集合的基本概念与运算

第1讲 集合的基本概念与运算
吴江市高级中学 李文静
一、高考要求
①理解子集、补集、交集、并集的概念； ②了解空集和全集的意义；③了解属于、包含、相等关系的意义；④掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合． 二、两点解读
重点：①集合的三大性质； ②集合的表示方法 ；③集合的子、交、并、补等运算． 难点：①新问题情境下集合概念的理解；②点集和数集的区别；③空集的考查． 三、课前训练
1．设集合A=｛1,2｝，B=｛1,2,3｝，C=｛2,3,4｝则=C B A Y I ）（（ ）
( A ) ｛1,2,3｝ ( B ) ｛1,2,4｝ ( C ) }4,3,2{ ( D ) }4,3,2,1{
2．设集合}01{<<-=m m P ，044{2<-+∈=mx mx R m Q ，对任意的实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）
(A) P Q (B) Q P
(C)Q P = (D)P Q =∅I
3．已知集合}{2x y y A ==，}2{x y y B ==，则=B A I ____________．
4．设集合A={5，)3(log 2+a },集合B={a ，b }．若B A I ={2}，则B A Y = ．
四、典型例题
例1 设集合},412{Z k k x x M ∈+==，},2
1
4{Z k k x x N ∈+==, ,则（ ） (A) M N (B) N M
(C)M N = (D)M N =∅I
例2 设集合},,1),{(22R y R x y x y x M ∈∈=+=，},,1),{(2R y R x y x y x N ∈∈=-=，则集合N M I 中元素的个数为（ ）
(A ) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
例3设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合},|{Q b P a b a Q P ∈∈+=+，若},5,2,0{=P }6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是_______________．
例4 已知集合}06{2=-+=x x x M ，}01{=-=mx x N ，若M N ⊆，则实数m 的取值构成的集合为______________________．
例 5 已知R a ∈，二次函数a x ax x f 22)(2--=．设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合
⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠ ⊂ ≠
}31{<<=x x B ，若A B ≠∅I ，求a 的取值范围．
例6设集合A 中不含有元素—1，0，1，且满足条件：若A a ∈，则有
A a
a
∈-+11，请考虑以下问题： （Ⅰ）已知A ∈2，求出A 中其它所有元素；
（Ⅱ）自己设计一个实数属于A ，再求出A 中其它所有元素； （Ⅲ）根据已知条件和前面（Ⅰ）（Ⅱ）你能悟出什么道理来，并证明你的猜想．
第1讲 集合的基本概念与运算参考答案
课前训练部分
1． D 2． A 3．}0|{>y y 4． {1，2，5} 典型例题部分
例1 在M 集合中：214k x +=
，即124+=k x ，Z k ∈；在N 集合中：,k x k Z ∈+2
=
4
，即24+=k x ；由此可见：集合M 中元素的4倍是奇数，集合N 中的元素的4倍是整数，故选A ．
例 2 选B ．如右图，在同一坐标系画出两个点集所表示的图
象．由图象可知，两曲线有两个交点，即N M I 有两个元素．
分别取1，2，6
例3 因为Q b P a ∈∈,，所以},5,2,0{∈a }6,2,1{∈b ．当0=a 时，b 可得b a +分别为1，2，6；当2=a 时，b 分别取1，2，6可得b a +分别为3，4，8；
当5=a 时，b 分别取1，2，6可得b a +分别为6，7，11．综上：}11,8,7,6,4,3,2,1{∈+b a ，故Q P +中有8个元素．
例 4 方程062=-+x x 两根分别为：3,2-，因此}3,2{-=M ．由M N ⊆得Φ=N 或{2}或{－3}
，所以，
实数m 的取值构成的集合为}2
1
,0,31{-．
例 5 易知0≠a ，由0)(=x f 得：21121a a x +-=
，221
21a
a x ++=，由此可得：0,021><x x ．（1）当0>a 时，}{}{21x x x x x x A ><=Y ，Φ≠B A I 的充要条件是32<x ，即
31
212<++a
a ，解得76>a ；
（2）当0<a 时，}{21x x x x A <<=，Φ≠B A I 的充要条件是12>x ，即
11
212>++a
a ，解得2-<a ． 综上所述，使Φ≠B A I 成立的a 的取值范围为),7
6
()2,(+∞--∞Y ．
例 6 （Ⅰ）由A ∈2，则A A A A ∈=-+
⇒∈=+-
⇒
∈-=+-⇒∈-=-+23
113113121121
121313132121，所以集合}3
1
,21,3,2{--=A ；
（Ⅱ）任取一常数，如3A ∈，则同理（Ⅰ）可得：}2
1
,31,2,3{--=A ；
（Ⅲ）猜想任意的A a a a ∈≠±≠,0,1，则集合⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+---+=11,1,11,
a a a a a a A ．下面作简要证明：A a ∈，则=+-⇒∈-=-+--++
⇒
∈-+a a A a a a a a A a a 1111111111111A a a a a a A a a ∈=+--+-+
⇒∈+-11111
111．这四个元素互不相等，否则01=±=a a 或．
过关练习
1．A 2．C 3． A 4．C 5 ．5≤a 6 ．4->p 7．2
{|(1)3}{|3}A y y x y y ==++=≥
（1） 当0=a 时，{|2}B y y x R ==-=，满足A B ⊆；
（2） 当0a ≠时，224y ax x a =-+是二次函数，
若0a <,1
{|4}B y y a a =≤-,则A B ⊄； 若0a >，1{|4}B y y a a
=≥-；由A B ⊆得
103140≤<⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧≤->a q a a ，综合（1）（2）得{|01}a a ≤≤． 8．由Φ≠B A I 知，a 是否存在，取决于方程组2
21y x y ax ax a
=-⎧⎨
=-+⎩是否有x 的正整数解，消去y 得：
2(2)10ax a x a -+++=①，由0∆≥，即2(2)4(1)0a a a +-+≥，解得3
3
2332≤
≤-
a ．因为a 为非零整数，所以a 可能取的值为1,1-．
当1a =-时，代入①解得01x x ==-或，这与*
x N ∈矛盾，故1a ≠-；
当1a =时，代入①解得12x x ==或，符合题意．所以存在1a =,使得Φ≠B A I ，此时)}3,2(),1,1{(=B A I ．。