高二数学圆锥曲线方程优化训练
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线
高二必修数学同步训练题第二章圆锥曲线高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有协助。
1.从球外一点引球的切线，那么()A.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个大圆B.可以引有数条切线，一切切点组成球的一个小圆C.只可以引两条切线，两切点的连线过球心D.只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】依据球的切线性质知B正确.【答案】 B2.球的半径R=6，过球外一点P作球的切线长为8，那么P 点到球面上恣意一点Q的最短距离为()A.3B.4C.5D.6【解析】设点P到球心的距离为d，那么d=62+82=10.PQ的最短距离为10-6=4.【答案】 B3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2-1-4所示，那么截面图能够是()图2-1-4A.①③B.②③C.①④③D.①②③【解析】依据截面的位置不同，可失掉的截面外形能够是①②③，但不能够为④，应选D.【答案】 D4.三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=2r，那么球的体积与三棱锥体积之比是()A. B.2C.3D.4【解析】如下图，由题意知OA=OB=OS=r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥=43r313122r2r=4.【答案】 D二、填空题5.假定三棱锥的三个正面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的外表积是________.【解析】三棱锥的三个正面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，那么有(2R)2=(3)2+(3)2+(3)2=9，外接球的外表积为S=4.【答案】 96.如图2-1-5所示，球O的面上四点A，B，C，D，DA平面ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，那么球O的体积等于________. 图2-1-5【解析】∵DA平面ABC，BC平面ABC，AC平面ABC，DABC，DAAC.又BCAB，ABDA=A，BC平面ABD，BCDB，那么DC的中点即为球心O.又DA=AB=BC=3，AC=6，DC=3，球O的体积V球=43(32)3=92.【答案】 92查字典数学网小编为大家整理了14年高二必修数学同步训练题，希望对大家有所协助。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.2双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1
2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质优化练习新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2 双曲线的简单几何性质[课时作业］［A组基础巩固］1．设双曲线错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的虚轴长为2，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为（)A．y＝± 错误!x B．y＝±2xC．y＝± 错误!x D．y＝± 错误!x解析：由题意得b＝1，c＝错误!。
∴a＝错误!，∴双曲线的渐近线方程为y＝± 错误!x，即y＝±错误!x.答案：C2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（)A．2 B．2 2 C．4 D．42解析:将双曲线2x2－y2＝8化成标准方程错误!－错误!＝1，则a2＝4,所以实轴长2a＝4。
答案：C3．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（)A．－错误! B．－4 C．4 D.错误!解析：∵方程mx2＋y2＝1表示双曲线,∴m<0.将方程化为标准方程为y2－错误!＝1.则a2＝1，b2＝－1 m .∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴可知b＝2a，∴b2＝4a2，∴－1m＝4,∴m＝－错误!.答案：A4．中心在原点，实轴在x轴上,一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是（) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4解析：令y＝0,则x＝－4,即c＝4,又c2＝a2＋b2，a＝b，∴c2＝2a2，a2＝8。
2023-2024学年高二数学单元速记——圆锥曲线的方程(压轴题专练)(解析版)
第三章圆锥曲线的方程（压轴题专练）一、选择题A ．(1,4)-B ．(1,2)【答案】A【分析】先求得p ，然后联立方程组并写出根与系数关系，求得直线MQ 、直线QN ，进而确定正确答案.【详解】直线1:22p l y x ⎛=+⎫⎪⎝⎭，即240x y p -+=，依题意，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线240x y -+=,25p ==，所以抛物线方程为24y x =，直线():1l y k x =+，由()214y k x y x ⎧=+⎨=⎩消去x 并化简得2440ky y k -+=，216160,11k k ∆=->-<<，且0k ≠，设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，则124y y =.由131322311313444MQ y y y y k y y x x y y --===-+-，直线MQ 的方程为()13411y x y y +=-+，所以()1113411y x y y +=-+，即()()3111144y y y x =++-，则122111334y y y y y y +++=-，故31341y y y +=-+，所以323441y y y +=-+，所以()2323440y y y y +++=，直线QN 的方程为()22234y y x x y y -=-+，即()()223244y y y y x x -+=-，则()222222334y y y y y y x y =--+-，故()232340y y y y y x -++=，所以1,4==-x y ，也即直线QN 过定点()1,4-.故选：A.【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程的方法有：根据焦点或准线来求、根据抛物线的定义来求、利用待定系数法来求、通过已知条件列等量关系式，化简后得到抛物线的标准方程.求解直线和抛物线的交点，可通过联立方程组来求解.【答案】A【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，结合离心率可得11211a c e a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，在12PF F △中，利用余弦定理可得112e =，进而结合椭圆性质可知：当Q为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，分析求解即可.【详解】由题意可知：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，又因为1122121ce a c e a e e ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，可得11211a ce a e c⎧=⎪⎨⎪=⎩，由直线1PF 与y 轴的交点的坐标为230,2a⎛⎫⎪⎝⎭可得12cos PF F ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得()()()()()2221212112212112122cos 222a a c a a PF F F PF PF F PF F F a a c ++--+-∠==⋅+⋅()22212121111211a a c c c a a c e c e c c e e ++===+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，1121e e =+，整理得42118210e e +-=，解得2114e =或2112e =-（舍去），且10e >，所以112e =，由椭圆性质可知：当Q 为椭圆短轴顶点时，12FQF ∠取到最大值，此时12111sin22F QF c e a ∠===，且()120,πFQF ∠∈，则12π0,22F QF ⎛∠⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12π26F QF ∠=，即12π3F QF =∠.故选：A..【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到12cos PF F ∠的两种表达方式，构造了关于1e 的方程，从而得解.【答案】B【分析】根据已知条件依次求得,P Q 两点的坐标，由此可求得12k k ⋅的值.【详解】设椭圆标准方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线的标准方程为22221x y s t-=，则22222a b s tc -=+=，由c a =，2222445,5a c c a ==，所以2222221,55b ac a a b =-==，所以椭圆方程可化为2225x y a +=，由2222225x y a x y c⎧+=⎨+=⎩，两式相减得222214,2y a c b y b =-==±，2222115,442x c b b x=-==±，则1,2A b ⎫⎪⎪⎝⎭，根据对称性可知,A C 关于原点对称，,A B 关于x 轴对称.则11,,,,,022B b C b P ⎫⎛⎫⎫--⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线CP的方程为12b y x b x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎭⎭.将1,22A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入22221x y s t -=得222215144b bs t -=，由222222222151444b b s t s t a b b ⎧-=⎪⎨⎪+=-=⎩，解得223s b =或225s b =，而225a b =，s a <，所以223s b =，所以222243t b b b =-=，所以双曲线方程可化为222213x y bb-=，由2222132x y bb y x b ⎧-=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-⎪⎪⎪⎭⎩消去y 并化简得22762550x b +-=，设()00,Q x y ，解得001,3838xy b ==-，所以1,3838Q b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以12121122383AC AQ b bk k k k k +====⋅=.故选：B【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中，,,a b c 的关系是不相同的.【答案】D【分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()A ，()3,0B c ，求出直线1F A 的方程后结合距离公式可求M 的坐标，代入双曲线方程后可求离心率.【详解】设双曲线的半焦距为c ，因为以2F 为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c ，故其方程为：()2224x c y c -+=，令0x =，则y =，结合A 在y 轴正半轴上，故()A ，令0y =，则x c =-或3x c =，故()3,0B c .故100()FA k c -=--，故直线1:F A y =.设()()0M m m +<，因为A 在y 轴的正半轴上，1F 在x 轴的负半轴上，故0m <，而2BM c ==，故())22212439c m c -+=，整理得到：221649m c =，故23m c =-，故3M y =，所以222241931c ca b -=，故()22241931e e e -=-，解得242e =或42，又因为1e >，则21e >，则242e =，12e +=.故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在圆锥曲线上等合理构建.【答案】D【分析】对于①，利用导数的几何意求出过点()00,P x y 的切线方程，再与渐近线方程联立可求出,A B 的横坐标，然后与0x 比较可得答案，对于②，由“等线”的定义结合重心的定义分析判断，对于③④，由多边形重心的定义可知四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，12PF F △重心设为G ，则l 即为直线GH ，然后由重心的性质可证得GH ∥AB ，从而可得结论.【详解】解：①：设()00,P x y ，当00y >时，设0y >，则由22221x ya b-=，得y =，所以y '=k =所以切线方程为00)y y x x -=-，因为点()00,P x y 在双曲线上，所以2200221x y a b-=0a y b =，22222200b x a y a b -=，所以20000020()()bx b x y y x x x x a a y a y b-=-=-⋅，所以2222220000a y y a y b x x b x -=-，所以222222220000b x x a y y b x a y a b -=-=，所以00221x x y ya b-=，同理可求出当00y <时的切线方程为00221x x y ya b-=，当00y =时，双曲线的切线方程为x a =±，满足00221x x y ya b-=，所以过P 点切线方程为00221x x y ya b-=，渐近线方程为by x a=±联立两直线方程得00A ax x y a b=-，00B ax x y a b=+故有22002222A B x x x x x y a b +==-，故PA PB =②：设多边形顶点坐标为(),i i x y ，其中1,2,3i n= 设“等线”方程为0y kx b --=，则(),i i x y到等线的距离为：i d =又因为等线将顶点分为上下两部分，则有d =∑上部分d=∑∑下部分dd =∑∑上部分下部分从而1ni ==整理得1111n ni i i i y k x bn n ===⋅+∑∑即等线l 必过该多边形重心．③④：考察12PF F △重心，设()00,P x y ，则重心00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭．对于四边形1AF BF ，其重心H 必在12AF F △与12BF F △重心连线上，也必在1AF B △与2AF B 重心连线上，则l 即为直线GH ．设12AF F △与12BF F △重心分别为,E F ，则12OE OF EA FB ==，所以EF ∥AB ，因为G 为12PF F △的重心，所以OE OGEA GP=，所以EG ∥AB ，所以,,E F G 三点共线，因为H 在EF 上，所以GH ∥AB ，过00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭，因为直线AB 为00221x x y ya b -=，所以直线AB 的斜率为2020x b k a y =⋅，所以直线GH 的方程为20002033y x x b y x a y ⎛⎫-=⋅- ⎪⎝⎭，整理得0022331x x y ya b-=，所以直线l 方程0022331x x y ya b-=，由①的求解过程可知该方程为2222331x y a b-=切线方程，所以③正确，④错误，故①②③正确．故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的性质和导数的几何意义的应用，考查新定义，解题的关键是对“等线”定义的正确理解和重心的找法，考查计算能力，属于难题.【答案】C【分析】直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断（1），（2），分别求出点,A B 处的切线方程，联立切线方程求点P 的坐标，即可判断（3），设200,4y M y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用两点间距离，结合二次函数求最值，即可判断（4），【详解】对于（1），设1122(,),(,)A x y B x y ，由243y xx my ⎧=⎨=+⎩，得24120y my --=，由216480m +>，所以12124,12y y m y y +==-，所以12121212(3)(3)OA OB x x y y my my y y ⋅=+=+++21212(1)3()9m y y m y y =++++212(1)3493m m m =-++⋅+=-，所以（1）正确，对于（2），因为(9,6)M -，直线AM 与BM 倾斜角互补，所以12121212666609966AM BM y y y y k k x x my my +++++=+=+=----，所以1212212122(66)()7206()36my y m y y m y y m y y +-+-=-++，所以22244(66)720122436m m m m m -+--=--+，所以22448720m m --=，且221224360m m --+≠，所以2230m m --=，且21m ≠解得3m =，所以（2）正确，对于（3），设点A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x轴上方的抛物线方程为y =x轴下方的抛物线方程为y =-，此时在点A处的切线的斜率为112k y ==，在点B处的切线的斜率为222k y ==，所以在点A 处的切线方程为211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，在点B 处的切线方程为222224y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，方程化简为211122yy x y =+，222122yy x y =+，两式相除化简得1212344y y x -===-3）正确，对于（4），设200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于(3,0)Q，所以MQ =当204y =时，MQ取得最小值4）错误，故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线切线方程的求法，解题的关键是直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.二、填空题【答案】24y x=【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||()(||22p AB a NR -+=，即222())92pa t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.为该椭圆上一点，且满足【答案】5/0.8【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143F P b P F =，再根据正弦定理可知外接圆半径R =，由等面积法可知内切圆半径)r a c =-，再根据面积比即可计算出离心率45e =.【详解】根据题意画出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PF PF a +=，且122F F c =；又1260F PF ∠=︒，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+-∠==221212424122a PF PF c PFPF --==，化简可得22143F P b P F =；所以12PF F △的面积为122124sin 6031122PF F b S PF PF =︒=⨯ ；设12PFF △的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ；由正弦定理可得12122s 2sin n 603i R c F F c F PF ==∠=︒，可得3R c =；易知12PF F △的周长为121222l PFPF F F a c=++=+，利用等面积法可知()122123PF F lr a c r S ===+ ，解得)r a c ==-；又12PF F △的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22π64πRr=，所以8R r =，即可得28R c a r c ==-，所以108c a =；离心率45c e a ==.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12S lr =可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.【答案】3【分析】由直线斜率公式结合点在曲线上可得MB PB BN k k k =-=-，再由正切的和角的公式得到2213b a =，结合双曲线离心率公式即可得解.【详解】由题意可知：()(),0,,0A a B a -如图，设00(,)P x y ，可得直线的斜率分别为0000,PA PB y y k k x a x a==+-，因为点P 在双曲线上，则2200221x y a b -=，整理得200200y y b x a x a a ⋅=-+，所以22PA PBb k k a⋅=，设点11(,)M x y ，可得直线,MA MB 的斜率1111,MA MB y y k k x a x a==+-，因为点11(,)M x y 在椭圆上，则2211221x y a b +=，整理得211211y y b x a x a a⋅=--+，所以22MA MBb k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，可得MB PB BN k k k =-=-，所以直线MB 与NB 关于x 轴对称，又因为椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，则2b MF NF a==，因为222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，则()tan tan tan tan 1tan tan AMF BMFAMB AMF BMF AMF BMF∠+∠∠=∠+∠=-∠⋅∠22222222222231a ac a aca b b a ac a ac b a b b +-+===-+---⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率3e a ==.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；.【答案】2/0.5【分析】设直线l 的方程,代入椭圆方程,由韦达定理,弦长公式及中点坐标公式,求得中点坐标Q 坐标,求得AB 垂直平分线方程,当0y =时,即可求得P 点坐标,代入即可求得||PF ,即可求得||||PF AB ,即可求得a 和c 的关系,即可求得椭圆的离心率.【详解】因为倾斜角为π4的直线过点F ，设直线l 的方程为:y x c =-,()()1122,,,A x y B x y ,线段AB 的中点()00,Q x y ,联立22221y x c x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为()2222222220a b x a cx a c a b +-+-=，2222212122222 2,a c a c a b x x x x a b a b -∴+==++，2224ab AB a b ∴=+，212022. 2x x a cx a b+==+20022b cy x c a b∴=-=-+AB ∴的垂直平分线为:222222b c a c y x a b a b ⎛⎫+=-- ++⎝⎭,令0y =,解得322P c x a b =+,322,0c P a b ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭.2222||P b cPF c x a b ∴=-=+,||1||24c PF AB a ∴==,则12c a =,∴椭圆C 的离心率为12,故答案为:12.【点睛】关键点睛：运算能力是关键；本题考查简椭圆的简单几何性质,直线与椭圆的位置关系,直线的垂直平分线的求法,属于较难题.【答案】2⎣⎦【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，求出212P P c F F⋅≥，再根据122PF PF a +=，利用勾股定理得到2122PF PF b ⋅=，得到222b c ≥，再根据C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，得到22b c ≤，得到2c a ≥，得到离心率.【详解】连接11,QF PF ，由题意得，12,OP OQ OF OF ==，又12PQ F F =，所以四边形21PF QF 为矩形，故221PF Q PF F S S = ，所以()22121112228PF c F c P =≥⋅，故212P P c F F ⋅≥，又122PF PF a +=，由勾股定理得2221212PF PF F F +=，即()22121224PF PF PF PF c +-⋅=，2122PF PF b ⋅=，故222b c ≥，即22222c a c -≥，故2223a c ≥，2223c a ≤解得c a ≤，又C 上存在关于坐标原点对称的两点,P Q ，使得12PQ F F =，故22b c ≤，所以b c ≤，即222a c c -≤，所以222a c ≤，2212c a ≥，解得2c a ≥，综上，C 的离心率的取值范围是23⎥⎣⎦.故答案为：23⎢⎣⎦(或离心率的取值范围)的常见方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围).【答案】【分析】依题意可得椭圆方程表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，根据面积公式及椭圆的定义得到()12334r r r +=，再由1322r r r +=，即可得到2175y y=-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可得到1y 、2y ，代入解得.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ===所以2a c =，224a c =，223b c =，则椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=，设直线l 为x my c =-()0m >，()11,A x y ，()22,B x y ，()10y <，由2222143x my c x y c c=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()22243690m y mcy c +--=，显然0∆>，所以122643mc y y m +=+，2122943c y y m-=+，则20y >，由()()2122121332211||(||||||)222ABF S F F y y c y y AB AF BF r r a =-==⋅=-++ ，由()12211111121211||(||||||)22AF F S F F y y AF AF c r a c F F r ⋅==-=+-=++⋅ ，由()12222212121211||(||||||)22BF F S F F y y BF BF F F r r c a c =⋅=+=⋅++= ，又21212ABF AF F BF F S S S =+ ，所以()()1232a c a c r r r a +++=，所以()12334r r r +=，又1322r r r +=，所以1275r r =，又11cy a r c -=+，22c a ycr =+，所以2175y y =-，所以121543mcy m -=+，222143mc y m =+，所以2222152********mc mc c m m m --⋅=+++，所以218m =，则m =或m =，所以直线l的斜率为1m=.故答案为：【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.三、解答题(1)求双曲线C 的标准方程．(2)如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点曲线E 于点Q （第一象限），过点【答案】(1)224x y -=(2)2【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入解方程即可得出答案.（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）设AQ QB λ=，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，解得：,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫== ⎪++++⎝⎭，代入E ：221x y -=方程，得()()2221m n λλ-=+，结合（*）式可知()()21130n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2130n λλ+++>，所以1λ=．所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭．因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为122m n x y -=，所以直线KJ 的方程为：122m nx y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()222211221222BKJn n S KB JB n m n mn++=⋅=⋅+===，，令222t n =+>，BKJS =△，令240s t =->，2BKJS ==△．当且仅当16s s=，即4s =，28t =，22n =时，取得最小值．【点睛】关键点睛：建立BJK 的面积S 与n 的表达式至关重要，可利用KQA KQB S S = ，,K J 的坐标和三角形面积公式，以224m n -=为桥梁得出S 与n 的表达式，最后根据基本不等式可求得面积的取值范围.在双曲线【答案】(1)188x y -=(2)证明见解析【分析】（1）由已知条件，列方程组求22,a b ，可得双曲线标准方程；（2）设直线l 的方程与双曲线联立方程组，设,A B 两点坐标，表示出直线AP ，得点Q 坐标，表示出12,k k ，结合韦达定理，证明12k k -为定值.【详解】（1）由题意，双曲线2222:1x y C a b-=()3,1M -在双曲线C 上，可得22222911a b c e a c a b ⎧-=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，28b =，所以双曲线的方程为22188x y -=.（2）双曲线C 的左焦点为()4,0F -，当直线l 的斜率为0时，此时直线为0y =，与双曲线C 左支只有一个交点，舍去；当直线l 的斜率不为0时，设:4l x my =-，联立方程组2248x my x y =-⎧⎨-=⎩，消x 得()221880m y my --+=，易得0∆>，由于过点F 作直线l 交C 的左支于,A B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以12281m y y m +=-，12281y y m =-，由直线()1:24AP y k x -=+，得()12,22Q k -+，所以2121222222222y k y k k x my ----==+-，又11111224PA y y k k x my --===+，所以()()()()12121121121212222222222y my my y k y y k k k my my my my ---------=-=--()2111112224222my y my mk y my my --+++=-，因为1112y k my -=，所以1112k my y =-，且1212y y my y +=，所以()()()1212121212122222m y y y y k k my my y y y ---===--+-，即12k k -为定值.【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)214y +=(2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据题意可得2PF d=，即可求解；（2）利用韦达定理结合14OM ON k k ⋅=-，可得22241m k =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【详解】（1）设P 点坐标为(),,PFx y d =化解可得：2214x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆方程可得：2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得：()222148440k x kmx m +++-=，所以222222644(14)(44)16440k m k m k m ∆=-+-=-+>，即2241k m +>，则2121222844,1414km m x x x x k k --+=⋅=++，14OM ON k k ⋅=- ，()()121212121144kx m kx m y y x x x x +⋅+∴=-⇒=-()2212121214k x x km x x m x x +++⇒=-，把韦达定理代入可得：22222228(14)144444k m k m k m m -+++=---，整理得()22241*m k =+，满足224k m +>，又MN =，而O 点到直线MN 的距离d =，所以12OMNS d MN =△把()*代入，则1OMN S =△，可得OMN S △是定值1.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.16．如图，()(),00M a a >是抛物线24y x =对称轴上一点，过点M 作抛物线的弦AB ，交抛物线于A ，B .(1)若2a =，求弦AB 中点的轨迹方程；(2)过点M 作抛物线的另一条弦CD ，若AD 与y 轴交于点E ，连接ME ，BC ，求证：ME BC ∥.【答案】(1)224y x =-(2)见解析【分析】（1）由2a =,设其方程为(2)y k x =-,联立方程后,结合韦达定理及中点公式,可得弦AB 中点的轨迹方程;（2）用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=，CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,由AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,进而求得ME BC k k =,根据直线平行的充要条件得到ME BC ∥.【详解】（1）设AB 方程为2x ky =+,联立22, 4x ky y x=+⎧⎨=⎩得2480y ky --=，则212124,44y y k x x k +=+=+,设AB 中点(x,y)P ,则22,22y k x k ==+,因此弦AB 中点P 的轨迹方程为224y x =-.（2）证明:设()()221122,2,,2A t t B t t ，()()223344,2,,2C t t D t t --，其中1234,,,t t t t 均为正数，用两点式求得AB 的方程为:()211222y t t t t x -+=,CD 的方程为:()433422y t t t t x -+=,因为AB ,CD 都经过点M ,故1234t t t t a ==,AD 的方程为:()411422y t t t t x -+=,AD 与y 轴交点为141420,t t E t t ⎛⎫⎪-⎝⎭，()14412ME t t k a t t =-，而()2314222323411422222BC t t t t k a a t t t t a t t t t +====----，,.ME BC k k ME BC ∴=∴ 【点睛】本题考查的知识点是直线与圆雉曲线的综合应用,抛物线的简单性质,联立方程,设而不求,韦达定理,是解答此类问题的关键.【答案】(1)142x y +=(3)存在，()0,2Q .【分析】（1）由离心率及过点)M列方程组求解,a b .（2）设直线l 为1y kx =+与椭圆方程联立，将1212AOB S x x =⋅- 表达为k 的函数，由基本不等式求最大值即可.（3）先讨论直线水平与竖直情况，求出()0,2Q ，设点B 关于y 轴的对称点B '，证得,,Q A B '三点共线得到QA PAQB PB=成立.【详解】（1）根据题意，得222222211c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得222422a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 的斜率显然存在，故设直线l 为1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2212420k x kx ++-=，因为直线l 恒过椭圆内定点()0,1P ，故0∆>恒成立，12122242,1212k x x x x k k +=-=-++，故12111222AOBS x x =⋅===-，令1t t≥，所以22211AOB t S t t t=�祝++1t =，即0k =时取得等号，综上可知：AOB （3）当l 平行于x 轴时，设直线与椭圆相交于,C D 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即QC QD =，所以Q 点在y 轴上，可设Q 的坐标为()00,y ；当l 垂直于x ,M N 两点，如果存在点Q 满足条件，则有||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =，所以若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则点Q 的坐标为()0,2；当l 不平行于x 轴且不垂直于x 轴时，设直线l 方程为1y kx =+，由（2）知12122242,1212k x x x x k k --+==++，又因为点B 关于y 轴的对称点B '的坐标为()22,x y -，又11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x '--===-+--，则121220QA QB x x k k k x x '+-=-=，所以QA QB k k '=，则,,Q A B '三点共线，所以12QA QA x PAQBQB x PB==='；综上：存在与点P 不同的定点Q ，使QA PAQB PB=恒成立，且()0,2Q ..【点睛】方法点睛：直线0Ax By C ++=与椭圆22221x y a b+=交于,M N ，当且仅当2222220a A b B C +-=时，MON S 取得最大值2ab .【答案】(1)证明见解析(2)存在，3124m =【分析】（1）将点(2,-代入抛物线方程求出p ，直线与抛物线联立方程组，由0OA OB ⋅=，利用向量数量积和韦达定理，求出12m k =-，可得直线所过定点.（2）设两条直线1l 与2l 的方程，分别与抛物线方程联立，求出弦长，由d =和||||10MN AB -=，求m 的值.【详解】（1）证明：将点(2,-代入22y px =，得244p =，即6p =．联立212,,y x y kx m ⎧=⎨=+⎩得212120ky y m -+=，由0km ≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212m y y k =，()222212121221212144y y y y m x x k=⋅==．因为0OA OB ⋅= ，所以212122120m mx x y y k k+=+=恒成立，则12m k =-，所以1l 的方程为(12)y k x =-，故直线1l 过定点(12,0)．（2）联立212,2,y x y x m ⎧=⎨=+⎩得224(412)0x m x m +-+=，则122123,,4x x m m x x +=-+⎧⎪⎨=⎪⎩且22(412)1648(32)0m m m ∆=--=->，即32m <，12||AB x =-==，设2:2l y x n =+，同理可得||MN =因为直线2l 在1l 的右侧，所以n m<，则d ==，即5n m =-．所以||||10MN AB -===3124m =，因为313242<，所以满足条件的m 存在，3124m =.【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【答案】(1)22184x y +=(2)证明见解析，定点坐标为()0,1【分析】（1）根据左焦点可知c 的值，根据点)在椭圆上，可以得到另一组关系式，从而求出a ，b .（2）先设直线ST 的斜截式方程，再联立直线和椭圆方程，结合韦达定理将P 点纵坐标为4的信息转化为直线方程系数的值或关系，从而找出直线所过定点.【详解】（1）因为椭圆E 的左焦点()12,0F -，可得2c =，由定义知点)到椭圆的两焦点的距离之和为2a ，2a =((=++=，故a =则2224b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22184x y +=.（2）由椭圆的方程22184x y +=，可得()()0,2,0,2M N -，且直线ST 斜率存在，设()()1122,,,S x y T x y ，设直线ST 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程22184x y +=联立得：()222214280kx kmx m +++-=，则2121222428,2121km m x x x x k k --+==++直线SM 的方程为1122y y x x -=+ ，直线TN 的方程为2222y y x x +=- ，由直线SM 和直线TN 交点的纵坐标为4得，12122622x x y y =-+即1212322x x y y =-+又因点()11,S x y 在椭圆22184x y +=上，故2211184x y +=，得()1111222y x y x -+=-，同理，点()22,T x y 在椭圆22184x y +=上，得()12212232y x y x -+=+，即()()121232220x x y y +++=即()()121232220x x kx m kx m +++++=即()()()()2212122322220k x x k m x x m ++++++=即()()()()()()22222232824428821021k m km m km m m k k +-++-++++=+化简可得288160m m +-=，即220m m +-=，解得2m =-或1m =，当2m =-时，直线ST 的方程为2y kx =-，直线ST 过点N ，与题意不符.故1m =，直线ST 的方程为1y kx =+，直线ST 恒过点()0,1【点睛】本题主要考查直线与椭圆关系中的直线恒过定点问题，遵循“求谁设谁”的思路，将目标直线设为y kx m =+的形式，将条件转化为m 的值或k 与m 的关系式，从而得出定点，侧重数学运算能力，属于偏难题.【答案】(1)抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -(2)证明见解析，定点坐标为()2,0或()6,0-【分析】（1）根据已知得出直线l的方程，与抛物线联立，根据过焦点的弦长公式，列出关系式，即可得出p ；（2）设:1l x my =+，联立方程根据韦达定理得出12,y y 的关系.进而表示出,OA OB 的方程，求出M ，N 的坐标，得出圆的方程.取0m =，即可得出定点坐标.【详解】（1）由已知可得，抛物线的焦点坐标为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x ⎫=-⎪⎝⎭.联立抛物线与直线的方程2322p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎨⎝⎭⎪=⎩可得，22704p x mx -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，由韦达定理可得127x x p +=，则12816AB x x p p =++==，所以2p =.所以，抛物线的方程为24y x =，准线方程为=1x -.（2）设直线:1l x my =+，联立直线与抛物线的方程214x my y x=+⎧⎨=⎩可得，2440y my --=.所以，124y y m +=，124y y =-.又1114OA y k x y ==，14:OA l y x y =，所以182,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.同理可得282,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.设圆上任意一点为(),Q x y ，则由0QM QN ⋅= 可得，圆的方程为()2128820x y y y y ⎛⎫⎛⎫++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理可得，()()222221128864228160x y y x y my y y y y ⎛⎫+++++=++--= ⎪⎝⎭.令0m =，可得2x =或6x =-，所以，以MN 为直径的圆过定点，定点坐标为()2,0或()6,0-.【点睛】思路点睛：直线或圆过定点问题，先根据已知表示出直线或圆的方程，令变参数为0，得出方程，求解即可得出求出定点的坐标.。
高二数学圆锥曲线习题及答案.docx
（数学选修 1-1 ）第二章圆锥曲线 [ 提高训练 C 组] 及答案一、选择题1．若抛物线y 2x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）1 2 1 2 ) 121 2A ．( , 4 )B ．( ,4 C ． (,) D ．(,4)484 4 82．椭圆x 2y 21上一点 P 与椭圆的两个焦点F 1 、 F 2 的连线互相垂直，49 24则△ PF 1F 2 的面积为（）A ． 20B ． 22C ． 28D ． 243．若点 A 的坐标为 (3, 2) ， F 是抛物线 y 2 2x 的焦点，点 M 在抛物线上移动时，使MFMA 取得最小值的 M 的坐标为（）A ．0,0B ．1 ． 1, 2D ．2,2,1C24．与椭圆x 2 y 2 1共焦点且过点 Q (2,1) 的双曲线方程是（ ）4A ． x 2 y 21 B ．x 2y21 C ． x 2y 21D ． x 2y 21243325．若直线 ykx 2 与双曲线 x 2 y 26 的右支交于不同的两点，那么 k 的取值范围是（ ）A ．（ 1515 B ．（ 0,15 C ．（15D ．（15 ）3,3 ））,0 ） , 13336．抛物线 y2x 2 上两点 A( x 1 , y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) 关于直线yx m 对称，且x 1 x 21，则 m 等于（ ）235A ．B ． 2D ． 32C ．2二、填空题x2y21的焦点 F1、 F2，点P为其上的动点，当∠F1P F2为钝角时,点P横坐标的取值1．椭圆49范围是。
2．双曲线tx2y2 1 的一条渐近线与直线2x y 1 0 垂直，则这双曲线的离心率为___。
3．若直线y kx2与抛物线 y28x 交于A、B两点，若线段AB 的中点的横坐标是 2 ，则AB ______。
4．若直线y kx1与双曲线 x2y24始终有公共点，则 k 取值范围是。
高二数学高效课堂资料《圆锥曲线与方程》自主训练
高二数学高效课堂资料《圆锥曲线与方程》自主训练一、 选择题:1、已知椭圆２２ｙｘ＋＝１２５９上一点M 到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点M 到另一个焦点的距离等于（ ）A 、1B 、3C 、6D 、82、双曲线２２ｙｘ－＝１４９的渐近线方程是（ ） A 、4x ±9y=0 B 、9x ±4y=0 C 、2x ±3y=0 D 、3x ±2y=03、抛物线２ｙ＝４ａｘ（a ¹0）的焦点坐标是（ ）A 、（a,0）B 、(-a,0)C 、(0,a)D 、(0,-a)二、填空题：4、如果椭圆的一个焦点坐标为（2，0），过此焦点且垂直于x 轴的弦的长等于１０３，那么这个椭圆的标准方程是 ；5、已知双曲线２２２２ｙｘ－＝１ａｂ（a>0,b>0）的左右焦点分别为,１２ＦＦ,过１Ｆ的直线与左支相交于A 、B 两点，如果|||||+=２２｜ＡＦＢＦ２ＡＢ,那么|AB|= 6、在抛物线２ｘ＝２ｙ上与点M （0,2）距离最近的点的坐标是 ；7、过原点的直线L 与双曲线２２ｙｘ－＝１４３相交于两点，则L 的斜率的取值范围是 8、设抛物线２ｙ＝４ｘ与过其焦点的斜率为1的直线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则·uuu r uuu r ＯＯA B = ;9、椭圆22194x y +=的焦距等于 ；10、抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且它过点则抛物线的方程是11、双曲线22124y x -=的焦点坐标是 ；12、与双曲线228x y -=有共同焦点且经过点P （4,6）的椭圆的方程为 ；13、已知双曲线与椭圆221925x y +=的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则此双曲线的方程为 。
14、已知双曲线的渐近线方程为340x y ?，它的焦点是椭圆221105x y +=的长轴端点，则此双曲线的方程为 .15、已知方程22149x y k k +=--，则（1）若表示椭圆，则k 的范围是 ，焦点坐标是 ；（2）若表示双曲线，则k 的范围是 ，焦点坐标是 .16、过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心任作一直线交椭圆于P,Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则PFQ V 的周长的最小值等于 ；三、解答题：17、已知椭圆2214520x y +=上一点P 与两个焦点的连线互相垂直，求点P 的坐标.18、已知抛物线24x y =的弦AB 经过它的焦点F ，弦AB 的长为20，求直线AB 的方程。
高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练12 圆锥曲线的方程与性质
5
5
因为=2 ,所以 = 3 =(-3 , 3 ,-3),所以=(3,- 3 , 3).
设平面 PAD 的法向量为 n=(x,y,z),
- = 0,
· = 0,
则
得
+ 2 - 2 = 0,
· = 0,
2
令 y=1,则 x=0,z=1,所以 n=(0,1,1)为平面 PAD 的一个法向量,
即 AD 为∠CAB 的角平分线.
∵AC=AB,∴AD 为等腰三角形 CAB 的高所在的直线,即 AD⊥BC.
∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面 ABDC,∴PA⊥平面 ABDC.
又 BC⊂平面 ABDC,∴PA⊥BC.
∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面 PAD,
∵PD⊂平面 PAD.∴BC⊥PD.
2
2
3
2π
π
=2[sin α+sin( -α)]=2 3sin(α+ ).
3
6
2π
π
π 5π
∵α∈(0, ),α+ ∈( , ),
3
6
6 6
π
π
当 α=3时,sin(α+6)=1,S 四边形 ABDC 取最大值 2 3,
π
即当四棱锥 P-ABDC 体积最大时,∠CAD=∠BAD=3.
过点 A 在平面 ABDC 内作直线 AE⊥AB,交 于点 E,
1 2 3 4 5 6
(2)由(1)得,PA 为四棱锥 P-ABDC 的高.
∵PA=4,∴当四边形 ABDC 的面积取最大值时,四棱锥 P-ABDC 体积最大.
2π
2π
设∠CAD=α,则∠BAD= -α,α∈(0, ),
学年高中数学第二章圆锥曲线与方程.抛物线..抛物线及其标准方程优化练习新人教A版选修_2
抛物线及其标准方程[课时作业] [A 组 根底稳固]1．经过点(2,4)的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝8x B ．x 2＝y C ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2py (p >0)，将点(2,4)代入可得p ＝4或p ＝12，所以所求抛物线标准方程为 y 2＝8x 或x 2＝y ，应选C.答案：C2．抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，那么x 0＝( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1，应选A. 答案：A3．假设动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，那么M 点的轨迹方程是( ) A ．x ＋4＝0 B ．x －4＝0 C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：根据抛物线定义可知，M 点的轨迹是以F 为焦点，以直线x ＝－4为准线的抛物线，p ＝8，∴其轨迹方程为y 2＝16x ，应选D. 答案：D4．双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.假设抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，那么抛物线C 2的方程为( ) A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：抛物线的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，焦点到渐近线的距离为|a ×p2|a 2＋b2＝2，即ap ＝4a 2＋b 2＝4c ，所以c a ＝p 4，双曲线的离心率为c a ＝2，所以c a ＝p4＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .应选D. 答案：D5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，那么△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知焦点F (1,0)，作准线l ，那么l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.答案：A6．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为________． 解析：依题意得，直线x ＝－p2与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，因此圆心(3,0)到直线x ＝－p2的距离等于半径4，于是有3＋p2＝4，即p ＝2. 答案：27．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，定点A (0,2)．假设线段FA 的中点B 在抛物线上，那么B 到该抛物线准线的距离为________．解析：抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0， 线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，。
高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线
高考数学快速提升成绩题型训练——圆锥曲线1. 已知常数m > 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m , 0)，经过点A(m , 0)，以λa +b 为方向向量的直线与经过点B(- m , 0)，以λb - 4a 为方向向量的直线交于点P ，其中λ∈R ． (1) 求点P 的轨迹E ；(2) 若52=m ，F(4, 0)，问是否存在实数k 使得以Q(k , 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E 交于M 、N 两点，并且|MF| + |NF| =53．若存在求出k 的值；若不存在，试说明理由．2 双曲线的实半轴与虚半轴长的积为3，它的两焦点分别为F 1、F 2，直线l 过F 2且与直线F 1F 2的夹角为α，且221tan =α，l 与线段F 1F 2的垂直平分线的交点为P ，线段PF 2与双曲线的交点为Q ，且1:2:2=QF PQ ，建立适当的坐标系，求双曲线的方程.3. 在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，OM ON OM 552,5||==. 过点M 作MM 1⊥y 轴于M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，N N M M OT 11+=. 记点T 的轨迹为曲线C ，点A （5，0）、B （1，0），过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q （点Q 在A 与P 之间）. （1）求曲线C 的方程；（2）证明不存在直线l ，使得|BP|=|BQ|；（3）过点P 作y 轴的平行线与曲线C 的另一交点为S ，若AQ t AP =，证明.BQ t SB =4. 已知离心率为25的双曲线C 的中心在坐标原点，左、右焦点F 1、F 2在x 轴上，双曲线C 的右支上一点A 使021=⋅AF AF 且21AF F ∆的面积为1。
（1） 求双曲线C 的标准方程；（2） 若直线m kx y l +=:与双曲线C 相交于E 、F 两点（E 、F 不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C 的右顶点D 。
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第八章 圆锥曲线方程(一)椭圆与双曲线●知识网络●范题精讲【例1】 已知椭圆的两焦点为F 1(0，－1)、F 2(0，1)，直线y =4是椭圆的一条准线. (1)求椭圆方程；(2)设点P 在椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|=1，求tan ∠F 1PF 2的值. 解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.(1)设椭圆方程为22b x +22a y =1(a >b >0).由题设知c =1，ca 2=4,∴a 2=4,b 2=a 2－c 2=3.∴所求椭圆方程为32x +42y =1.(2)由(1)知a 2=4,a =2.由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=4，又|PF 1|－|PF 2|=1,∴|PF 1|=25，|PF 2|=23. 又|F 1F 2|=2c =2,由余弦定理cos ∠F 1PF 2=||||2||||||212212221PF PF F F PF PF -+=23252449425⨯⨯-+=53.∴tan ∠F 1PF 2=1cos 1212-∠PF F =1925-=34. 【例2】 已知双曲线x 2－22y =1,过点A (2，1)的直线l 与已知双曲线交于P 1、P 2两点.(1)求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(2)过点B (1，1)能否作直线l ′,使l ′与已知双曲线交于两点Q 1、Q 2，且B 是线段Q 1Q 2的中点?请说明理由.(1)解法一:设点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，中点P 的坐标为(x ,y ),则有x 12－221y =1,x 22－222y=1,两式相减，得2(x 1+x 2)(x 1－x 2)=(y 1+y 2)(y 1－y 2). 当x 1≠x 2,y ≠0时, 由x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y , 得y x 2=2121x x y y --. ①又由P 1、P 2、P 、A 四点共线， 得21--x y =2121x x y y --. ②由①②得y x 2=21--x y , 即2x 2－y 2－4x +y =0.当x 1=x 2时，x =2,y =0满足此方程，故中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x +y =0. 解法二:设点P 1、P 2、中点P 的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、(x ,y ),直线l 的方程为y =k (x －2)+1,将l 方程代入双曲线x 2－22y =1中，得(2－k 2)x 2+2k (2k －1)x +2k 2－3=0,则x 1+x 2=2)12(22--k k k ,x 1x 2=22322--k k , y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2－4k =2)12(4--k k .于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=--=+=.2)12(22,2)12(2221221k k y y y k k k x x x当y ≠0时，由①②得k =yx2.将其代入①，整理得2x 2－y 2－4x +y =0.当l 倾斜角为90°时，P 点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P 的轨迹方程为2x 2－y 2－4x +y =0.(2)解:假设满足题设条件的直线l ′存在，Q 1、Q 2的坐标分别为(x 3,y 3)、(x 4,y 4),同(1)得2(x 3+x 4)(x 3－x 4)=(y 3+y 4)(y 3－y 4).∵x 3+x 4=2,y 3+y 4=2,∴4343x x y y --=2(x 3≠x 4),即l ′的斜率为2.∴l ′的直线方程为y －1=2(x －1)， 即y =2x －1.∵方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=12,1222y x x y 无解，与假设矛盾,∴满足条件的直线l ′不存在.【例3】 如下图，已知△OFQ 的面积为S ，且²=1，① ②(1)若S 的范围为21<S <2,求向量与FQ 的夹角θ的取值范围； (2)设||=c (c ≥2),S =43c ,若以O 为中心，F 为焦点的椭圆经过点Q ，当|OQ |取得最小值时，求此椭圆的方程.分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.解:(1)∵²FQ =1,∴||²|FQ |²cos θ=1.又21|OF |²|FQ |²sin(180°－θ)=S , ∴tan θ=2S ,S =2tan θ.又21<S <2,∴21<2tan θ<2,即1<tan θ<4, ∴4π<θ<arctan4.(2)以OF 所在的直线为x 轴，以OF 的过O 点的垂线为y 轴建立直角坐标系(如下图).∴O (0,0),F (c ,0),Q (x 0,y 0).设椭圆方程为22a x +22by =1.又OF ²FQ =1，S =43c ,∴(c ,0)²(x 0－c ,y 0)=1.① 21²c ²|y 0|=43c .②由①得c (x 0－c )=1⇒x 0=c +c1. 由②得|y 0|=23. ∴|OQ |=2020y x +=49)1(2++c c .∵c ≥2,∴当c =2时，|OQ |min =49)212(2++=234,此时Q (25，±23)，F (2，0). 代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.4,14942522b a b a∴a 2=10,b 2=6.∴椭圆方程为161022=+y x . 评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势. ●试题详解高中同步测控优化训练(十一)第八章 圆锥曲线方程(一)(A 卷)说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.椭圆2x 2+3y 2=6的焦距是A.2B.2(3－2)C.25D.2(3+2)解析:将2x 2+3y 2=6化为标准方程为32x +22y =1，∴a 2=3,b 2=2,c 2=3－2=1， 焦距2c =2³1=2. 答案:A2.方程4x 2+Ry 2=1的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，则R 的取值范围是 A.R >0 B.0<R <2 C.0<R <4 D.2<R <4解析:将方程变为412x +Ry 12=1,由已知可得41<R 1,∴0<R <4.答案:C3.已知点M 在椭圆上，椭圆方程为252x +162y =1,M 点到左准线的距离为2.5，则它到右焦点的距离为A.7.5B.12.5C.2.5D.8.5解析:∵a =5,b =4,∴c =3.两准线间的距离为2²c a 2=2³352=350.M 到左准线的距离为2.5，则M 到右准线的距离为350－2.5=685. 设椭圆右焦点为F ，则685||MF =a c =53,∴|MF |=8.5. 答案:D4.若双曲线22a x －22by =1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是A.2B.3C.34D.35 解析:由2b =a +c 得4b 2=a 2+2ac +c 2, 即3c 2－2ac －5a 2=0,∴3e 2－2e －5=0.∴e =35. 答案:D5.双曲线92x －162y =1的两焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且直线PF 1、PF 2倾斜角之差为3π,则△PF 1F 2的面积为A.163B.323C.32D.42解析:由题意可知|PF 1|－|PF 2|=6，∠F 1PF 2=3π,|F 1F 2|=10.由余弦定理，得|F 1F 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+|PF 1|²|PF 2|,∴|PF 1|²|PF 2|=64. ∴S =21³64sin 3π=163,选A. 答案:A6.以椭圆252x +92y =1的焦点为焦点，离心率e =2的双曲线方程是A.62x －122y =1B.62x －142y =1C.42x －142y =1D.42x －122y =1 解析:a 2=25,b 2=9,则c 2=16,c =4,椭圆焦点坐标为(4，0)、(－4，0). 双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e =2,c =4, ∴a =2,b 2=c 2－a 2=12. ∴双曲线方程为42x －122y =1.答案:D7.已知双曲线22a x －22b y =1和椭圆22m x +22by =1(a >0,m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边的三角形是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析:双曲线22a x －22b y =1的离心率e 1=ac =a b a 22+，椭圆的离心率e 2=mb m 22-.∵e 1与e 2互为倒数，∴e 1e 2=1,即ab a 22+²m b m 22-=1,整理得a 2+b 2=m 2.∴以a 、b 、m 为边的三角形是直角三角形.答案:B8.方程22)1(3)1(3+++y x =|x +y －2|表示的曲线是 A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线D.不能确定解析:数形结合法.动点P (x ,y )到定点(－1,－1)和定直线x +y －2=0距离之比为26. 答案:B9.若椭圆m x 2+n y 2=1(m >n >0)和双曲线22a x －22by =1(a >b >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|²|PF 2|的值是A.m －aB.21(m －a ) C.m 2－a 2D.m －a解析:|PF 1|+|PF 2|=2m ,|PF 1|－|PF 2|=2a , ∴|PF 1|=m +a ,|PF 2|=m －a .∴|PF 1|²|PF 2|=m －a . 答案:A10.已知F 1、F 2为椭圆22a x +22by =1(a ＞b ＞0)的焦点,M 为椭圆上一点,MF 1垂直于x 轴,且∠F 1MF 2=60°,则椭圆的离心率为A.21 B.22C.33 D.23 分析:本题考查如何求椭圆的离心率.解:∵MF 1⊥x 轴,∴M 点的横坐标为x M =－c .把x M 代入椭圆方程22a x +22b y =1中,得y M =22ab ,如下图所示.在Rt △MF 1F 2中,tan ∠F 1MF 2=121MF F F =222a b c=3, 即2ac =3b 2.∴3a 2－2ac －3c 2=0. 每一项都除以a 2,得3－2e －3e 2=0, 解得e 1=33或e 2=－3 (舍). 答案:C第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11.若椭圆的两个焦点为F 1(－4，0)、F 2(4，0)，椭圆的弦AB 过点F 1，且△ABF 2的周长为20，那么该椭圆的方程为__________.解析:△ABF 2的周长:|AF 2|+|AF 1|+|BF 2|+|BF 1|=2a +2a =4a =20, ∴a =5.又∵c =4,∴b =3.∴椭圆的方程为252x +92y =1.答案: 252x +92y =112.已知P 是椭圆上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，∠PF 1F 2=90°,∠PF 2F 1=30°,则椭圆的离心率是__________.解析:因为e =a c =a c22=||||221PF PF c +, 于是在△PF 1F 2中，由正弦定理知e =︒+︒︒30sin 90sin 60sin =33. 答案:3313.经过点M (10,38),渐近线方程为y =±31x 的双曲线方程为__________.分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.解:设双曲线的方程为(x －3y )(x +3y )=m (m ∈R ,且m ≠0),因双曲线过点M (10,38),所以有(10－3³38)(10+3³38)=m ,得m =36. 所以双曲线方程为x 2－9y 2=36,即362x －42y =1.答案: 362x －42y =114.方程k x -42+12-k y =1表示的曲线为C ，给出下列四个命题:①曲线C 不可能是圆；②若1<k <4,则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <25. 其中正确的命题是__________. 解析:当4－k =k －1,即k =25时表示圆，否定命题①,显然k =25∈(1,4), ∴否定命题②；若曲线C 为双曲线，则有(4－k )(k －1)<0,即4<k 或k <1,故命题③正确；若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则4－k >k －1>0,解得1<k <25,说明命题④正确. 答案:③④三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x 轴上的一个焦点与短轴两端点连成60°的角，两准线间的距离等于83，求椭圆方程.解:依题意，设所求椭圆方程为22a x +22by =1,∵椭圆右焦点F (c ,0)与短轴两端点A 、B 连成60°的角， 如图，则∠AFB =60°,△AFB 为等边三角形， 于是有a =2b .① 又由两准线间的距离等于83，得2222ba a -=83.②联立①②两方程，解得a =6,b =3.故所求椭圆方程为362x + 92y =1.16.(本小题满分10分)已知椭圆162x +42y =1,过点P (2，1)引一条弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程.解:如图，设弦与椭圆的两交点坐标为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2).又P (2,1),∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.164,16422222121y x y x ①－②得(x 1－x 2)(x 1+x 2)+4(y 1－y 2)(y 1+y 2)=0, ∴2121x x y y --=－)(42121y y x x ++=－1242⨯⨯⨯=－21=k AB .∴l AB 的方程为y －1=－21(x －2). 17.(本小题满分12分)求以椭圆642x +162y =1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为65π的双曲线方程.分析:已知渐近线方程为bx ±ay =0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为 b 2x 2－a 2y 2=λ(λ≠0),根据其他条件,确定λ的正负.解:椭圆的顶点坐标为(±8,0)、(0,±4).∵双曲线渐近线方程为x ±3y =0, 则可设双曲线方程为x 2－3y 2=k (k ≠0)，即kx 2－32k y =1.若以(±8,0)为焦点,则k +3k=64,得k =48,双曲线方程为482x －162y =1；若以(0,±4)为焦点,则－3k－k =16,得k =－12,双曲线方程为42y －122x =1.18.(本小题满分12分)如下图，双曲线42x －22by =1(b ∈N *)的两个焦点为F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |<5,|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列，求此双曲线方程.① ②解:∵|PF 1|、|F 1F 2|、|PF 2|成等差数列， ∴|PF 1|+|PF 2|=2|F 1F 2|=4c . 又|PF 1|－|PF 2|=2a =4,∴|PF 1|=2c +2,|PF 2|=2c －2.根据中线定理有|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)<2(52+c 2), ∴(2c +2)2+(2c －2)2<2(52+c 2). ∴8c 2+8<50+2c 2. ∴c 2<7,即4+b 2<7.∴b 2<3.又b ∈N *,∴b =1.∴所求双曲线方程为42x －y 2=1.19.(本小题满分12分)在△ABC 中,已知B (－2,0)、C (2,0),AD ⊥BC 于点D ,△ABC 的垂心为H ,且=31.(1)求点H (x ,y )的轨迹G 的方程；(2)已知P (－1,0)、Q (1,0),M 是曲线G 上的一点,||MP ||PQ ||MQ 能成等差数列吗?若能,求出M 点的坐标；若不能,请说明理由.(1)解:∵H 点坐标为(x ,y ),则D 点坐标为(x ,0),由定比分点坐标公式可知,A 点的坐标为(x ,34y ). ∴BH =(x +2,y ),CA =(x －2,34y ). 由BH ⊥CA 知x 2－4+34y 2=0,即42x + 32y =1,∴G 的方程为42x +32y =1(y ≠0).(2)解法一:显然P 、Q 恰好为G 的两个焦点, ∴||+||=4,||=2. ||MP ||PQ ||MQ 成等差数列,||MP ||MQ ||PQ ∴||²||=| |+||=4.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+,4||||,4||||MQ MP 可得||=|MQ |=2, ∴M 点为42x +32y =1的短轴端点. ∴当M 点的坐标为(0, 3)或(0,－3)时||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.解法二:设M 点的坐标为(x ,y ),显然P 、Q 恰好为42x + 32y =1的两个焦点, ∴||+|MQ |=4,| PQ |=2. ||MP ||PQ ||MQ 成等差数列, ||MP ||MQ ||PQ 由椭圆第二定义可得|MP |=a +ex ,|MQ |=a －ex , ∴)4(211+x +)4(211x -=1.解得x =0.∴M 点的坐标为(0, 3)或(0,－3). ∴当M 点的坐标为(0,3)或(0,－3)时||MP ||PQ ||MQ 成等差数列.。