平面力偶系的合成与平衡;平面一般力系的简化
平面任意力系的简化
附加力偶系可以合成为一个力偶，其力偶矩为
MO M1 M 2
M n MO (F1 ) MO (F2 )
MO (Fn ) MO (Fi )
称为原力系对简化中心O的主矩，主矩与简化中心的选择有关。
结论：
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O ；这力偶的矩等于该力系 对简化中心O的主矩。主矢与简化中心位置无关，而主矩一般与简化中心 位置有关。 主矢的解析表达式为
3.力的平移定理是平面任意力系简化为平面汇交力系和平面力偶系
的依据。
B
d
F
＝
F″ A
B
d
F′
F′
M
F
A
＝
A
B
2. 平面任意力系向作用面内一点简化·主矢与主矩
F1
F2
y ′ FR j O y MO i x
O
简化 中心 Fn
F1 F1
F2 F2
Fn Fn
F1′
M1
M2 O Mn
′ F2 x
F1 C O
3m
F4
30° x
( F'Rx )2 ( F'Ry )2 4.662kN FR
y
主矢方向
F'Rx cos( F'R , i ) 0.986 FR F'Ry cos( F'R , j ) 0.165 FR
2、求主矩MO
( F'R , i ) 9.5 ( F'R , i ) 80.5
M1 M O (F1 )
M 2 M O (F2 ) M n M O (Fn )
第3章力系平衡方程
F F
2 x y
2
38.822 3.82
（kN） 33
主矢FR′的方向为
tan
F F
y
3.8 32.82
0.1158
6 .6
x
主矢FR′在第四象限内，与x轴的夹角为6.6°。
2019/1/5
（2）求主矩MO 力系对点O的主矩为 MO=∑MO(F) =－F1sin20°· b－F2cos30°· b + F2sin30°· a +m =－20×0.342×10－ 30×0.866×10+30×0.5×6+100 =－138(kN· m) 顺时针方向。
图3-5
2019/1/5
【例3-2】图
【解】 （1）建立直角坐标系，计算合力在x轴和y轴 上的投影
FRx Fx F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45
=200×0.866－300×0.5－100×0.707+250×0.707 =129.25N
MO（FR）= MO（F1）+ MO（F2）+…+ MO（Fn） =∑MO（F）
（3-6）
2019/1/5
【例3-5】 如图3-9所示，每1m长挡土墙所受土压 力的合力为FR，如FR=200kN，求土压力FR使挡土墙倾覆的 力矩。 【解】土压力FR可使挡土墙绕 A点倾覆，故求土压力FR使墙倾覆 的力矩，就是求FR对A点的力矩。 由已知尺寸求力臂d比较麻烦，但 如果将FR分解为两个力F1和F2，则 两分力的力臂是已知的，故由式 （3-6）可得
图3-16
力的平移定理
2019/1/5
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程(常用版)
平面力系-平面汇交力系的简化与平衡方程（常用版）(可以直接使用，可编辑完整版资料，欢迎下载）第2章平面力系192.1 平面汇交力系的简化与平衡方程 (19)2.2 力对点之矩合力矩定理 (24)2.3 力偶及其性质 (27)2.4 平面力偶系的合成与平衡方程 (30)2.5 平面一般力系的简化与平衡方程 (32)2.6 物体系统的平衡 (40)*附录Ⅱ：机械应用实例 (49)第2章平面力系本章主要介绍平面力系的简化与平衡问题，平面状态下物系平衡问题的解法。
按照力系中各力的作用线是否在同一平面内，可将力系分为平面力系和空间力系。
若各力作用线都在同一平面内并汇交于一点，则此力系称为平面汇交力系。
按照由特殊到一般的认识规律，我们先研究平面汇交力系的简化与平衡规律。
2.1 平面汇交力系的简化与平衡方程2.1.1 概述设刚体上作用有一个平面汇交力系F1、F2、…、F n，各力汇交于A点（图2-1a）。
根据力的可传性，可将这些力沿其作用线移到A点，从而得到一个平面共点力系（图2-1b）。
故平面汇交力系可简化为平面共点力系。
a ）b ）图2-1连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力。
在图2-1b 中，先合成力F 1与F 2（图中未画出力平行四边形），可得力F R1，即 F R1＝F 1+ F 2；再将F R1与F 3合成为力F R2，即F R2＝F R1+ F 3；依此类推，最后可得F R ＝F 1+ F 2+…+ F n ＝∑F i （2-1）式中 F R 即是该力系的合力。
故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。
因合力与力系等效，故平面汇交力系的平衡条件是该力系的合力为零。
2.1.2力在坐标轴上的投影过F 两端向坐标轴引垂线（图2-2）得垂足a 、b 、a'、b'。
线段ab 和a'b'分别为F 在x 轴和y轴上投影的大小，投影的正负号规定为：从a 到b （或从a'到b'）的指向与坐标轴正向相同为正，相反为负。
第3章-平面与空间一般力系
故求土压力 FR使墙倾覆的力矩，就是求 FR
对A点的力矩。由已知尺寸求力臂d不方便，但如果将
FR分解为两分力 F1 和 F2
M A (FR ) M A (F1) M A (F2 )
F1h / 3 F2b
，
＝FR cos 30
＝150kN 3
1h3.5m -F1R50siknN301h1.5m
注意：主矢与简化中心位置无关，主矩则有关。因此说
到力系的主矩时，必须指出是力系对于哪一点的主矩。
主矢的解析表达法
R RX 2 RY 2
RX X1 X 2 X n X1 X 2 X n X
同理： RY Y
R X 2 Y 2
Tan RY Y RX X
M0=∑M0=M0(F1)+M0(F2)+…M0(Fn)=∑M0(F)
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力
FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 FA FB
n
由平衡条件 Mi 0 ，得： i 1
FB d M 0
30°
FB (4m sin 30 ) 20MkN m 0
n
Mi 0
i 1
【例题3-3】 如图3-10(a)所示的简支梁AB，受一力偶的作用。
已知力偶 M 20kN m ，梁长l 4m ，梁的自重不计。 求梁A、B支座处的反力。
30°
M
A B
4m
60°
d
M
A FA
B FB 4m
【解】 取梁AB为研究对象，梁AB上作用一集中力偶M且保持 平衡，由于力偶只能用力偶来平衡，则A、B处的支座反力必形 成一对与已知力偶M反向的力偶
第2章 平面力系的等效简化
合力的大小：
R =
l q x dx =
lx
1
qdx = ql
0
0l
2
合力的作用线位置：R
d
=
l
0
q
x
dx
x
=
l
0
x2 l
qdx
=
1 3
ql 2
d= 2l 3
③梯形荷载的简化
梯形荷载：一端分布荷载集度为q1，另一 端分布荷载集度为q2，梯形荷载可以看成 是均布荷载和三角形荷载的叠加
2.多个汇交力的合成:
多次连续利用力的平行四边形公理（或三角形法则），进行力
的合成。利用矢量的几何性质，确定各分力之间的关系。
多个汇交力的合成
力多边形规则
多个汇交力:
v F1
多个汇交力的合成:
力多边形 注意力多边形规则
.. . .. . .. .
多个汇交力的合成:
v
nv
FR F1 F2 L Fn Fi
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
RA P1 P2' RB P1' P2
合力矩 M RAd (P1 P2' )d P1d P2'd m1 m2
14
结论:
n
M m1 m2 mn mi
i1
平面力偶系合成结果还是一个力偶, 其力偶矩为各力偶矩的代数和。
第2章 平面力系的等效简化
2.1力系的分类
2.1.1 平面力系与空间力系 平面力系:力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。 空间力系:力的作用线分布不在同一平面内的力系称为空间力系。
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第四章 平面一般力系
点O的力
， ，
（平面汇交力系）
附加力偶
（平面力偶系）
分别合成 这两个力系
（原来各力的矢量和）
（原来各力对点一 个力和一个力偶。
这个力等于该力系的主矢，即平面一般力系中所有各力的矢量 和
作用线通过简化中心O； 这个力偶的矩等了该力系对于点O的主矩，即这些力对于任选简 化中心O的矩的代数和
方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。我们 可以利用这个方程来校核计算的结果。
§4-6 平面平行力系的平衡方程
平面平行力系:各力的作用线在同一平面内且相互平行的力系。 如图所示，设物体受平面平行力系 的作用。
平行力系的独立平衡方程的数目 只有两个，即：
或
注：其中A、B两点的连线不得与各力平行。
平面一般力系平衡的必要和充分条件
平面一般力系平衡的充要条件是：所有各力在两个任选的坐 标轴上的投影的代数和分别等于零．以及各力对于任意点的 矩的代数和也等于零。
平面一般力系 的平衡方程 (一矩式)
（三个方程， 求解三个未知数）
支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C相联接，并各 以铰链A、D连接于铅直墙上。如图所示。已知AC＝CB；杆 DC与水平线成 角；载荷P＝10kN，作用于B处。设梁和杆 的重量忽略不计，求铰链A的约束反力和杆DC所受的力。 解：(1)取AB梁为研究对象。 (2)画受力图。 (3)列平衡方程。 (a) (b)
解: (1)当满载时，为使起重机不 绕点B翻倒。在临界情况下 。
当空载时，为使起重机不绕点 A翻倒。在临界情况下 。
(2)当平衡荷重 的反力？
时，求满载时轨道A、B给起重机轮子
解:(2)根据平面平行力系的平衡方程，有：
解得
利用多余的不独立方程 来校验以上计算结果是否正确。
平面力系的合成与平衡
tan Roy
Rox
(2) 主矩M0 附加力偶系M1、M2… Mn的合成结果是作用在
同平面内的合力偶，该力偶的矩用MO 代表，称为原
平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
Mo M1 M2 L Mn Mo (F1 ) Mo (F2 ) L Mo (Fn )
n
Mo (Fi ) i 1
空间汇交力系
空间一般力系
空间平行力系
（2）特点： 1）力的大小方向任意； 2）力的作用点(包括起点和终点）都在同一平面内，即力的作 用线在同一平面内。
2、工程实例
严格的讲，实际工程中，受上述平面任意力系作用的物体并不多见。只是在求解 许多工程问题时，可以把所研究的问题加以简化，按物体受平面任意力系作用来处 理。如建筑物中的楼板是放置在梁上的，对梁来说，楼板上的面荷载可以转化为线 荷载作用在梁的对称平面内，梁所受的约束反力也可看成作用在此平面内，故梁上 作用的力系自然为平面力系。并且这种简化处理能与实际情况足够接近。
力系的主矢。
R0的大小与方向由原力系各力的矢量和决定， 可用力多边形法则的图解法求解，或用数解法求出。
(1) 主矢R0
用数解法时，先计算R0在x轴和y轴上的投影：
n
Rox F1x F2 x L Fnx Fix i 1 n
Roy F1 y F2 y L Fny Fiy i 1
合力的大小
R Rx2 Ry2
2
Fx
2
Fy
合力的方向 cos Rx Fx , cos Ry Fy
RR
RR
合力作用点：为该力系的汇交点
（二）平面任意力系向作用面内任一点简化 F
F
F’ = F’’=F F’
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江苏省楚州职业教育中心校
工程力学
授 课 日 期 年 月 日 节 年 月 日 节 年 月 日 节
授 课 班 级
课题与主要
内 容
平面力偶系的合成与平衡；平面一般力系的简化
教学目的 与要求 掌握平面力偶系的条件,会求解约束反力；理解平面一般力的简化和简
化结果。
重点与难点 平面一般力系的简化
布 置 作 业 3-6 3-12
`教 学 内 容 与 方 法 步 骤 附 记
§2 平面力偶系的合成与平衡
1、平面力偶系 2、平面力偶系的合成 3、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和
等子零，即 0m
§3平面一般力系的简化
一、平面一般力系的简化
平面一般力系简化为一汇交力系和一力偶系。
1、平面汇交力系F1＇，F2＇……Fn＇可以合成为作用于O点的合力FR＇矢
量FR＇称为原力系的主矢量。
22)()(/yxRFFF
tgθ=FxFy
2、附加平面力偶系可以合成为一个力偶，某力偶矩m。称为原力系的主矩。
m。= m0 (F1)+ m0 (F2)+…+ m0 (Fn) =Σm0 (F)
3、简化结果 原力系简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。
二、平面一般力系的简化结果讨论
简化结果主矢FR＇和主矩m0分别为零或不为零时，可能出现一下几种
情况：
1、FR＇ = 0 m00时， 力系合成为一个力偶（原力系和一个力偶等效）。
2、FR＇0 m0 =0时， 力系合成为一个合力（原力系和一个力等效），
3、FR＇0 m00时， 力系合成为一个合力（原力系和一个力等效）。
4、FR ＇=0 m0 = 0 平衡。
本节内容为
平面力偶系
的合成与平
衡及平面一
般力系的简
化
．
．
．
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．
．
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装
．
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．
．
．
．
．
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．
．
．
．
．
订
．
．
．
．
．
．
．
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线
．
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江苏省楚州职业教育中心校
教 学 内 容
教学方法
与手段
§2平面力偶系的合成与平衡
1、平面力偶系
同时作用在物体上有两个或两个以上的力偶时，这些力偶叫做力偶系。
在同一个平面内的力偶系叫做平面力偶系。
力偶系的简化就是将力偶系中所有力偶合成一个合力偶。
2、平面力偶系的合成
我们应用力偶的等效性来研究平面力偶系的合成问题。
设在同一个平面内的两个力偶(F1，F1) (F2，F2)，其力偶矩分别为m1、
m2，，保持力偶矩m1、m
2
不变,而改变它们的力偶臂,得两个新的力偶。再将
这两个新力偶在平面内移动和转动，使它们的力偶臂重合，然后将作用两
个共线力合成，它们组成了一个新力偶。这个新力偶与原来的两个力偶等
效。
如果有n个力偶，仍可用上法合成。于是可得结论：平面力偶系可以
合成为一个合力偶，其力偶矩等子各分力偶矩的代数和，即
mmmmMn21
3、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系可合成为一个合力偶：当合力偶矩等于零时，则力偶系中
各力偶对物体的转动效应相互抵消，物体处于平衡状态；当合力偶矩不等
于零，则物体必有转动效应而不平衡。所以，平面力偶系平衡的必要和充
分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等子零，即
0m
利用上式求解平面力偶系的平衡问题，可求出一个未知量。
例1：图示梁AB受一力偶作用。力偶矩m=10KN/m,梁长l=4m,α=30度。
梁自重不计，求AB支座反力。
解：（1）取研究对象
（2）取平衡条件
0coslFmom
B
KNalmFB9.2866.0410cos
KNFFBA9.2
平面力偶
系的合成
和平衡条
件的推正
可以从简，
但结论应
明确
江苏省楚州职业教育中心校
例2：∑m=0
FA·a2- m=0 FA =2am
例3：
§3 平面一般力系的合成
平面汇交力系可以合成为一个合力,平面力偶系可以合成一个力偶。那
么,一般力系合成的最简单形式是什么?
一、平面一般力系的简化
设在某物体上作用有平面一般力系F1……Fn ,在力系的作用平面内任
选一点O，并根据力的平移定理将力系中各力都平移到O点，于是就得到
汇交于O点的汇交力系F1＇，F2＇……Fn＇和内力偶矩为m1,m2,……mn所
组成的附加平面力偶系。且有：
F1＇= F1 F2＇= F2 Fn＇=Fn
m1= m0 (F1) m2 = m0 (F2) mn = mn (Fn)
1、平面汇交力系F1＇，F2＇……Fn＇可以合成为作用于O点的合力FR＇矢
量FR＇称为原力系的主矢量。 即：FR＇=F1＇+F2＇+……Fn＇
平面一般
力系的简
化过程和
方法要突
出，简化结
果要详细
讨论。主失
和主矩的
概念要清
晰，计算方
法要掌握
。
江苏省楚州职业教育中心校
其大小和方向由下式确定 2/2/)()(/yxRFFF tgθ=xFyF 因 F1＇= F1 F2＇=F2 Fn＇=Fn 所以 22)()(/yxRFFF tgθ=FxFy 注意：（1）在计算主矢量时，不必将力平移后再求投影。而可以通过计算原力系中各力在 x,y轴上的投影直接算出主矢量FR＇的值。（2）主矢与简化中心的位置无关。 2、附加平面力偶系可以合成为一个力偶，某力偶矩m。称为原力系的主矩。其值为 m。=m1+m2+……+mn 因为 m1 = m0(F1) m2 = m0 (F2) …… mn = m(Fn) 则 m。= m0 (F1)+ m0 (F2)+…+ m0 (Fn) =Σm0 (F) 注意：（1）主矩一般与简化中心的位置有关。改变简化中心的位置，各附加力偶的力偶臂将相应的改变。（2）主矩必须标明它所在的简化中心，例： mA，mB。 3、简化结果 原力系简化为作用于简化中心的一个力和一个力偶。 二、平面一般力系的简化结果讨论 简化结果主矢FR＇和主矩m0分别为零或不为零时，可能出现一下几种情况： 1、FR＇ = 0 m00时， 力系合成为一个力偶（原力系和一个力偶等效）。 力系的合成结果 主矢FR/ 的大小和方向与简化中心无关。 与简化中心无关 力偶对任一点的矩都等于力偶矩，与矩心无关。 2、FR＇0 m0 =0时， 力系合成为一个合力（原力系和一个力等效），简化中心恰取在合力作用线上。 3、FR＇0 m00时， 力系合成为一个合力（原力系和一个力等效）。 主矢和主矩合成为一个合力FR，且有FR=FR＇， 合力FR的作用线至简化中心的垂直距离为RoFmd。 合力在主矢的哪一侧呢？可用合力对简化中心之矩的转向与主矩m0的转向相同的办法来确定。 4、FR ＇=0 m0 = 0 平衡。