];inline void insert(int u,int v){e[++en].v=v;e[en].nxt=head[u];head[u]=en;}struct QWQ{int u,v;}E[M];inline bool cmp(QWQ a,QWQ b){return a.v>b.v;}int p[M],pn;void dfs(int u){for(int i=head[u];i;i=head[u]){int v=e[i].v;head[u]=e[i].nxt;dfs(v);}p[++pn]=u;}int flagin,flagout,flag;int ind[N],outd[N];int S=1;signed main(){n=in,m=in;for(int i=1;i<=m;i++)E[i].u=in,E[i].v=in,outd[E[i].u]++,ind[E[i].v]++;sort(E+1,E+1+m,cmp);for(int i=1;i<=m;i++)insert(E[i].u,E[i].v);for(int i=1;i<=n;i++){if(ind[i]!=outd[i])flag++;if(ind[i]==outd[i]+1)flagout++;if(ind[i]+1==outd[i])flagin++,S=i;}if(flag==0||(flag==2&&flagout==1&&flagin==1)){dfs(S);for(int i=pn;i>=1;i--)cout<<p[i]<<' ';}else cout<<"No";return 0;}练习：将每个字母视为点，单词视为边，就和上⾯差不多了，注意欧拉路径的起始点。
一笔画问题的判定法则
一笔画问题的判定法则
一笔画问题是一种经典的智力游戏，玩家需要用一笔连通所有的点，但不能重复经过同一个点。
在解决问题时，有一些判定法则可以帮助玩家更快地找到解答。
1. 判断顶点度数：顶点度数指的是一个点与多少条线段相连。
如果一个点的度数为奇数，则这个点必须作为起点或终点；如果一个点的度数为偶数，则这个点可以通行过去。
2. 判断连通性：判断图形是否连通是解决一笔画问题的关键。
如果图形不连通，则需要用多笔画才能将所有点连通。
而在连通的情况下，有些顶点是必须通过的，有些顶点则可以绕路绕开。
3. 判断欧拉路径和欧拉回路：欧拉路径指的是经过每条边一次的路径，而欧拉回路指的是在欧拉路径的基础上回到起点。
对于连通的无向图，如果存在欧拉路径，则所有点的度数均为偶数。
对于连通的有向图，如果存在欧拉路径，则所有点的入度等于出度。
4. 判断哈密顿回路：哈密顿回路指的是经过每个点一次的回路。
对于无向图，判断哈密顿回路可以使用Dirac定理：如果图中每个点的度数都大于等于n/2(n为顶点数)，则图中存在哈密顿回路。
对于有向图，需要用到Ore定理：如果对于所有不相邻的点u和v，都有deg(u)+deg(v)>=n，则有向图存在哈密顿回路。
以上是几种判断一笔画问题的方法，不同的方法适用于不同的情况。
在实际解决问题时，可以根据具体情况选择合适的方法。
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离散数学欧拉图
欧拉图的判断方法
在计算机科学中，欧拉图还可用于描述有向图（Directed Graph） 的路径问题，例如，欧拉路径（Euler Path）和欧拉回路 （Eulerian Circuit） 欧拉路径是指一条路径包含图中所有的边恰好一次。而欧拉回路 是指一条闭合路径包含图中所有的边恰好一次。一个图存在欧拉 回路当且仅当该图的每条边的权值都是偶数 在复杂网络理论中，欧拉图可以用于描述网络的结构和行为，例 如社交网络、互联网、脑科学等领域的网络。在这些网络中，节 点代表个体或事件，边代表它们之间的联系或互动。通过对这些 网络进行分析，可以发现它们的结构和行为规律，从而更好地理 解和预测网络的行为 此外，欧拉图还可以用于构建和分析化学分子的结构。在化学中， 欧拉图是一种用于表示分子结构的图形，其中顶点代表原子，边 代表化学键。通过分析欧拉图，可以了解分子的结构、性质和反 应行为等信息
在这个图中，每个顶点都有偶数条边连接，并且存在一条路径（A---B---C---D---E---F--A）包含所有顶点，且每个边都只经过一次
欧拉图的性质
欧拉图的性质
欧拉图具有以下性质 欧拉图的边数一定是偶数 欧拉图一定是连通的（即所有顶点之间都有路径相连） 欧拉图中的任何两个顶点之间都有偶数条边相连 如果一个图是欧拉图：那么它的每个子图都是欧拉图
欧拉图的判断方法
对于一个连通图：如果它的所有边都可以被一个2-因子覆盖（即每个顶点都在两个2因子中出现），那么这个图是欧拉图。否则，这个图不是欧拉图 对于一个连通图：如果它可以被分解成两个子图，每个子图都包含所有的顶点并且所 有边的数量相同，那么这个图是欧拉图。否则，这个图不是欧拉图
对于一个连通图：如果它可以被分解成两个子图，每个子图的边数相同并且所有顶点 的度数相同（即每个顶点的度数都是偶数），那么这个图是欧拉图。否则，这个图不 是欧拉图。除了以上方法，还有一些复杂的方法可以判断一个图是否为欧拉图，例如 通过检查图的子图或者通过编程实现图的遍历算法。这些方法需要更深入的图论知识 和计算机科学知识，但它们可以提供更准确和高效的结果
欧拉图简述---（一笔画问题）
欧拉图简述---（⼀笔画问题）欧拉图欧拉图是在⼤家⼩学时学奥数都学习过的⼀个类型的题，⽆论你学得好不好，你都听过它的另外⼀个名字：⼀笔画问题；⼀，⾸先来定义⼀下：1.欧拉回路：图G的⼀个回路，如果恰通过图G的每⼀条边，则该回路称为欧拉回路，具有欧拉回路的图称为欧拉图。
欧拉图就是从图上的⼀点出发，经过所有边且只能经过⼀次，最终回到起点的路径。
2.欧拉通路：即可以不回到起点，但是必须经过每⼀条边，且只能⼀次。
也叫"⼀笔画"问题。
3.基图：基图是针对有向图的说法，是忽略有向图的⽅向得到的⽆向图。
4.欧拉图:存在欧拉回路的图。
欧拉回路⼀定要⾸尾相连，，通路不⼀定。
⼆.性质与定理先说说有向图和⽆向图，显⽽易见，有向图就是有向的图，⽽⽆向图反之亦然。
性质与定理定理1⽆向图G为欧拉图，当且仅当G为连通图且所有顶点的度为偶数。
证明：必要性设图G的⼀条欧拉回路为C。
由于C经过图G的每⼀条边，⽽图G没有孤⽴点，所以C也经过图G的每⼀个顶点，G为连通图成⽴。
⽽对于图G 的任意⼀个顶点 v，经过C时都是从⼀条边进⼊，从另⼀条边离开，因此v经过C的关联边的次数为偶数。
⼜由于C不重复地经过了图G的每⼀条边，因此的度为偶数。
充分性假设图G中不存在回路，⽽G是连通图，故⼀定是G树，那么有|E|=|V|−1 |E|=|V|−1|E|=|V|-1由于图G所有顶点的度为偶数⽽且不含孤⽴点，那么图G的每⼀个顶点的度⾄少为2。
推论1⽆向图G为半欧拉图，当且仅当G为连通图且除了两个顶点的度为奇数之外，其它所有顶点的度为偶数。
证明：将两个度为奇数的顶点连接，由定理⼀得该图为欧拉图，故去掉环上⼀边为半欧拉图。
定理2有向图G为欧拉图，当且仅当G的基图连通，且所有顶点的⼊度等于出度。
推论2有向图G为半欧拉图，当且仅当G的基图连通，且存在顶点u的⼊度⽐出度⼤1 、v的⼊度⽐出度⼩ 1，其它所有顶点的⼊度等于出度。
证明同定理1相似。
欧拉回路
一、欧拉回路所谓欧拉回路与哥尼斯堡7桥问题相联系的．在哥尼斯堡7桥问题中，欧拉证明了不存在这样的回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点．与此相反，设G （V ，E ）为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图G 为欧拉图．在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数．对欧拉图，我们有下列结果： 定理1 对连通图G （V ，E ），下列条件是相互等价的： （1）G 是一个欧拉图；（2）G 的每一个节点的度数都是偶数；（3）G 的边集合E 可以分解为若干个回路的并．证明 ：()()12⇒ 已知G 为欧拉图，则必存在一个欧拉回路．回路中的节点都是偶度数．()()23⇒ 设G 中每一个节点的度数均为偶数．若能找到一个回路C 1使G=C 1，则结论成立．否则，令G 1=G\C 1，由C 1上每个节点的度数均为偶数，则G 1中的每个节点的度数亦均为偶数．于是在G 1必存在另一个回路C 2．令G 2=G 1\C 2，···．由于G 为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路C r 使 G r =G r-1\C r 上各节点的度数均为零，即C r =G r-1．这样就得到Ｇ的一个分解 G C C C r =⋅⋅⋅12 ．()()31⇒ 设G C C C r =⋅⋅⋅12 ，其中i C （I=1,2,…,r ）均为回路．由于G 为连通图，对任意回路i C ,必存在另一个回路j C 与之相连，即i C 与j C 存在共同的节点．现在我们从图G 的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向另一个回路，···，这样一直走下去就可走遍G 的每条边且只走过一次,最后回到原出发节点，即G 为一个欧拉图．利用定理1去判断一个连通图是否为欧拉图比较容易，但要找出欧拉回路，当连通图比较复杂时就不太容易了．下面介绍一种求欧拉回路的算法．二、弗罗莱算法算法步骤如下：（1）任取起始点v v R 00,;→（2）设路)},({,),,({),,({1211201rr i i r i i i v v e v v e v v e R -⋅⋅⋅=已选出，则从E\},,,{21r e e e ⋅⋅⋅中选出边1+r e ，使1+r e 与ri v 相连，除非没有其它选择，G e r r \{}+1仍应为连通的．（3）重复步骤（2），直至不能进行下去为止．定理2 连通的有向图存在欧拉回路的充分必要条件是对任意节点，进入该节点边数（进数）与离开该点的边数（出数）相等．三、中国邮递员问题一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题．用图论的述语，在一个连通的赋权图G （V ，E ）中，要寻找一条回路，使该回路包含G 中的每条边至少一次，且该回路的权数最小．也就是说要从包含G 的每条边的回路中找一条权数最小的回路．如果G 是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是若G 不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解决要困难得多．本节的主要目标是给出在有奇度数节点的连通图中寻找最小权数的回路的方法．首先注意到，若图G 有奇数度节点，则G 的奇数度节点必是偶数个．把奇数度节点分为若干对，每对节点之间在G 中有相应的最短路，将这些最短路画在一起构成一个附加的边子集E '．令G / =G+E /，即把附加边子集E / 叠加在原图G 上形成一个多重图G /，这时G /中连接两个节点之间的边不止一条．显然G /是一个欧拉图，因而可以求出G /的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图G 中每条边，同时还通过E / 中的每条边，且均仅一次．邮递员问题的难点在于当G 的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小？为此有下列定理．定理 3 设G （V ，E ）为一个连通的赋权图，则使附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小的充分必要条件是G+E / 中任意边至多重复一次，且G+E / 中的任意回路中重复边的权数之和不大于该回路总权数的一半．证明： 必要性．用反证法．设存在一种奇节点集的配对，使其附加边子集E / 权数 ω(E / )为最小．若 G+E / 中有一条边重复n n ()≥2次，由于G+E /为欧拉图，所以删去相应的二次重复边后仍为欧拉图．这样，相应的附加边子集的权数将减小，这与 ω(E /)为最小的假设矛盾．这说明E /中的边均互不相同．其次，若G+E / 中存在一个回路，使它的重复边的权数之和大于该回路总权数的一半，则在E / 中删去这些重复边（注意：这些边均在E /中），而代之以该回路的其余部分的边再重复一次．经过这种替代后所得到的边子集E //仍为附加子集，且ω(E //)<ω(E /)，又产生矛盾． 充分性．设有两个附加边子集E /和E //，均使G+E /和G+E //中每条边至多重复一次，且每个回路中的重复边的权数和不大该回路权数的一半，我们来证明ω(E /)=ω(E //)．首先注意到，由E /和E //不相同的部分组成的图（记为]\[//////）（E E EE G ）是由一个或若干个欧拉子图所组成的．这是因为E /＋E //中每个节点的度数均为偶数，而E /和E //的公共边数也是偶数，故]\[//////）（E E EE G 中每个节点的度数仍为偶数，所以它若为连通图时是一个欧拉图；若为非连通图时则由若干个欧拉子图组成．]\[//////）（E E EE G 的任何回路都由E /和E //中的边组成，而E /和E //在回路中的权数分别不大于该回路权数的一半，因而任何回路中属于E /中的权数之和与属于E //中的边数之和必定相等，所以ω(E /)=ω(E //)．它就是最优附加边子集的权数，即E /和E //均为使附加边子集的权数达到最小的最优附加边子集．由定理3可得一个寻找邮递员问题最优解的方法．现举例如下：例1 已知邮递员要投递的街道如图11-20所示，试求最优邮路．解 先找出奇节点：A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3，B 4．奇节点进行配对，不妨把A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3，A 4与B 4配对，求其最短路．显然它不是最优解．下面我们根据定理3来进行调解．第一次调整：删去多于一条的重复边，即A 3与B 3，A 4与B 4中的（A 4，B 3）．调整后，实际上成为A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与A 4，B 3与B 4的配对，它们的最短路如图11-21所示． 第二次调整：发现在回路{A 1，A 2，B 2，A 4，B 3，B 4，B 1，A 1}中重复边的权数和为11，大于该回路权数20的一半．因而调整时，把该回路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图11-22．可以看出，实际上是调整为A 1与A 2，B 1与B 4，A 3与A 4，B 2与B 3配对．第三次调整：在图11-22中发现回路{ A 3，A 4，B 2，A 3}中重复边的权数和为7，大于该回路权数10的一半，因而删去原重复边（A 3，V 2，A 4）和（A 4，B 2），而添加（B 2，A 3），得到图11-23．进行检查发现，既没有多于一条的重复边，也没有任何回路使其重复边的权数之和大于该回路的一半，因此图11-23就是最优的附加边子集E /，而G+E /为欧拉图，可由弗罗莱算法找出最优邮路．在现实生活中，很多问题都可以转化为中国邮递员问题，例如道路清扫时如何使开空车的总时间最少的问题等等．上面例1题所用的求最优邮路的方法叫“奇偶点图上作业法”．因为此方法要验证每个回路，很不方便，Edmods 和Johnson 在1973年提出一种比较有效的方法，有兴趣的读者可参考有关资料．习 题 11-31．证明，若图G 为欧拉图，则G 的边数不少于节点数．2．一名邮递员的投邮区，如下图11-24所示，每条边（街道）都有邮件需投递，各边旁所注的数字为该街道的长度，试求该邮区的最短投递路径及其长度． 3．求下列图11-25（a ）(b)所示的投邮区的最佳邮路及其长度．【算法】欧拉图，欧拉回路，Eular Circuit ，随机生成欧拉图，搜索欧拉回路背景：图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Eular ）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。
图论期末考试题库及答案
图论期末考试题库及答案一、单项选择题1. 图论的创始人是（）。
A. 欧拉B. 莱布尼茨C. 牛顿D. 高斯答案：A2. 在图论中，一个图的顶点集合为空，但边集合不为空的图称为（）。
A. 空图B. 完全图C. 树D. 多重图答案：A3. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。
A. 连通图B. 强连通图C. 弱连通图D. 无环图答案：A4. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。
A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树答案：C5. 图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的回路，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条回路，这样的图称为（）。
A. 欧拉图B. 哈密顿图C. 树D. 环答案：A二、多项选择题1. 下列哪些是图论中的基本术语（）。
A. 顶点B. 边D. 权重答案：ABCD2. 在图论中，以下哪些图是无向图（）。
A. 完全图B. 树C. 多重图D. 有向图答案：ABC3. 图论中，以下哪些图是连通图（）。
A. 完全图B. 树C. 多重图D. 空图答案：ABC三、填空题1. 图论中，一个图的顶点集合为V，边集合为E，那么图可以表示为G=（）。
答案：(V, E)2. 如果一个图的任意两个顶点之间都存在一条路径，则称该图为（）。
答案：连通图3. 在图论中，一个图的边的集合可以划分为若干个不相交的路径，使得图中的每个顶点恰好属于其中一条路径，这样的图称为（）。
答案：树四、简答题1. 请解释什么是图论中的“完全图”？答案：完全图是指图中每一对不同的顶点之间都恰好有一条边相连的图。
在完全图Kn中，n个顶点两两相连，共有n(n-1)/2条边。
2. 请解释什么是图论中的“欧拉路径”和“欧拉回路”？答案：欧拉路径是指图中存在一条路径，该路径恰好经过每条边一次。
欧拉回路是指图中存在一条回路，该回路恰好经过每条边一次。
五、计算题1. 给定一个图G=(V, E)，其中V={A, B, C, D, E}，E={(A, B), (B, C), (C, D), (D, E), (E, A), (A, C)}，请判断该图是否为连通图，并说明理由。
欧拉回路存在的条件
欧拉回路存在的条件
能够有欧拉路径的条件：
1、在无向图中，所有边都是连通的
（1）存在欧拉路径的充分必要条件：度数为奇数的点只能有0或2个
（2）存在欧拉回路的充分必要条件：所有点的度数都是偶数
2、对于有向图，所有边都是连通的
（1）存在欧拉路径的充分必要条件：要么所有点的出度均等于入度；要么除了两个点之外，其余所有点的出度等于入度，剩余两个点；一个满足出度比入度多1（起点），另外一个满足入度比出度多1（终点）
（2）存在欧拉回路的充分必要条件：所有点的出度均等于入度。
ACM 欧拉路径
{
if(match[x] == 0)
{
Record[RecordPos] = x;
RecordPos++;
}
else
{
for(int k =0;k<=500;k++)
{
if(Array[x][k] !=0 )
{
Array[x][k]--;
Array[k][x]--;
match[x]--;
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Stack: 1 4 Location: 2 Circuit:
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Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit:
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Stack: 1 4 2 5 Location: 1 Circuit:
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 6 Location: 7 Circuit: 1 5
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 Location: 6 Circuit: 1 5 7
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 Location: 4 Circuit: 1 5 7 6
外，其于点的度数都为偶数，那么则存在欧拉 路径．
怎么样求欧拉回路
就是循环地找到出发点． 一个解决此类问题基本的想法是从某个节点开
始,然后查出一个从这个点出发回到这个点的 环路径。这种方法保证每个边都被遍历.如果 有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点， 这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这 样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被 连接到一起了。
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 6 Location: 7 Circuit: 1
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 67 Location: 5 Circuit: 1
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Stack: Location: 1 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 524
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Stack: Location: Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 5241
Stack: 1 4 2 5 6 2 7 Location: 3 Circuit: 1
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 Location: 4 Circuit: 1
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 Location: 6 Circuit: 1
具体步骤
如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径 中． 如果该点有相连的点，那么就列一张表，遍历 这些点，直到没有相连的点． 处理当前的点，删出走过的这条边，并在其相 临的点上进行同样的操作．并把删除的点加入 到路径中去． 其实这就是一个递归过程．
但选择起点时要注意．如果所有点的度数为偶 数，那么可以依题意随意选择，都可得到一条 欧拉回路． 如果有的点度数为奇数，那么先判定是否存在 欧拉路径，如果存在，那么起点必须从度数为 奇数的点开始．
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Stack: 1 4 Location: 2 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 5
来自ＵＳＡＣＯ上的例子 来自ＵＳＡＣＯ上的例子 ＵＳＡＣＯ
Stack: 1 Location: 4 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6 52
else { for(int k =0;k<=500;k++) { if(Array[x][k] !=0 ) { Array[x][k]--; Array[k][x]--; match[x]--; match[k]--; solve(k); } } Record[RecordPos] = x; RecordPos++; } }
无向图
每个顶点的入度是偶数，则存在欧拉回路． 证明很简单：其原理就是每个顶点要进去多少 次，就必须出来多少次．如果存在度为奇数的 顶点，那么必有通过某一边进入这一点后，没 有顶点的入度和出度相等． 原理同无向图．也是有多少边进入，就要有多 少边出去． 对于混合图这里就不祥细说明了．
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Stack: 1 4 2 5 6 Location: 2 Circuit: 1
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Stack: 1 4 2 5 6 2 Location: 7 Circuit: 1
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怎么样求欧拉回路
就是循环地找到出发点． 一个解决此类问题基本的想法是从某个节点开 始,然后查出一个从这个点出发回到这个点的 环路径。这种方法保证每个边都被遍历.如果 有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点， 这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这 样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被 连接到一起了。
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 6 Location: 7 Circuit: 1 5
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 4 Location: 6 Circuit: 1 5 7
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Stack: 1 4 2 5 6 2 Location: 7 Circuit: 1 5 7 6 4 3
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Stack: 1 4 2 5 6 Location: 2 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7
Q&A
Stack: 1 4 2 5 Location: 1 Circuit:
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Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit: 1
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Stack: 1 4 2 5 Location: 6 Circuit: 1
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考虑左边的图，每个点 的度都为偶数．则存在 欧拉路径．
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Stack: Location: 1 Circuit:
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Stack: 1 Location: 4 Circuit:
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 3 Location: 4 Circuit: 1 5 7 6
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Stack: 1 4 2 5 6 2 7 Location: 3 Circuit: 1 5 7 6 4
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Stack: 1 4 2 5 Location: 6 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2
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Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit: 1 5 7 6 4 3 7 2 6
混合图
混合图的定义： 有的边是有向的，有的边是无向的。例如城市 里的交通网络，有的路是单行道，有的路是双 行道。 找到一个给每条无向的边定向的策略，使得每 个顶点的入度等于出度，这样就能转换成上面 第二种情况。
关于欧拉路径
源点与汇点不为同一点． 判定一个图是否有欧拉路径． 一个无向图中除源点与汇点的度数为奇数 外，其于点的度数都为偶数，那么则存在欧拉 路径．
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Stack: 1 4 Location: 2 Circuit:
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Stack: 1 4 2 Location: 5 Circuit:
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浅谈欧拉路径
5050309760 李冰
欧拉路径和欧拉回路的定义： 欧拉路径和欧拉回路的定义：
一副图，寻找一条只通过每条边一次的路径叫 做欧拉路径．如果这条路径的起点和终点是同 一点，那么这条路径叫做欧拉回路．
怎么样判断是否存在欧拉回路
在以下三种情况中有三种不同的算法： １．无向图 ２．有向图 ３．混合图 注：前两种的判定很简单，第三种稍复杂一些， 但是可转化为前两种的情况．(第三种只是简 要说明)
伪代码
find_circuit(node i) { 如果当前结点没有边 将其加入到路径中 否则：while(node i 没有相连的边) { j是与i相临的顶点（即i,j之间有一条边） find_circuit(j); 删除i和j之间的边 } 将i加入路径中去 }
void solve(int x) { if(match[x] == 0) { Record[RecordPos] = x; RecordPos++; }