11集合的概念及其表示一
集合的概念及运算
解： (1)∵A＝{x| ≤x≤3}， 2 当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}， 当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}， 1 当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}， 1 ∴A∩B＝{x| ≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}. 21 ∴A∩B＝{x| ≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}. 2 ∴A∩B＝{x| ≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}. 2
1 当a>0时，若B⊆A，如图， 又∵a<0，∴－ <a<0.
.
1 1 －2< a<0 － >2 1 又∵a<0，∴－ <a<0. a 2 又∵a<0，∴－ <a<0. 2
则 4 a≥2
1 12 －a≤－ 2
0<a≤2 ，∴ . 0<a≤2
又∵a>0，∴0<a≤2. 又∵a>0，∴0<a≤2.
{(a, b)|a⊕b=8，a , b∈N* }中元素的个数为(
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
C)
解析 当a, b奇偶性相同时, a⊕b=a+b=1+7=2+6=3+5 =4+4. 当 a, b奇偶性不同时， a⊕b=ab=1×8, 由于(a, b)有序，
故共有元素4×2+1=9个.
走进高考
探究提高 本题新定义了两种运算，看似复杂，但事实上运 算结果可以通过题目中的表格得出.借助于集合定义新 运算是高考中命制创新试题的一个良好素材.
对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:
m n , m 与 n 奇偶性相同 , m n mn , m 与 n 奇偶性不同 ,
集合的含义及其表示课件人教新课标3
2024/11/4
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康托尔与集合论
问题1:在初中我们学习过哪些集合?
代数:实数集合、不等式的解集等; 几何:点的集合等
问题2:在初中我们用集合描述过什么?
在初中几何中,圆的概念是用点的
集合描述的.
2024/11/4
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阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？
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3、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或 者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的（即没 有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个. （3）无序性：集合中的元素间是无次序关系的. （4）任意性：集合中的元素可以是任意的具体确 定的事物.
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2、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A， 记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于 A，记作aA
注：1、集合通常用大括号或大写的拉丁字母表示
如{1，2，3，4，5}与{虎丘高中的学生}； 又如A、B、C、P、Q…… 元素通常用小写的拉丁字母表示， 如a、b、c、p、q…… 2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写
集合的方法. 例如，图1-1表示任意一个集合A；图12表示集合{1，2，3，4，5}.
文氏图（韦恩图）
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6. 集合的分类：有限集与无限集
从前面的例子我们看到，有些集合的元素有限， 有些集合的元素无限，因此集合按元素有限与无 限可分为有限集与无限集：
1.集合及其表示
集合及其表示知识要点1．集合概念（1）我们常常把能够确切指定的对象看作一个整体，这个整体就叫做集合，简称集。
集合中的各个对象叫做这个结合的元素。
集合常用大写字母A ，B ，C ……表示，集合中的元素用小写字母a b c ⋅⋅⋅、、表示。
例如：a 是集合A 中元素，记作a A ∈，a 不是A 中元素，记作a A ∉，分别读作“a 属于A ”，“a 不属于A ”。
（2）集合的分类：有限集、无限集和空集。
空集记作∅。
（3）特殊集合的表示：自然数：N ；不包括零的自然数：N *；整数：Z ；有理数：Q ；实数：R 。
2．集合的表示法（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来（列举时不考虑元素的顺序）并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫列举法。
（补充：比较适合个数较少的有限集）（2）描述法：在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所具有的共同特性，即{}A x x P =∈，这中表示集合的方法叫做描述法。
（3）图示法：用图形围成的区域来表示集合的方法叫做集合的图示法，通常用圆及圆内部表示集合。
3．集合元素的性质：确定性、互异性、无序性。
4．集合之间的关系（1）子集及子集相关定义：对于两个集合A 和B ，如果A 中任何一个元素都属于B ，那么集合A 叫做集合B 的子集。
记作A B ⊆或B A ⊇，读作“A 包含于B ”或“B 包含A ”。
我们规定∅是任何集合的子集。
对于集合A 、B ，如果A B ⊆，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作“A 真包含于B ”或“B 真包含A ”。
（2）相等的集合：两个集合A 、B ，如果A B ⊆且B A ⊆，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作A=B 。
精选例题例1、 用适当的符号;;;;≠≠∈⊂∉=⊃填空. 3.14_______;Q {}0______0; ________;N ∅________;Z N +* 0________∅ 2;Q________;Q π {}2_______;-偶数 {}{}1________-奇数0.3_______;Q {}1________;质数{}{}21,_______21,x x k k Z t t k k Z =-∈=+∈ {}2_______20,;x x x R ∅+=∈{}{}24,_________,y y x x R z z x x R =∈=∈ 例2、用适当的方法表示下列集合：(1) 关于x 的不等式||5x <的整数的解集；(2) 所有奇数构成的集合；(3) 方程0)2)(1(22=---x x x 的解的集合；(4) 直角坐标平面上所有第三象限的点；(5) 函数3y x =- 的所有函数值组成的集合。
集合的含义与表示
(x－2a)＜0
当B A时，画数轴知2a≥1或a＋1≤－1， 1 即a≥ 或 a≤－2. 2 而a＜1，∴满足条件的a的取值范围是 1 (－∞，－2］∪［ ，1). 2
所有奇数组成的集合可以表示为:
B={x| x=2k+1,k∈Z}.
说明:
(1)列举法和描述法是集合的常用表示方法,两种方 法各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具 体分析.
要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时， 不宜采用列举法
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素 {(x,y)|y= x2 +3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同，只要 不引起误解，集合的代表元素也可省略，
集合的含义与表示
一、集合的含义：
(1)1~20以内的所有质数； (2)我国从1991~2005年的15年内所发射的所有人造卫星;
(3)金星汽车厂2003年生产的所有汽车;
(4)2004年1月1日之前与我国建立立外交关系的所有国家 ;
(5)所有的正方形;
归纳总结这些 例子 (6)到直线l的距离等于定长3cm的所有点 ; ,你能说出 它们的特征吗? (7)方程x2+3x+2=0的所有实数解;
n ② {x|x= n 2
, n ∈ N*且n≤5}
2.用列举法表示下列集合：
6 （1）A=﹛x∈N︱1 x∈Z﹜
6 B=﹛1 x∈N
(2)
︱ x∈ Z ﹜
3. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
●
集合理论是由德国数学家康托尔发现的，他 创造的集合论是近代许多数学分支的基础．
集合的含义及其表示
集合的含义及其表示1.1集合的含义及其表示一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。
2.集合元素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：⑴确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。
设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。
⑵互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。
设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。
3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。
例如：是集合的元素，记作，读作“ 属于”；不是集合的元素，记作，读作“ 不属于”。
4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。
特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。
5.集合的表示方法⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。
⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。
例如：集合可以用它的特征性质描述为{ }，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。
除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。
离散数学讲解第一章
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集合族: 由集合构成的集合.
{{6}, {1,5} , {2,4}, {1,2,3}} 幂集都是集族.
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指标集(index set): 设A是集合族, 若 A = { Ai | iK }, 则K称为A的指标集.
全集是相对的, 视情况而定, 因此不唯一.
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1.4集合之间的运算
1. 并集: 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素 组成的集合，称为A与B的并集，记作AB AB = { u | uA 或 uB}
AB
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2. 交集：设有集合A、B，属于A同时又属于B的所有 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A B AB = { u | u A 且 u B }
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对任意集合A, A 证明: 反证法（设结论不成立，推出矛盾）
假设空集不是集合A的子集，即 A 根据定义1-2，存在x ， x A， 这与空集的定义矛盾 假设不成立，应有A，原结论成立。
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定理: 空集是唯一的.
证明: 设1与2都是空集, 则 12 且 21 1=2 .
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2. 集合的表示
列举法:
列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分 开，然后用花括号括起来，例如: A={a,b,c,d,…,x,y,z} B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} C={2,4,6,…}
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描述法
给定一个条件P(x) ，当且仅当a使条件P(a)成立 时，a∈A。
复习课件11集合的概念及其基本运算
变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}， 若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____． 学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记 本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易 忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值 为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分 类讨论，避免误解．
思想方法 感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类 深度剖析
题型一 集合的基本概念 例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的 所有元素之和为________． 思维启迪 集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的 所有值，再求其和．
集合经典知识点复习总结与练习综合
知识点一：集合的含义与表示一、集合的概念实例引入：⑴1~20以内的所有质数;⑵我国从1991~2003的13年内所发射的所有人造卫星;⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车;⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家;⑸所有的正方形;⑹黄图盛中学2004年9月入学的高一学生全体.概念结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.二、集合元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写练习：判断下列各组对象能否构成一个集合⑴2，3，4 ⑵（2，3），（3，4）⑶三角形⑷2，4，6，8，…⑸1，2，（1，2），{1，2}⑹我国的小河流⑺方程x2+4=0的所有实数解⑻好心的人⑼著名的数学家⑽方程x2+2x+1=0的解三、集合相等构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等四、集合元素与集合的关系集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示：（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∈A五、常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），除0的非负整数集，也称正整数集，整数集，；有理数集，实数集，练习：（1）已知集合M={a，b，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（）A直角三角形 B 锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形（2）说出集合{1，2}与集合{x=1，y=2}的异同点？六、集合的表示方式（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内；（2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示的方法.（具体方法）例1、用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；（3）由1~20以内的所有质数组成。
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三、小 结：本节课学习了以下内容： 1.集合的含义； 2.集合中元素的特性：
确定性，互异性，无序性
3.数集及有关符号.
?集合的含义是什么？ ?集合之间有什么关系？ ?怎样进行集合的运算？
练习：
(1)P1 2
(2) 思考题：已知2是集合{0,a,a2 -3a+2}中的元 素,则实数a为( )
A.２ B.０或3 C. 3
（一）集合的有关概念：
1、集合的含义
（1）集合：一定范围内某些确定的、 不同的对象的全体构成一个集合。
（2）元素：集合中的每一个对象叫 做该集合的元素。
探讨以下问题 :
(1){1,2,2,3} 是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗 ?
(2)著名科学家能构成一个集合吗 ? (3) {a,b,c,d} 和{b,c,d,a} 是不是
（4）有理数集 ： 全体有理数的集合。记作 Q （5）实数集： 全体实数的集合。记作 R
对象与集合的关系：
? 如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A， 读作a属于A；如果对象a不是集合A的元 素，就记作a∈A，读作a不属于A。
? 如：2∈Z，2.5∈Z
例1 下列的各组对象能否构成集合： (1)所有的好人； (2)小于2003的数； (3) 和2003非常接近的数。 (4)小于5的自然数； (5)不等式2x+1>7的整数解； (6)方程 x2+1=0 的实数解 ；
（3）无序性：集合中的元素没有一定 的顺序（通常用正常的顺序写出）
集合常用大写拉丁字母来表示。 如集合A、集合B。
常用数集及记法 （1）自然数集（ 非负整数集 ） ：
全体非负整数的集合。记作 N
（ 2）正整数集 : 非负整数集内排除 0的集。记作 N*或N+
（3）整数集： 全体整数的集合。记作 Z
D . 0,2,3均可
表示同一个集合？ (4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素。 (5) “young 中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。 (6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素。
2、集合中元素的特性 （1）确定性：
按照明确的判断标准给定 一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可。 （2）互异性：集合中的元素没有重复。
集合的含义及其表示
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔
茫茫的草原上，一群羊在悠闲的走动
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
－－－－－
集合的含义及其表示(一)
问题情境
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现 在的班级。
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等， 有什么共同特征？
同一类对象的汇集
活动
1.列举生活中的集合的例子； 2.分析、概括各实例的共同特征
（三） 有限集与无限集 1、有限集：含有有限个元素的集合。 2、无限集：含有无限个元素的集合。
3、空集：不含任何元素的集合。记作Φ
例2 用符号“ ∈”或“∈”填空：
(1)3.14＿Q； (2) π＿Q ；Leabharlann (3)0 ＿ N+
(4)0 ＿ N
(5)(-2) 0 ＿ N+ (6)2 5 ＿ Z
(7) 2 5 ＿ Q (8)2 5 ＿ Q