2019秋七年级数学下册 微专题 与三角形角平分线相关的解题模型期末热点课件北师大版
初中数学几何辅助线秘籍-角平分线模型的构造(共22张PPT).ppt
角平分线模型的构造
（1）如图a所示，在△ABC中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直 线AB的距离是（，求证： AP平分∠BAC
【思路点拨】（1）过点D做AB的垂线（2）过点P分别作直线AB， BC，AC的垂线AB，BC，AC的垂线，利用角平分线的性质 得证
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知 P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点 P，如图所示，可以延长 AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形， P是底边 AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看”
角平分线模型的构造
技巧提炼
角平分线的四大基本模型： 已知P是∠MON平分线上一点 （4）若过P点作PQ∥ON交 OM于点Q，如图所示，可以构造△ POQ 是等 腰三角形，可记为“角平分线 +平行线，等腰三角形必呈现”
角平分线模型的构造
总结
角平分线的四大基本模型： 已知 P是∠MON平分线上一点 （3）若AP⊥OP于点 P，如图所示，可以延长 AP交ON于点B，构造 △AOB是等腰三角形， P是底边 AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三 线合一试试看” （4）若过 P点作PQ∥ON交 OM于点Q，如图所示，可以构造△ POQ 是等 腰三角形，可记为“角平分线 +平行线，等腰三角形必呈现”
【思路点拨】第（1）问主要考察“双垂线+角平分线可得等腰三角形”，第（2） 问遇到角平分线通常考虑过角平分线上的点向角的两边作垂线，所以过 点E作AC的垂线，构造全等三角形解题，也可以过点F作AB的垂线。
角平分线模型的构造
阅读下列学习材料：如图a所示，OP平分 ∠MON，A为OM上一点，C为OP上一点，连接AC， 在射线ON上截取OB=OA，连接BC（如图b所示）， 易证△AOC≌△BOC
《角平分线的性质》课件
角平分线的应用
• 利用角平分线可以求解未知角度，解决几何问题。 • 通过实例演示角平分线的应用，帮助加深理解。
思考题
• 给定一个三角形，如何构造它的角平分线？ • 如果角平分线上的点不在三角形内怎么办？ • 如果角平分线所分割的边不是三角形的边怎么办？
结语
• 角平分线是几何学中重要的概念，有着广泛的应用。 • 总结角平分线的性质和应用，强调其重要性。 • 提供参考资料，供进一步学习和探索。
《角平分线的性质》PPT 课件
这是一份关于角平分线性质的PPT课件，让我们一起探索角平分线的定义、性 质、应用和相关问题。
什么是角平分线
• 角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。 • 作图方法有使用直尺和指南针、使用角度量具等。
角平分线的性质
• 角平分线定义了角的特殊性质，具有重要的几ห้องสมุดไป่ตู้意义。 • 角平分线和角相似，具有相等比例关系。 • 角平分线具有平行、垂直等重要性质。
第06讲 三角形中角平分线模型
第06讲 三角形中角平分线模型【应对方法与策略】一、角平分线垂两边角平分线+外垂直当已知条件中出现OP 为OAB ∠的角平分线、PM OA ⊥于点M 时，辅助线的作法大都为过点P 作PN OB ⊥即可.即有PM PN =、OMP ∆≌ONP ∆等，利用相关结论解决问题. 二、角平分线垂中间 角平分线+内垂直当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线,PM OP ⊥于点P 时，辅助线的作法大都为延长MP 交OB 于点N 即可.即有OMN ∆是等腰三角形、OP 是三线等，利用相关结论解决问题.三、角平分线构造轴对称角平分线+截线段等当已知条件中出现OP 为AOB ∠的角平分线、PM 不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在OB 上截取ON OM =，连结PN 即可.即有OMP ∆≌ONP ∆，利用相关结论解决问题.四、角平分线加平行线等腰现角平分线+平行线∠的角平分线，点P角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点当已知条件中出现OP为AOB∆是等腰三角形，利用相关结论解决问题.P作PM//OB或PM//OA即可.即有OMP【多题一解】一．选择题（共2小题）1．（2022秋•辉县市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的三边为边向外做正方形ACDE，正方形CBGF，正方形AHIB，连结EC，CG，作CP⊥CG交HI于点P，记正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为S1，S2，若S1＝4，S2＝7，则S△ACP：S△BCP等于（）A．2：B．4：3C．：D．7：42．（2023•惠阳区校级开学）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D．过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．15二．填空题（共5小题）3．（2022秋•汤阴县期中）如图，AD平分∠CAB，若S△ACD：S△ABD＝4：5，则AB：AC＝．4．（2022秋•安陆市期中）如图△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于H，过点H作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，HD⊥AC于D，以下四个结论①∠BHC＝90°+∠A；②EF﹣BE＝CF；③点H到△ABC各点的距离相等；④若B，H，D三点共线时，△ABC一定为等腰三角形．其中正确结论的序号为．5．（2022秋•武昌区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于D，OE⊥OB交BC于E，BC＝4，AC＝3，AB＝5，则△CDE的周长为．6．（2022秋•长兴县月考）如图，在△ABC中，∠A＝64°，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC＝°．7．（2022•渠县二模）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，BD平分∠ABC，2∠ACD＝∠ABC+∠BAC，已知∠CAD＝43°，则∠BDC＝．三．解答题（共8小题）8．（2023•惠城区校级开学）如图，在△ABC中，∠ABC＝82°，∠C＝58°，BD⊥AC于D，AE平分∠CAB，BD与AE交于点F，求∠AFB．9．（2022秋•新乡期末）如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）当BE＝5，CF＝3，则EF＝；（2）当BE＞CF时，若CO是∠ACB的外角平分线，如图2，它仍然和∠ABC的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，试判断EF，BE，CF之间的关系，并说明理由．10．（2022秋•运城期末）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝°．（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．11．（2023•鼓楼区校级一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）求证：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度数．12．（2021春•金川区校级期末）如图所示，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC、∠BOA的度数．13．（2022秋•东昌府区校级期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系．（2）如图2，若AB≠AC，其他条件不变，在第（1）问中EF与BE、CF间的关系还存在吗？并说明理由．（3）如图3，若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB 于E，交AC于F．这时图中还有等腰三角形吗？EF与BE、CF关系又如何？说明你的理由．14．（2023•鼓楼区校级一模）在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC＝α，∠ADC＝180°﹣α．（1）若α＝90°时，直接写出CD与CB的数量关系为；（2）如图1，当α≠90°时，（1）中结论是否还成立，说明理由；（3）如图2，O为AC中点，M为AB上一点，BM＝AD，求的值．15．（2021•商河县校级模拟）如图所示，在△ABC中，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，AD是高，∠BAC＝54°，∠C＝66°，求∠DAC、∠BOA的度数．。
七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结
七下第5讲三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型归纳与内外⾓和计算⽅法总结写在前⾯在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩⼀个重要模型和内外⾓的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留⾄期中复习吧．⼀、三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后⼀个重要模型，要结合整体思想，外⾓定理综合运⽤．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，⽐如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补⾓的⾓平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外⾓，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三⾓形三条⾓平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作⽤，∠2可以作为△AOB的外⾓，即∠OAB和∠OBA的和，⼜是∠AOB的邻补⾓，∠AOB是三⾓形两内⾓平分线的夹⾓，因此本题既可以⽤⼀步⼀步完成，也可⽤结论模型⼝算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是⼀道将三个模型结合在⼀起的题⽬，我们要关注哪些⾓可以求，∠BDC是两内⾓平分线的夹⾓，则知道∠A即可求，∠E是两外⾓，∠MBC，∠NCB的⾓平分线的夹⾓，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内⾓∠EBC和外⾓∠ECQ的⾓平分线夹⾓，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．⼆、多边形内外⾓计算例1：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，少算了⼀个内⾓，得到答案是1400°，求少算的内⾓的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内⾓和公式(n－2)·180°，可知内⾓和⼀定是180度的倍数，我们可以⽤1400除以180，算出其余数，那么⾃然可得，少算的那个内⾓与余数的和⼀定是180度的倍数，⽽根据多边形每个内⾓必然⼩于180°，则这个内⾓度数就是⽤180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内⾓度数为40°，边数为10．例2：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，多算了⼀个外⾓，得到答案是1400°，求多算的外⾓的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上⼀题的变式，⽅法还是⽤1400除以180，算出其余数，那么多算的外⾓度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外⾓度数为140°，边数为9．例3：⼀个多边形每个内⾓都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内⾓和公式⼊⼿，也可以逆向思维，求出每个外⾓的度数，⽤外⾓和除以每个外⾓的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的⾓平分线，P是射线AC上任意⼀点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂⾜为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的⾓平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，⼜要考虑垂⾜Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两⼩题的图汇总在⼀起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD上讲思考题答案。
微专题(六) 与角平分线有关的四种基本模型 课件(共19张PPT) 2024年中考数学总复习专题突破
5
.所以
6
= 4 =
10
.
3
10
【答案】
3
图34
17
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型四 角平分线+轴对称
构造
复习讲义
全等三角形
6.如图6，在 △ 中， ∠ = 108∘ ， = ，
图6
平分 ∠ ，交 于点 .求证： = + .
B. 2 + 3
C. 2 + 3
D.3
图2
12
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
模型二 角平分线+角平分线的垂线
复习讲义
构造
等腰三角形
3.如图3，在 △ 中， < ， 平分
∠ ， ⊥ 于点 ，连接 .若 △ 的
面积为4，求 △ 的面积．
复习讲义
学习至此，请完成微专题练习（六） （第267页）
10
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
微专题练习（六）
与角平分线有关的四种基本模型
模型一 角平分线+边的垂线
构造
双垂直
1.如图1， 平分 ∠ ， ⊥ 于点 ，
△ = 8 ， = 2 ， = 4 ，则 的长是
= 8 ，所以 = 10 .所以 : : = : : = 3: 4: 5 .设
16
微专题（六） 与角平分线有关的四种基本模型
复习讲义
= = 3 ，则 = = 4 ， = 5 .因为 = 10 ，所以
3 + 5 + 4 = 10 .所以 =
角平分线的性质和判定(共张PPT)-图文
E
C
D
B
变式 已知AB ＝15cm, 求△DBE的周长
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物 中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择 的地址有( )
A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
2、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点
F,CF=BF, 求证:点F在∠A的平分线上.
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当
A
长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ
Ｍ
，交ＯＢ于Ｎ．
Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ为
圆心．大于 1/2 ＭＮ的长
为半径作弧．两弧在∠Ａ
ＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想为什一么想O：C是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
的
又两∵边距点离F相在等∠）C. BD的平分线上，
FH⊥AD， FM⊥BC
M H
∴FM＝FH （角平分线上的点到这个角的两边距离相等）. ∴FG＝FH（等量代换）∴点F在∠DAE的平分线上
例题选析
例1：如图，D在AB上，E在AC上，且∠B =∠C， 那么补充下列一具条件后，仍无法判定 △ABE≌△ACD的是( B )
2 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB， ∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC 的 角的平分线 ，AE+DE= 6cm 。
3.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
你会吗？
C D
A
角平分线课件
角平分线的性质定理的证明
第四步，根据全等三角形的性质，我们知道全等 三角形的对应边相等，所以$AD = AD$，$DM = DN$，$\angle MAD = \angle NAD$。
第六步，根据全等三角形的对应边相等，我们知 道$AM = AN$。
第五步，根据三角形的全等判定定理，我们知道 如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三 角形全等。因此，$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
第七步，根据角平分线的性质定理的证明结论， 我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等 ，所以$DM = DN$。
05
角平分线的应用举例
利用角平分线求角度的大小
角平分线定理
角平分线将一个角分为两个相等 的角，即$\angle A = \angle B$ 。
实际应用
在几何图形中，可以利用角平分 线求角度的大小，例如在三角形 中，通过作高或利用已知角度求 解未知角度。
第二步，根据角平分线的性质定理，我们知道角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以 $DM = DN$。
第三步，根据直角三角形的全等判定定理，我们知道如果两个直角三角形的一条直角边和斜 边分别相等，那么这两个直角三角形全等。因此，我们可以证明$\triangle MAD \cong \triangle NAD$。
角平分线与平行四边形
在平行四边形中，对角线互相平分， 因此可以利用角的平分线将平行四边 形划分为两个全等的三角形，从而简 化求解平行四边形的问题。
角平分线与梯形
在梯形中，可以利用角的平分线将梯 形划分为一个平行四边形和一个三角 形，从而利用已知的平行四边形和三 角形性质求解梯形的问题。
03
角平分线的作法
【最新】冀教版七年级数学下册第九章《三角形的角平分线、中线和高》公开课课件(共19张PPT).ppt
3 相交 相交
三条高所在直线的 交点的位置
三角形内部
v直角三角形
1 相交 相交
直角顶点
v钝角三角形
1 不相交
相交
三角形外部
三角形的三条高所在直线交于一点
练一练
分别指出图5—13中△ABC 的三条高。
A
A
D
B
C
直角边BC边上的 高是 AB边 ;
直角边AB边上的 高是 CB边 ;
顶点，那么这个三角形是（ B ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
3.三角形的三条高相交于一点，此一点定在（ D ）
A. 三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的边上
D. 不能确定
名称 基本图形
高
A
中线
B
D
A
B
D
角平
A
分线
B
D
画法
性质
三角板或量 三条线相交于 角器画垂线 三角形内、外 的一部分 或边上一点
钝角三角形的三条高线 A
也相交于一点吗？试通过
F
画图来验证。
钝 角三角形的 三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高 所在直线交于一点
DB
E OA
C F
D
B
C
E
小结:三角形的高
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形这边的高。
三角形的三条高的特性：
v锐角三角形
v高在三角形内部的数量 v高之间是否相交
• 在ΔABC中,CD是中线,已知 BC-AC=5cm, ΔDBC的周长为 25cm,求ΔADC的周长.