第二讲 集合的概念2

第二讲 集合的概念（2012-7-9）
例1 设集合A 的元素都是正整数，满足如下条件：
（1）A 的元素个数不小于3；
（2）若A a ∈，则a 的所有因数都属于A ；
（3）若A a ∈，A b ∈，b a <<1，则A ab ∈+1．
请解答下面的问题：
（1）证明：1,2,3,4,5都是集合A 的元素；
（2）问：2005,2012是否是集合A 的元素．
例2 设T 是由10060得所有正因数组成的我集合，S 是T 的一个子集，其中没有一个数是另一个数的倍数，求Card (S )的最大值（Card (S )表示有限集合M 所含元素的个数）．
例 3 对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩
对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}
M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；
（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？
例4 若集合A 具有以下性质：
①A ∈0，A ∈1；
②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，
A x ∈1. 则称集合A 是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈；
命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有
A x
y ∈；
例3对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩
对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}
M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =. （Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；
（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；
（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q A B ⊆ ，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？
解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.
………………………………………3分
（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若a C Î且a X Ï，则(({})()C a r d C X a C a r d C X ∆=∆- ；②若a C
Ï且a X Ï，则(({})C a r d C X a C a r d C X
∆=∆+ . 所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.
所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分
（Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，
所以 A B B A ∆=∆.
由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.
所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅，
()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅.
所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=.
所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.
由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆.
所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆.
所以 P Q ∆∆∅=∅.
所以 P Q ∆=∅，即P Q =.
因为 ,P Q A B ⊆ ，
所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………14分
（20）（本小题满分14分）
若集合A 具有以下性质：
①A ∈0，A ∈1；
②若A y x ∈,，则A y x ∈-，且0≠x 时，
A x ∈1. 则称集合A 是“好集”.
（Ⅰ）分别判断集合{1,0,1}B =-，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由； （Ⅱ）设集合A 是“好集”，求证：若A y x ∈,，则A y x ∈+；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A ，分别判断下面命题的真假，并说明理由.
命题p ：若A y x ∈,，则必有A xy ∈；
命题q ：若A y x ∈,，且0≠x ，则必有
A x
y ∈；
作业：
1．已知{}x A ,3,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,3,1= ，求x 的值．
2．已知X 是方程02=++q px x 的实数解集，{}{}10,7,4,1,9,7,5,3,1==B A ，且φ=A X ,X B X = ，求q p ,的值．
3．已知集合{}2),(+==ax y y x A ，{}
1),(+==x y y x B ，且B A 是一个单元素集，求实数a 的取值范围．
4．在集合{}50,,2,1 的子集S 中，任意两个元素的平方和不是7的倍数，求Card (S )的最大值．
5．M 是正整数集的子集，满足：M M M ∉∈∈2007,2006,1，并且有如下性质：若M b a ∈,，则M b a ∈⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡+22
2，求M 有多少非空子集？ 6．设S 1，S 2，S 3,，是三个由整数组成的非空集，已知对于1,2,3的任意的一个排列k j i ,,，如果j i S y S x ∈∈,，则k S y x ∈-，证明：S 1，S 2，S 3中必有两个集合相等．
7．已知集合{}1),(=+=y ax y x A ，{}1),(=+=ay x y x B ，{}1),(22=+=y x y x C ，则
（1）当a 去何值时，C B A )(是一个2元素集；
（2）当a 去何值时，C B A )(是一个3元素集．
8．设集合{}54321,,,,a a a a a A =，{}
2524232221,,,,a a a a a B =，其中)51(≤≤i a i 都是正整数，
且54321a a a a a <<<<，1041=+a a ，并且满足{}41,a a B A = ，B A 中所有数之和为224，求集合A ．
9．考虑集合{}2000
,,2,1 满足下述条件的子集A ，A 中没有一个数是另一个数的5倍，求Card (A )的最大值．
10．已知一族集合n A A A ,,,21 具有性质：
（1）每个i A 含有30个元素；
（2）对每一对j i ,：n j i ≤<≤1，j i A A 都是单元素集；
（3）φ=n A A A 21．
求使这样的集合族存在的最大的正整数n ．
11．已知{}2000
,2,1 ⊆A ，且A 中任意两个数之差的绝对值不等于4或7，求Card (A )的最大值．
测试题
1．已知集合{}*2,1N a a x x A ∈+==，{}*2,106N b b b y y B ∈++==，确定集合A 和B 之间的关系．
2．已知{}R y x y x I ∈=,),(，{}23),(-==x y y x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧=--=324)
,(x y y x B ，求B A 及B A C I ．
3．已知集合{}*,101N x x x S ∈<<=，对它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k ，都乘以k )1(-在求和（例如，{}8,3,2=A ，则可求得和为
78)1(3)1(2)1(832=⋅-+⋅-+⋅-）
．对S 的所有非空子集，求这些和的总和．
4．设{}*22,,N
y x y x n n M ∈-==，求证：M ∉2006，并求M 中，从小到大的第2006个正整数的大小．
5．设{}*22,,N y x y x n n M ∈+==，求证：M ∉1999，并且对任意正整数k ，均有M k ∉1999．
6．设k A A A ,,,21 是集合{}10,,2,1 =X 的不同子集，它们两辆的交集都不是空集，而
X 的其他子集不能与k A A A ,,,21 中每一个的交集都是非空集合，求k 的值．。