第2讲 集合综合运用
第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)
第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。
《新高一数学衔接教程》集合的综合运用(刘蒋巍编著)
教学内容 【知识点回顾】1．集合含义与表示（1）一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合，简称 集 。
其中每个对象叫做元素，简称元。
集合中的元素具有 确定性 、 互异性 和 无序性 。
（2）集合常用的表示方法有： 列举法 、 描述法 、 Venn 图法。
它们各有优点，要根据具体需要选择恰当的方法。
2．集合间的关系（1）若集合中A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记为“ B A ⊆”或“ A B ⊇ ”。
（2）若A ⊆B ，且B 中至少存在一个元素不是A 的元素，则A 是B 的真子集，记为“ B A ⊂ ”或“ A B ⊃。
（3）若两个集合的元素完全一样，则这两个集合相等，记为“A=B”。
判断集合相等还可以用下面两种方法： 方法1：B A ⊆且A B ⊆；方法2：A B A =⋂且B B A =⋂ 要点诠释：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集 。
换言之， 集合的子集至少有一个，它是空集 。
3．集合的基本运算（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的并集， 记作“A ∪B”。
用数学语言表示为 =⋃B A {}B x or A x x ∈∈ ,| 。
（2）由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，叫A 与B 的交集， 记作“A∩B”。
用数学语言表示为 =⋂B A {}B x and A x x ∈∈ ,| 。
（3）若已知全集U ，A 是U 的子集，则由所有U 中不属于A 的元素构成的集合称为集合A 在U 中的补集。
记作“A C U ”。
用数学语言表示为 {}A x and U x x A C U ∉∈= ,| 。
【综合运用】例1．已知全集U=R ，集合M={x|－2≤x －1≤2}和N={x|x=2k －1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素区有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 解析：集合{}212|≤-≤-=x x M {}31|≤≤-=x x ； 集合{},...2,1,12|=-==k k x x N 表示一切正奇数的集合；图中阴影部分所示的集合的元素区有：{}3,1，共2个元素。
【精品课件】第2课时 补集及综合应用
B.{1，3，5}
C.{0，1，3}
D.{0，1，3，5}
【解析】选C必.因备为知U识=·{0自，主1，学2习，3，4}，A={2，4}，
所以∁UA={0关，键1，能3力}.·合作学习 课堂检测·素养达标
2.设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}，如图，则阴影部
分所表示的集合为
【题组训练】
1.(2019·全国卷Ⅰ)已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，
B={2，3，6，7}，则B∩(∁UA)= ( )
A.{1，6}
B.{1，7}
C.{6，7}
D.{1，6，7}
【解析】选C必.由备已知知识得·∁自UA主=学{1习,6，7}，
所以B∩(∁UA关)=键{6能，力7·}，合故作选学C习. 课堂检测·素养达标
3.已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤2}，若B∪(∁RA)=R，B∩(∁RA)={x|0<x<1或 2<x<3}，求集合B.
【解析】因为A={x|1≤x≤2}， 所以∁RA={x|x<1或x>2}. 又B∪(∁RA)必=R备，知A识∪·(∁自RA主)=学R习，可得A⊆B. 而B∩(∁RA)=关{x键|0能<力x<·1合或作2<学x习<3}， 所以{x|0<x课<1堂或检2测<x·<素3}养⊆B达.借标助于数轴
2.补集 (1)定义
必备知识·自主学习 关键能力·合作学习 课堂检测·素养达标
(2)本质：补集既是集合之间的一种关系，又是集合的基本运算之一.
补集是一个相对的概念，只相对于相应的全集而言.
(3)作用：
第2课时 全集、补集及综合运用
B．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}
2． 已知全集 U＝{1， 2， a2－2a＋3}， A＝{1， a} ， ∁UA＝{3}， 则实数 a 等于( D ) A．0 或 2 C．1 或 2 B．0
D．2 a＝2， 解析：由题意，知 2 则 a＝2. a －2a＋3＝3，
(2)设集合 U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，4}，B＝{3，4，
{2，5} ． 5}，C＝{3，4}，则(A∪B)∩(∁UC)＝________
解析： (1)因为 A＝{x|x≤0}， B＝{x|x≥1}， 所以 A∪B＝{x|x≤0 或 x≥1}，在数轴上表示如图．
所以∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}． (2)因为 A∪B＝{2，3，4，5}，∁UC＝{1，2，5}，所以(A ∪B)∩(∁UC)＝{2，3，4，5}∩{1，2，5}＝{2，5}．
a＝2.
经检验，知 a＝2 符合题意，故 a 的值为 2.故填 2.
(2)由已知 A＝{x|x≥－m}， 得∁UA＝{x|x<－m}， 因为 B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，
所以－m≤－2，即 m≥2， 所以 m 的取值范围是 m≥2.
1．求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所 选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依 存、不可分割的两个概念．
(2)已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－ 3≤x≤2}，求 A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[解 ]
(1)因为∁UA＝{2，4，6，7，9}，∁UB＝{0，1，3，7，
第2课时 组合的综合应用
[解 ] (1)在 9 个点中，除了 α 内的四点共面和 β 内的五点共 面外，其余任意四点不共面且任意三点不共线时，所确定的 平面和直线才能达到最多，此时，最多能确定直线 C2 9＝ 36(条 )． 又因为三个不共线的点确定一个平面， 故最多可确定
1 1 2 C2 4C5＋ C4C 5＋2＝72 个平面． (2)同理，在 9 个点中，除了 α 内的四点共面和 β 内的五点共栏Βιβλιοθήκη 导引第一章计数原理
[解 ]
(1)五位数中不含数字 0. 1分
2 第 1 步，选出 5 个数字，共有 C3 C 5 4种选法 .
第 2 步，排成偶数 ——先排末位数，有 A1 2种排法，再排其他 四位数字，有 A4 4种排法 .
2 1 4 ∴ N1＝ C3 · C A 2· A 4.4 分 5 4·
栏目 导引
第一章
计数原理
3．已知∠AOB 的边 OA 上有 5 个点，边 OB 上有 6 个点， 用这些点和 O 点为顶点，能构成多少个不同的三角形？
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第一章
计数原理
解：法一：以 O 为三角形顶点，其余两顶点分别在 OA 和 OB
1 上取，能构成 C1 5C6＝ 30 个三角形；O 不为顶点，又可分为两
故共有 90＋360＋90＝ 540 种方法．
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第一章
计数原理
几何问题中的组合问题
α、 β 是两个平行平面，在 α 内取四个点，在 β 内 取五个点． (1)这些点最多能确定几条直线？几个平面？ (2)以这些点为顶点最多能作多少个三棱锥？ (链接教材 P24 例 7)
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第一章
计数原理
3分
(2)五位数中含有数字 0.
集合的综合应用
集合的综合应用在数学领域中，集合是一个重要的概念，它作为一种工具被广泛应用于各个领域。
本文将介绍集合的综合应用，包括数学、计算机科学、经济学等领域。
一、集合在数学中的应用1.1 集合的描述与表示在数学中，集合可以通过列举元素的方式进行描述。
例如，我们可以用集合A来表示所有小于10的自然数，可以写成A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}。
另外，我们还可以通过集合的特性来描述，例如写成B = {x |x是偶数, x > 0}，表示B是一个由正偶数构成的集合。
1.2 集合的运算集合运算是指对集合进行操作的一系列运算，包括并集、交集、差集和补集等。
并集是指将两个集合中的所有元素合并在一起，用符号∪表示。
交集是指两个集合中共有的元素，用符号∩表示。
差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素，用符号-表示。
补集是指指定全集中除去原集合中的所有元素，用符号表示。
1.3 集合的应用举例集合在数学中有广泛的应用，例如在概率统计中，我们可以用集合来表示事件的集合。
在数论中，集合可以用来表示整数的性质，例如素数的集合。
在代数学中，集合可以表示向量的集合，从而研究线性相关性。
此外，集合还经常用于解决实际问题，如集合论中的选择公理就用于证明无理数的存在性。
二、集合在计算机科学中的应用2.1 集合的数据结构在计算机科学中，集合是一种重要的数据结构，可以用来存储一组不重复的元素。
集合的实现一般有两种方式：数组和链表。
数组实现的集合可以通过下标直接访问元素，插入和删除元素的时间复杂度较高；链表实现的集合插入和删除元素的时间复杂度较低，但查找元素较为费时。
2.2 集合的应用举例在实际编程中，集合的应用非常广泛。
例如，在算法设计中，集合可以用来去重，即去除一组数据中的重复元素。
在图论中，集合可以用来表示图的顶点集合或边集合。
在数据库中，集合可以用来表示表中的一组数据。
三、集合在经济学中的应用3.1 集合的经济学模型在经济学中，集合被广泛用于建立经济学模型。
课件7：1.1.3 第2课时 补集及综合应用
课堂总结
1．补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合在不 同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个全集中的补集 也不同．另外，全集是一个相对概念．
2．符号∁UA存在的前提是A⊆U，这也是解有关补集问题的 一个隐含条件，充分利用题目中的隐含条件是我们解题的一个 突破口．
3．补集的几个性质： ∁UU＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁UA)＝A.
故集合 M＝mm≥－14
，∴∁UM＝mm<－14
.
而对于 N，Δ＝1－4n≥0，即 n≤14，∴N＝nn≤14
.
∴(∁UM)∩N＝xx<－14
.
Байду номын сангаас
纠错心得：(1)当方程的二次项系数为参数时，要对参数 进行讨论，不可忽视；
(2)要特别注意进行集合运算时的“端点元素”，如本题 中在求集合 M 的补集时对于元素－14的取舍要格外注意．
典例剖析
题型一 补集的运算 【例1】 已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∁UB＝{1,4,6}，求集合B. 思路点拨：由集合A与∁UA可求出全集U，本题用Venn图来 解答比较简单．
解：解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，又∁UB＝{1,4,6}， ∴B＝{2,3,5,7}． 解法二：借助Venn图，如下图所示，
1.1 集 合
1.1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合应用
自学导引
1．全集 如果一个集合含有我们_所__研__究__问__题__中__所__涉__及__的__所__有__元__素_， 那么就称这个集合为全集，通常记作_U__．
2．补集
对于一个集合A，由全集U中__不__属__于__集__合__A__
1.1.3 集合的基本运算 第2课时 补集及综合应用
思考1
如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选
出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五、„„一一确
定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻 烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名 同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的 解决方法，它可是这节内容补集的现实基础．
思考2
想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如
何用描述法表示呢？
（ {x | x S且x A}）像这样的集合也正是我
们这节课所要研究的——全集与补集.
1. 理解全集和补集的概念.（重点）
2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算.
3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关
系的研究．（难点）
的补集∁UA. 解：画出数轴，通过数轴上集合的表示可得A的补集
∁UA= {x|x≤－2或x≥1}
思考交流
补集与全集是两个密不可分的概念，同一个集合 在不同的全集中补集是不同的，不同的集合在同一个 全集中的补集也不同． 另外全集是一个相对概念．如果全集换成其他集 合时，在记号∁UA中的U要相应变换． 从而我们会注意到补集应该有许多运算性质，下 面我们逐一探求.
A
5,13,23
2， 17 3,7
B
U
11,19，29
Venn图 的灵活 运用
【变式练习】
设全集U { x | x 7, x N }，已知
（ð A) B {1, 6}, A (ðU B ) { 2, 3}， U
ðU ( A B ) {0, 5}，求集合A,B.
解：A={2，3，4，7}，B={1，4，6，7}.
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第 2 讲 集合综合运用 A {1,2,3,4} ，所以 A (CU B ) {1,4} . 【考点定位】集合的运算. 【名师点睛】先求 CU B ，再求 A (CU B ) . 集 合的运算是容易题，应注意用描述法表示集 合应注意端点值是否取号. 5. 【 2015 高 考 浙 江 ， 文 1 】 已 知 集 合
A B B 知 B A 故(Ⅰ)当 B 时，即方程 ax 1 0 无解，此时 a=0 符合已知条件(Ⅱ) 当 B 时，即方程 ax 1 0 的解为 3 或 5， 1 1 代入得 a 或 。综上满足条件的 a 组成的 3 5 1 1 集合为 0, , ，故其子集共有 23 8 个。 3 5 【知识点归类点拔】(1)在应用条件 A∪B＝ Ｂ A∩B＝Ａ Ａ Ｂ时，要树立起分类 讨论的数学思想，将集合Ａ是空集 的情况 优先进行讨论． (2)在解答集合问题时， 要注意集合的性质“确 定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合 元素的限制。有时需要进行检验求解的结果 是满足集合中元素的这个性质，此外，解题 过程中要注意集合语言(数学语言)和自然语 言之间的转化如： A x , y | x 2 y 2 4 ， B
S T R ，则 a 的取值范围是 (A) 3 a 1 (B) 3 a 1 (C) a 3 或 a 1 (D) a 3 或 a 1 【 解 析 】 S {x | x 1或x 5} ， 所 以
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x, y | x 3
， B x | x 2 a 1 x a 1 0 ， 若 B A，
则实数 a 的取值范围是 。 2 【解析】 A x | x 4 x 0 ={0，-4} B=Φ时 0 解得 a 1 。 B 时把 x=0 代入 B 中的方程解得 a=1 或 a=-1。 把 x=-4 代入 B 中的方程解得 a=1 或 a=7。 把 这 三 个 a 1 代 入 B 中 的 方 程 解 得 x 0或x 4 , a 7 代入 B 中 的 方程 解得 x 12或x 4 不符合题意，故 a 7 舍去。 三个 a 是并集关系，所以 a 1 或 a 1 。 【点评】必须把三个 a 的值代入重新算，否 则出现增根现象。 考点练习 1.【2015 高考四川，文 1】设集合 A＝{x|－1 ＜x ＜2} ，集合 B＝ {x|1 ＜ x＜ 3} ，则 A∪B＝ ( ) (A){x| － 1 ＜ x ＜ 3} (B){x| － 1 ＜ x ＜ 1} (C){x|1＜x＜2} (D){x|2＜x＜3} 【答案】A 2.(2011 北 京 理 ） 已知 集合 P {x | x 2 1} ， M {a} ，若 P M P ，则 a 的取值范围是 A. (, 1] B. [1, ) C. [1,1] D. (, 1] [1, ) 【命题意图】 本题考查一元二次不等式解法、 集合运算，是简单题. 【解析】 ： P {x | x 2 1} {x | 1 x 1} ， P M P a [ 1,1] ，选 C。 3.(2014· 课标全国Ⅰ改编 ) 已知集合 A ＝ {x|x2 －2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则 A∩B 等于 ________． 【解析】 ∵A ＝ {x|x≥3 或 x≤ － 1} ， B ＝ {x| －2≤x<2}， ∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]． 4. 【 2015 上 海文 2 】设 全 集 U R . 若集合 A {1,2,3,4} ， B { x | 2 x 3} ， 则 . A (CU B ) 【 解 析 】 因 为 B { x | 2 x 3} ， 所 以 CU B {x | x 2 或 x 3} ， 又 因 为
x x 2 2 x 3 ， Q x 2 x 4 ， 则
） Q （ A．3, 4 B． 2, 3 C． 1, 2
D． 1, 3
2
其中 r 0 , y 4 r 2 ，
2
若 A B 求 r 的取值范围。将集合所表达 的数学语言向自然语言进行转化就是：集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆， 集合 B 表示以(3，4)为圆心，以 r 为半径的圆，当两
圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径 r 的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置 关系来解答。此外如不等式的解集等也要注 意集合语言的应用。 7.已知集合 A x | x 4 x 0 【拓展练习】
复习时要注意。 【考点】绝对值不等式的基本解法. 3．(2013·浙江卷 )设集合 S＝{x|x>－2} ，T＝ {x|x2＋3x－4≤0}，则(CRS)∪T＝( ) A．(－2,1] B．(－∞，－4] C．(－∞，1] D．[1，＋∞) 【解析】T＝{x|x2＋3x－4≤0} ＝ {x|－4≤x≤1} ， CRS ＝ {x|x≤－2} ，由数轴分 析法知(CRS)∪T＝{x|x≤1}．
第2讲
集合综合运用
第2讲 要点梳理
集合综合运用
近三年高考集合回归教材，以集合的基 本运算为主，求参数及新型定义题很少出现， 考点剖析 不等式的解集与集合运算 【例 1】 （2015 北京文 1）若集合 x 5 x 2 ， x 3 x 3 ， 则
（
B x | ax 1 0 ，若 A B B ，求 实数 a
组成的集合的子集有多少个？ 【易错点分析】此题由条件 A B B 易知 B A ，由于空集是任何非空集合的子集， 但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求 解满足条件的 a 值产生漏解现象。 【解析】 ：集合 A 化简得 A 3,5 ，由
A． x 3 x 2
）
B． x 5 x 2 D． x 5 x 3
C． x 3 x 3
【解析】在数轴上将集合 A，B 表示出来， 如图所示，
由交集的定义可得， A B 为图中阴影部分， 即 x 3 x 2 ，故选 A. 【考点定位】集合的交集运算. 【名师点晴】本题主要考查的是集合的交集 运算， 属于容易题． 解题时要看清楚是求“ ” 还是求“ ”，否则很容易出现错误；一定要 注意集合中元素的互异性，防止出现错误． 【拓展练习】1．(2014·全国Ⅰ)已知集合 A＝ {x|x2 － 2x － 3≥0} ， B ＝ {x|－2≤x<2} ，则 A∩B ＝( ) A．[－2，－1] B．[－1,2) C．[－1,1] D．[1,2) 【 解析 】由不等式 x2 － 2x － 3≥0 解得 x≥3 或 x≤－1，因此集合 A＝{x|x≤－1 或 x≥3}，又集 合 B＝{x|－2≤x<2}，由数轴分析法知 A∩B＝ {x|－2≤x≤－1}，故选 A.
2. （ 2016 上 海文 1 ） 、 设 x R ， 则不等式 x 3 1 的解集为_______. 【解析】 | x 3 | 1 1 x 3 1 2 x 4 ， 故不等 式 | x 3 | 1 的解集为 (2,4) .
新型概念理解题 (2013·福建 16)设 S， T 是 R 的两 【例 2】 个非空子集， 如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ＝f(x)满足： (1)T＝{f(x)|x∈S}； (2)对任意 x1， x2∈S ，当 x1<x2 时，恒有 f(x1)<f(x2)， 那么称这两个集合“保序同构”．现给出 以下 3 对集合： ①A＝N，B＝N*； ②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}； ③A＝{x|0<x<1}，B＝R. 其中， “ 保序同构 ” 的集合对的序号是 ________．(写出所有“保序同构”的集合对的 序号) 【解析】 (1) 是指 S 是函数定义域， T 是值域， (2) 指函数递增． ①中存在函数 f(x) ＝x＋1 使 x∈A 时满足条件；②中存在 f(x)＝ 9 7 x－ 满足条件；③中存在 f(x)＝tan x 2 2 2 满足条件． 【答案】 ①②③ 【明师点睛】 解决以集合为背景的新定义 问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分 析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的 本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程 之中，这是破解新定义型集合问题难点的关 键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于 从试题中发现可以使用集合性质的一些因 素，在关键之处用好集合的运算与性质．
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“功夫”文科第一轮复习资料 【拓展练习】4.设 P 和 Q 是两个集合，定义 集合 P－Q＝{x|x∈P，且 x Q}， 如果 P＝{x|log2x＜1}，Q＝{x||x－2|＜1}，那 么 P－Q 等于( ) A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|0≤x＜2} 【解析】由 log2x＜1，得 0＜x＜2， 所以 P＝{x|0＜x＜2}；由|x－2|＜1， 得 1＜x＜3，所以 Q＝{x|1＜x＜3}． 由题意，得 P－Q＝{x|0＜x≤1}． 解法二：由题意知 P－Q＝CP（P Q) 5.(2009·北京)设 A 是整数集的一个非空子集， 对于 k∈A，如果 k－1 A 且 k＋1 A，那么 k 是 A 的一个“孤立元”，给定 S＝ {1,2,3,4,5,6,7,8}， 由 S 的 3 个元素构成的所有 集合中，不含 “孤立元 ”的集合共有________ 个． 【解析】 什么是 “孤立元”？依题意可知， 必须是没有与 k 相邻的元素， 因而无“孤立元” 是指在集合中有与 k 相邻的元素．故所求的 集合可分为如下两类： 因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}， {3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共 6 个．故 应填 6. 集合求参数问题 【例 3】(2010·天津)设集合 A＝{x||x－a|＜1， x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}．若 A∩B＝Φ， 则实数 a 的取值范围是( ) A．{a|0≤a≤6} B．{a|a≤2，或 a≥4} C．{a|a≤0，或 a≥6} D．{a|2≤a≤4} 【解析】 由|x－a|＜1 得－1＜x－a＜1， 即a －1＜x＜a＋1.如图 由图可知 a ＋ 1≤1 或 a － 1≥5 ，所以 a≤0 或 a≥6. 【点评】不等式型集合的交、并集通常可以 利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是 否符合题意。 【 拓 展 练 习 】 6.(2008 天 津 理 6 ） 设 集 合 T x | a x a 8, S x | x 2 3 ,