第三章离散时间信号的傅里叶变换
数字信号第三章 离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换DFT: Discrete Fourier Transform第三章学习目标z理解傅里叶变换的几种形式z掌握离散傅里叶变换(DFT)及性质，圆周移位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷积及两者之间的关系z掌握频域抽样理论z掌握DFT的应用引言DFT要解决两个问题：一是频谱的离散化；二是算法的快速计算(FFT)。
这两个问题都是为了使计算机能够实时处理信号。
Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓；一个域的连续必定对应另一个域的非周期。
−jwndw e jwn 时域离散、非周期频域连续、周期z 时域周期化→频域离散化z 时域离散化→频域周期化离散连续周期性非周期性引言Fourier变换的几种可能形式时间函数频率函数连续时间、连续频率—傅里叶变换连续时间、离散频率—傅里叶级数离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换离散时间、离散频率—周期序列的傅里叶级数由DTFT到DFS离散时间、离散频率的傅立叶级数（DFS）由上述分析可知，对DTFT，要想在频域上离散化，那么在时域上必须作周期延拓。
对长度为M的有限长序列x(n)，以N为周期延拓（N≥M）。
注意：周期序列的离散傅里叶级数（DFS）只对有限长序列作周期延拓或周期序列成立。
……四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期(T0)非周期和离散(Ω=2π/T)离散(T)和非周期周期(Ωs=2π/T)和连续离散(T)和周期(T0)周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω=2π/T)在进行DFS 分析时，时域、频域序列都是无限长的周期序列周期序列实际上只有有限个序列值有意义长度为N 的有限长序列可以看成周期为N 的周期序列的一个周期（主值序列）借助DFS 变换对，取时域、频域的主值序列可以得到一个新的变换—DFT ，即有限长序列的离散傅里叶变换3.1 离散傅里叶变换（DFT ）的定义及物理意义——有限长序列的离散频域表示x(n)的N 点DFT 是¾x(n)的z 变换在单位圆上的N 点等间隔抽样；¾x(n)的DTFT 在区间[0，2π）上的N 点等间隔抽样。
3-3 第三章 离散傅里叶变换-三种误差
ω(，造成频谱泄露 见程序演示
解决频谱泄露问题：
1、增大N 2、使信号缓慢截断，即加旁瓣小的窗
3.栅栏现象 j X (e ) 的频域采样，因此 X (k ) 只反映了在 X (k ) 是 离散点 2k / N（ 0 k N 1）上的值，而无法反 映这些点之间的频谱内容。这就是栅栏现象。 如果原始信号的频谱峰值正好在两个离散点之 间时，离散傅里叶变换就无法检测出此峰值。
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
ω(π)
0.8 1
30 20 10 0 -10 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Hd(e jθ)
W(e jω-θ)
θ(π)
200 150 100 50 0 -50 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
2π DFT的谱线间隔等于 N
，所以，等效的频率
分辨率为
f
fs f N
用DFT做谱分析的参数选择原则：主要是 f s 和N。 第一：取样频率 f s 应满足奈奎斯特取样率, 即 Ts 1/ 2 f m。 第二：采样点数N一般由频率分辨率 f 来确定， 即 N f s / f ，考虑到DFT由FFT算法实现，一 般N取成2的整数幂（ N 2 M ） 第三：上面两个参数确定后，进而得到信号的记录 长度 T NT N / f 1 。
频率分辨率与DFT参数的选择
频率分辨率可以从两个方面来定义： 第一种定义是广义的，能够分辨开靠得很近的 两个频率分量的能力，也称作频率分辨力。 第二种定义是狭义的，专门用于刻画DFT的一 种频谱分析性能，是指某点数条件下DFT所表 示的最小频率间隔。这种定义不一定具有第一 种频率分辨率的含义。
第三章第二节离散信号频域分析
则 y (n ) IDFS [Y (k )] x1 (m) x2 (n m)
m 0
N 1
x2 (m) x1 (n m)
m 0
N 1
证： y(n) IDFS[ X 1 (k ) X 2 (k )]
j
2
j j e 2 e 2
e
3 j 2
sin 2 sin / 2
求x n 的8点DFT N 8
X k X e j
3 j k 2 4
2 k 8
e
2 sin 2 k 8 1 2 sin k 2 8 sin k 2 sin k 8
若 则有
2．周期序列的移位 设
则 如果m>N，则m=m1+Nm2
3．周期卷积 设 和 DFS系数分别为
都是周期为N的周期序列，它们的
令
则
上式表示的是两个周期序列的卷积，称为周期卷积。 周期为N的两个序列的周期卷积的离散傅里叶级数等于 它们各自离散傅里叶级数的乘积。
周期卷积的计算：
周期卷积中的序列 和 对m都是周 期为N的周期序列，它们的乘积对m也是以N为周期的， 周期卷积仅在 一个周期内求和。 相乘和相加运 算仅在m=0到N-1的区间内进行。计算出 n=0到N-1(一个周期)的结果后，再将其进行周期延拓， 就得到周期卷积 。 周期卷积满足交换律
j
2 nk N
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是 离散的和周期的。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
第三章 离散傅立叶变换
第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。
把)(~n x 看作周期为N 的周期序列有)(~)(~1k X n x ↔（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ↔（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示）（k X 2~。
二、离散傅立叶变换定义填空题2．某DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M Wk x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。
3．某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是（ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。
4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（ ）。
5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ）。
6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。
则频域抽样点之间的频率间隔f ∆为_______,数字角频率间隔w ∆为 _______和模拟角频率间隔∆Ω ______。
判断说明题：7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。
（ ）计算题8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。
如果计算)(k X 的离散傅里叶变换得到一序列)(1n x ，试用)(n x 求)(1n x 。
9．序列}{0,0,1,1)(=n x ，其4点DFT )(k x 如下图所示。
现将)(n x 按下列（1），（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT ？（尽量利用DFT 的特性）（1）⎩⎨⎧-=)4()()(1n x n x n y 7~43~0==n n（2）⎩⎨⎧=0)()(2n x n y 7~43~0==n n（3）⎪⎩⎪⎨⎧=0)2()(3n x n y 奇数偶数==n n 10．设)(n x 是一个2N 点的序列，具有如下性质：)()(n x N n x =+另设)()()(1n R n x n x N =，它的N 点DFT 为)(1k X ，求)(n x 的2N 点DFT )(k X 和)(1k X 的关系。
第3章离散时间信号与系统的频域分析
结论： 结论：序列共轭对称分量 的傅里叶变换是序列傅里 叶变换的实数部分； 叶变换的实数部分； 序列共轭反对称分量的傅 里叶变换是序列傅里叶变 换的虚数部分。 换的虚数部分。
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
5.时域卷积定理 时域卷积定理 如果 FT [ x( n)] = X (e jω ), FT [h( n)] = H (e jω ) 且有
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
（1）有限长序列: 有限长序列:
序列x(n)只在有限区间 1≤n≤n2之内才具有非零的有限值，在此 只在有限区间n 之内才具有非零的有限值， 序列 只在有限区间 区间外，序列值皆为零。 区间外，序列值皆为零。 其Z变换为 变换为
X (z) =
n = n1
x ( n) z − n ∑
第3章 离散时间信号与系统的频域分析
常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 常用的 变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示： 变换是一个有理函数
P(z) X (z) = Q( z )
分子多项式P 的根是X 的零点，分母多项式Q 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式Q(z) 的根是X 的极点。在极点处Z变换不存在， 的根是X(z)的极点。在极点处Z变换不存在，因此收 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。 敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。
X (z) =
n = −∞
RN ( n ) z − n = ∑ z − n ∑
n=0
∞
N −1
= 1 + z −1 + z − 2 + L + z − ( N −1 )
这是一个有限项几何级数之和。 这是一个有限项几何级数之和。因此
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章离散时间傅里叶变换
第3章 离散时间傅里叶变换在信号与系统中，分析连续时间信号可以采用时域分析方法和频域分析方法，它们之间是通过连续时间的傅里叶变换来完成从时域到频域的变换，它们之间是完成了一种域的变换，从而拓宽了分析连续时间信号的途径。
与连续时间系统的分析类似，在离散时间系统中，也可以采用离散傅里叶变换，将时间域信号转换到频率域进行分析，这样，不但可以得到离散时间信号的频谱，而且也可以使离散时间信号的分析方法更具有多元化。
本章将介绍离散时间系统的频域分析方法。
3.1 非周期序列的傅里叶变换及性质3.1.1 非周期序列傅里叶变换1．定义一个离散时间非周期信号与其频谱之间的关系，可用序列的傅里叶变换来表示。
若设离散时间非周期信号为序列)(n x ，则序列)(n x 的傅里叶变换(DTFT)为：正变换： ∑∞-∞=ω-ω==n nj j en x e X n x DTFT )()()]([ (3-1-1)反变换： ⎰ππ-ωωω-ωπ==d e e X n x e X DTFT n j j j )(21)()]([1 (3-1-2)记为：)()(ω−→←j Fe X n x当然式(3-1-2)等式右端的积分区间可以是)2,0(π或其它任何一个周期。
[例3-1] 设序列)(n x 的波形如图3-1所示，求)(n x 的傅里叶变换)(ωj e X解：由定义式(3-1-1)可得ωω=--=--===ω-ω-ωω-ω-ωω-ω-ω-ω-=ω-∞-∞=ω∑∑21sin 3sin )()(11)()(25212121333656j j j j j j j j j nj n nj n j ee e e e e e e e een R e X 2．离散时间序列傅里叶变换存在的条件：离散时间序列)(n x 的傅里叶变换存在且连续的条件为)(n x 满足绝对可和。
即：∞<∑∞-∞=)(n x n （3-1-3）反之，序列的傅里叶变换存在且连续，则序列一定是绝对可和的。
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
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1、周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和；
2、非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示。
傅里叶变换源自对傅里叶级数的研究。在对傅里叶级数的研究中，复杂的周期函数可以用一系列简单的正弦、余弦波之和表示。傅里叶变换是对傅里叶级数的扩展,由它表示的函数的周期趋近于无穷。
根据信号的周期性、连续性，可以划分为四种重要的傅里叶变换。周期信号（不管离散与否）都可以用傅里叶级数(Fouｒier Sｅrｉｅs)表示：如果输入信号为周期连续时间信号,则有连续时间傅里叶级数(conｔｉｎｕouｓ-ｔimeFoｕrｉer sｅrｉes，CTFS）,如果输入信号为周期离散时间信号,则有离散时间傅里叶级数(disｃrete-tiｍe Foｕrierｓerｉｅｓ，DＴFＳ)。非周期信号(不管离散与否）都可以用傅里叶变换（Foｕrｉer transfｏrm）表示：连续非周期的输入信号则有连续时间傅里叶变换（continuouｓ-timｅFouｒier tｒａｎsform,CTFT)，离散非周期输入信号则有离散时间傅里叶变换(ｄｉscrete-timｅFoｕriｅｒtｒａｎｓform，DTFＴ)。
ﻩ （）
故,其傅里叶变换对可以写为[10]
ﻩ（)
ﻩ （)
正交基和向量理解
为了便于对傅里叶变换的理解,就要借用向量。首先复习几个概念。内积:对于两个向量,他们的内积就是各个分量相乘再求和。正交是内积为0的情况，在二维空间上可以理解为垂直。例如,在三角函数系中｛1,coｓx, siｎx，cｏs２x, sin2x, .．．｝，任意两个不同元素的内积都为零，因此这个集合成为正交集合。空间：如果该空间的任意元素进行加法和乘法计算后的结果仍然属于该空间,那就组成一个向量空间。如果空间内有一个子集合,子集合的元素两两正交,那该子集合就是向量空间的基。上面用于展开傅里叶级数的 可以看成是一组正交的基。所以对于傅里叶展开来说,任何正交的空间,都可以作为展开的基函数，三角函数和复指数只是其中一类基函数。
基础知识
一、周期函数
先从周期函数开始讨论。设一个函数 是周期性的,周期为T，如果有一个 ,
（)
使等式成立,则称 ,Ｔ为的最小正周期。
二、三角函数
时间周期的经典例子是谐振荡器,先从该系统的状态是由一个单一的正弦波的形式说起:
ﻩ （)
在这个表达式中，参数A是振幅,频率是f,相位是 。
如果将上式采样,即：
简单地说傅里叶变换就是把信号投影到基上。对于任意的实信号，我们都可以看做是一些不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
这时候，我们求这个信号和傅里叶基内积[４]：
()
就得到了傅里叶变换的定义。
频域的图像表达
以矩形波的傅里叶变换来描述信号在频域上的图像表示方法:纵坐标 为复谐波函数 幅度，横坐标ｋ为谐波序号[１0］。复谐波函数之和即形成原函数。
第三章离散时间信号的傅里叶变换
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
ﻩ
第三章
离散时间信号的傅里叶变换
课程:数字信号处理
第三章离散时间信号的傅里叶变换ﻩ2
教学目标2
3.1引言2
3.2傅里叶级数CFS3
3.1引言
一束白光透过三棱镜,可以分解为不同颜色的光,这些光再通过三棱镜，就会得到白光。傅里叶指出,一个“任意”周期函数都可以分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是傅里叶级数。求解傅里叶系数的过程就是傅里叶变换。傅里叶级数和傅里叶变换又统称为傅里叶分析。傅里叶分析方法相当于三棱镜,信号即是那束白光。
3.５.1周期序列的离散傅里叶级数的定义1３
3.5．2周期序列的离散傅里叶级数的性质ﻩ17
3.6ﻩ离散傅里叶变换（DFT)ﻩ1９
3.6.1离散傅里叶变换(DFＴ)１９
3.6.2离散傅里叶变换的性质21
３．7CFS、CFT、DTFT、DＦS和DFT的区别与联系ﻩ23
３．8ﻩ用DFT计算模拟信号的傅里叶分析ﻩ25
３.２.1傅里叶级数CFS定义3
３.2.２傅里叶级数CFS性质5
３.3傅里叶变换CFT６
3．3.1傅里叶变换CＦT定义6
３.3．2傅里叶变换CＦT的性质７
3.４ﻩ离散时间信号傅里叶变换DTFT8
3.４.1离散时间信号傅里叶变换DＴFT定义ﻩ8
３.４.２离散时间信号傅里叶变换的性质ﻩ8
３．5周期序列的离散傅里叶级数（DFS）1２
3.９实验ﻩ２8
本章小结30
习题3１
参考文献：3４
第三章离散时间信号的傅里叶变换
教学目标
本章讲解由时域到频域的傅里叶变换,频域观察信号有助于进一步揭示系统的本质,对于某些系统可以极大的简化其设计和分析过程。通过本章的学习，要理解连续时间信号的傅里叶级数和傅里叶变换的和离散时间信号基本概念、性质和应用；了解一些典型信号的傅里叶变换；理解连续时间信号的傅里叶级数（CＦS）、连续时间信号的傅里叶变换(CFＴ)Байду номын сангаас离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散时间傅里叶级数(DTFS）和离散傅里叶变换(ＤFT）它们相互间的区别与联系;掌握傅里叶变换的参数选择，以及这些参数对傅里叶变换性能的影响;了解信号处理中其它算法（卷积、相关等)可以通过离散傅里叶变换(DFT)来实现。
【例3．2.１】图3．2.1是一周期矩形信号，周期为T；显然，它满足狄利克雷条件。由(3.２.３)式可知，其傅里叶系数
是一离散ｓinc函数，其中 =０.2T，T＝１,A＝5，Ω0=2PI／T。
是常量,通常叫做直流分量(DC)。
上式用复指数的形式可表示为:
()
两边同时乘以 ,并从0到T积分，得到[8］
()
再看：
ﻩ ﻩ()
这是一个周期为 的函数[9],当n=k时,结果为1,,因此式(10）可以写成:
当ｎ 时等式(１０）的结果为０。因此傅里叶系数Foｕrｉercoeffｉcients可以写成:
ﻩ()
ｆ为模拟频率,单位Hz, 为采样周期,单位秒ｓ， ，为模拟角频率。关系表达式如下:
ﻩ (1)
三、复指数函数
欧拉公式,因为:
()
所以正弦信号的复数形式数学定义如下：
ﻩ()
3.2傅里叶级数CFS
3．2.1傅里叶级数CFS定义
傅里叶的思想是,所有的周期函数都可以表示为正弦信号的加权和［8]，即:
ﻩ ﻩ()